10ª lista CDI Otimizacao

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UNIVERSIDADE TECNOLÓGICA FEDERAL DO PARANÁ 
Campus Toledo 
Curso: Engenharia de Bioprocessos e Biotecnologia 
Disciplina: Cálculo Diferencial e Integral I 
Professora: Regiane Slongo Fagundes 
Lista 10 de Exercícios 
Conteúdo Abordado: 
 Problemas de Otimização. 
 
 
PROBLEMAS DE OTIMIZAÇÃO 
 
 Nas aplicações, uma quantidade física ou geométrica costuma ser descrita por meio de alguma 
fórmula Q = f(x), na qual f é uma função. Assim, Q pode ser a temperatura de uma substância no instante 
x, a corrente em um circuito elétrico quando a resistência é x, ou a área de um terreno quadrado de 
dimensões x. Se Q = f(x) e f é diferenciável, então a derivada DxQ = f’(x) pode ser útil na pesquisa de 
máximos e mínimos de Q. Em aplicações, esses valores extremos são ás vezes chamados valores 
ótimos, porque são, em certo sentido, os melhores ou mais favoráveis valores da quantidade Q. A tarefa 
de determinar esses valores constitui um problema de otimização. 
 Se um problema de otimização é enunciado em palavras, então é necessário converter o 
enunciado em uma fórmula adequada como Q =f(x), a fim de acharmos os números críticos fazendo sua 
derivada. Na maioria dos casos existe apenas um número crítico c, sendo desnecessário aplicar o teste da 
derivada. 
 
Diretrizes Para a Resolução de Problemas de Otimização. 
 
 Leia o problema cuidadosamente, várias vezes e em seguida: 
1. Faça uma figura apropriada e identifique as quantidades relevantes do problema. 
2. Ache uma fórmula para a quantidade a ser maximizada ou minimizada. 
3. Usando as condições dadas no problema para eliminar variáveis, expresse a quantidade a ser 
maximizada ou minimizada como função de uma variável. 
4. Ache o intervalo de valores possíveis para esta variável a partir das restrições físicas do 
problema, achando seus pontos críticos. 
5. Se necessário, use os Testes das derivadas para estudar os extremos locais. 
 
 
1. Um fazendeiro com 750 metros de cerca e quer cercar uma área retangular e então 
dividi-la em quatro partes com cercas paralelas a um lado do retângulo. Qual é a 
maior área total possível das quatro partes? 
a) Faça vários diagramas ilustrando a situação, alguns com divisões rasas e largas e 
alguns com divisões com divisões profundas e estreitas. Encontre as áreas totais 
dessas configurações. Parece que existe uma área máxima? Se a resposta for 
sim, estime-a. 
b) Faça um diagrama ilustrando a situação geral. Introduza uma notação e marque 
no diagrama seus símbolos. 
c) Escreva uma expressão para a área total. 
d) Use a expressão para escrever uma equação que relacione as variáveis. 
e) Use a parte (d) para escrever a área total como uma função de uma variável. 
f) Resolva o problema e compare a sua resposta com a estimativa da parte (a). 
 
2. Considere todas as possibilidades de construção de uma casa retangular de 80m de 
perímetro. Determine as dimensões daquela que possui maior área. 
R: 20m e 20m 
 
3. Determine as dimensões de uma casa retangular de menor perímetro para uma área 
igual a 100m
2
. R 10m e 10m 
 
4. Quais as dimensões possíveis para um galpão retangular, que será utilizado para 
armazenagem de grãos, de modo que possua área de 144m
2
 e que tenha menor 
perímetro? R: 12m e 12m 
 
5. Uma dona de casa precisa construir uma horta de forma retangular utilizando-se de 
uma tela de 16 metros de comprimento. Sabendo que a dona de casa vai utilizar um 
muro como fundo para a horta, determine as dimensões da mesma para que sua área 
seja máxima. R: 4m e 8m 
 
6. Um fazendeiro dispõe de arame para fazer uma cerca de 240m e deseja cercar uma 
faixa de terra com frente para um rio de margens retilíneas. Que dimensões deve dar 
o cercado para que a área seja máxima? R: 120m e 60m 
 
