Cálculo Multivariável

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Considere  a  função f(x,y)= y.lnx + x.ey  .
Identifique as afirmações verdadeiras (V) e as falsas (F):
1) (   ) A derivada da função  f(x,y) em  P(1,0)  na direção do vetor  v =  i-j  é nula.
2) (   ) A função f(x,y)  aumenta mais rapidamente na direção do vetor  u= i + j.
3) (   )  Existe uma direção na qual a taxa de variação da função é 2.
4) (   )  A taxa de variação da função é   21/2
5) (   ) A reta tangente à curva  f(x,y)  no ponto    P(1,0)   é      y=x-1.
		
	 
	1) (V)     2) (V)     3) (F)     4) (V)     5) (F)
	
	1) (V)     2) (V)     3) (F)     4) (V)     5) (V)
	
	1) (V)     2) (V)     3) (V)     4) (F)     5) (F)
	
	1) (F)      2) (V)     3) (V)      4) (V)      5) (F)
	
	1) (V) 2)     (V)     3) (V)     4) (V)     5) (F)
	
	
	
	
	 2a Questão (Ref.: 201307856073)
	 Fórum de Dúvidas (0)       Saiba  (0)
	
	Integre f(x, y, z) = x - 3.y2 + z sobre o segmento de reta C que une a origem (0,0,0) ao ponto (1,1,1) passando primeiro por (1,1,0). Dado a parametrização r(t) = ti + tj + tk, 0 ≤ t ≤ 1.
		
	
	1
	 
	0
	
	3
	
	4
	
	2
	
	
	
	
	 3a Questão (Ref.: 201308077221)
	 Fórum de Dúvidas (0)       Saiba  (0)
	
	Seja f:R3→R definida por f(x,y,z) = x + 3y2 + z  e  c  o segmento de reta que une (0,0,0) e (1,1,1). Calcular ∫c fds. Utilize a parametrização deste segmento : r(t)=(t,t,t), t∈[0,1] .
		
	
	33
	 
	23
	
	3
	
	32
	
	22
	
	
	
	
	 4a Questão (Ref.: 201308077189)
	 Fórum de Dúvidas (0)       Saiba  (0)
	
	Integre a função f(x,y,z) = x - 3y2 + z sobre o segmento de reta C que une a origem ao ponto (1,1,1). Considere a parametrização r(t) = ti + tj + tk, onde t pertence ao intervalo [0,1]. Portanto, a integral de f sobre C é:
		
	
	2
	 
	0
	
	3
	
	4
	
	1
	
	
	
	
	 5a Questão (Ref.: 201308077215)
	 Fórum de Dúvidas (0)       Saiba  (0)
	
	Considere f:R3→R definida por f(x,y,z) = x2 + y2 + z2. Considere ainda a hélice definida por r(t)=(sent,cost,t), t∈[0,2π]. Calcule ∫c fds.
		
	
	2.(π+8π3)
	 
	2.(2π+8π33)
	
	2π+8π33
	
	3.(2π+8π33)
	
	2.(π+π33)
		
	
	
	 6a Questão (Ref.: 201308077219)
	 Fórum de Dúvidas (0)       Saiba  (0)
	
	Calcular ∫c fds em que r é a hélice definida por r(t)=(sent,cost,t),
t∈[0,2π] e F o campo vetorial definido por F(x,y,z)=(x,y,z).
		
	
	2π3
	
	3π2
	
	2π
	
	π2
	 
	2π2
	
	
	
	
	 7a Questão (Ref.: 201307323903)
	 Fórum de Dúvidas (0)       Saiba  (0)
	
	Considere uma função  de três variáveis z=f(x,y,z).
Seja z=sen(xy)+xseny .
 Encontre∂z∂uquando u=0 ;  v=1  ; x=u2 +v2   e   y=u.v.                 
		
