Geometria das Massas

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28
CARACTERÍSTICAS GEOMETRICAS DE SUPERFICIES PLANAS 
 
1 –CENTRÓIDES E BARICENTROS 
 
1.1 – Introdução 
Freqüentemente consideramos a força peso dos corpos como cargas concentradas 
atuando num único ponto, quando na realidade o que se passa é que o peso é uma força 
distribuída, isto é, cada pequena porção de matéria tem o seu próprio peso. Esta 
simplificação pode ser feita se aplicarmos a força concentrada num ponto especial 
denominado Baricentro. Este ponto deve ter uma distribuição de matéria homogênea em 
torno de si. Terá importância também a determinação de um ponto de uma superfície e não 
somente de um corpo tridimensional que terá uma distribuição homogênea de área em torno 
de si. A este ponto especial chamaremos de Centróide (ou Centro de Gravidade – CG). 
Demonstra-se que as coordenadas deste ponto serão obtidas, no caso geral, 
tomando-se um elemento de área dA e partindo do centróide deste elemento (xel; yel) 
fazemos a integração em toda a área A. 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
x 
y 
xel 
yel 
x 
y 
 
29
 
As coordenadas deste ponto serão: 
∫
∫ ⋅=
dA
dAx
x el
__
 
∫
∫ ⋅=
dA
dAy
y el
__
 
 A integral ∫ dAx é conhecida como Momento Estático de 1a Ordem ou Momento 
Estático de Área em relação ao eixo y. Analogamente, a integral ∫ dAy define o Momento 
Estático de 1a Ordem ou Momento Estático de Área em relação ao eixo x. 
 
1.2 – Determinação do Centróide 
 
a – Por Integração 
 Escolha do elemento de área – pode-se escolher qualquer elemento de área para o 
cálculo do CG. A resolução da maior parte dos problemas será possível com elemento de 
área em forma de uma faixa retangular ou um setor circular. Ex.: 
Retângulo 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
x 
y 
xel 
b 
h 
dx 
 
30
∫
∫ ⋅=
dA
dAx
x el
__
 xel = x e dA = y ⋅ dx 
2
b
x 
b
1
2
b
xh
2
x
h
dxh
dxhx
 
dxy
dxyx
x
__2
b
0
b
0
2
b
0
b
0
b
0
b
0
__
=→⋅=
⋅
⋅
=
⋅
⋅⋅
=
⋅
⋅⋅
=
∫
∫
∫
∫
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
∫
∫ ⋅=
dA
dAy
y el
__
 yel = y e dA = x ⋅ dy 
2
h
y 
h
1
2
h
yb
2
y
b
dyb
dyby
 
dyx
dyxy
y
__2
h
0
h
0
2
h
0
h
0
h
0
h
0
__
=→⋅=
⋅
⋅
=
⋅
⋅⋅
=
⋅
⋅⋅
=
∫
∫
∫
∫
 
 
Portanto, para o retângulo temos: 
x 
y 
yel 
b 
h 
dy 
 
31
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 A partir destes resultados, toda vez que utilizarmos um elemento de área em forma 
de faixa retangular colocaremos: 
2
b
xel = e 2
b
xel = 
 
b – Por Composição de Figuras 
 Muitas figuras são resultantes de soma ou diferença de outras figuras conhecidas e 
para estas há um segundo método para se determinar o CG. Ex.: 
 
 
 
 
 
 
 
x 
y 
b 
h 
h/2 
h/2 
b/2 b/2 
CG 
100mm 
60mm 
120mm 
x 
y 
 
32
 Notamos que a figura resultante pode ser obtida pela soma de um retângulo com um 
triângulo ou pela diferença de um outro retângulo e um triângulo. Faremos a opção pela 
soma. 
 Observamos que o CG de cada figura (retângulo e triângulo) já são conhecidos, pois 
foram obtidos por integração. Contudo, Estas coordenadas devem ser tomadas em relação à 
origem do sistema dado. 
 Como trata-se de soma de figuras conhecidas, as integrais dA xel∫ , dA yel∫ e 
∫dA se tornam Ax
__
∑ , Ay
__
∑ e ∑A . 
Figura 
__
x 
__
y A Ax
__
 Ay
__
 