7. Qual área máxima do retângulo inscrito num círculo de diâmetro 20
2
cm? 
R: 400cm
2
 
 
8. Calcule as dimensões de um retângulo de área máxima inscrita em uma 
circunferência de 40m de diâmetro. R: 20
2
m e 20
2
m 
 
 
9. Um fazendeiro deseja construir um depósito em forma de prisma reto de base 
quadrada, aberto em cima e com capacidade de 64m
3
. 
 
 b 
 
 a 
 a 
Determine suas dimensões a e b de modo que o material necessário para construí-lo seja 
mínimo. R: a = 4
m3 2
 e b = 
3 4
4
m 
 
10. Um agricultor deseja construir um reservatório cilíndrico, fechado em cima, com 
capacidade de 6.280m
3
. Sabendo que o preço da chapa de aço é de R$ 50,00 o metro 
quadrado e  = 3,14, determine: 
a) Suas dimensões de forma que o custo seja mínimo. R: r=10m e h=20m 
b) O custo Mínimo. R: R$ 94.200,00 h 
 r 
 
 
11. Uma caldeira cilíndrica tem capacidade de 1 000dm3 . O custo do material da parede 
lateral é de R$ 200,00 o dm
2
 e das bases R$ 300,00. Calcule o raio da base para que 
a caldeira tenha o custo mínimo. R: 
dmr 3
3
1000


 
 
12. Uma folha de papel para um cartaz tem 2m2 de área. As margens no topo e na base 
são de 25cm e nos lados 15cm. Quais são as dimensões da folha sabendo que área 
impressa é máxima? R: base = 1,09m e altura = 1,83m 
 
 
13. Uma caixa de papelão sem tampa deve ser feita com um quadrado de 24cm de lado, 
suprimindo-se quadradinhos iguais nos quatro cantos e dobrando as saliências de 
modo a formar as paredes. Achar o lado dos quadradinhos suprimidos para que a 
capacidade da caixa seja máxima. R: 4cm 
 
14. Uma caixa aberta deve ser feita de uma folha de papelão medindo 16 por 30cm, 
destacando-se quadrados iguais dos quatro cantos e dobrando-se os lados. Qual é o 
tamanho dos quadrados para se obter uma caixa com o maior volume? 
 
R: 
3
10
cm 
 
15. Uma pessoa deseja construir um reservatório de água de forma circular e com 
volume 64 cm3. Sabendo que o preço por m2 de azulejo é de 10,00, calcule o custo 
mínimo de azulejo para a construção desse reservatório. Adote  = 3,14. 
 R: R$ 15.072,00 
 
16. Encontre dois números cuja diferença seja 100 e cujo produto seja o menor possível. 
R: 50 e -50 
 
17. Encontre dois números positivos cujo produto seja 100 e cuja soma seja a menor 
possível. 
R: 10 e 10 
 
18. Encontre um número positivo tal que a soma do número e seu recíproco sejam tão 
pequenos quanto possível. R: 1 
 
19. Encontre as dimensões de um retângulo com área de 1000 m2 cujo perímetro seja o 
menor possível. R: 10
10
m 
 
20. Uma caixa com uma base quadrada e sem tampa tem um volume de 32.000cm2. 
Encontre as dimensões da caixa que minimizem a quantidade de material usado. 
 R: 40x40x20 
21. Se 1.200 cm2 de material estiverem disponíveis para fazer uma caixa com uma base 
quadrada e sem tampa, encontre o maior volume possível da caixa. R: 4000cm
3
 
 
22. Um contêiner para estocagem retangular com uma tampa aberta deve ter um volume 
de 10 m
3
. O comprimento de sua base é o dobro da largura. O material para a base 
custa R$ 10,00 por metro quadrado e o material dos lados custa R$ 6,00 por metro 
quadrado. Encontre as dimensões do para o custo do material seja o mais barato 
possível. R: 
$163,54R
 
 
23. Encontre a área do maior retângulo que pode ser inscrito em um circulo de raio r. 
R: quadrado de lado 
2 r
 
 
24. Um fio de comprimento l é cortado em dois pedaços. Com um deles se fará um 
círculo e com o outro um quadrado.a) Como devemos cortar o fio a fim de que a soma das duas áreas compreendidas 
pelas figuras seja mínima? R: 1º pedaço = 
4
4
l

