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VA Matematica Financeira Aula 6 Tema 6

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Matemática Financeira
Amortização de Empréstimos (Juros 
Compostos)
Tema 6
Prof. Esp. Leonardo T. Otsuka
Amortização de Empréstimos
• Definição:
“Tratam, basicamente, da forma pela
qual o principal e os encargos financeiros são
devolvidos ao credor do capital.”
(ASSAF NETO, 2009, p. 199)
Amortização de Empréstimos 
• Quando pagamos uma parcela de um
financiamento, estamos devolvendo
dinheiro ao banco ou pagando juros?
Prestação = Amortização + Juros
Lucro do Banco, 
não é devolução 
do PV.
Devolução 
do principal.
Amortização de Empréstimos 
• Vamos utilizar os conceitos de Juros
Compostos, Série Uniforme de Pgto (PMT),
taxa equivalente, ou seja, tudo.
• Análise detalhada do que é Juros e
Amortização num financiamento.
Amortização de Empréstimos 
• Existem vários modelos de amortização
usados no mercado:
• Sistema Amortização Convencional (Livre).
• Sistema Amortização Constante (SAC).
• Sistema Amortização Francês (PRICE).
Amortização de Empréstimos
• Planilha de amortização:
• Não há uma fórmula específica e sim um
procedimento para cada tipo de
Amortização.
• A tabela é a mesma para todos.
Amortização de Empréstimos
Saldo Final =
Juros + Amortização = Total (PMT) Sd Início - AMORT
1
2
3
4
n Saldo início
Pagamento/Parcela
Planilha de amortização:
Sistema de Amortização Convencional
Conhecido também por plano livre de
amortização. Chama-se convencional porque
um empréstimo pode ser quitado com
amortizações variáveis [...].
(GIMENES, 2012, p. 183)
Exemplo 1 – Sistema Convencional
Um amigo lhe empresta R$1.000,00,
que devem ser pagos em 5 parcelas. Com o
intuito de pagar menos juros, você propõe as
seguintes amortizações: R$500 na primeira
parcela, R$150 na segunda, R$100 na
terceira, R$150 na quarta e R$100 na quinta.
Monte a planilha, sabendo que a taxa de juros
foi de 10,0% ao mês.
(GIMENES, 2012, p.183)
Exemplo 1 – Resolução Convencional
1º Passo: Neste caso, preencher primeiro a
coluna amortização, conforme enunciado:
PV= 1000,00 i=10,0%a.m.
Saldo Final =
Juros + Amortização = Total (PMT) Sd Início - AMORT
1
2
3
4
5
n Saldo início
Pagamento/Parcela
1 000 500
150
100
150
100
PV= 1000,00 i=10,0%a.m.
Saldo Final =
Juros + Amortização = Total (PMT) Sd Início - AMORT
1
2
3
4
5
n Saldo início
Pagamento/Parcela
1 000
Exemplo 1 – Resolução Convencional
2º Passo: Calcular os juros do n=1
Saldo início . i = 1 000 . 0,10 = 100
100 500
150
100
150
100
PV= 1000,00 i=10,0%a.m.
Saldo Final =
Juros + Amortização = Total (PMT) Sd Início - AMORT
1
2
3
4
5
n Saldo início
Pagamento/Parcela
1 000
Exemplo 1 – Resolução Convencional
3º Passo: Calcular o Total do PMT
Juros + Amortização = 100 + 500 = 600,00
100 500
150
100
150
100
600
PV= 1000,00 i=10,0%a.m.
Saldo Final =
Juros + Amortização = Total (PMT) Sd Início - AMORT
1
2
3
4
5
n Saldo início
Pagamento/Parcela
1 000
Exemplo 1 – Resolução Convencional
4º Passo: Calcular o Saldo Final
Saldo Início - Amortização=1000 – 500 = 500
100 500
150
100
150
100
600 500
PV= 1000,00 i=10,0%a.m.
Saldo Final =
Juros + Amortização = Total (PMT) Sd Início - AMORT
1
2
3
4
5
n Saldo início
Pagamento/Parcela
1 000
Exemplo 1 – Resolução Convencional
5º Passo: Recomeçar o ciclo de contas pelos
Juros, PMT e Saldo Final do próximo período:
100 500
150
100
150
100
600 500
500 50 200 350
350 35 135 250
250 25 175 100
100 10 110 0
Sistema de Amortização Constante-SAC
• [...] No SAC, como o próprio nome diz, o
valor da amortização é constante, ou seja,
o mesmo para todos os períodos.
