VA Matematica Financeira Aula 4 Tema 4

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Matemática Financeira
Prof. Esp. Leonardo T. Otsuka
Tema 4 – Sequência de Pagamentos –
(Juros Compostos)
Sequência de Pagamentos
• Sequência de Pagamentos Postecipada;
• Sequência de Pagamentos Antecipada;
• Valor Futuro (Postecipada) – Plano de 
Poupança;
Também conhecido como Série Uniforme de 
Pagamentos.
Sequência de Pagamentos –
Postecipada
• Quando o pagamento for postecipado, o
primeiro pagamento ocorre somente no
final do primeiro período (GIMENES, 2012,
p. 95).
• As parcelas são iguais e sucessivas:
0
1 2 3 ... n
PMT PMT PMT PMT
PV
Sequência de Pagamentos 
Postecipada – Fórmula
• PV – Valor Presente, Valor Inicial ou valor
que será financiado.
• PMT – pagamento ou recebimento
(prestação).
• i – Taxa de juros.
• n – Período ou nº de parcelas.
Cálculos do “n” – quantidade de 
parcelas (Postecipado)
ou
ln = logarítmo 
natural
log = logarítmo
Exemplo 1
Um colega lhe pede R$ 1.000,00
emprestados. Para correr o risco, você cobra
dele uma taxa de juros de 10,0% a.m. Ele vai
lhe pagar em 5 parcelas iguais sucessivas,
sendo que a primeira parcela vence após 30
dias da data do empréstimo. Determine o
valor das parcelas. (GIMENES, 2012, p. 95,
Livro-Texto)
Exemplo 1 – Resolução
PV = 1000
n = 5 meses
i = 10,% a.m.
PMT = ?
= 10/100 = 0,1
1.000
0 meses1 2 3 4 5
PMT = ?
Exemplo 1 – Resolução pela Fórmula
PMT=1000. 0,263797
PMT= 263,79
Programando a HP12C para 
Sequência Postecipada
Se no visor da HP12C estiver escrito “Begin”,
é necessário digitar:
BEGIN
g 8
END
Exemplo 1 – Resolução pela HP12c
PMT
PV1 000
5 n
i10
= -263,79
f Clx
g 8
END
Programando a 
HP12c para série 
Postecipada
Exemplo 2 – Cálculo do “n”
Quantas prestações de R$ 314,75 serão
necessárias para pagar um microcomputador
que custa $2.500,00 à vista? O plano é sem
entrada e a taxa de juros é de 7% a.m.
(GIMENES, 2012, p. 112).
n = ?
PMT = 314,75
PV = 2500
i = 7,0% a.m.= 7/100 = 0,07
Exemplo 2 – Resolução pela Fórmula
Continua...
Exemplo 2 – Resolução pela Fórmula
Exemplo 2 – Resolução pela Fórmula
Exemplo 2 – Resolução pela HP 12C
n
PV2 500
7 i
= 12 meses
f Clxn = ?
PMT = 314,75
PV = 2500
i = 7,0% a.m.
CHS314,75 PMT
g 8
END
Sequência de Pagamentos 
Antecipada
Continuando
Sequência de Pagamentos 
Antecipada
• A denominação “pagamento antecipado”
se refere a uma situação em que o
primeiro pagamento/recebimento é feito
no instante inicial (GIMENES, 2012, p.
120).
• As parcelas são iguais e sucessivas.
0
1 2 3 ... n
PMT PMT PMT PMT
PV
PMT
Sequência de Pagamentos 
Antecipada
• PV – Valor Presente, Valor Inicial ou valor
que será financiado.
• PMT – pagamento ou recebimento
(prestação).
• i – Taxa de juros.
• n – Período.
Exemplo 1
Um imóvel de R$ 110.000,00 será financiado
em 120 parcelas mensais iguais e sucessivas.
Calcule o valor das parcelas, sabendo que o
banco cobra uma taxa de 1,0% ao mês e que
a primeira parcela vence no ato da compra.
(GIMENES, 2012, p. 123, Livro-Texto,
adaptado)
Exemplo 1 – Resolução
PV = 110.000,00
n = 120 meses (1+119)
i = 1,0% a.m. 100 = 0,01 
PMT = ?
110.000
0 meses119
PMT = ?
Exemplo 1 – Resolução pela Fórmula
Continua...
Exemplo 1 – Resolução pela fórmula
(Repetindo a linha anterior)
PMT = 1.562,55
Exemplo 1 – Resolução pela HP12C
PMT
PV110 000
120 n
i1
= - 1.562,55
f Clx
Programando a 
HP12c para série 
Antecipada
g 7
BEG
Sequência de Pagamentos –
Valor Futuro (Plano de Poupança)
Existe uma variação da fórmula da Sequência
de pagamentos que visa ao valor futuro,
mantendo as parcelas iguais postecipadas
sobre uma taxa de juros.
0 1 2 ... n
PMT PMT
FV
PMT PMT
3
Sequência de Pagamentos – Plano de 
Poupança – Fórmula
• FV – Valor Futuro ou Montante.
• PMT – Valor do depósito/parcela.
• i – Taxa de juros.
• n – Período.
Exemplo 1: Plano de Poupança
Se eu depositar mensalmente R$ 150,00 em
um banco durante três anos, quanto terei ao
final do período, se a taxa for de 0,75% ao
mês? (GIMENES, 2012, p. 117)
Exemplo 1: Plano de Poupança
PMT = 150,00
FV = ?
i = 0,75% ao mês
i = 0,75/100 = 0,0075
n = 3 anos
n = 3.12 = 36 meses
Exemplo 1: Resolução pela Fórmula
FV = 6.172,91
Exemplo 1: Resolução pela HP12c
36 n
= 6.172,91
f Clx
CHS150 PMT
i0,75
FV
Programando a HP12c para 
série Postecipada = g END
g 8
END
Sequência de Pagamentos
Agora é a sua vez
Exercício 1
Um empréstimo de R$ 2.000,00 deve ser
pago em seis prestações mensais, iguais e
sucessivas. Sabendo-se que a taxa de juros é
de 3% ao mês, determine o valor da
prestação mensal desse financiamento, sendo
que o pagamento da 1ª prestação ocorre
no ato da liberação dos recursos.
