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Aula 7_Valor Atual e Taxa de Retorno_MTM 1003

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VALOR ATUAL E 
TAXA DE RETORNO
UNIVERSIDADE FEDERAL DE SANTA MARIA
DEPARTAMENTO MATEMÁTICA
MATEMÁTICA FINANCEIRA
Profa. Dra. Rita de Cássia Pistóia Mariani
Vamos admitir que uma pessoa fez um investimento,
caracterizado por desembolsos inicias (saídas). O investimento
feito produziu rendimentos (entradas de recursos) após um
tempo. Para exemplificar, suponhamos o fluxo de caixa seguinte:
Data
Em ($)
0 1 2 3 4
Entradas (1) - 5 25 25 40
Saídas (2) 30 20 5 - -
Saldo: (1)-(2) -30 -15 20 25 40
Admitindo-se uma taxa de juros, o
valor atual líquido pode ser
definido como a soma algébrica
dos saldos do fluxo de caixa
descontado àquela taxa, para a
data determinada.
Adotando a taxa de desconto de 8% a.a., por exemplo, podemos
calcular o valor atual líquido na data zero, do seguinte modo:
0 1 2 3 4
30 15 20 25 40
(1,08) (1,08) (1,08) (1,08) (1,08)TotalPV
− −
= + + + +
30 13,8889 17,1468 19,8458 29,4012 $22,5049TotalPV =− − + + + =
• Vamos admitir que 8% a.a. seja a taxa de aplicação vigente
no mercado, ou o custo de oportunidade. Pode-se dizer
então, neste caso em que o valor atual líquido é positivo
que o investimento deve ser aceito porque sobre o custo de
aplicação.
• Se o valor atual líquido fosse menor que zero, então o
investimento deveria ser rejeitado, porque os ganhos não
cobrem a taxa de aplicação no mercado, ou seja a taxa de
desconto adotada.
• A taxa de retorno é que que torna o valor atual do
investimento nulo.
$22,50TotalPV =
0 1 2 3 4
30 15 20 25 40
(1,09) (1,09) (1,09) (1,09) (1,09)TotalPV
− −
= + + + +
30 13,7615 16,8336 19,3046 28,3370 $20,7137TotalPV =− − + + + =
30 12,5 13,8889 14,4676 19,2901 $5,1466TotalPV =− − + + + =
0 1 2 3 4
30 15 20 25 40
(1,2) (1,2) (1,2) (1, 2) (1, 2)TotalPV
− −
= + + + +
0 1 2 3 4
30 15 20 25 40
(1,25) (1,25) (1, 25) (1, 25) (1, 25)TotalPV
− −
= + + + +
30 12 12,8 12,8 16,384 $ 0,016TotalPV =− − + + + = −
0 1 2 3 4
30 15 20 25 40
(1,25) (1,25) (1,25) (1,25) (1,25)TotalPV
− −
= + + + +
30 12 12,8 12,8 16,384 $ 0,016TotalPV =− − + + + = −
INTERPOLAÇÃO LINEAR
TAXA VALOR ATUAL ($)
20 5,1466
i 0
25 -0,016
0 1 2 3 4
30 15 20 25 40
(1,2) (1,2) (1,2) (1, 2) (1,2)TotalPV
− −
= + + + +
30 12,5 13,8889 14,4676 19,29012 $5,1466TotalPV =− − + + + =
20 25 5,1466 ( 0,016)
20 5,1466 0i
− − −
=
− −
5 5,1626
20 5,1466i
−
=
−
INTERPOLAÇÃO 
LINEAR
5 1,003108849
20 i
−
=
−
24,9845i =
Taxa de 
retorno 
aproximada
TAXA VALOR ATUAL ($)
20 5,1466
i 0
25 -0,016
0 1 2 3 4
30 15 20 25 40
(1,249845) (1,249845) (1,249845) (1,249845) (1,249845)TotalPV
− −
= + + + +
30 12,0015 12,8032 12,8048 16,3921 $ 0,0001TotalPV =− − + + + = −
FAZENDO O TESTE COM A TAXA DE 
RETORNO APROXIMADA
(i= 24,9845)
ATIVIDADE 1
1) Uma pessoa tem duas opções para investir seu capital, com
os seguintes fluxos de caixa:
$
Alternativa
Período (mês)
A B
0 -100 -1.000,00
1 50 -
2 50 -
3 50 -
4 1050 1.215,51
Considerando que a taxa de juros vigente no mercado é de 5 ao
mês, qual é a melhor opção? Usar o critério do valor atual e da
taxa de retorno.
$
Alternativa
Período (mês)
A B
0 -100 -1.000,00
1 50 -
2 50 -
3 50 -
4 1050 1.215,51
0 1 2 3 4
1000 50 50 50 1050
(1,05) (1,05) (1,05) (1,05) (1,05)AlternativaAPV
−
= + + + +
1000 47,6190 45,3515 43,1919 863,8376AlternativaAPV =− + + + +
$0,000AlternativaAPV =
Como o valor atual é nulo à taxa de 5% ao mês, então esta é
também a taxa de retorno da Alternativa A.
