Aula 07

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FUNDAMENTOS DA ESTATÍSTICA
Aula 7 – Medidas de tendência central: dados isolados e agrupados sem intervalos de classes.
Prof. Lauro Boechat Batista
Aula 1 - S
Aula 7 – Medidas de tendência central: dados isolados e agrupados sem intervalos de classes.
FUNDAMENTOS DA ESTATÍSTICA
Conteúdo Programático desta aula
Medidas de tendência central (média, moda e mediana)
Medidas de tendência central em dados isolados
Propriedades da média, da moda e da mediana 
Distribuições simétrica e assimétrica
Medidas de tendência central em dados agrupados
Resumo e Exercícios
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FUNDAMENTOS DA ESTATÍSTICA
Média, moda e mediana em dados isolados
População
amostra
Estimativas
Parâmetros
MTC
 Média
Moda 
Mediana
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FUNDAMENTOS DA ESTATÍSTICA
Mediana em dados isolados
Mediana é o valor central de uma distribuição de dados ordenados.
Como determinar a mediana – os valores são colocados em ordem crescente ou decrescente e a mediana será exatamente o valor central para número ímpar de elementos.
Para número par de elementos, a mediana será obtida pela soma dos dois elementos centrais dividida por 2.
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FUNDAMENTOS DA ESTATÍSTICA
Mediana em dados isolados
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FUNDAMENTOS DA ESTATÍSTICA
Mediana em dados isolados
Determinação da mediana para número ímpar de elementos:
Exemplo 1: 2, 3, 5, 6, 8, 8, 9 - a mediana (Md ou Mi) será 6.
Exemplo 2: 1, 3, 3, 4, 7, 8, 8, 9, 9. Md = 7
Exemplo 3: 7, 3, 1, 3, 9, 8, 9, 4, 9. Se não colocássemos os valores em ordem crescente ou decrescente, iríamos errar e determinar a mediana como se fosse o valor 9. Entretanto, devemos colocar os valores em ordem crescente: 1, 3, 3, 4, 7, 8, 8, 9, 9 e, assim, a mediana será determinada corretamente, ou seja, Md = 7.
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Moda em dados isolados
Moda é o valor da variável de maior ocorrência.
Se não houver nenhum valor de maior ocorrência, a distribuição é denominada amodal.
Um único valor de maior ocorrência, a distribuição é denominada unimodal. 
Dois valores de maior ocorrência, a distribuição é denominada bimodal.
Três valores de maior ocorrência, a distribuição é denominada trimodal. 
Mais de três valores de maior ocorrência, a distribuição é denominada polimodal.
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Moda em dados isolados
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Moda em dados isolados
Distribuição amodal: 8, 5, 2, 4, 7, 3 (não existe valor que ocorre maior quantidade de vezes.
Distribuição unimodal: 2, 4, 5, 3, 2, 1, 3, 2 (Mo = 2)
Distribuição bimodal: 3, 5, 6, 6, 6, 3, 3, 5, 2, 1 (Mo = 3 e 6)
Distribuição trimodal: 1, 4, 4, 4, 1, 1, 5, 6, 7, 7, 5, 5 (Mo = 1, 4, e 5)
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Média em dados isolados
A média é denomina µ (mu) se for para a população e para a amostra é 
denominada (xis-barra).
Existem diversos tipos de média, como a aritmética, a geométrica e a harmônica.
No entanto, iremos trabalhar com a média aritmética que doravante a denominaremos de somente “média”
A média da amostra é dada por:
Esta média é denominada “média aritmética simples”, que é para dados apresentados sem frequências, ou seja, dados não agrupados. 
 
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Média em dados isolados
 
 
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Média em dados isolados e propriedades da média
Sejam as amostras:
A: x1 = 8, x2 = 10 e x3 = 12. A = (8 + 10 + 12)/3 = 30/3 = 10.
B: x1 = 16, x2 = 20 e x3 = 24. A = (16 + 20 + 24)/3 = 60/3 = 20.
C: x1 = 4, x2 = 5 e x3 = 6. A = (4 + 5 + 6)/3 = 15/3 = 5.
D: x1 = 10, x2 = 12 e x3 = 14. A = (10 + 12 + 14)/3 = 36/3 = 12.
E: x1 = 6, x2 = 8 e x3 = 10. A = (6 + 8 + 10)/3 = 24/3 = 8.
A: = (-2) + (0) + (2) = 0
 
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Propriedades da média, da mediana e da moda
A soma dos desvios dos valores em relação à média é nula, isto é,
Somando-se a todos os valores uma constante, a média, a mediana e a moda ficarão somadas desta constante.
Subtraindo-se de todos os valores uma constante, a média, a mediana e a moda ficarão subtraídos deste constante.
Multiplicando-se todos os valores por uma constante, a média, a mediana e a moda ficarão multiplicados pela constante.
Dividindo-se todos os valores por uma constante, a média, a mediana e a moda ficarão divididos pela constante.
 
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Relação entre a média, a mediana e a moda
 
Média = mediana = moda distribuição simétrica
Média maior do que a moda distribuição assimétrica positiva
Média menor do que a moda distribuição assimétrica negativa
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Dados isolados e agrupados
Consumo de latinhas de cerveja em uma amostra de 10 pessoas: 10, 5, 0, 0, 0, 20, 10, 0, 0, 5.
Representação simples: x1 = 10, x2 = 5, x3 = 0, x4 = 0, x5 = 0, x6 = 20, x7 = 10, x8 = 0, x9 = 0, x10 = 5 
 = (10 + 5 + ...+ 5)/10 = 50/10 = 5 cervejas/pessoa.
Representação por frequências: x1 = 10, f1 = 2, x2 = 5, f2 = 2, x3 = 0, f3 = 5, x4 = 20, f4 = 1
 = = = 5 cervejas/pessoa. Neste caso, com frequências, a 
média é denominada “média aritmética ponderada”.
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Dados agrupados em uma tabela de frequências sem intervalos de classes.
Tabela 1. Número de filhos/família, em uma amostra de 50 famílias de Niterói, RJ, em 2010.
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Dados agrupados em uma tabela de frequências sem intervalos de classes.
Média = = = 2 filhos/família.
Moda = 2 filhos/família
Mediana = 2 filhos/família
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Resumo
Medidas de tendência central (média, moda e mediana)
Medidas de tendência central em dados isolados
Distribuições simétrica e assimétricaPropriedades da média, da moda e da mediana 
Medidas de tendência central em dados agrupados
Exercícios
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Exercício 1: são dadas as amostras abaixo:
1. Determinar a média, a moda e a mediana dos dados: 5, 3, 3, 7, 7.
2. Determinar a média, a moda e a mediana dos dados:: x1 = 10, f1 = 2, x2 = 5, f2 = 2, x3 = 20, f4 = 1
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Exercício 2 – Determinar a média, a moda e a mediana da amostra.
Tabela 3. Número de filhos/família, em uma amostra de 500 famílias de Niterói, RJ, em 2010.
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