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UNIVERSIDADE TECNOLÓGICA FEDERAL DO PARANÁ Campus Toledo Curso: Engenharia de bioprocessos e biotecnologias Disciplina: Cálculo Diferencial e Integral I Professora: Regiane Slongo Fagundes Lista 6 de Exercícios Conteúdo Abordado: Regra da Cadeia; Diferenciação implícita. 1. Use a regra da cadeia para achar dx dy e expresse a resposta em termos de x. a) y = u 2 ; u = x 3 – 4 b) y = 3 u ; u = x 2 + 5x c) y = u 1 u = 23 x d) y = tg 3u; u = x 2 e) y = 1 1 u u xu f) y = u 3 u =x 2 + 2x 2. Sabendo que a derivada de uma função composta )(..)( 1 uDunuD nn , ache as derivadas das seguintes funções. a) f(x) = (x - 1) 4 b) f(x) = (5x 2 – 2x + 1 )2 c) f(x) = (x 2 – 3x + 8)3 d) g(x) = (8x – 7)-5 e) g(x) = 42 1x x f) f(x) = (x + 1) 2 + x 3 g) h(x) = x 2 .(x 2 + 1) 2 h) f(x) = (8x 3 – 2x2 + x -7)5 i) f(v) = (17v – 5)1000 j) n(x) = (6x – 7)3(8x2+9)2 k) f(x) = 3 22 )5( )1( x x l) k(x) = 3 3 278 x m) f(v) = 5 5 32 5 v n) h(x) = 94 32 2 x x o) f(x) = sen 3 x lembre-se: sen 3 x = (sen x) 3 p) g(x) = cos 5 x q) h(x) = sen 3 x + cos 3 x r) f(x) = sen(x 2 + 2) s) h(v) = cotg(v 3 – 2v) t) h(x) = sen 2 x . cos 2 x u) f(z) = sec(2z+1) 2 v)f(x) = cos(3x 2 ) + cos 2 3x w) f(x) = cossec 2 2x 3. Usando as fórmulas das derivadas das funções exponenciais e logarítmicas ache as derivadas de: a) y = 3 x b) y = 5.2 x c) y = 1210 x d) y = 10 e x e) y = x 2 1 f) y = 3 3x+1 g) y = 122 xxe h) y = xln 2 1 i) y = 2ln x j) y = x 3 + ln x l) y = ln(x 2 – 1) m) y = x 2 .ln2x n) y = ln(sen x) o) y = 3.log2 x p) y = (log x) 3 q) y = log(x 2 – 3x) 4. Determine a derivada da terceira de f(x) = 2x 4 – 5x3 – 8x2 +10x – 1 5. Se f(x) = senx + cosx, determine f ’’(x). 6. Se f(x) = cos x, calcule f ” 6 . 7. Calcular a derivada da quarta da função f(x) = x 6 – 4x2 + 2x 8. Seja a função f(x)= 4x3 + 2x2 – 5x +2. Calcule f ’ (0) + f ”(0) + f ”’(0). 9. Seja a função f(t) = 4t3 – 6t2 + 3t + 2. Determine f ’(1). 10. Se f(x) = x2 – 7x + 12, calcule f ’(x) no ponto x = 4. 11. Determine a f ’(x) sabendo que f(x) = senx xsenx cos 12. Se f(x) = 3 sen x + 2 cos x, calcule f ’(). 13. Determine f ’(x) sabendo que: f(x) = x 2 .(x 3 + 1) + x.(x 4 – 2x) 14. Admitindo que a equação determina uma função diferenciável f tal que y = f(x), calcule y´: a) 8x2 + y2 =10 b) 4x3 – 2y3 = x c) 2x3 + x2y + y3 = 1 d) 5x2 + 2x2y + y2 = 8 e) 5x2 – xy – 4y2 = 0 f) 100 yx g) y2 = x . cosy 15. Encontre as equações da tangente e da normal as equações abaixo: a) x2 + 3xy + y2 = 5, no ponto (1,1). b) xy + 16 = 0, no ponto (-2, 8). c) y2 – 4x2 = 5, no ponto P(-1, 3). d) 2x3 – x2y + y3 – 1 = 0, no ponto (2, -3). Respostas 1) a) 6x2 (x3-4) b) 3/22 )53 52 xx x c) 2/3)23(2 3 x d) 6x sec2(3x2) e) 2)1.( 1 xx f) (6x+6)(x2+2x)2 2) a) 4.(x-1)3 b) 2.(5x2 - 2x + 1).(10x - 2) c) 3.(x2 -3x +8)2.(2x-3) d) -40(8x – 7)-6 e) 52 2 )1( 17 x x f) 3x2 +2x +2 g) 2x.(x2 + 1).(3x2 +1) h) 5.(8x3 – 2x2 + x – 7)4.(24x2 – 4x + 1) i) 17000(17v -5)999 j) 2.(6x – 7)2.(8x2 + 9).(168x2 – 112x +81) k) 4 22 )5( )320).(1( x xxx l) 3/23 2 )278( 8 x x m) 5/65 4 )32( 5 v v n) 2/32 )94( )23(6 x x o) 3.sen2x . cosx p) -5.cos4x . senx q) 3 senx cox (senx – cosx) r) 2x.cos(x2 + 2) s) –(3v2 -2) . cossec2(v3 – 2v) t) sen 2x . (cos2x – sen2x) u) 4.(2z + 1).sec(2z+1)2.tg(2z+1)2 v) -6x.sen(3x2) - 6cos3x sen3x w) -4cossec22x . cotg2x 3) a) 3xln3 b) 5.2xln2 c) 10ln.10.2 1 2xx d) 10.ex e) 2 1 ln. 2 1 x f) 33x + 2. ln3 g) (2x + 2). )12( 2 xxe h) x2 1 i) x x ln 2 j) 3x2 + x 1 k) 1 2 2 x x l) x.(2.ln2x + 1) m) cotg x n) 2ln 3 x o) 10ln. ).(log3 2 x x p) 10ln)3( )32( 2 xx x 4) 48x – 30 5) –senx – cosx 6) 2 3 7) 360x 2 – 96 8) 23 9) 3 10) 1 11) xsen2 1 12) -3 13) 10x 4 – 2x 14) a) y’ = y x8 b) y’ = 2 2 6 121 y x c) y’ = 22 2 3 26 yx xyx d) y’ = yx xyx 2 )25( e) y’ = yx yx 8 10 f) y’ = x y g) y’ = yxseny y 2 cos 15) a) tangente:y = 2 – x normal y = -x b) tangente = 4x + 16 normal y = 4 30 x c) tangente: y = 3 54 x normal: y = 4 153 x d) tangente: y = 23 336 x normal: y = 36 15423 x
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