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UNIVERSIDADE ESTADUAL DO PIAUÍ – UESPI 
CAMPUS CLÓVIS MOURA – CCM 
PROJETO DE EXTENSÃO UNIVERSITÁRIA: PEDAGOGIANDO PELA PAZ 
A UESPI NA FAZENDA DA PAZ 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
MINISTRANTE: ARNONN SOUSA DOS SANTOS 
 
 
 
 
APOSTILA 1 
PREPARATÓRIO 
MATEMÁTICA 
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A UESPI NA FAZENDA DA PAZ 
 
SUMÁRIO 
1. Plano Cartesiano 
2. Sequência Numérica 
3. Razão e Proporção 
a. Razão 
b. Algumas razões especiais 
c. Proporção 
d. Propriedade Fundamental das Proporções 
e. Outras propriedades das proporções 
4. ATIVIDADES GERAIS 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
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Plano Cartesiano 
Plano cartesiano é um método criado pelo filósofo e matemático 
francês, René Descartes. Trata-se de dois eixos perpendiculares que 
pertencem a um plano em comum. Descartes criou esse sistema de 
coordenadas para demostrar a localização de alguns pontos no espaço. Esse 
método gráfico é utilizado em diversas áreas, sobretudo na matemática e na 
cartografia. 
Para localizar pontos num plano cartesiano, devemos ter em conta 
algumas indicações importantes: 
 
 A linha vertical é chamada de eixo das ordenadas (y). 
 Já a linha horizontal é chamada de eixo das abscissas (x). 
 Com a intersecção dessas linhas temos a formação de 4 
quadrantes: 
 
É importante notar que no plano cartesiano os números podem ser 
positivos ou negativos. 
Ou seja, os números positivos vão para cima ou para a direita, 
dependendo do eixo (x ou y). Já os números negativos, vão para a esquerda 
ou para baixo. 
 
 1.º quadrante: os números sempre serão positivos: x > 0 e y > 0 
 2.º quadrante: os números são negativos ou positivos: x < 0 e y > 0 
 3.º quadrante: os números são sempre negativos: x < 0 e y < 0 
 4.º quadrante: os números podem ser positivos ou negativos: x > 0 e y < 
0 
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EXEMPLO 
As coordenadas cartesianas são representadas por dois números 
racionais () entre parênteses, os quais são chamados de elementos: 
 
A: (4, 7) 
B: (8, -9) 
C: (-2, 2) 
D: (-5, -4) 
E: (5, 3) 
 
Esses elementos formam um “par ordenado”. O primeiro elemento 
corresponde ao eixo das abscissas (x). Já o segundo elemento corresponde 
ao eixo das ordenadas (y). 
Note que o ponto em que os eixos se encontram é chamado de 
“origem” e corresponde ao par ordenado (0, 0). 
 
 
 
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1) Localize os pares ordenados no plano cartesiano: 
a) (-9, 4) 
b) (8, 3) 
c) (0, -3) 
d) (-4, -9) 
e) (8, 0) 
 
2) Em quais quadrantes estão localizados os pontos: 
a) (-2, -4) 
b) (3, 1) 
c) (0, 6) 
d) (8, -7) 
EXERCÍCIO DE FIXAÇÃO 
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e) (9, -3) 
 
3) Qual par ordenado não está representado no plano cartesiano? 
a) (3, -4) 
b) (4, -3) 
c) (-8, -9) 
d) (8, 9) 
e) (9, -8) 
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Sequência Numérica 
O diário do professor é composto pelos nomes de seus alunos. Esses 
nomes obedecem a uma ordem (são escritos em ordem alfabética), assim, 
essa lista de nomes (diário) é considerada uma sequência. 
Os dias do mês são dispostos no calendário obedecendo a certa ordem, que 
também é um tipo de sequência. 
 
 Esses e vários outros exemplos de sequência estão presentes em 
nosso cotidiano. Observando-os, podemos definir sequência como: 
 
 Sequência é todo conjunto ou grupo no qual os seus elementos estão 
escritos em uma determinada ordem. 
 
