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VALOR ATUAL E TAXA DE RETORNO UNIVERSIDADE FEDERAL DE SANTA MARIA DEPARTAMENTO MATEMÁTICA MATEMÁTICA FINANCEIRA Profa. Dra. Rita de Cássia Pistóia Mariani Vamos admitir que uma pessoa fez um investimento, caracterizado por desembolsos inicias (saídas). O investimento feito produziu rendimentos (entradas de recursos) após um tempo. Para exemplificar, suponhamos o fluxo de caixa seguinte: Data Em ($) 0 1 2 3 4 Entradas (1) - 5 25 25 40 Saídas (2) 30 20 5 - - Saldo: (1)-(2) -30 -15 20 25 40 Admitindo-se uma taxa de juros, o valor atual líquido pode ser definido como a soma algébrica dos saldos do fluxo de caixa descontado àquela taxa, para a data determinada. Adotando a taxa de desconto de 8% a.a., por exemplo, podemos calcular o valor atual líquido na data zero, do seguinte modo: 0 1 2 3 4 30 15 20 25 40 (1,08) (1,08) (1,08) (1,08) (1,08)TotalPV − − = + + + + 30 13,8889 17,1468 19,8458 29,4012 $22,5049TotalPV =− − + + + = • Vamos admitir que 8% a.a. seja a taxa de aplicação vigente no mercado, ou o custo de oportunidade. Pode-se dizer então, neste caso em que o valor atual líquido é positivo que o investimento deve ser aceito porque sobre o custo de aplicação. • Se o valor atual líquido fosse menor que zero, então o investimento deveria ser rejeitado, porque os ganhos não cobrem a taxa de aplicação no mercado, ou seja a taxa de desconto adotada. • A taxa de retorno é que que torna o valor atual do investimento nulo. $22,50TotalPV = 0 1 2 3 4 30 15 20 25 40 (1,09) (1,09) (1,09) (1,09) (1,09)TotalPV − − = + + + + 30 13,7615 16,8336 19,3046 28,3370 $20,7137TotalPV =− − + + + = 30 12,5 13,8889 14,4676 19,2901 $5,1466TotalPV =− − + + + = 0 1 2 3 4 30 15 20 25 40 (1,2) (1,2) (1,2) (1, 2) (1, 2)TotalPV − − = + + + + 0 1 2 3 4 30 15 20 25 40 (1,25) (1,25) (1, 25) (1, 25) (1, 25)TotalPV − − = + + + + 30 12 12,8 12,8 16,384 $ 0,016TotalPV =− − + + + = − 0 1 2 3 4 30 15 20 25 40 (1,25) (1,25) (1,25) (1,25) (1,25)TotalPV − − = + + + + 30 12 12,8 12,8 16,384 $ 0,016TotalPV =− − + + + = − INTERPOLAÇÃO LINEAR TAXA VALOR ATUAL ($) 20 5,1466 i 0 25 -0,016 0 1 2 3 4 30 15 20 25 40 (1,2) (1,2) (1,2) (1, 2) (1,2)TotalPV − − = + + + + 30 12,5 13,8889 14,4676 19,29012 $5,1466TotalPV =− − + + + = 20 25 5,1466 ( 0,016) 20 5,1466 0i − − − = − − 5 5,1626 20 5,1466i − = − INTERPOLAÇÃO LINEAR 5 1,003108849 20 i − = − 24,9845i = Taxa de retorno aproximada TAXA VALOR ATUAL ($) 20 5,1466 i 0 25 -0,016 0 1 2 3 4 30 15 20 25 40 (1,249845) (1,249845) (1,249845) (1,249845) (1,249845)TotalPV − − = + + + + 30 12,0015 12,8032 12,8048 16,3921 $ 0,0001TotalPV =− − + + + = − FAZENDO O TESTE COM A TAXA DE RETORNO APROXIMADA (i= 24,9845) ATIVIDADE 1 1) Uma pessoa tem duas opções para investir seu capital, com os seguintes fluxos de caixa: $ Alternativa Período (mês) A B 0 -100 -1.000,00 1 50 - 2 50 - 3 50 - 4 1050 1.215,51 Considerando que a taxa de juros vigente no mercado é de 5 ao mês, qual é a melhor opção? Usar o critério do valor atual e da taxa de retorno. $ Alternativa Período (mês) A B 0 -100 -1.000,00 1 50 - 2 50 - 3 50 - 4 1050 1.215,51 0 1 2 3 4 1000 50 50 50 1050 (1,05) (1,05) (1,05) (1,05) (1,05)AlternativaAPV − = + + + + 1000 47,6190 45,3515 43,1919 863,8376AlternativaAPV =− + + + + $0,000AlternativaAPV = Como o valor atual