• Série Antecipada.
Exercício 1 – Resolução pela HP12c
PV = 2 000
n = 6 meses
i = 3,0% a.m. 
PMT = ?
2.000
0 meses1 2 3 4 5
PMT = ? (1+5)
PMT
PV2 000
6 n
i3
= -358,44
f Clx
g 7
BEG
Exercício 1 – Resolução pela Fórmula
PMT=2000.0,179221
PMT= 358,44
Exercício 2
Um sítio é vendido por R$ 348.000,00 à vista.
Você propõe 40% de entrada e o restante em
120 parcelas fixas e postecipadas, que devem
ser calculadas à taxa de 1% a.m. Qual é o
valor das prestações? (GIMENES, 2006, p.
106)
Exercício 2 – Resolução: entrada não 
faz parte do financiamento.
Valor à vista = 348.000,00
n = 120 meses
i = 1,0% a.m. /100 = 0,01 
PMT = ?
Cuidado com a entrada:
Entrada de 40% de 348.000 = 139.200,00
PV = Valor à vista - Entrada
PV = 348.000 - 139.200 = 208.800,00
Exercício 2 – Resolução pela Fórmula
Continua...
Exercício 2 – Resolução pela Fórmula
PMT = 208800 . 0,014347
PMT = 2.995,68
O Livro-Texto mostra o PMT = 2.995,67. 
Essa diferença ocorre por causa do 
arredondamento.
Exercício 2 – Resolução pela HP12c
PMT
PV208 800
120 n
i1
= -2.995,67
f Clx
8g
Exercício 3 – Postecipado com 
Entrada
Um carro é vendido por R$ 30.000,00 à vista.
A concessionária possui um financiamento em
que exige 40% de entrada e o saldo
restante financiado em 24 prestações mensais
iguais e sucessivas. Sabendo que a taxa de
juros é de 1,0% ao mês, qual o valor das
prestações?
Exercício 3 - Postecipado com Entrada
30.000 à vista
1 24PMT = ?
Entrada=12.000 (Subtrair)
PV= 30000 - 12000 = 18.000
40% de entrada
Entrada=12.000
n = 24 meses
meses0i = 1,0% a.m.
PV= 18.000
i = 0,01
PMT = ?
Exercício 3 – Postecipado com 
Entrada
24 n
= - 847,32
f Clx
PV18 000
i1
PMT
Programando a HP12c para 
série Postecipada = g END8END
g
Sequência de Pagamentos
Finalizando
Sequência de Pagamentos
Aprendemos, neste tema, os seguintes
assuntos:
• Sequência de Pagamentos Postecipada.
• Sequência de Pagamentos Antecipada.
• Plano de Poupança (Valor Futuro).
Sequência de Pagamentos
• Vocês perceberam que não calculamos o a
taxa = i;
• Os cálculos são mais complexos, porém
muito úteis para verificar se as empresas
estão cobrando realmente as taxas
anunciadas;
• Portanto, para se calcular o “i”,
recomenda-se o uso da Calculadora HP12c.
Sequência de Pagamentos – Carência
A carência significa que as parcelas
serão cobradas a partir de período estipulado.
0 1 2 3 5
PV = 10 000
PMT=? 28
FV = 12.762,82
n= 24meses
n= 5 meses
4
Carência de 5 meses
PV = 10.000
n = 24 meses
i = 5% a.m.
*carências de 
5 meses
Exemplo
Você possui R$
162,00 na poupança,
que rende 0,5% ao
mês. Você pagaria à
vista ou a prazo?
Justifique sua escolha.
À Vista no 
boleto com 
desconto de 
15%161,35
1x s/ juros: 189,82
2x s/ juros: 94,91
3x s/ juros: 63,27
4x s/ juros: 47,46
5x s/ juros: 37,96
6x s/ juros: 31,64
Exemplo – Resolução – HP12c
Trata-se de uma
sequência de
pagamentos.
Vamos analisar o
pagamento em 2x:
PV = 161,35
n = 2
PMT = 94,91
i = ?
À Vista no 
boleto com 
desconto de 
15%
161,35
1x s/ juros: 189,82
2x s/ juros: 94,91
3x s/ juros: 63,27
4x s/ juros: 47,46
5x s/ juros: 37,96
6x s/ juros: 31,64
Exemplo – Resolução – HP12c
PV = 161,35
n = 2
PMT = 94,91
i = ? PV161,35
2 n
i =11,55% a.m.
f Clx
CHS94,91 PMT
8g
Exemplo – Comprar à vista!
PV161,35
2 n
i =11,55% a.m. 
CHS94,91 PMT
i
3 n
=8,58% a.m.
CHS PMT63,27
À Vista no 
boleto com 
desconto 
de 15%
161,35
i
1x s/ juros: 189,82 17,64%
2x s/ juros: 94,91 11,55%
3x s/ juros: 63,27 8,58%
4x s/ juros: 47,46 6,84%
5x s/ juros: 37,96 5,67%
6x s/ juros: 31,64 4,85%
Referências
• GIMENES, Cristiano Marchi. Matemática
financeira com HP12C e Excel. São
Paulo: Pearson Education, 2012. Pearson –
PLT – Programa do Livro-Texto
• Caderno de Atividades.