Retângulo 60 110 12000 720000 1320000 
Triângulo 40 40 3600 144000 144000 
∑ 15600 864000 1464000 
 
55,38mm
15600
864000
A
Ax
x
__
__
===
∑
∑ 93,85mm
15600
1464000
A
Ay
y
__
__
===
∑
∑ 
 
1.3 – Aplicações do Cálculo do CG 
 Teoremas de Pappus-Guldinus: para a aplicação dos teoremas torna-se necessário 
definirmos: 
 Superfície de revolução: é uma superfície que pode ser gerada pela rotação de uma 
curva plana em torno de um eixo dado. 
 
 
 
 
 
 Corpo de revolução: é um corpo que pode ser gerado pela rotação de uma área 
plana em torno de um eixo fixo. 
 
Curva plana (reta) Superfície de revolução – casca do cone 
 
33
 
 
 
 
 
 
 
 Teorema I: a área de uma superfície de revolução é igual ao comprimento da curva 
geratriz, multiplicada pela distância percorrida pelo centróide da curva durante a geração da 
superfície. 
 Teorema II: o volume de um corpo de revolução é igual à área geratriz, multiplicada 
pela distância percorrida pelo centróide da área durante a geração do corpo. 
 
1.4 – Centróide de um Corpo Tridimensional 
 Analogamente ao que foi feito para áreas planas, a determinação do Centróide de 
um Corpo Tridimensional pode ser obtida pelas expressões: 
 
∫
∫ ⋅=
dV
dVx
x
__
 
∫
∫ ⋅=
dV
dVy
y
__
 e 
∫
∫ ⋅=
dV
dVz
z
__
 
 
 Para corpos homogêneos, isto é, os que possuem peso específico constante, o 
Centróide coincide com o Baricentro. Relembremos que Centróide é um ponto com 
distribuição de volume homogênea em torno de si (do ponto de vista geométrico) e 
Baricentro é um ponto com distribuição homogênea de massa em torno de si (ponto onde 
deve situar a força peso, que sozinha substitui o peso distribuído de cada porção de 
matéria). 
 A integral ∫ ⋅ dVx é conhecida como Momento Estático ou Momento de Primeira 
Ordem de Volume em relação ao plano yz. Analogamente, ∫ ⋅ dVy com em relação a xz 
e ∫ ⋅ dVz em relação a xy. 
Área plana (triângulo) Corpo (cone) 
 
34
 No cálculo de centróide de áreas pudemos observar que figuras com eixo de 
simetria possuíam o CG sobre este eixo. O mesmo se aplica para o CG de corpos 
tridimensionais. Desta forma é imediato o CG de esferas, elipsóides, cubos, 
paralelepípedos, etc. 
 Semelhante ao que foi feito para as áreas, há dois métodos para determinar o CG de 
volumes: por Integração e Composição de Corpos. 
 
 
 
 
35
 
 Lista de Exercícios 
 
1. Determinar, por integração direta, o CG das áreas abaixo: 
 
a) Triângulo 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
b) Parábola do 2o grau 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
x 
y 
xel 
b 
h 
dx 
y 
yel 
x 
(x;y) 
y = f(x) = k⋅x 
CG 
x 
y 
xel 
b 
h 
dx y yel 
x 
(x;y) y = f(x) = k⋅x2 
CG 
 
36
2. Determinar, por composição de figuras, o CG das áreas abaixo: 
 
a) 
 
 
 
 
 
 
 
b) 
 
 
 
 
 
 
 
c) 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
120mm 
100mm 
60mm 
x 
y 
100mm 
75mm 
12,50mm 
12,50mm 
x 
y 
200mm 
300mm r = 100mm 
x 
y 
 