• Isso somente será possível se o saldo
devedor inicial for dividido pelo número de
períodos envolvidos no financiamento.
(GIMENES, 2012, p. 187)
Sistema de Amortização Constante-SAC
• Fórmula para calcular o valor da
Amortização:
A = Amortização
n = número de períodos
(GIMENES, 2012, p. 187)
Exemplo 2 – SAC
Um amigo lhe empresta R$1.000,00,
que devem ser pagos em 5 parcelas. O
sistema de amortização acertado foi o SAC.
Faça uma planilha, sabendo que a taxa
contratada foi de 10% ao mês.
(GIMENES, 2012, p. 187)
Exemplo 2 – Resolução SAC
1º Passo: Neste caso, preencher primeiro a
coluna amortização: 1000/5= 200
PV= 1000,00 i=10,0%a.m.
Saldo Final =
Juros + Amortização = Total (PMT) Sd Início - AMORT
1
2
3
4
5
n Saldo início
Pagamento/Parcela
1 000 200
200
200
200
200
Exemplo 2 – Resolução SAC
2º Passo: Calcular os juros do n=1
Saldo início . i = 1 000 . 0,10 = 100
PV= 1000,00 i=10,0%a.m.
Saldo Final =
Juros + Amortização = Total (PMT) Sd Início - AMORT
1
2
3
4
5
n Saldo início
Pagamento/Parcela
1 000 200
200
200
200
200
100
Exemplo 2 – Resolução SAC
3º Passo: Calcular o Total do PMT
Juros + Amortização = 100 + 200 = 300,00
PV= 1000,00 i=10,0%a.m.
Saldo Final =
Juros + Amortização = Total (PMT) Sd Início - AMORT
1
2
3
4
5
n Saldo início
Pagamento/Parcela
1 000 200
200
200
200
200
100 300
Exemplo 2 – Resolução SAC
4º Passo: Calcular o Saldo Final
Saldo Início - Amortização=1000 – 200 = 800
PV= 1000,00 i=10,0%a.m.
Saldo Final =
Juros + Amortização = Total (PMT) Sd Início - AMORT
1
2
3
4
5
n Saldo início
Pagamento/Parcela
1 000 200
200
200
200
200
100 300 800
Exemplo 2 – Resolução SAC
5º Passo: Recomeçar o ciclo de contas pelos
Juros, PMT e Saldo Final do próximo período:
PV= 1000,00 i=10,0%a.m.
Saldo Final =
Juros + Amortização = Total (PMT) Sd Início - AMORT
1
2
3
4
5
n Saldo início
Pagamento/Parcela
1 000 200
200
200
200
200
100 300 800
800 80 280 600
600 60 260 400
400 40 240 200
200 20 220 0
Sistema de Amortização Francês
(PRICE)
Continuando
Sistema de Amortização Francês
(PRICE)
• Esse sistema foi desenvolvido no século
XVI.
• Richard Price, 1771.
• Onde as prestações são constantes.
• O PMT é igual = Sequência de pagamentos
uniformes.
(GIMENES, 2012, p. 193)
Exemplo 4 – PRICE
Um amigo lhe empresta $1.000,00, que
devem ser pagos em 5 parcelas. O sistema de
amortização escolhido foi o Price. Monte a
planilha, sabendo que a taxa acertada foi de
10% ao mês.
(GIMENES, 2012, p. 194)
Exemplo 3 – Resolução PRICE
1º Passo: Calcular o valor do PMT (Fórmula)
PV = 1 000
n = 5 meses
i = 10,% a.m.
10/100 = 0,1
PMT = ?
(continua)
Exemplo 3 – Resolução PRICE
PMT=1000. 0,263797
PMT= 263,79
Exemplo 3 – Resolução PRICE
1º Passo: Calcular o valor do PMT (HP12C)
PMT
5 n
i10
= 263,79
PV1 000 CHS
g 8
END
f Clx
Exemplo 3 – Resolução PRICE
1º Passo: Neste caso preencher primeiro a
coluna PMT, conforme cálculo anterior:
PV= 1000,00 i=10,0%a.m.