	
	   -1
	 
	 2   
	 
	1   
	
	 -2  
	
	0 
		
	
	
	 8a Questão (Ref.: 201307517871)
	 Fórum de Dúvidas (0)       Saiba  (0)
	
	Seja F(x,y,z) = x^(2) + 2y + 3z. Calcular a integral da função F(x,y,z) sobre a curva C definida por r(x,y,z) = -2t (i) + 3t (j) - t (k), onde t varia no intervalo [0 , 1]
		
	 
	4 * (14)^(1/2)
	
	4
	
	4 * (2)^(1/2)
	 
	2 * (14)^(1/2)
	
	14 * (2)^(1/2)
	Considere a função F(x,y,z) = ( 3 * x^(2) * y^(3) ) (i) + ( 4 * y * z^(3) ) (j) + ( 5 * y^(2) * z ) (k). Calcular o divergente da função F(x,y,z).
		
	
	6*x*y^(3) + 12*y*z^(2) + 5*y^(2)
	
	9*x^(2)*y^(2) + 10*y*z + 12*y*z^(2)
	 
	6*x*y^(3) + 5*y^(2) + 4*z^(3) +
	
	6*x^(2)*y^(2) + 12*y*z^(2) + 10*y*z
	
	6*x^(2)*y^(2) + 4*z^(3) + 10*y*z
	
	
	
	
	 2a Questão (Ref.: 201307517872)
	 Fórum de Dúvidas (0)       Saiba  (0)
	
	Considere a função F(x,y,z) = ( x^(3) * y^(1/2) ) / z. Calcular o gradiente da função F(x,y,z)
		
	
	( 3 * x^(2) * y^(1/2) ) / z (i) + ( x^(3) * y^(1/2) )/ (2 *z) (j) + ( x^(3) * y^(1/2) ) / z^(2) (k)
	
	( 3 * x^(2) * y^(1/2) ) / z (i) + ( x^(3) * y^(1/2) )/ z^(2) (j) - ( x^(3) * y^(1/2) ) / z^(2) (k)
	
	( x^(2) * y^(1/2) ) /z (i) + ( x^(3) * y^(1/2) )/ (2 * z ) (j) + ( x^(3) * y^(1/2) ) / z^(2) (k)
	
	( x^(2) * y^(1/2) ) / (2 * z) (i) + ( x^(3) * y^(1/2) )/ z^(2) (j) + ( x^(3) * y^(1/2) ) / (2 * z^(2)) (k)
	 
	( 3* x^(2) * y^(1/2) ) /z (i) + ( x^(3) / (2 * y^(1/2) * z ) ) (j) - ( x^(3) * y^(1/2) ) / z^(2) (k)
	
	
	
	
	 3a Questão (Ref.: 201307323969)
	 Fórum de Dúvidas (0)       Saiba  (0)
	
	Determine o plano tangente à superfície esférica
 x2 + 3y2+ z2=22 no ponto P(1,2,3).
		
	
	3x+6y+3z=22
	
	 x+12y+3z=20
	 
	 x+6y+3z=22
	
	2x+12y+3z=44
	
	3x+4y+3z=20
	
	
	
	
	 4a Questão (Ref.: 201308077226)
	 Fórum de Dúvidas (0)       Saiba  (0)
	
	Considere T(x,y,z) = 20 - x2 - y2 - z2 uma distribuição de temperatura em uma região do espaço. Uma partícula A localizada em A(2,3,5) precisa esquentar rapidamente. Outra partícula B situada em B(0,-1,0) precisa resfriar-se o mais rápido possível. Marque a alternativa que indica a direção e o sentido que a partícula B deve tomar.
		
	
	(0, -20, 10)
	 
	(-4, -6, -10)
	
	(0, -1, 0)
	
	(2, 3, 5)
	 
	(0, -2, 0)
	
	
	
	
	 5a Questão (Ref.: 201307318935)
	 Fórum de Dúvidas (0)       Saiba  (0)
	
	 Encontre a área da região R limitada pela parábola y=x2 e pela reta y=x+2 utilizando integral dupla. .
		