$
Alternativa
Período (mês)
A B
0 -100 -1.000,00
1 50 -
2 50 -
3 50 -
4 1050 1.215,51
0 4
1000,00 1215,51
(1,05) (1,05)AlternativaBPV
−
= +
1000,00 1000,00AlternativaBPV =− +
$0,000AlternativaBPV =
Como o valor atual é nulo à taxa de 5% ao mês, então esta é a
taxa de retorno da Alternativa B.
SOLUÇÃO ATIVIDADE 1
1) Uma pessoa tem duas opções para investir seu capital, com
os seguintes fluxos de caixa:
$
Alternativa
Período (mês)
A B
0 -100 -1.000,00
1 50 -
2 50 -
3 50 -
4 1050 1.215,51
Considerando que a taxa de juros vigente no mercado é de 5 ao
mês, qual é a melhor opção? Usar o critério do valor atual e da
taxa de retorno.
A PESSOA FICA INDIFERENTE ENTRE AS DUAS
APLICAÇÕES, QUANDO A TAXA DE DESCONTO É DE 5% A.M.
ATIVIDADE 2
2) Uma empresa tem duas opções de investimento para aplicar
seus recursos. Os fluxos de caixa para cada opção são os
seguintes: $
Opção
Período (mês)
I II
0 -20 -30
1 5 10
2 15 30
3 25 15
2-a)Calcular qual a melhor opção de investimento, utilizando o
critério do valor atual para as taxas de 10% a.a., 15%a.a. e
20%a.a.
2-b)Calcular qual a melhor opção de investimento, utilizando o
critério da taxa interna de retorno .
$
Opção
Período (mês)
I
0 -20
1 5
2 15
3 25
2-a) ALTERNATIVA I
Calcular qual a melhor opção de investimento, utilizando o
critério do valor atual para as taxas de 10% a.a., 15%a.a. e
20%a.a.
0 1 2 3
20 5 15 25 $15,73(1,1) (1,1) (1,1) (1,1)IPV
−
= + + + =
0 1 2 3
20 5 15 25 $9,05(1,2) (1,2) (1,2) (1,2)IPV
−
= + + + =
0 1 2 3
20 5 15 25 $12,13(1,15) (1,15) (1,15) (1,15)IPV
−
= + + + =
$
Opção
Período (mês)
II
0 -30
1 10
2 30
3 15
2-a) ALTERNATIVA II
Calcular qual a melhor opção de investimento, utilizando o
critério do valor atual para as taxas de 10% a.a., 15%a.a. e
20%a.a.
0 1 2 3
30 10 30 15 $15,15(1,1) (1,1) (1,1) (1,1)IPV
−
= + + + =
0 1 2 3
30 10 30 15 $7,85(1,2) (1,2) (1,2) (1,2)IPV
−
= + + + =
0 1 2 3
30 10 30 15 $11,24(1,15) (1,15) (1,15) (1,15)IPV
−
= + + + =
TAXA
VALOR ATUAL ($)
ALTERNATIVA I
VALOR ATUAL ($)
ALTERNATIVA II
10% 15,73 15,15
15% 12,13 11,24
20% 9,05 7,85
2-a) COMPARANDO AS DUAS ALTERNATIVAS
Calcular qual a melhor opção de investimento, utilizando o
critério do valor atual para as taxas de 10% a.a., 15%a.a. e
20%a.a.
Pelo critério do valor atual a Alternativa I tem o maior valor
atual para todas as taxas testadas.
2-b) ALTERNATIVA I
Calcular qual a melhor opção de investimento, utilizando o
critério da taxa interna de retorno .
$
Opção
Período (mês)
I
0 -20
1 5
2 15
3 25
TAXA VALOR ATUAL ($)
40 0,335277
i 0
50 -2,592593
40 50 0,335277 ( 2,592593)
40 0,335277 0i
− − −
=
− −
41,145123% . .i a a=
2-b) ALTERNATIVA II
Calcular qual a melhor opção de investimento, utilizando o
critério da taxa interna de retorno .
TAXA VALOR ATUAL ($)
30 2,271279
i 0
40 -2,084548
30 40 2,271279 ( 2,084548)
30 2,271279 0i
− − −
=
− −
35, 214346% . .i a a=
$
Opção
Período (mês)
II
0 -30
1 10
2 30
3 15
2-b) COMPARANDO AS DUAS ALTERNATIVAS
Calcular qual a melhor opção de investimento, utilizando o
critério da taxa interna de retorno .
TAXA DE RETORNO
ALTERNATIVA I ALTERNATIVA II
41,145123 35,214346
Pelo critério da taxa de retorno a Alternativa I é a melhor, pois
tem a maior taxa.

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