Aula4 Diferenciação implicita

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DERIVADAS DE ORDEM 
SUPERIOR 
 
DIFERENCIAÇÃO 
IMPLÍCITA 
 
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Derivadas de ordem superior 
f(n) = A n-ésima derivada de f. 
f’, f’’, f’’’, f(4) 
 
Pela notação de Leibniz, temos: 
 
   
2 3
2 3
( ) , ( ) , , . . . 
n
n
d d d d
f x f x y y
dx dx dx dx
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Exemplos 
1) Determine a derivada de quarta 
ordem de: 
 
2) Determine a derivada de terceira 
ordem de: 
 
3) Determine a derivada de segunda 
ordem de: 
 
 
4 3 2( ) 3 2 4 2f x x x x x    
cosy senx x 
ln(cos )y x
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Diferenciação Implícita 
 O que é algo explícito? 
 E como você define “implícito”? 
 Observe equação da circunferência de raio 1 unidade 
2 2 1x y 
Podemos resolver a equação para y em ternos de x: 
21y x  
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INTRODUÇÃO 
 Na primeira equação, dizemos que y é implícito 
com respeito a x; 
 
 Na segunda, diz-se que y é definido 
explicitamente como função de x. 
 
 Definição 
Dizemos que uma dada equação em x e y define 
uma função f implicitamente se o gráfico de 
y=f(x) coincidir com algum segmento do gráfico 
da equação. 
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 Nem toda função é possível resolver uma equação para 
y em termos de x. 
 
 Assim, para diferenciar implicitamente, deve-se levar 
em consideração que y é uma função de x, portanto, 
utiliza-se a Regra da Cadeia na Diferenciação. 
 
 PASSOS PARA DIFERENCIAR IMPLICITAMENTE: 
 
 Diferencie ambos os lados com respeito a x; 
 
 Lembre que y é função de x, portanto, deve-se utilizar 
a regra da cadeia; 
 
 Isole y’ ou em um dos lados da igualdade. 
 
dx
dy
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EXEMPLOS 
 
1) Se y =f(x), onde f é definida implicitamente pela 
equação , determine y’. 
 
 
 
 
2) Encontre y’ se . 
 
 
 
 
3 2 34 5 6 0xy x y x x    
2 2 1x y 
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 3) a)Encontre a y’ se 
3 3 6x y xy 
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3) a)Encontre a y’ se 
b) Encontre a reta tangente ao fólio de Descartes 
 no ponto (3, 3). 
c) Quais pontos sobre a curva à reta tangente é 
horizontal? 
 
4) Determine y’, se y = x2 seny. 
 
 
 
3 3 6x y xy 
3 3 6x y xy 