	
	52 u.a.
	
	12 u.a.
	 
	92u.a.
	
	72 u.a.
	
	32u.a.
	
	
	
	
	 Fórum de Dúvidas (0)       Saiba  (0)
	Considere T(x,y,z) = 20 - x2 - y2 - z2 uma distribuição de temperatura em uma região do espaço. Uma partícula A localizada em A(2,3,5) precisa esquentar rapidamente. Outra partícula B situada em B(0,-1,0) precisa resfriar-se o mais rápido possível. Marque a alternativa que indica a direção e o sentido que a partícula A deve tomar.
		
	 
	(-4, -6, -10)
	
	(1,2,3)
	
	(20, -10, -30)
	
	(0, -2, 0)
	
	
	Determine a integral ∫π2π∫0π(senx+cosy)dxdy
		
	 
	2π
	
	π
	
	0
	
	π+senx
	
	cos(2π)-sen(π)
	
	
	
	
	
	
		
	
	10
	
	18
	 
	4
	
	2
	
	12
	
	
	
	
	 3a Questão (Ref.: 201307517733)
	 Fórum de Dúvidas (0)       Saiba  (0)
	
	Seja f(x,y,z) = ( x^(1/2) * y^(3) ) / z^(2). Calcular o valor da integral tripla da função f(x,y,z) em relação às variáveis x, y e z onde x varia no intervalo [1 , 3] , y varia no intervalo [2 , 5] e z varia no intervalo [3 , 4].
		
	
	203 * ( 3*x^(1/2) - 2 ) / 24
	 
	203 * ( 2*x^(1/2) - 3 ) / 24
	 
	203 * ( 3*x^(1/2) - 1 ) / 24
	
	( 203 * x^(1/2) ) / 6
	
	( 203 * x^(1/2) ) / 8
	
	
	
	
	 4a Questão (Ref.: 201307517742)
	 Fórum de Dúvidas (0)       Saiba  (0)
	
	Seja f(x,y,z) = ( x^(1/2) * y^(3) ) / z^(2). Calcular o valor da integral tripla da função f(x,y,z) em relação às variáveis x, y e z onde x varia no intervalo [1 , 4] , y varia no intervalo [1 , 2] e z varia no intervalo [1 , 2].
		
	
	35/2
	
	35/6
	 
	35/4
	
	35/3
	
	7
	
	
	
	
	 5a Questão (Ref.: 201307917166)
	 Fórum de Dúvidas (0)       Saiba  (0)
	
	Deseja-se pintar a estrutura externa lateral de um monumento em forma de um paraboloide que pode ser descrita pela equação z=x2 + y2, situada na região do espaço de coordenadas cartesianas(x, y, z) dada pela condição z≤9 . Os eixos coordenados estão dimensionados em metros e gasta-se um litro e meio de tinta a cada metro quadrado de área da superfície a ser pintada.
 A quantidade de tinta, em litros, necessária para pintara superfície lateral do monumento é dada pela integral dupla
		
	
	 4∫03∫09-x2(x2+y2)dxdy
	
	6∫03∫09-x2(x2+y2)dxdy
	
	6∫0π2∫-33(1+4r2)rdrdθ= 
	
	 4∫0π2∫03(1+4r2)rdrdθ=
	 
	6∫0π2∫03(1+4r2)rdrdθ=
	
	
	
	
	
		
	 
	9/2 u.v
	
	16/3 u.v
	
	10 u.v
	
	18 u.v
	
	24/5 u.v
	
	
	
	
	 7a Questão (Ref.: 201307926442)
	 Fórum de Dúvidas (0)       Saiba  (0)
	
	Seja a integral dupla ∫∫De(y2)dA, onde D={(x,y)|0≤y≤1,0≤x≤y}. O valor dessa integral é dada por:
 
		
	
	e
	
	e2
	
	e-1
	
	0
	 
	12(e-1)
	