Saldo Final =
Juros + Amortização = Total (PMT) Sd Início - AMORT
1
2
3
4
5
n Saldo início
Pagamento/Parcela
1 000 263,79
263,79
263,79
263,79
263,79
Exemplo 3 – Resolução PRICE
2º Passo: Calcular os juros do n=1
Saldo início . i = 1 000 . 0,10 = 100
PV= 1000,00 i=10,0%a.m.
Saldo Final =
Juros + Amortização = Total (PMT) Sd Início - AMORT
1
2
3
4
5
n Saldo início
Pagamento/Parcela
1 000 263,79
263,79
263,79
263,79
263,79
100
Exemplo 3 – Resolução PRICE
PV= 1000,00 i=10,0%a.m.
Saldo Final =
Juros + Amortização = Total (PMT) Sd Início - AMORT
1
2
3
4
5
n Saldo início
Pagamento/Parcela
1 000 263,79
263,79
263,79
263,79
263,79
100
Exemplo 3 – Resolução PRICE
PV= 1000,00 i=10,0%a.m.
Saldo Final =
Juros + Amortização = Total (PMT) Sd Início -AMORT
1
2
3
4
5
n Saldo início
Pagamento/Parcela
1 000 263,79
263,79
263,79
263,79
263,79
100 163,79
Exemplo 3 – Resolução PRICE
PV= 1000,00 i=10,0%a.m.
Saldo Final =
Juros + Amortização = Total (PMT) Sd Início - AMORT
1
2
3
4
5
n Saldo início
Pagamento/Parcela
1 000 263,79
263,79
263,79
263,79
263,79
100
4º Passo: Calcular o Saldo Final
Sd Início-Amort= 1000 – 163,79 = 836,21
163,79 836,21
Exemplo 3 – Resolução PRICE
PV= 1000,00 i=10,0%a.m.
Saldo Final =
Juros + Amortização = Total (PMT) Sd Início - AMORT
1
2
3
4
5
n Saldo início
Pagamento/Parcela
1 000 263,79
263,79
263,79
263,79
263,79
100
5º Passo: Recomeçar o ciclo de contas pelos
Juros, PMT e Saldo Final do próximo período:
163,79 836,21
836,21 83,62 180,17 656,04
656,04 65,60 198,19 457,85
457,85 45,79 218,01 239,84
239,84 23,98 239,81 0,03
Amortização de Empréstimos
Agora é a sua vez
Exercício 1
Você contraiu uma dívida de $25.000,00, que
deve ser quitada em 4 meses. Você terá de
amortizar R$5.000,00 no primeiro mês e $
8.000,00 no segundo. O saldo remanescente
deve ser amortizado em duas parcelas iguais.
Determine o valor de cada parcela (PMT) nos
4 meses (com taxa de 10% ao mês).
(GIMENES, 2006, p. 186)
Exercício 1 – Resolução
Saldo Final =
Juros + Amortização = Total (PMT) Sd Início - AMORT
1
2
3
4
n Saldo início
Pagamento/Parcela
Neste caso preencher primeiro a coluna
amortização, conforme enunciado:
25 000 5 0002 500 7 500 20 000
20 000 2 000 8 000 10 000 12 000
12 000 6 000
6 000
1 200 7 200 6 000
6 000 600 6 600 0
i = 10% a.m.
Exercício 2
Considere que você tomou emprestados
$10.000,00 e terá de pagar em 5 parcelas
pelo sistema SAC. Monte a planilha, sabendo
que a taxa de juros da operação foi de 3,0%
ao mês. (GIMENES, 2012, p. 193)
Exercício 2 – Resolução
Saldo Final =
Juros + Amortização = Total (PMT) Sd Início - AMORT
1
2
3
4
5
n Saldo início
Pagamento/Parcela
i = 3,0% a.m.
10 000 2 000
2 000
2 000
2 000
2 000
300 2 300 8 000
8 000 240 2 240 6 000
6 000 2 180 4 000
4 000 2 120 2 000
2 000 2 06060
120
180
0
Exercício 3 – SAC Carência
Um banco empresta o valor de R$3.000,00
com uma taxa de 5% ao mês para ser pago
em 3 pagamentos mensais com carência de 2
meses (contada a partir do final do 1 mês) e
os juros sendo pagos durante o período da
carência. Elabore a planilha do
financiamento pelo SAC.