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No estudo da matemática estudamos um tipo de sequência: a 
sequência numérica. Essa sequência que estudamos em matemática é 
composta por números que estão dispostos em uma determinada ordem 
preestabelecida. 
As sequências são separadas em dois tipos: 
 Sequência finita é uma sequência numérica na qual os elementos 
têm fim, como, por exemplo, a sequência dos números múltiplos 
de 5 maiores que 5 e menores que 35. 
 Sequência infinita é uma sequência que não possui fim, ou seja, 
seus elementos seguem ao infinito, por exemplo: a sequência dos 
números naturais. 
 Ao representarmos uma sequência numérica, devemos colocar seus 
elementos entre parênteses. 
EXEMPLO 
• (2, 4, 6, 8, 10, 12, ... ) é uma sequência de números pares positivos. 
• (1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9, 10, 11...) é uma sequência de números 
naturais. 
• (10, 20, 30, 40, 50...) é uma sequência de números múltiplos de 10. 
• (10, 15, 20, 30) é uma sequência de números múltiplos de 5, 
maiores que cinco e menores que 35. 
Em uma sequência numérica qualquer, o primeiro termo é 
representado por a1, o segundo termo é a2, o terceiro a3 e assim por diante. 
Em uma sequência numérica desconhecida, o último elemento é 
representado por an. A letra n determina o número de elementos da 
sequência. 
 
(a1, a2, a3, a4, ... , an, ... ) - sequência infinita. 
 
(a1, a2, a3, a4, ... , an) - sequência finita. 
 
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Para obtermos os elementos de uma sequência é preciso ter uma lei 
de formação da sequência. 
EXEMPLO 
Determine os cinco primeiros elementos de uma sequência tal que an 
= 10
n
 + 1, n N* 
 
a1 = 10
1
 + 1 = 10 + 1 = 11 
a2 = 10
2
 + 1 = 100 + 1 = 101 
a3 = 10
3
 + 1 = 1000 + 1 = 1001 
a4 = 10
4
 + 1 = 10000 + 1 = 10001 
a5 = 10
5
 + 1 = 100000 + 1 = 100001 
 
Portanto, a sequência será (11, 101, 1001, 10001, 100001). 
 
 
 
1. Que numero corresponde a sequência a seguir: 1, 3, 5, 7, 9, 11... 
a) 12 
b) 13 
c) 14 
d) 15 
e) 16 
2. Que numero corresponde a sequência a seguir: 0, 1, 1, 2, 3, 5, 8... 
a) 9 
b) 10 
c) 11 
d) 12 
e) 13 
3. Que numero corresponde a seqüência a seguir: 1, 0, 2, 1, 3, 2... 
a) 3 
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b) 4 
c) 5 
d) 6 
e) 7 
4. Que numero corresponde a sequência a seguir: 2, 10, 12, 16, 17, 18, 19... 
Complete. 
__________________ 
5. Que numero corresponde a sequência a seguir: 37, 31, 29, 23, 19, 17... 
a) 16 
b) 15 
c) 14 
d) 13 
e) 12 
6. Que numero corresponde a sequência a seguir: 1, 2, 2, 4, 8, 32... 
a) 32 
b) 64 
c) 256 
d) 288 
e) 352 
Razão e Proporção 
1. Razão 
Quando comparamos dois números, usando uma divisão, o resultado 
obtido chama-se razão entre esses dois números. 
A razão 
𝑎
𝑏
 ou a:b pode ser lida de uma das seguintes maneiras: 
 Razão de a para b 
 aestá para b 
 a para b 
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Os termos de uma razão, na forma fracionária ou como uma divisão, 
recebem nomes especiais: o primeiro número denomina-se antecedente e o 
segundo número, consequente. 
𝑎
𝑏
 
 𝑎 ∶ 𝑏 
 
 
 
EXEMPLO 
o No último concurso da Polícia Militar do Piauí, compareceram para 
fazer a prova: 23.234 candidatos para disputarem as 400 vagas. 
 Vamos comparar esses dois números 
 Dividindo o número de candidatos pelo número de vagas 
23.234 ∶ 400 =
23.234
400
≅
58
1
 
Dizemos que há 58 candidatos para cada vaga ou que a razão entre o 
número de candidatos e o número de vagas é de 58 para 1. 
 Dividindo o número de vagas pelo número de candidatos 
400 ∶ 23.234 =
400
23.234
≅
1
58
 
Dizemos que para cada vaga há 58 candidatos ou que a razão entre o 
número de vagas e o número de candidatos é de 1 para 58. 
o Um aluno do Colégio Aretusa Jéssica, estava treinando arremessos para 
o jogo do time da escola. Ao final do treino, ele fez 60 arremessos em 
direção à cesta, acertou 30. Qual seria a razão entre o número de acertos 
e o número total de arremessos feitos por esse aluno? 
ANTECEDENTE 
CONSEQUENTE 
CONSEQUENTE 
ANTECEDENTE 
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30 ∶ 60 =
30
60
≅
1
2
 
Podemos ver que o resultado deu 1 para 2, ou seja, para cada 2 
arremessos à cesta, o aluno acertou 1. 
 
