Livro Fenômenos de Transportes Unidade 2

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Fênomenos de Transporte 
 
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2 Propriedades e Grandezas Medidas em um Fluido 
Fênomenos de Transporte 
 
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Para avaliar o escoamento de um fluido, além de definir o volume a ser 
estudado, conforme explicado na unidade anterior, é fundamental medir algumas 
propriedades que ajudam a caracterizar o estado deste fluido. 
 
Objetivo da unidade: 
 
 Compreender as definições de pressão, tensão, massa específica, peso 
específico e viscosidade em fluidos. 
 
Plano da unidade: 
 Pressão 
 Tensões em um fluido 
 Massa especifica 
 Peso específico 
 Campo de velocidades 
 Viscosidade 
 
 
Bons estudos! 
 
Fênomenos de Transporte 
 
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Pressão 
 
Os fluidos quase sempre se caracterizam por terem suas moléculas fracamente 
ligadas, proporcionando uma considerável mobilidade destas. 
Em um líquido, como a água, por exemplo, o volume é pouco sensível às 
variações de pressão (fluido incompressível); em um gás, ao contrário, o volume 
varia bastante com a pressão aplicada sobre ele (fluido compressível). 
Para entendermos um pouco melhor, considere um recipiente cilíndrico cheio 
de água e fechado por meio de um êmbolo, conforme a figura 1. A água contida no 
interior do cilindro não permite que o êmbolo desça. Ainda que seja exercida uma 
força F qualquer sobre este sistema, o volume ocupado pela água permanece o 
mesmo. 
 
 
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Ao contrário, se preenchemos o mesmo recipiente com um gás e aplicamos a 
mesma força F sobre o pistão, o gás é comprimido e seu volume diminui. E isso 
acontece porque as moléculas de um gás encontram-se livres, ocupando todo o 
espaço que as contém, e quando este espaço é reduzido, as moléculas do gás 
tendem a se aproximar, aumentando o valor de uma grandeza que chamamos 
pressão. 
Na explicação deste sistema, citamos três importantes grandezas físicas que 
serão muito usadas no estudo dos fenômenos de transporte. Força, volume e 
pressão. 
A força é o agente físico capaz de alterar o estado de repouso ou movimento 
de um corpo material. Ela é capaz também, de causar deformações na estrutura de 
corpos sólidos. 
Por sua definição, uma força pode ser escrita matematicamente como F = m a. 
E sabendo que no Sistema Internacional de medidas (SI) massa é medida em Kg 
(Quilograma) e aceleração em m/s2(metro por segundo ao quadrado), a unidade 
de Força é dada pela multiplicação ( Kg * m/s2), que leva o nome de Newton (N). 
Logo, 
1	ܰ	 ൌ 	1 ௄௚	௠௦మ ( Um Newton é igual a um quilograma metro por segundo ao 
quadrado ) 
 
O volume, por sua vez, é uma grandeza que expressa a magnitude da extensão 
de um corpo, ou seja, o espaço que este corpo ocupa num sistema de referência. E 
como extensão das definições de comprimento e área, o volume é medido no 
sistema Internacional pela unidade m3 (m*m*m) que corresponde a uma 
capacidade de 1000 L (litros). 
1m3 = 1000 L 
 
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A pressão é uma grandeza muito importante no estudo de fluidos e deve ser 
entendida conforme a sua definição: 
P = F/A (pressão é igual à Força dividido pela área). 
Observemos o seguinte exemplo: 
 
Ao pressionarmos um lápis entre as duas mãos abertas, a terceira lei de 
Newton (Lei de ação e reação), nos diz que a força aplicada a uma extremidade do 
lápis tem o mesmo valor que a força que o lápis aplica na outra mão. Contudo, é 
fácil perceber, que a mão que está em contato com a ponta do lápis sofre mais com 
a ação da força aplicada. 
Neste caso, o que percebemos, é a ação de uma pressão maior neste lado que 
possui a ponta, visto que a área de contato é bastante menor se comparada à área 
do lado sem ponta. 
Veja: 
P > p (pressão nas extremidades) , A > a (áreas de contato) 
 