	
	
	
	 8a Questão (Ref.: 201307872536)
	 Fórum de Dúvidas (0)       Saiba  (0)
	
	Determine a integral ∫01∫02∫01-zdydxdz
		
	 
	1
	
	1-z
	
	2-2z
	
	0
	
	2
	Inverta a ordem da integral, esboce a região de integração se achar necessário e calcule a integral ∫0π∫xπsenyydydx
		
	
	10
	 
	2
	
	e + 1
	
	1
	
	5
	
	
	
	
	 2a Questão (Ref.: 201307319205)
	 Fórum de Dúvidas (0)       Saiba  (0)
	
	Transforme para o sistema de coordenadas polares a integral ∫-11∫01-x2dydx(1+x2+y2)2. Em seguida, calcule o seu valor.
		
	
	π3
	 
	π4
 
	
	π
	
	π2
	
	π5
	
	
	
	
	 3a Questão (Ref.: 201307322256)
	 Fórum de Dúvidas (0)       Saiba  (0)
	
	Calcule ∫14∫0x32eyxdydx
		
	
	e-1
	 
	 7e-7
	
	7
	
	7e
	
	e7
	
	
	
	
	 4a Questão (Ref.: 201307322297)
	 Fórum de Dúvidas (0)       Saiba  (0)
	
	Encontre a área dda região R limitada pela parábola y = x2 e pela reta y = x + 2
		
	
	3
	 
	9/2
	
	1/2
	
	1
	
	5/6
	
	
	
	
	 5a Questão (Ref.: 201307322253)
	 Fórum de Dúvidas (0)       Saiba  (0)
	
	Calcule ∫03∫02(4-y2)dydx
		
	
	20
	 
	16
	
	1
	
	10
	
	2
	
	
	
	
	 6a Questão (Ref.: 201307322236)
	 Fórum de Dúvidas (0)       Saiba  (0)
	
	Encontre a derivada parcial para a função f(x,y,z)=e-(x2+y2+z2)
		
	 
	∂f∂x=-2xe-(x2+y2+z2) e ∂f∂y=-2ye-(x2+y2+z2) e ∂f∂z=-2ze-(x2+y2+z2)
	
	∂f∂x=xe-(x2+y2+z2) e ∂f∂y=ye-(x2+y2+z2) e ∂f∂z=ze-(x2+y2+z2)
	
	∂f∂x=-e-(x2+y2+z2) e ∂f∂y=e-(x2+y2+z2) e ∂f∂z=e-(x2+y2+z2)
	
	∂f∂x=-2xe e ∂f∂y=-2ye e ∂f∂z=-2ze
	
	∂f∂x=-2xe-(x2+y2) e ∂f∂y=-2ye-(x2+y2) e ∂f∂z=-2ze-(x2+y2)
	
	
	
	
	 7a Questão (Ref.: 201307322292)
	 Fórum de Dúvidas (0)       Saiba  (0)
	
	Resolva a integral ∫02ln3∫y2ln3ex2dxdy invertendo a ordem de integração
		
	
	e+2
	 
	2
	
	2
	
	e
	
	3
	
	
	
	
	 8a Questão (Ref.: 201307322287)
	 Fórum de Dúvidas (0)       Saiba  (0)
	
	Resolva a integral ∫01∫y1x2exydxdy invertando a ordem de integração
		
	
	2e-22
	
	e-24
	
	2e+24
	 
	e-22
	
	2e+22
	Calcule o módulo do  operador rotacional  do campo vetorial
 V→=(ex+z.cosy)i+(x2.z-ey)j+(x.y2+z2seny)k  no ponto P(0,0,1).  
		
	 
	2
	
	3
	
	3
	 
	2
	
	5
	
	
	
	
	 2a Questão (Ref.: 201307321305)
	 Fórum de Dúvidas (0)       Saiba  (0)
	
	Usando o Teorema de Green calcular ∮C(y2+y)dx+(x2+2x)dysendo C o triângulo limitado por x=0; y=0 e  y=1-x.
 