Carência = Período sem amortização, 
mas há cobrança de juros.
Exercício 3 – Resolução
1º Passo: Efetuando o cálculo dos juros na
carência de 2 meses (i = 5% a.m.):
Saldo Final =
Juros + Amortização = Total (PMT) Sd Início - AMORT
1
2
3
4
5
n Saldo início
Pagamento/Parcela
3 000
Exercício 3 – Resolução
1º Passo: 3000 x 5,0 % = 150,00 = Juros
Saldo Final =
Juros + Amortização = Total (PMT) Sd Início - AMORT
1
2
3
4
5
n Saldo início
Pagamento/Parcela
1503 000
Exercício 3 – Resolução
2º Passo: Amortização = 0, devido à carência:
Saldo Final =
Juros + Amortização = Total (PMT) Sd Início - AMORT
1
2
3
4
5
n Saldo início
Pagamento/Parcela
03 000 150
Exercício 3 – Resolução
3º Passo: O valor do PMT = 150 + 0 = 150
Saldo Final =
Juros + Amortização = Total (PMT) Sd Início - AMORT
1
2
3
4
5
n Saldo início
Pagamento/Parcela
03 000 150 150
Exercício 3 – Resolução
4º Passo: Saldo Final= 3000 - 0 = 3000
Saldo Final =
Juros + Amortização = Total (PMT) Sd Início - AMORT
1
2
3
4
5
n Saldo início
Pagamento/Parcela
03 000 150 150 3 000
Exercício 3 – Resolução
5º Passo: Recomeçar o mesmo procedimento
para finalizar a carência de 2 meses:
Saldo Final =
Juros + Amortização = Total (PMT) Sd Início - AMORT
1
2
3
4
5
n Saldo início
Pagamento/Parcela
03 000 150 150 3 000
3 000 150 0 150 3 000
Exercício 3 – Resolução
6º Passo: Após o período de carências, iniciar
o procedimento do SAC: 3000 / 3 = 1000
Saldo Final =
Juros + Amortização = Total (PMT) Sd Início - AMORT
1
2
3
4
5
n Saldo início
Pagamento/Parcela
03 000 150 150 3 000
3 000 150 0 150 3 000
1 000
1 000
1 000
Exercício 3 – Resolução
7º Passo: Continuar os cálculos:
Saldo Final =
Juros + Amortização = Total (PMT) Sd Início - AMORT
1
2
3
4
5
n Saldo início
Pagamento/Parcela
03 000 150 150 3 000
3 000 150 0 150 3 000
1 000
1 000
1 000
3 000 150 1 150 2 000
2 000 100 1 100 1 000
1 000 50 1 050 0
Exercício 4
Um banco empresta o valor de
R$1.200,00 com uma taxa de 5% ao mês
para ser pago em 4 pagamentos mensais e
com o primeiro pagamento efetuado daqui a
30 dias (sem carência). Elabore a planilha do
financiamento pelo sistema Price ou Francês.
Exercício 4 – Resolução
Saldo Final =
Juros + Amortização = Total (PMT) Sd Início - AMORT
1
2
3
4
n Saldo início
Pagamento/Parcela
1 200 60 338,41
338,41
338,41
338,41
278,41 921,59
921,59 46,08 292,33 629,26
629,26 31,46 306,95 322,31
322,31 16,12 322,31 0,00
Amortização de Empréstimos
Finalizando
Amortização de Empréstimos
Vimos nesta etapa que:
Prestação = Amortização + Juros
Lucro do Banco, 
não é devolução 
do PV
Devolução do 
principal
Amortização de Empréstimos
• Sistema Amortização Convencional (Livre).
• Sistema Amortização Constante (SAC).
• Sistema Amortização Francês (PRICE).
Sistema de Amortização – Planilha
Saldo Final =
Juros + Amortização = Total (PMT) Sd Início - AMORT
1
2
3
4
n Saldo início
Pagamento/Parcela
• A HP12C também faz o sistema de
amortização = PRICE.