 
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Sabendo que no sistema internacional de medidas a força é medida em 
Newton (N) e a área em m2 (metro quadrado), damos a esta grandeza derivada 
(N/m2), o nome de Pascal (Pa), que é a unidade de pressão do Sistema 
Internacional de medidas. 
Ou seja, 
1 Pa = 1 N / m2 ( Um Pascal é igual a um Newton por metro quadrado ). 
Observe no quadro abaixo outras unidades de pressão utilizadas no mundo e 
as relações de conversão entre estas. 
Tabela de conversão de escalas de pressão 
 Pascal Bar atmosfera 
padrão 
libra por polegada 
quadrada 
(Pa) (bar) (atm) (psi) 
1 Pa ≡ 1 N/m2 10−5 9.8692×10−6 1.450377×10−4 
1 bar 105 ≡ 100 kPa 
≡ 106 dyn/cm2 
0.98692 14.50377 
1 atm 1.01325×105 1.01325 1 14.69595 
1 psi 6.8948×103 6.8948×10−2 6.8046×10−2 ≡ 1 lbF /in2 
 
 
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Exemplo: 
Calcule a pressão exercida pelos quatro pneus de um carro que tem massa 
1200 Kg e sabendo que a área de contato de cada pneu com o chão é 204 cm2. 
Considere a aceleração da gravidade igual a 10 m/s2. 
A área de contato total dos 4 pneus é 
204 cm2 x 4 = 816 cm2 
Que corresponde a 0,0816 m2 
Então, a pressão exercida nos pneus pode ser calculada pela expressão 
 
ܲ	 ൌ 	 ܨܣ 
 
onde ࡲ	 ൌ 	࢖	 ൌ 	࢓	 ⋅ 	ࢍ	 ൌ 	૚૛૙૙	 ⋅ 	૚૙	 ൌ 	૚૛	ࡷࡺ 
 
Logo, ࡼ	 ൌ 	 ૚૛ࡷࡺ૙,૙ૡ૚૟	࢓² ൌ ૚૝ૠ.૙૟	ࡷࡼࢇ 
 
 
Tensões Em Um Fluido 
 
Considerando as forças existentes em um meio material, podemos separar 
estas em dois tipos principais: As forças superficiais e as forças volumétricas. 
As forças superficiais são aquelas que atuam diretamente num elemento de 
superfície do material, podendo gerar tensões de dois tipos: 
● Tensão Normal 
● Tensão Tangencial 
 
As tensões normais são aquelas aplicadas perpendicularmente ao elemento de 
superfície, e quando apontam para o interior do elemento chamam-se “tensões 
normais de compressão” (pressão); e quando apontam para fora do elemento de 
superfície são chamadas de “tensões normais de tração” (figura 3). 
 
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As tensões tangenciais, como o nome diz, têm direção tangente às superfícies 
de contato, e por isso tendem a produzir um deslizamento entre os elementos de 
fluido. É sobre estas tensões tangenciais que está a principal diferença entre sólidos 
e fluidos. 
Os corpos sólidos, quando são submetidos a forças externas tangenciais, 
tendem a equilibrar estas com as tensões tangenciais internas ao corpo. Isto faz 
que eles sofram uma deformação que aumenta conforme a intensidade da força 
externa aplicada. Já os líquidos, não conseguem equilibrar essas forças externas. 
Ainda que sejam pequenas, estas fazem o fluido escoar e permanecer em 
movimento até que a força seja cesse. 
Desta forma, uma força pequena pode gerar uma grande deformação ou 
deslocamento num fluido, desde que atue sobre este por longo tempo, e isso 
dependerá da viscosidade do fluido, que é uma medida da resistência que o fluido 
oferece no deslizamento entre camadas adjacentes. 
Podemos dizer que um fluido está em equilíbrio, quando o mesmo tem 
velocidade nula. Ou seja, não está sob ação de tensões tangenciais. 
 
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Massa específica 
 
Uma propriedade importante em qualquer meio material é a massa específica, 
que também é conhecida nos sólidos como densidade. Essa grandeza fornece a 
quantidade de massa por unidade de volume (no SI a sua unidade é Kg/m3) e é 
comumente representada pela letra grega ⍴ (rô). A massa específica pode variar 
ponto a ponto em um meio material ou ser constante em todo o meio. Quando 
isso ocorre, dizemos que o meio é homogêneo, e podemos escrever 
matematicamente através da seguinte razão: 
 
ߩ ൌ ܸ݉ 
 
Apesar da unidade de massa específica no SI ser Kg/m3, também é bastante 
utilizada a relaçãog/cm3 para medir a mesma. A relação entre estas é a seguinte: 
1 g/cm3 = 1000 Kg/m3 
Na tabela 1, são mostrados alguns valores de massa específica de materiais 
conhecidos. 
 