		
	
	13
	
	15
	 
	12
	
	14
	
	0
	
	
	
	
	 3a Questão (Ref.: 201307323995)
	 Fórum de Dúvidas (0)       Saiba  (0)
	
	Calcular a integral de linha ∫C (x-y+z-2)ds onde C   é  o  segmento de reta do  ponto P(0,1,1)  até o ponto  Q(1,0,1).
 
		
	
	2 
	
	  3
	
	1
	
	3   
	 
	-2    
	
	
	
	
	 4a Questão (Ref.: 201307323105)
	 Fórum de Dúvidas (0)       Saiba  (0)
	
	Quais dos campos abaixo não são conservativos?
1. F=yzi+xzj+xyk
2. F=(ysenz)i+(xsenz)j+(xycosz)k
3. F=yi+(x+z)j-yk
4. F=-yi+xj
5. F=(z+y)i+zj+(y+x)k
6. F=(excosy)i -(exseny)j+zk 
		
	
	campos 3, 4, 5 e 6
	
	campos 1, 4 e 5
	
	campos 1, 2 e 6
	 
	campos 3, 4 e 5
	
	campos 3, 4 e 6
	
	
	
	
	 5a Questão (Ref.: 201307323101)
	 Fórum de Dúvidas (0)       Saiba  (0)
	
	Aplique o teorema de Green para calcular a integral ∮C(3ydx+2xdy) onde a curva C: a fronteira de 0≤x≤π,0≤y≤senx
		
	 
	-2
	
	0
	
	1
	
	-10
	
	2
	
	
	
	
	 6a Questão (Ref.: 201307319147)
	 Fórum de Dúvidas (0)       Saiba  (0)
	
	Quando uma curva  r(t)=g(t)i+h(t)j+l(t)k ,  a≤t≤b  passa pelo domínio de uma função f(x,y,z) no espaço, os valores de  f ao longo da curva são dados pela função composta  f(g(t),h(t),l(t)). Quando integramos essa função composta em relação ao comprimento de arco de  t=a a t=b, calcula-se  a integral de linha de   f(x,y,z)   ao longo da curva.
Portanto   ∫C f(x,y,z)ds=∫ab f(g(t),h(t),l(t))dt          onde   ds=|v(t)|dt
Calcule  a integral de linha    ∫C (x2+ y2 +z2) onde C é a hélice circular dada por    r(t)=(sent)i+(cost)j+tK    0≤t≤1.  .
 
		
	
	324
	 
	2
	
	233
	
	1
	 
	423
	
	
	
	
	 7a Questão (Ref.: 201307323104)
	 Fórum de Dúvidas (0)       Saiba  (0)
	
	Quais dos campos abaixo são conservativos?
1. F=yzi+xzj+xyk
2. F=(ysenz)i+(xsenz)j+(xycosz)k
3. F=yi+(x+z)j-yk
4. F=-yi+xj
5. F=(z+y)i+zj+(y+x)k
6. F=(excosy)i -(exseny)j+zk 
		
	
	campos 1, 3 e 6
	 
	campos 1, 2 e 6
	
	campos 1, 2 e 4
	
	campos 1, 2 e 5
	
	campos 2, 3 e 6
	
	
	
	
	 8a Questão (Ref.: 201307318650)
	 Fórum de Dúvidas (0)       Saiba  (0)
	
	 Apresente a expressão do operador divergente do campo vetorial:
 V→ = (ex+z.cosy)i+(x2.z -ey) j+(x.y2+z2seny)k  
		
	
	divV→=ey-excosy +2z 
	
	divV→=ex-ey+2z   
	
	divV→=eyi-excosyj +2zsenyk
	 
	divV→=ex-ey+2zseny 
	
	divV→=(eysenx)i-(excosy)j+(2zsenx)k