Sistema Price na HP12c
Um banco empresta o valor de
R$1.000,00, a uma taxa de 10% ao mês a ser
pago em 4 pagamentos mensais, com o
primeiro pagamento efetuado daqui a 30 dias
(sem carência). Elabore a planilha do
financiamento pelo sistema Price ou Francês.
PV = 1.000 i = 10 % a.m.
n = 4 meses PMT = ? Postecipada
Sistema Price na HP12c
= 315,47
Programando 
para Postecipada
f Clx
g 8
END
4 n
10 i
PMT
1 000 PVCHS
Sistema Price na HP12c
Saldo Final =
Juros + Amortização = Total (PMT) Sd Início - AMORT
1
2
3
4
n Saldo início
Pagamento/Parcela
f AMORT1 J1 = 100,00
Valor dos juros no 1º pagamento:
1 000 100 315,47
315,47
315,47
315,47
Sistema Price na HP12c
Valor da Amortização
x  y A1 = 215,47
Saldo Final =
Juros + Amortização = Total (PMT) Sd Início - AMORT
1
2
3
4
n Saldo início
Pagamento/Parcela
1 000 100 315,47
315,47
315,47
315,47
215,47
Saldo Final =
Juros + Amortização = Total (PMT) Sd Início - AMORT
1
2
3
4
n Saldo início
Pagamento/Parcela
1 000 100
Valor do Saldo Final no n=1
215,47
RCL PV sd1 = -784,53
315,47
315,47
315,47
315,47
784,53
Sistema Price na HP12c
Saldo Final =
Juros + Amortização = Total (PMT) Sd Início - AMORT
1
2
3
4
n Saldo início
Pagamento/Parcela
1 000 100 215,47 315,47
315,47
315,47
315,47
784,53
784,53
Começa tudo novamente:
f AMORT1 J1 = 78,45
78,45 237,02 547,51
547,51 54,75 260,72 286,79
286,79 28,68 286,79 0,00
x  y
RCL PV
Sistema Price na HP12c
Sistema Price na HP12c
Como fazer para saber o saldo devedor de um
financiamento? Em um plano Price de 60
meses, depois de 40 meses, o cliente ganhou
na Mega-Sena e quer saldar sua dívida.
Quanto ele deve, considerando que a dívida
inicial era de R$ 50.000,00, com taxa de
0,98% ao mês?
Sistema Price na HP12c
PMT
i
60 n
0,98
= 1.106,17
CHS50 000 PV
Saldo Final =
Juros + Amort= Total(PMT) Sd Início - AMORT
1
...
40
n Saldo início
Pagamento/Parcela
1.106,17
1.106,17
50.000
Sistema Price na HP12c
Eu quero a linha 40 ou n=40
f AMORT40 J40 = 14.248,36
x  y
RCL PV sd40 = -20.001,56
Saldo Final =
Juros + Amort= Total (PMT) Sd Início - AMORT
1
...
40
n Saldo início
Pagamento/Parcela
20.001,56
1.106,17
1.106,17
50.000
Vantagens e Desvantagens dos 
Sistemas de Amortização
• Quanto maior o prazo do financiamento,
maior será o valor dos juros.
• Portanto, é sempre mais interessante deixar
o menor prazo de financiamento possível.
• No sistema PRICE, pagam-se mais juros
que no SAC.
• Uma excelente alternativa é poupar e pagar
à vista.
Mais Exercícios
• É muito importante fazer mais exercícios.
• Sempre busque algo além das aulas.
• Treine até o momento que conseguir fazer
os exercícios sem precisar consultar o
material.
• Utilize o Livro-Texto e o Caderno de
Atividades.
Links de Emuladores da HP12C
1.Disponível em: 
<http://www.calculadorahp.com.br/>.
2.Disponível em: 
<http://www.epx.com.br/ctb/hp12c.php>.
3.Disponível 
em:<http://www.superdownloads.com.br/d
ownload/51/emulador-da-calculadora-
financeira-hp-12c/>.
Referências
GIMENES, Cristiano Marchi. Matemática
financeira com HP12C e Excel: uma
abordagem descomplicada. São Paulo:
Pearson Education, 2012. Pearson – PLT
(Programa do Livro-Texto)
Caderno de Atividades
ASSAF, N., A. Matemática Financeira e suas
aplicações. 11 ed. São Paulo: Atlas, 2009.

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