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Tabela 1 - Densidade de alguns elementos mais conhecidos 
Líquidos Sólidos 
Material Densidade 
(g/cm3) Material Densidade (g/cm
3) 
água a 4 ºC 1.0000 Magnésio 1.7 
água a 20 ºC 0.998 Alumínio 2.7 
Gasolina 0.70 Cobre 8.3-9.0 
Mercúrio 13.6 Ouro 19.3 
Leite 1.03 Aço 7.8 
Gases na CNTP* Chumbo 11.3 
Material Densidade 
(g/cm3) 
Platina 21.4 
Ar 0.001293 Urânio 18.7 
Hidrogênio 0.00009 Ósmio 22.5 
Hélio 0.000178 gelo a 0 ºC 0.92 
CO2 0.001977 
*CNTP - condições normais de temperatura e pressão 
Para obter a massa específica em Kg/m3, apenas multiplique por 1000. 
 
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Exemplo 1 
 
Determine a massa e o peso do ar no interior de uma sala de aula com uma 
altura de 3,0 m e um piso com uma área de 9,0 m x 5,0 m. Qual seria o valor da 
massa e do peso, caso o volume estivesse preenchido com água? 
 
Na tabela 1, encontramos a massa específica do ar e da água a 20ºC. 
O volume da sala é 
V = (9,0 m)x(5,0 m)x(3,0 m) = 135 m3 
 
A massa do ar pode ser obtida por: 
݉௔௥ 	ൌ 	ߩ௔௥ܸ	 ൌ 	 ሺ1,3	ܭ݃/݉³ሻ ⋅ ሺ135	݉³ሻ 	ൌ 175,5	ܭ݃ 
Assim, o peso do ar é: 
௔ܲ௥ 	ൌ 	݉௔௥ 	 ⋅ ݃	 ൌ	 ሺ175,5	ܭ݃ሻ ⋅ ሺ9,8	݉/ݏ²ሻ 	ൌ 	1719,9	ܰ 
A massa de água necessária para ocupar o mesmo volume seria: 
݉௔௚௨௔ ൌ ߩ௔௚௨௔ 	ܸ	 ൌ ሺ1000	ܭ݃/݉³ሻ ⋅ ሺ135	݉³ሻ 	ൌ 	1,35	 ൈ 10⁵		ܭ݃ 
Logo, o peso seria: 
௔ܲ௚௨௔ 	ൌ 	݉௔௚௨௔ 	 ⋅ ݃	 ൌ 	 ሺ1,35	 ൈ 10⁵		ܭ݃ሻ ⋅ ሺ9,8	݉/ݏ²ሻ 	 ൌ 	1,3	 ൈ 10⁶	ܰ	 
 
que corresponde ao peso de 130 toneladas de água. 
 
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Peso específico 
 
Representado pela letra ઻, o peso específico é uma grandeza que representa o 
peso de uma unidade de volume de um fluido. E por isso, é escrito 
matematicamente como: 
ߛ ൌ	 ܸܲ 	ൌ
݉	 ⋅ ݃	
ܸ 
logo, 
ߛ ൌ 	ߩ	 ⋅ ݃ 
com unidade de medida 
ሾߛሿ 	ൌ 	 ൤ܭ݃݉³ ⋅
݉
ݏ²൨ ൌ 	 ൤
ܰ
݉³൨ 
 
Exemplo: 
Se 5 m3 de uma determinada substância pesa 42 KN, determine o peso 
específico e a massa específica. 
Solução: 
Calculando o peso específico 
ߛ ൌ ܸܲ	 ൌ
݉ ⋅ ݃
ܸ ൌ
42	ܭܰ
5	݉ଷ ൌ 	8400	
ܰ
݉³ 
Com este resultado podemos encontrar a massa específica apenas dividindo a 
expressão anterior pela aceleração da gravidade (g = 10 m/s2). 
Logo, 
ߩ ൌ 	840ܭ݃݉³ 
 
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Campo de Velocidades 
 
Um fluido é considerado um meio contínuo. Suas moléculas interagem 
continuamente umas com as outras, e não apresentam comportamento de 
partícula. Neste tipo de sistema, a velocidade em qualquer ponto do campo de 
escoamento pode variar de um instante a outro. Assim, a sua representação geral 
pode ser dada como função das dimensões de espaço e tempo. 
VሬሬԦ ൌ VሬሬԦሺx, y, z, tሻ	ou	 ப୚ሬሬԦப୲ ് 0(Escoamento transiente) 
 
O vetor velocidade, pode também ser escrito em termos dos seus três 
componentes escalares. 
VሬሬԦ ൌ μıԦ ൅ vȷԦ൅ ωkሬԦ ૄ = Mi; ܞ = Ni; ૑ = Ômega 
 
Se as propriedades do escoamento não mudam em cada ponto com o passar 
do tempo, dizemos que este é um escoamento permanente ou estacionário. 
VሬሬԦ ൌ VሬሬԦሺx, y, zሻ	ou	 ப୚ሬሬԦப୲ ൌ 0 (Escoamento permanente) 
 
