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7ª lista CDI Regra da Cadeia e diferencacao implicita

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UNIVERSIDADE TECNOLÓGICA FEDERAL DO PARANÁ 
Campus Toledo 
Curso: Engenharia de bioprocessos e biotecnologias 
Disciplina: Cálculo Diferencial e Integral I 
Professora: Regiane Slongo Fagundes 
Lista 6 de Exercícios 
Conteúdo Abordado: 
 Regra da Cadeia; 
 Diferenciação implícita. 
 
1. Use a regra da cadeia para achar 
dx
dy
 e 
expresse a resposta em termos de x. 
a) y = u
2
; u = x
3
 – 4 
b) y = 
3 u
; u = x
2
 + 5x 
c) y = 
u
1
 u = 
23 x
 
d) y = tg 3u; u = x
2 
e) y = 
1
1


u
u
 
xu 
 
f) y = u
3
 u =x
2
 + 2x 
 
2. Sabendo que a derivada de uma função 
composta 
)(..)( 1 uDunuD nn 
, 
 ache as derivadas das seguintes funções. 
a) f(x) = (x - 1)
4
 
b) f(x) = (5x
2
 – 2x + 1 )2 
c) f(x) = (x
2
 – 3x + 8)3 
d) g(x) = (8x – 7)-5 
e) g(x) = 
 42 1x
x
 
f) f(x) = (x + 1)
2
 + x
3
 
g) h(x) = x
2
.(x
2
 + 1)
2 
h) f(x) = (8x
3
 – 2x2 + x -7)5 
i) f(v) = (17v – 5)1000 
j) n(x) = (6x – 7)3(8x2+9)2 
k) f(x) = 
3
22
)5(
)1(


x
x
 
l) k(x) = 
3 3 278 x
 
m) f(v) = 
5 5 32
5
v
 
n) h(x) =
94
32
2 

x
x
 
o) f(x) = sen
3
 x lembre-se: sen
3
x = (sen x)
3
 
p) g(x) = cos
5
 x 
q) h(x) = sen
3
x + cos
3
x 
r) f(x) = sen(x
2
 + 2) 
s) h(v) = cotg(v
3
 – 2v) 
t) h(x) = sen
2
x . cos
2
x 
u) f(z) = sec(2z+1)
2
 
v)f(x) = cos(3x
2
) + cos
2
3x 
w) f(x) = cossec
2
2x 
3. Usando as fórmulas das derivadas das 
funções exponenciais e logarítmicas ache as 
derivadas de: 
a) y = 3
x
 
b) y = 5.2
x
 
c) y = 1210 x 
d) y = 10 e
x
 
e) y = x






2
1 
f) y = 3
3x+1
 
g) y = 122  xxe 
h) y = 
xln
2
1
 
i) y = 
 2ln x
 
j) y = x
3
 + ln x 
l) y = ln(x
2
 – 1) 
m) y = x
2
.ln2x 
n) y = ln(sen x) 
o) y = 3.log2 x 
p) y = (log x)
3
 
q) y = log(x
2
 – 3x) 
 
4. Determine a derivada da terceira de 
f(x) = 2x
4
 – 5x3 – 8x2 +10x – 1 
5. Se f(x) = senx + cosx, determine f ’’(x). 
6. Se f(x) = cos x, calcule f ”






6

. 
7. Calcular a derivada da quarta da função 
 f(x) = x
6
 – 4x2 + 2x 
8. Seja a função f(x)= 4x3 + 2x2 – 5x +2. 
Calcule f ’ (0) + f ”(0) + f ”’(0). 
9. Seja a função f(t) = 4t3 – 6t2 + 3t + 2. 
Determine f ’(1). 
10. Se f(x) = x2 – 7x + 12, calcule f ’(x) no 
ponto x = 4. 
11. Determine a f ’(x) sabendo que 
f(x) = 
senx
xsenx cos
 