37
 
d) 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
e) 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
f) 
 
 
 
 
 
 
 
r1 = 50mm 
r2 = 75mm 
x 
y 
200mm 
150mm 
75mm 
25mm 
25mm 
25mm 37,5mm 
37,5mm 
37,5mm 
x 
y 
50mm 
r2 = 100mm r1 = 75mm 
α α x 
y 
 
38
g) 
 
 
 
 
 
 
 
 
3. Um cone e um cilindro de mesmo raio a e altura h estão unidos como ilustrado abaixo. 
Determine a posição do centróide do corpo.r1 = 250mm 
r2 = 200mm 100mm 
x 
y 
h 
h 
a 
 
39
2. Momento de Inércia de Figuras Planas 
No desenvolvimento da expressão da tensão Normal no estudo da flexão, surgem as 
integrais dSy2 ⋅∫ e dSz
2 ⋅∫ chamadas de Momento Estático de 2a ordem ou 
Momento de Inércia. Estudaremos o desenvolvimento e expressões finais dessas integrais 
para as figuras mais comuns. 
 Momento de Inércia é uma grandeza que mede a resistência que uma determinada 
área oferece quando solicitada ao giro em torno de um determinado eixo. Normalmente 
representamos pelas letras I e J. Assim a resistência que a Figura 1 oferece ao giro em torno 
do eixo z é representada por dSyJ 2z ⋅= ∫ e em torno do eixo y é representada por 
dSzJ 2y ⋅= ∫ , onde dS é um elemento de área da Figura 5.1, z é a distância do elemento 
de área ao eixo y e y é a distância do elemento de área ao eixo z. 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 Da mesma maneira que fizemos para os Momentos Estáticos de 1a ordem (cálculos 
de Centro de Gravidade), desenvolveremos as integrais para as figuras comuns, retângulo, 
triângulo, parábola e círculo. A escolha do elemento de área adequado facilita a resolução 
das integrais. Deve-se utilizar um elemento de área que eqüidiste do eixo em torno do qual 
se calcula o Momento de Inércia. 
 
 
 
 
z 
y 
z 
y 
O 
dS 
S 
 
40
 
• Retângulo 
 
3
bh
J
3
z
hdzhzdSzJ
3
y
b
0
3b
0
22
y
⋅
=⇒⋅=⋅⋅=⋅= ∫ ∫ 
 
 
 
 
 
 
 
3
hb
J
3
y
bdybydSyJ
3
z
h
0
3h
0
22
z
⋅
=⇒⋅=⋅⋅=⋅= ∫ ∫ 
 
 
 
 
 
• Triângulo 
 
 
 
 
 
 
 
 
z 
y 
z 
b 
h 
dz 
dS = h⋅dz 
z 
y 
y 
b 
h 
dy 
dS = b⋅dy 
( )
h
y-h
z 
b
z
b
h
hy
⋅
=→⋅−= 
b 
h 
dy 
y 
y 
z 
dS = z⋅dy 
( )
h
y-h
z 
b
z
b
h
hy
⋅
=→⋅−= 
b 
h 
y 
dz 
z 
dS = y⋅dz 
z 
 
41
( )
12
hb
J 
4h
yb
3
yb
dy
h
yhb
ydSyJ
3
z
h
0
43h
0
22
z
⋅
=⇒




 ⋅
−
⋅
=⋅
−
⋅=⋅= ∫∫ 
12
bh
J 
4b
zh
3
zh
dzz
b
h
hzdSzJ
3
y
b
0
43b
0
22
y
⋅
=⇒




 ⋅
−
⋅
=⋅




 −⋅=⋅= ∫∫ 
2.1. Teorema dos Eixos Paralelos 
 Freqüentemente necessitamos do momento de inércia de uma área em relação a um 
eixo qualquer (este eixo será qualquer para a figura em si, mas especial para a seção da qual 
a referida figura faz parte). para evitar o cálculo constante de integrais, desenvolveremos 
uma expressão para o cálculo do momento de inércia em relação a este eixo qualquer a 
partir do valor do momento de inércia em relação a outro eixo, já conhecido. 
 