Em termos das dimensões, um escoamento pode ser classificado como 
Unidimensional, Bidimensional e Tridimensional, de acordo com a quantidade de 
coordenadas espaciais necessárias para especificar o campo de velocidade. 
VሬሬԦ ൌ VሬሬԦሺx, y, z, tሻ (Escoamento tridimensional e transiente) 
 
VሬሬԦ ൌ VሬሬԦሺx, y, zሻ (Escoamento tridimensional e permanente) 
 
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Viscosidade 
 
A viscosidade é uma propriedade que representa a capacidade que um fluido 
tem para resistir às tensões de cisalhamento. Ou seja, corresponde ao atrito interno 
entre as moléculas que compõem o fluido. 
A viscosidade mede a resistência de um líquido em fluir, e não está 
diretamente relacionada com a massa específica do líquido, que é uma relação 
massa/volume. Um exemplo claro desta diferença, podemos verificar com o óleo, 
que é mais viscoso do que a água, embora sendo menos denso. 
 
Tensão de cisalhamento 
 
A Tensão de cisalhamento é definida como a razão entre a componente 
tangencial da força e o módulo da área na qual esta força está sendo aplicada. 
߬ ൌ ܨݐܣ (1) 
 
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Similarmente à pressão, que é definida como a razão entre a componente 
normal da força e o módulo da área em que esta força é aplicada. 
ܲ	 ൌ ி೙஺ (2) 
 
Para compreendermos a formulação matemática da viscosidade, 
consideremos um fluido em repouso entre duas placas planas. 
 
 
A placa superior se desloca pela ação de uma força tangencial Ft 
Esta força gera uma tensão de cisalhamento 
A camada de fluido diretamente em contato com a placa superior adquire a 
mesma velocidade da placa. 
Consequentemente, pelo princípio da aderência, as camadas inferiores vão 
adquirindo velocidades cada vez menores, até que o valor chegue à zero junto à 
placa inferior. 
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Esta diferença de velocidades verificada em uma seção normal às placas é que 
gera as tensões de cisalhamento e causa uma deformação contínua no fluido. 
Por meio desta análise, podemos verificar também, que a tensão de 
cisalhamento é proporcional à variação de velocidade na direção normal às placas. 
߬	ߙ ௗ௩	ௗ௬ (3) 
 
O coeficiente de proporcionalidade que transforma a equação anterior em 
uma igualdade é chamado viscosidade dinâmica (ૄ) 
߬ ൌ 	ߤ݀ݒ݀ݕ			 (4) ( Lei de Newton da viscosidade) 
Matematicamente, a viscosidade dinâmica é um coeficiente de 
proporcionalidade entre a tensão de cisalhamento e o gradiente de velocidade. 
Quando o fluido apresenta uma relação linear entre as tensões de cisalhamento e o 
gradiente de velocidade, eles são classificados como fluidos newtonianos. 
 
Relação linear entre tensão de cisalhamento e gradiente de velocidade 
 
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 Essa viscosidade dinâmica depende fortemente da temperatura do fluido, e 
causa grande diferença de comportamento entre líquidos e gases. Nos líquidos, a 
viscosidade diminui com o aumento da temperatura. 
 
Dimensão da viscosidade (SI) 
 
Comparando as equações 1 e 4 
߬ ൌ 	 ி஺	 ൌ ቂ
௄௚	௠
௦²	௠	௠ቃ ൌ ߤ ⋅ ቂ
௠
௦	௠ቃ 
verificamos que a unidade de medida da viscosidade dinâmica é 
ߤ ൌ ൤ܭ݃ݏ	݉൨ ൌ ሾܲܽ	 ⋅ ݏሿ 
Dividindo a viscosidade absoluta, ߤ , pela massa específica do fluido, ߩ , 
obtemos uma outra quantidade útil, que é a viscosidade cinemática: 
ߥ ൌ 	ߤߩ 
 
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Influência da temperatura na viscosidade dinâmica: 
 