 2º pedaço = 
4
l

 
 
b) Como devemos cortar o fio a fim de que a soma das áreas compreendidas seja 
máxima? R: vamos usar o comprimento do fio para fazer 
somente um círculo de raio 
2
l

 
 
 
25. Um fazendeiro tem 200 bois, cada um pesando 300 kg. Até agora ele gastou 
R$380.000,00 para criar os bois e continuará gastando R$ 2,00 por dia para manter 
um boi. Os bois aumentam de peso a uma razão de 1,5 kg por dia. Seu preço de 
venda, hoje, é de R$ 18,00 o quilo, mas o preço cai 5 centavos por dia. Quantos dias 
deveria o fazendeiro aguardar para maximizar seu lucro? R: 67 dias 
 
26. Usando uma folha quadrada de cartolina, de lado a, deseja-se construir uma caixa 
sem tampa, cortando em seus cantos quadrados iguais e dobrando 
convenientemente a parte restante. Determinar o lado dos quadrados que devem ser 
cortados de modo que o volume da caixa seja o maior possível. R: a/6 unid 
 
27. Determinar as dimensões de uma lata cilíndrica, com tampa, com volume V , de 
forma que a sua área total seja mínima. R: 
3
4V

 
 
28. Duas indústrias A e B necessitam de água potável. A figura a seguir esquematiza a 
posição das indústrias, bem como a posição de um encanamento retilíneo l , já 
existente. Em que ponto do encanamento deve ser instalado um reservatório de 
modo que a metragem de cano a ser utilizada seja mínima? R: 4 km 
 
29. O custo e a receita total com a produção e comercialização e um produto são dados 
por: 
 
(a) Encontrar a quantidade q que maximiza o lucro com a venda desse produto. 
 R: L(q) =-0,006q
2
 + 7,8q - 600 
(b) Qual o nível de produção que minimiza o lucro? R: q = 82 
(c) Qual o nível de produção correspondente ao prejuízo máximo? R:q = 0 
 
30. Qual é o retângulo de perímetro máximo inscrito no círculo de raio 12 cm? 
R: 
288cm
 
31. Traçar uma tangente à elipse 
2 22 2x y 
 de modo que a área do triângulo que ela 
forma com os eixos coordenados positivos seja mínima. Obter as coordenadas do 
ponto de tangência e a área mínima. R: 
1
,1
2
 
 
 
e 
2 2 0y x  
 
 
32. Mostrar que o volume do maior cilindro reto que pode ser inscrito num cone reto é 
4
9
do volume do cone. 
 
33. Um cone reto é cortado por um plano paralelo à sua base. A que distância da base 
deve ser feito esse corte, para que o cone reto de base na secção determinada, e de 
vértice no centro da base do cone dado, tenha volume máximo? R: (1/3) da 
altura do cone 
 
34. Uma folha de papel contém 375 cm² de matéria impressa, com margem superior de 
3,5 cm, margem inferior de 2 cm, margem lateral direita de 2 cm e margem lateral 
esquerda de 2,5 cm. Determinar quais devem ser as dimensões da folha para que 
haja o máximo de economia de papel. R: 22,01cm x 26,91cm 
 
 
35. Um canhão de luz, situado no solo, é posto sob um ângulo de inclinação a . Seja l o 
alcance do canhão, dado por 22
 cos
v
l sen
g
 
 , onde v e g são constantes. Para 
que ângulo o alcance é máximo? R: 
4

 
 
36. Uma cerca de 1 m de altura está situada a uma distância de 1 m da parede lateral de 
um galpão. Qual o comprimento da menor escada cujas extremidades se apóiam na 
parede e no chão do lado de fora da cerca? R: 
8m
 
 
37. Um cilindro circular reto está inscrito num cone circular reto de altura H = 6 m e 
raio da base R = 3,5 m. Determinar a altura e o raio da base do cilindro de volume 
máximo. R: raio da base 7/3m; altura 2m 
 
38. Uma fábrica produz x milhares de unidades mensais de um determinado artigo. Se o 
custo de produção é dado por 
3 22 6 18 60C x x x   
e o valor obtido na venda é 
dado por 
260 12R x x 
determinar o numero ótimo de unidades mensais que 
maximiza o lucro L = R − C. R: 1000