 
 
 
 
 
 
 
( ) dSd'ydSyJ 22AA ⋅+=⋅= ∫ ∫ 
∫∫ ∫ ⋅+⋅⋅+⋅= dSddS'yd2dS'yJ
22
AA 
 A integral ∫ ⋅dS'y
2 já é conhecida. Como o eixo BB é o horizontal que contém o 
CG, esta integral é chamada Jz. 
 A integral ∫ ⋅dS'y é igual a zero pois refere-se ao CG. 
 A integral ∫dS resulta a área S. 
Portanto: 
SdJJ 2BBAA ⋅+= 
CG 
A A 
B B 
dS 
d 
y ' 
y 
 
42
Sendo d a distância de eixo a eixo. 
 Para eixos horizontais teremos: 
 
SdJJ 2zz CG ⋅+= 
 
SdJJ 2yy CG ⋅+= 
 
• Retângulo 
 
 
 
 
12
 
43
hb
 
323
2 hbJhb
h
JSdJJ
CGCGCG zzzz
⋅
=⇒⋅⋅+=
⋅
→⋅+=
 
 
 
 
12
 
43
 
323
2 bhJhb
b
J
bh
SdJJ
CGCGCG yzyy
⋅
=⇒⋅⋅+=
⋅
→⋅+=
 
 
• Tritângulo 
 
 
 
 
 
 
h 
b/2 b/2 
b 
CG 
z 
y 
h 
h/2 
h/2 
b 
CG 
z 
y 
h 
b 
h/3 
2h/3 
CG 
z 
y 
 
43
36
 
2912
hb
 
323
2 hbJ
hbh
JSdJJ
CGCGCG zzzz
⋅
=⇒
⋅
⋅+=
⋅
→⋅+= 
 
 
 
 
 
 
 
 
36
 
2912
 
323
2 bhJ
hbb
J
bh
SdJJ
CGCGCG yzyy
⋅
=⇒
⋅
⋅+=
⋅
→⋅+= 
 
3. Momento Polar de Inércia 
 No estudo da torção em peças cilíndricas terá grande importância a integral 
∫ ⋅dSr
2
, que é chamada de Momento Polar de Inércia. É utilizada quando houver 
solicitação em torno de um eixo (na seção estudada teremos um ponto = Pólo). 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
Temos que: 
( ) dSyzdSr JJ 222p0 ⋅+=⋅== ∫∫ 
dSydSz JJ 22p0 ⋅+⋅== ∫∫ 
h 
b 
b/3 2b/3 
CG 
z 
y 
dS 
y 
y 
z 
z 
r 
 
44
yzp0 JJ JJ +== 
 
 A terceira figura importante para a qual precisamos dos valores dos Momentos de 
Inércia é o Círculo. A dedução mais simples é a de J0. 
 
 dSu JJ 2p0 ⋅== ∫ 
 duu2πdS ⋅⋅= 
 duu2πuJ
r
0
2
0 ⋅⋅⋅= ∫ 
 duu2πJ
r
0
3
0 ⋅⋅= ∫ 
 
2
r π
JJ
4
p0 == 
 Em função da simetria, podemos concluir que para o círculo os valores de Jz e Jy são 
iguais. Como o ponto O é o encontro dos eixos z e y, teremos: 
 
yz0 JJJ += 
Jz2JJ
2
rπ
yz
4
⋅=+=
⋅
 (pois Jz = Jy) 
 
Portanto, para o círculo teremos: 
 
4
r π
J
4
z = 4
r π
J
4
y = 2
r π
JJ
4
p0 == 
 
 Ou, escrevendo em função do diâmetro: 
 
r 
u 
du 
z 
y 
 
45
64
d π
J
4
z = 64
d π
J
4
y = 32
d π
JJ
4
p0 == 
Figuras Circulares 
 
 
 