é nulo à taxa de 5% ao mês, então esta é também a taxa de retorno da Alternativa A. $ Alternativa Período (mês) A B 0 -100 -1.000,00 1 50 - 2 50 - 3 50 - 4 1050 1.215,51 0 4 1000,00 1215,51 (1,05) (1,05)AlternativaBPV − = + 1000,00 1000,00AlternativaBPV =− + $0,000AlternativaBPV = Como o valor atual é nulo à taxa de 5% ao mês, então esta é a taxa de retorno da Alternativa B. SOLUÇÃO ATIVIDADE 1 1) Uma pessoa tem duas opções para investir seu capital, com os seguintes fluxos de caixa: $ Alternativa Período (mês) A B 0 -100 -1.000,00 1 50 - 2 50 - 3 50 - 4 1050 1.215,51 Considerando que a taxa de juros vigente no mercado é de 5 ao mês, qual é a melhor opção? Usar o critério do valor atual e da taxa de retorno. A PESSOA FICA INDIFERENTE ENTRE AS DUAS APLICAÇÕES, QUANDO A TAXA DE DESCONTO É DE 5% A.M. ATIVIDADE 2 2) Uma empresa tem duas opções de investimento para aplicar seus recursos. Os fluxos de caixa para cada opção são os seguintes: $ Opção Período (mês) I II 0 -20 -30 1 5 10 2 15 30 3 25 15 2-a)Calcular qual a melhor opção de investimento, utilizando o critério do valor atual para as taxas de 10% a.a., 15%a.a. e 20%a.a. 2-b)Calcular qual a melhor opção de investimento, utilizando o critério da taxa interna de retorno . $ Opção Período (mês) I 0 -20 1 5 2 15 3 25 2-a) ALTERNATIVA I Calcular qual a melhor opção de investimento, utilizando o critério do valor atual para as taxas de 10% a.a., 15%a.a. e 20%a.a. 0 1 2 3 20 5 15 25 $15,73(1,1) (1,1) (1,1) (1,1)IPV − = + + + = 0 1 2 3 20 5 15 25 $9,05(1,2) (1,2) (1,2) (1,2)IPV − = + + + = 0 1 2 3 20 5 15 25 $12,13(1,15) (1,15) (1,15) (1,15)IPV − = + + + = $ Opção Período (mês) II 0 -30 1 10 2 30 3 15 2-a) ALTERNATIVA II Calcular qual a melhor opção de investimento, utilizando o critério do valor atual para as taxas de 10% a.a., 15%a.a. e 20%a.a. 0 1 2 3 30 10 30 15 $15,15(1,1) (1,1) (1,1) (1,1)IPV − = + + + = 0 1 2 3 30 10 30 15 $7,85(1,2) (1,2) (1,2) (1,2)IPV − = + + + = 0 1 2 3 30 10 30 15 $11,24(1,15) (1,15) (1,15) (1,15)IPV − = + + + = TAXA VALOR ATUAL ($) ALTERNATIVA I VALOR ATUAL ($) ALTERNATIVA II 10% 15,73 15,15 15% 12,13 11,24 20% 9,05 7,85 2-a) COMPARANDO AS DUAS ALTERNATIVAS Calcular qual a melhor opção de investimento, utilizando o critério do valor atual para as taxas de 10% a.a., 15%a.a. e 20%a.a. Pelo critério do valor atual a Alternativa I tem o maior valor atual para todas as taxas testadas. 2-b) ALTERNATIVA I Calcular qual a melhor opção de investimento, utilizando o critério da taxa interna de retorno . $ Opção Período (mês) I 0 -20 1 5 2 15 3 25 TAXA VALOR ATUAL ($) 40 0,335277 i 0 50 -2,592593 40 50 0,335277 ( 2,592593) 40 0,335277 0i − − − = − − 41,145123% . .i a a= 2-b) ALTERNATIVA II Calcular qual a melhor opção de investimento, utilizando o critério da taxa interna de retorno . TAXA VALOR ATUAL ($) 30 2,271279 i 0 40 -2,084548 30 40 2,271279 ( 2,084548) 30 2,271279 0i − − − = − − 35, 214346% . .i a a= $ Opção Período (mês) II 0 -30 1 10 2 30 3 15 2-b) COMPARANDO AS DUAS ALTERNATIVAS Calcular qual a melhor opção de investimento, utilizando o critério da taxa interna de retorno . TAXA DE RETORNO ALTERNATIVA I ALTERNATIVA II 41,145123 35,214346 Pelo critério da taxa de retorno a Alternativa I é a melhor, pois tem a maior taxa.
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