AULA 13: Cálculo do comprimento de curvas planas

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CCE0044 – CÁLCULO DIFERENCIAL E INTEGRAL I 
Aula 13: Cálculo do comprimento de curvas planas 
Unidade IV: Aplicações de integrais definidas 
Cálculo Diferencial e Integral I 
AULA 13: CÁLCULO DO COMPRIMENTO DE CURVAS PLANAS 
 
CÁLCULO DO COMPRIMENTO 
DE CURVAS PLANAS 
1 
PRÓXIMOS 
PASSOS 
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Cálculo Diferencial e Integral I 
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O cálculo do comprimento de uma curva plana descrita por uma função matemática é um recurso 
importante para a Engenharia: 
• Trajetória percorrida por um móvel; 
• Cálculo de área de superfícies complexas; 
• Topografia (descrição de relevo); 
• Projeto de estradas e ferrovias etc. 
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Qual é o comprimento da curva? 
Podemos imaginar que, da mesma 
forma vista para o cálculo de 
áreas, podemos dividir a curva em 
um grande número de segmentos 
retos e somá-los. 
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Qual é o comprimento da curva 𝒇 𝒙 = 𝒙𝟐 + 𝟔𝒙 
Dividir a curva em um grande número de 
segmentos retos e somá-los à hipotenusa 
de cada um dos “quase” triângulos 
formados tem comprimento que se 
aproxima do respectivo setor do gráfico. 
ix
iy
ip
if
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Aproximação do comprimento da curva: 
 
Hipotenusa: 𝑝1 = ∆𝑥1
2 + ∆𝑦1
2 
ix
iy
ip
if
Qual é o comprimento da curva 𝒇 𝒙 = 𝒙𝟐 + 𝟔𝒙 
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Aproximação do comprimento da curva: 
 
Hipotenusa: 𝑝1 = ∆𝑥1
2 + ∆𝑦1
2 por 
∆𝑥𝑖
∆𝑥𝑖
 
𝑝1 =
∆𝑥𝑖
2 + ∆𝑦𝑖
2. ∆𝑥𝑖
∆𝑥𝑖
= 1 +
∆𝑦𝑖
2
∆𝑥𝑖
2 . ∆𝑥𝑖 
 
𝑝1 == 1 +
∆𝑦𝑖
∆𝑥𝑖
 . ∆𝑥𝑖 ix
iy
ip
if
Qual é o comprimento da curva 𝒇 𝒙 = 𝒙𝟐 + 𝟔𝒙 
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Aproximação do comprimento da curva: 
 
𝐶 = 𝑝𝑖
𝑛
𝑖=1
 
 
𝐶 = 1+
∆𝑦𝑖
∆𝑥𝑖
2
 . ∆𝑥𝑖
𝑛
𝑖=1
 
 
ix
iy
ip
if
A expressão pode ser considerada uma 
soma de Riemann. 
Qual é o comprimento da curva 𝒇 𝒙 = 𝒙𝟐 + 𝟔𝒙 
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. 
 
Aproximação do comprimento da curva: 
 
𝐶 = 1+
∆𝑦𝑖
∆𝑥𝑖
2
 . ∆𝑥𝑖
𝑛
𝑖=1
 
 
Cálculo do comprimento: 
𝐶 = lim
𝑛→∞
 1+
∆𝑦𝑖
∆𝑥𝑖
2
 . ∆𝑥𝑖 
ix
iy
ip
if
Qual é o comprimento da curva 𝒇 𝒙 = 𝒙𝟐 + 𝟔𝒙 
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ix
iy
ip
if
Cálculo do comprimento: 
 
𝐶 = lim
𝑛→∞
 1+
∆𝑦𝑖
∆𝑥𝑖
2
 . ∆𝑥𝑖 
 
𝐶 = 1 +
𝑑𝑦
𝑑𝑥
2
𝑑𝑥
𝑏
𝑎
 
Qual é o comprimento da curva 𝒇 𝒙 = 𝒙𝟐 + 𝟔𝒙 
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ix
iy
ip
if
Cálculo do comprimento: 
𝐶 = 1 +
𝑑𝑦
𝑑𝑥
2
𝑑𝑥
𝑏
𝑎
 
 
Expressão que representa 
𝑑𝑦
𝑑𝑥
 
 
𝑦 = 𝑓 𝑥 = −𝑥2 + 6𝑥 
𝑑𝑦
𝑑𝑥
= −2𝑥 + 6 
Qual é o comprimento da curva 𝒇 𝒙 = 𝒙𝟐 + 𝟔𝒙 
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ix
iy
ip
if
C = 6,1257 u. c. 
Qual é o comprimento da curva 𝒇 𝒙 = 𝒙𝟐 + 𝟔𝒙 
𝐶 = 1 +
𝑑𝑦
𝑑𝑥
2
𝑑𝑥
4
1
 
= 1 + −2𝑥 + 6 2𝑑𝑥
4
1
 
= 4𝑥2 − 24𝑥 + 37𝑑𝑥
4
1
 
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Qual é o comprimento da curva 𝒈 𝒙 = 𝟓 𝒙³ no intervalo 𝟎 ≤ 𝒙 ≤ 𝟒 
𝑦 = 5
3
2 
𝑑𝑦
𝑑𝑥
=
15𝑥
1
2
2
 
𝐶 = 1 +
15𝑥
1
2
2
2
𝑑𝑥
4
0
 
𝐶 = 1 +
225𝑥
4
2
𝑑𝑥 = 
4 + 225𝑥
4
𝑑𝑥
4
0
4
0
 
𝐶 =
1
2
 4 + 225𝑥𝑑𝑥
4
0
 
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Qual é o comprimento da curva 𝒈 𝒙 = 𝟓 𝒙³ no intervalo 𝟎 ≤ 𝒙 ≤ 𝟒 
 4 + 225𝑥𝑑𝑥 
método da substituição, considerando 
 
𝑢 = 4 + 225𝑥 
𝑑𝑢
𝑑𝑥
= 225 → 𝑑𝑥 =
1
225
𝑑𝑢 
 4 + 225𝑥𝑑𝑥 = 𝑢
1
225
𝑑𝑢 
=
1
225
 𝑢 𝑑𝑢 =
1
225
 𝑢
1
2 𝑑𝑢 
=
2𝑢
3
2
675
+ 𝐶 =
2(4 + 225𝑥)
3
2
675
+ 𝐶 =
2 (4 + 225𝑥)3
675
+ 𝐶 
 
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Qual é o comprimento da curva 𝒈 𝒙 = 𝟓 𝒙³ no intervalo 𝟎 ≤ 𝒙 ≤ 𝟒 
𝐶 =
1
2
2 4 + 225𝑥 3
675 0
4
=
1
675
4 + 225𝑥 3
0
4
=
1
675
4 + 225 . 4 3 − 4 + 225 . 0 3
≅ 40,2551 
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O software GeoGebra permite o cálculo do comprimento de uma curva com o comando 
comprimento: Comprimento[ <Função>, <Valor de x Inicial>, <Valor de x Final> ] 
www.geogebra.org 
 
. 
 
Dicas, textos, vídeos e cursos: 
Assuntos da próxima aula: 
1. Técnicas de integração: 
procedimentos algébricos; 
2. Técnicas de integração: por partes; 
3. Técnicas de Integração: frações 
parciais.