222 ryz =+ 
 θsen ry ⋅= 
 θ cosrz ⋅= 
 dyz2dS ⋅⋅= 
 dθθ cosrdy ⋅⋅= 
 
dyz2y dSy J 22z ⋅⋅⋅=⋅= ∫∫ 
∫ ⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅= dθθ cosrθ cosr2θsenr J
22
z 
dθθcos θsen r2 J 2
--
--
24
z ⋅⋅⋅⋅= ∫ ⇒ dθθcos θsen r2 J
2
--
--
24
z ⋅⋅⋅⋅= ∫ 
−−
−−



 −⋅⋅=
32
sen4θ
8
θ
 r2 J 4z 
 Para descrever o círculo θ deve variar de 
2
π
− a 
2
π
+ . 











−−⋅⋅=
16
π
16
π
 r2 J 4z ⇒ 4
r π
J
4
z = 
 Para o semi-círculo θ deve variar de θ a 
2
π
+ . Então 
8
r π
J
4
z = 
r 
z 
y 
dS (z ; y) 
θ 
 
46
 Para o quarto de círculo θ deve variar de 0 a 
2
π
+ e o elemento de área deve 
ser dyzdS ⋅= . Então 
16
r π
J
4
z = 
 
 Resumindo teremos: 
 
 
 
64
d π
4
r π
JJ
44
yz === 
 
 
 
 
128
d π
8
r π
JJ
44
yz === 
 
 
 
256
d π
16
r π
JJ
44
yz === 
3.1. Teorema dos Eixos Paralelos 
 
• Círculo: os valores obtidos já são em relação aos eixos que passam pelo Centro de 
Gravidade. 
 
• Semi-Círculo: 
SdJJ 2
CGzz
⋅+= 
2
r π
 π3
r4
J
8
r π 22
CGz
4
⋅




 ⋅+= 
z 
y 
z 
y 
z 
y 
 
47
44
CGz
r0,1097569
 π9
8
8
π
rJ ⋅=




 −= 
 
• Quarto de Círculo: 
SdJJ 2
CGzz
⋅+= 
4
r π
 π3
r4
J
16
r π 22
CGz
4
⋅




 ⋅+= 
44
CGz
r0,0548784
 π9
4
16
π
rJ ⋅=




 −= 
 
4. Produto de Inércia 
 É definido com a integral ∫ ⋅⋅ dSyz obtida multiplicando-se cada elemento de 
área dS de uma área S por suas coordenadas z e y em relação aos eixos coordenados z e y e 
integrando sobre a área. 
 Ao contrário dos Momentos de Inércia Jz e Jy, o Produto de Inércia pode ser 
positivo, negativo ou nulo e não tem significado físico. Será útil mais tarde para a 
determinação dos próprios Momentos de Inércia. É indicado pela abreviação Jzy. 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 Calculando ∫ ⋅⋅= dSyzJzy para as figuras mais comuns temos: 
 
z 
dS 
y 
yz 
S 
 
48
• Retângulo: 
 
2
b
z = yy = dybdS ⋅= 
 ∫ ⋅⋅= dSyzJzy 
 
h
0
22h
0
zy 2
y
2
b
dyby
2
b
J 





⋅=⋅⋅⋅= ∫ 
 
4
hb
J
22
zy
⋅
= 
 
• Triângulo: 
Há quatro posições para os triângulos. Desenvolveremos uma delas. 
 