12. Se f(x) = 3 sen x + 2 cos x, calcule f ’(). 
13. Determine f ’(x) sabendo que: 
f(x) = x
2
.(x
3
 + 1) + x.(x
4
 – 2x) 
14. Admitindo que a equação determina uma 
função diferenciável f tal que y = f(x), 
calcule y´: 
a) 8x2 + y2 =10 
b) 4x3 – 2y3 = x 
c) 2x3 + x2y + y3 = 1 
d) 5x2 + 2x2y + y2 = 8 
e) 5x2 – xy – 4y2 = 0 
f) 
100 yx
 
g) y2 = x . cosy 
 
15. Encontre as equações da tangente e da 
normal as equações abaixo: 
a) x2 + 3xy + y2 = 5, no ponto (1,1). 
b) xy + 16 = 0, no ponto (-2, 8). 
c) y2 – 4x2 = 5, no ponto P(-1, 3). 
d) 2x3 – x2y + y3 – 1 = 0, no ponto 
(2, -3). 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
Respostas 
1) 
a) 6x2 (x3-4) 
b) 
 
 3/22 )53
52
xx
x


 
c) 
2/3)23(2
3


x
 
d) 6x sec2(3x2) 
e) 
2)1.(
1
xx 
 
f) (6x+6)(x2+2x)2 
2) 
a) 4.(x-1)3 
b) 2.(5x2 - 2x + 1).(10x - 2) 
c) 3.(x2 -3x +8)2.(2x-3) 
d) -40(8x – 7)-6 
e) 
52
2
)1(
17



x
x
 
f) 3x2 +2x +2 
g) 2x.(x2 + 1).(3x2 +1) 
h) 5.(8x3 – 2x2 + x – 7)4.(24x2 – 4x + 1) 
i) 17000(17v -5)999 
j) 2.(6x – 7)2.(8x2 + 9).(168x2 – 112x +81) 
k) 
4
22
)5(
)320).(1(


x
xxx
 
l) 
3/23
2
)278(
8
x
x
 
m) 
5/65
4
)32(
5


v
v
 
n) 
2/32 )94(
)23(6


x
x
 
o) 3.sen2x . cosx 
p) -5.cos4x . senx 
q) 3 senx cox (senx – cosx) 
r) 2x.cos(x2 + 2) 
s) –(3v2 -2) . cossec2(v3 – 2v) 
t) sen 2x . (cos2x – sen2x) 
u) 4.(2z + 1).sec(2z+1)2.tg(2z+1)2 
v) -6x.sen(3x2) - 6cos3x sen3x 
w) -4cossec22x . cotg2x 
3) 
a) 3xln3 
b) 5.2xln2 
c) 
10ln.10.2 1
2xx
 
d) 10.ex 
e) 
2
1
ln.
2
1
x






 
f) 33x + 2. ln3 
g) (2x + 2). )12( 2  xxe 
h) 
x2
1
 
i) 
x
x
ln
2
 
j) 3x2 + 
x
1
 
k) 
1
2
2 x
x
 
l) x.(2.ln2x + 1) 
m) cotg x 
n) 
2ln
3
x
 
o) 
10ln.
).(log3 2
x
x
 
p) 
10ln)3(
)32(
2 xx
x


 
4) 48x – 30 
5) –senx – cosx 
6) 
2
3

 
7) 360x
2
 – 96 
8) 23 
9) 3 
10) 1 
11) 
xsen2
1

 
12) -3 
13) 10x
4
 – 2x 
14) 
a) y’ = 
y
x8
 
b) y’ = 
2
2
6
121
y
x


 
c) y’ = 
22
2
3
26
yx
xyx



 
d) y’ = 
yx
xyx


2
)25(
 
e) y’ = 
yx
yx
8
10


 
f) y’ = 
x
y

 
g) y’ = 
yxseny
y
2
cos

 
15) 
 
a) tangente:y = 2 – x 
 normal y = -x 
b) tangente = 4x + 16 
normal y = 
4
30 x
 
c) tangente: y = 
3
54  x
 
normal: y = 
4
153 x
 
d) tangente: y = 
23
336  x
 
normal: y = 
36
15423 x

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