 
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41 
 
Nos líquidos, a intensidade das ligações moleculares é a causa dominante da 
viscosidade. Conforme a temperatura de um líquido aumenta, estas forças de 
ligação coesivas diminuem, resultando na diminuição da viscosidade; 
Nos gases, a viscosidade é efeito das colisões aleatórias entre as moléculas do 
gás. E como esta agitação molecular aumenta com a temperatura, a viscosidade 
dos gases também aumenta com a temperatura. 
A viscosidade dos líquidos e gases também varia com a pressão. Mas muito 
pouco dentro de um intervalo de pressão considerável. Assim, costuma-se 
considerar a viscosidade como independente da pressão. 
ߤ	 ൌ 	ߤሺܶሻ Viscosidade como função da temperatura 
Fluidos Newtonianos e não Newtonianos 
Como dissemos anteriormente, os fluidos newtonianos são aqueles que 
apresentam uma relação linear entre as tensões de cisalhamento eo gradiente de 
velocidade. Portanto, a viscosidade aparece como um valor constante. 
Já os fluidos não newtonianos apresentam uma viscosidade que não 
apresenta este comportamento regular. Esta pode variar com a força aplicada, e até 
mesmo variar no tempo; gerando um comportamento diferenciado como o das 
misturas heterogêneas como concreto, massa de amido e água etc. 
 
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Assim, podemos dizer que fluidos não newtonianos não têm viscosidade 
muito bem definida. 
Figura xxx: Tensão de cisalhamento em alguns tipos de fluido 
 
Fonte:Fox R. W., McDonald A. T. e Pritchard P. J., Introdução à mecânica dos fluidos 
 
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Exemplo 
 
Um reservatório graduado contém 500 ml de um líquido que pesa 6 N. 
Determine o peso específico e massa específica do líquido ( considerar g=9,8 m/s2 ). 
Solução 
 
ܸ	 ൌ 	500	݈݉	 ൌ 	0,5	ܮ	 ൌ 	5,0 ൈ 10⁻⁴	݉³ 
ߛ ൌ 	݉	 ⋅ ܸ݃ 	ൌ 	
6	ܰ
5,0	 ൈ 10ିସ݉³ ൌ 12000	ܰ/݉³ 
 
 
ߩ ൌ ߛ݃ ൌ 	
12000	ܰ/݉³
9,8	݉/ݏ² ൌ 1224,5	ܭ݃/݉³ 
 
É hora de se avaliar! 
Lembre-se de realizar as atividades desta unidade de estudo. Elas irão 
ajudá-lo a fixar o conteúdo, além de proporcionar sua autonomia no processo de 
ensino-aprendizagem. 
 
 
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Exercícios - Unidade 2 
 
1.A massa específica de um fluido é 610 Kg/m3. Determine o peso específico 
deste fluido. 
 
 
 
 
 
 
2.O peso de 3 dm3 de uma substância é 23,5 N. A viscosidade Cinemáica é de 
10-5 m2/s. Se g = 10 m/s2 qual será a viscosidade dinâmica no SI? 
 
 
 
 
 
 
 
3.A Lua possui massa de 7,35 x 1022 Kg e raio igual a 1740 Km. Qual é a sua 
densidade média? 
 
 
 
 
 
 
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4.Você compra uma peça retangular de metal com massa de 0,0158 Kg e com 
dimensões 5,0 x 15,0 x 30,0 mm. O vendedor diz que o metal é ouro. Para verificar 
se é verdade você deve calcular a densidade média da peça. Qual o valor obtido? 
 
 
 
 
 
 
5.Um sequestrador exige como resgate um cubo de platina com 40,0 Kg. Qual 
é o comprimento da aresta? 
 
 
 
 
 
 
 
6.Para um carro com massa 1650 Kg, qual deverá ser a área de contato de cada 
pneu com o solo, para que haja uma pressão de 8,25 x 104 Pa entre eles? Considere 
a aceleração da gravidade 10 m/s2. 
 
 
 
 
 
 
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7.Um tanque de ar comprimido contém 6 Kg de ar a 80ºC, com peso específico 
de 38,68 N/m3. Determine o volume do tanque. 
 
 
 
 
8.Um reservatório cilíndrico possui diâmetro de base igual a 2m e altura de 4m, 
sabendo-se que o mesmo está totalmente preenchido com gasolina (ρ = 720 
kg/m3), determine a massa de gasolina presente no reservatório. 
 
 
 
 
9.Um reservatório cúbico com 2m de aresta está completamente cheio de óleo 
lubrificante (ver propriedaes na Tabela). Determine a massa de óleo quando 
apenas ¾ do tanque estiver ocupado. Dados: γH2O = 10000N/m3, g = 10m/s2. 
 
 
 
 
10.Duas placas planas paralelas estão situadas a 3 mm de distância. A placa 
superior move-se com velocidade de 4 m/s, enquanto que a inferior está imóvel. 
Considerando que um óleo (ߥ ൌ 1,5	 ൈ 10െ5	݉2/ݏ		ߩ ൌ 905	ܭ݃/݉³	) ocupa o 
espaço entre elas, determine a tensão de cizalhamento que agirá sobre o óleo.