 
 
 
 
 
 
 
zz = 
2
y
y = 
dSyz
2
1
dSy
2
y
zdSyzJ
b
0
b
0
2
zy ⋅⋅=⋅⋅⋅=⋅⋅= ∫ ∫ ∫ 
dz 
b
z
b
2z
z
2
h
dz 
b
z
b
2z
-1hz
2
1
J
b
0
2
322
2
2
2
b
0
zy ∫∫ 





+−=





+⋅= 






+−=





+−=
4
b
3
2b
2
b
2
h
4b
b
3b
2b
2
b
2
h
J
2222
2
4322
zy 
Z 
y 
y 
b 
h 
CG 
z 





 −=+⋅−=
b
z
1hh z
b
h
y 
b 
h 
y 
dz 
z 
dS = y⋅dz 
z 
 
49
( )





 +
=
12
b 38-6
2
h
J
22
zy ⇒ 24
hb
J
22
zy
⋅
= 
 
4.1. Teorema dos Eixos Paralelos 
 De forma semelhante ao que fizemos com os Momentos de Inércia teremos: 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
2d z'z += 
1d 'y += y 
∫ ⋅⋅= dSyzJzy 
( ) ( )∫ ⋅+⋅+= dSdy'dz'J 12zy 
∫∫∫∫ ⋅⋅+⋅⋅+⋅⋅+⋅⋅= dSy'z'dSy'ddSz'ddSddJ 2121zy 
SdJJ 21CGzyzy ⋅⋅+= d 
 
 
 
O z 
y 
dS 
CG 
S 
z 
y 
d1 
d2 
y’ 
z’ 
z 
y 
 
50
 
 Aplicando para cada uma das figuras principais teremos: 
• Retângulo: 
 
 
 
SdJJ 21CGzyzy ⋅⋅+= d 
 hb
2
h
2
b
J
4
hb
CGzy
22
⋅⋅⋅+=
⋅
 
 0=CGzyJ 
 
 
• Triângulo: 
 
 
 
 
 
 
 
 
SdJJ 21CGzyzy ⋅⋅+= d ⇒ 2
hb
3
h
3
b
J
24
hb
CGzy
22 ⋅
⋅⋅+=
⋅
 
72
22 hb
J CGzy
⋅
−= 
 
 
 
 
Z 
y 
h/2 
b 
h 
CG 
b/2 
zCG 
yCG 
b 
h 
y 
z 
zCG 
CG 
yCG 
h/3 
b/3 
 
51
5 – Momentos de inércia de uma área em relação a eixos inclinados 
Muitas vezes é necessário calcular os momentos e o produto de inércia Ix’, Iy’ e Ix’y’ para 
uma área em relação a um par de eixos u e v inclinados em relação aos eixos x e y , sendo 
os valores de θ , Ix, Iy e Ixy conhecidos. Para isso utilizaremos as equações de transformação 
que relacionam as coordenadas x, y e x’ e y’. 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
)sen()cos('
)sen()cos('
θθ
θθ
xyy
yxx
−=
+= 
Sabendo-se que : 
∫
∫
∫
=
=
=
dAyxI
dAxI
dAyI
yx
y
x
''
'
'
''
2
'
2
'
 
Substituindo x’ e y’ na expressão acima, tem-se: 
dAyxxyI
dAyxI
dAxyI
yx
y
x
))sen()cos(())sen()cos((
))sen()cos((
))sen()cos((
''
2
'
2
'
θθθθ
θθ
θθ
+−=
+=
−=
∫
∫
∫
 
Expandindo cada expressão e lembrando que 
dA 
A 
x' 
y' 
x 
y 
θ 
θ 
x 
x' 
y' 
y 
θ 
 
52
∫
∫
∫
=
=
=
xydAI
dAxI
dAyI
xy
y
x
2
2
 
obtem-se 
)sen(coscossencossen
cossen2cossen
cossen2sencos
22
''
22
'
22
'
θθθθθθ
θθθθ
θθθθ
−+−=
++=
−+=
xyyxyx
xyyxy
xyyxx
IIII
IIII
IIII
 
Simplificando estas equações utilizando as identidades trigonométricas 
θθθ
θθθ
22 sencos2cos
cossen22sen
−=
=
 
resulta: 
θθ
θθ
θθ
2cos2sen
2
2sen2cos
22
2sen2cos
22
''
'
'
xy
yx
yx
xy
yxyx
y
xy
yxyx
x
I
II
I
I
IIII
I
I
IIII
I
+
−
=
+
−
−
+
=
−
−
+
+
=
 (1) 
Se a primeira e a segunda equações forem somadas, pode-se mostrar que o momento polar 
de inércia em relação ao eixo z que passa pelo ponto O é independente da orientação dos 
eixo x’ e y’, ou seja: 
yxyx IIIII +=+= ''0 
Momentos principais de inércia 
As equações (1) mostram que Ix’, Iy’ e Ix’y’ dependem do ângulo de inclinação dos 
eixos x’e y’. Deseja-se determinar agora a orientação desses eixos para os quais os 
momentos de inércia da área, Ix’ e Iy’ são extremos, isto é, máximo e mínimo. Este par de 
eixos em particular é chamado de eixos principais de inércia e os correspondentes 
momentos de inércia em relação a eles são os chamados momentos principais de inércia . 
Em geral existe um par de eixos para cada origem O escolhida. Nos projetos estruturais e 
mecânicos de um elemento, a origem O é geralmente localizada no centróide da área de 
seção reta. 
 
53
O ângulo θ=θp que define a orientação dos eixos principais da área pode ser obtido por 
derivação da primeira das equações (1) em relação a θ , impondo-se resultado nulo. 
02cos22sen
2
2' =−
−
−= θθ
θ xy
yxx I
II
d
dI
 
Assim, em θ=θp 
)(
22tan
yx
xy
p II
I
−
−=θ (2) 
Essa equação possui duas raízes θp1 e θp2 defasadas de 90 º e estabelecem a inclinação dos 
eixos principais. De forma a substitui-las nas equações (1) devemos inicialmente obter o 
seno e o cosseno de 2 θp1 e 2θp2 o que pode ser feito pela relação (2) em associação com a 
identidade trigonométrica 12cos2sen 22 =+ pp θθ . Obtem-se dessa forma: 
Para 1pθ 
 
2
21
2
21
2
2
2cos
2
2sen
xy
yx
yx
p
xy
yx
xy
p
I
II
II
I
II
I
+




 −





 −
=
+




 −
−
=
θ
θ
 
Para 2pθ 
 
2
22
2
22
2
2
2cos
2
2sen
xy
yx
yx
p
xy
yx
xy
p
I
II
II
I
II
I
+




 −





 −
−
=
+




 −
=
θ
θ
 
Substituindo esses dois pares de relações trigonométricas nas equações (1) e simplificando 
tem-se: 
 
 
54
0
22
12
2
2
2
1
min
max
=
+




 −
±
+
==
I
I
IIII
II xy
yxyx
 
 
55
 
Lista de Exercícios 
 
1. Calcular os valores de Jz e Jy em relação ao sistema de eixos que passa pelo CG da 
seção. 
 
a) 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
5 5 3 
3 
18 
(cm) 
y 
x 
 
56
 
b) 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
2. Determine o produto de inércia (Jzy) para as figuras abaixo. 
 
 
a) 
 
 
 
 
 
 
 
 
5 5 
5 
3 
8 8 
9 
18 
z 
y 
(cm) 
CG 
h 
b 
y 
h - y 
z dz 
y 
z 
 
57
 
b) 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
c) 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
3. Determine o valor de CGzyJ para as figuras abaixo. 
 
a) 
 
 
 
 
 
 
CG 
h 
b 
y 
h - y 
z dz 
y 
z 
CG 
h 
b 
y 
h - y 
z dz 
y 
z 
CG 
h 
b 
2b/3 
y 
z 
h/3 
zCG 
yCG 
 
58
 
b) 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
c) 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
CG 
h 
b 
2b/3 
y 
z 
2h/3 
zCG 
yCG 
CG 
h 
b 
2h/3 
zCG 
y 
z 
b/3 
yCG 
	1.2 – Determinação do Centróide
	Retângulo
	1.3 – Aplicações do Cálculo do CG
	Retângulo
	Triângulo