 
 
 
1. Em 2009, 800 pessoas participaram da Semana Cultural do Bairro. Em 
2010, o número de participantes foi 880, no mesmo evento. Qual a razão 
entre o número de participantes em 2010 e o número de participantes em 
2009? 
2. Sabe-se que um avião Airbus A3-100 tem 80 metros de envergadura por 
72 metros de comprimento. Calcule, na forma decimal, a razão entre o 
comprimento e a envergadura desse tipo de avião. 
3. No Campeonato Amapaense de Futebol do ano de 2008, o Amapá Clube 
fez 10 pontos de 27 pontos disputados, qual é o índice de aproveitamento 
da equipe? 
a) 35% 
b) 36,5% 
c) 37,03% 
d) 38% 
e) 39% 
4. A última edição do campeonato paraense teve a seguinte classificação: 
 
Pos Times Pts J V E D GP GC SG % 
1 Paysandu 28 14 8 4 2 23 8 +15 - 
2 Remo 26 14 7 5 2 23 13 +10 - 
3 Independente 25 14 7 4 3 21 15 +6 - 
4 São Raimundo-PA 19 14 4 7 3 17 14 +3 - 
Qual é o índice de aproveitamento dos quatro clubes, pela ordem de 
classificação: do 1º para o 4º? 
a) 66,6%, 61,90%, 59,5%, 45,2% 
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b) 75,4%, 64,9%, 36,5%, 34% 
c) 80%, 85,3%, 43,2%, 37,03% 
d) 38%, 67,9%, 32%, 99,9% 
e) 66%, 60%, 58,9%, 45,5% 
2. Algumas razões especiais 
a) Velocidade Media 
Denomina-se velocidade média a razão entre a distância total percorrida 
e o tempo gasto para percorrê-la. 
𝑣𝑒𝑙𝑜𝑐𝑖𝑑𝑎𝑑𝑒 𝑚𝑒𝑑𝑖𝑎 =
𝑑𝑖𝑠𝑡â𝑛𝑐𝑖𝑎 𝑝𝑒𝑟𝑐𝑜𝑟𝑟𝑖𝑑𝑎
𝑡𝑒𝑚𝑝𝑜 𝑔𝑎𝑠𝑡𝑜
 
b) Escala 
 Uma das aplicações da ideia de razão entre duas grandezas encontra-
se na escala de redução ou na escala de ampliação, conhecidas 
simplesmente como escala. 
 Denomina-se escala de um desenho a razão entre o comprimento 
considerado no desenho e o correspondente comprimento real, medidos 
com a mesma unidade. Em geral, utilizamos as medidas em centímetro para 
determinar uma escala. 
𝑒𝑠𝑐𝑎𝑙𝑎 =
𝑐𝑜𝑚𝑝𝑟𝑖𝑚𝑒𝑛𝑡𝑜 𝑑𝑜 𝑑𝑒𝑠𝑒𝑛ℎ𝑜
𝑐𝑜𝑚𝑝𝑟𝑖𝑚𝑒𝑛𝑡𝑜 𝑟𝑒𝑎𝑙
 
 
EXEMPLO 
o O metrô de Teresina percorre a extensão completa de 13,5 km em 2 
horas. Qual foi a velocidade media do metrô nesse percurso. 
𝑣𝑒𝑙𝑜𝑐𝑖𝑑𝑎𝑑𝑒 𝑚𝑒𝑑𝑖𝑎 =
𝑑𝑖𝑠𝑡â𝑛𝑐𝑖𝑎
𝑡𝑒𝑚𝑝𝑜
=
13,5𝑘𝑚
2ℎ
= 6,75 𝑘𝑚/ℎ 
 A velocidade média do metrô foi de 6,75 km/h, que se lê: 6,75 
quilômetros por hora. 
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o Vamos dizer que Mão Santa está no Campus Clóvis Moura, e ele deseja 
ir para a Praça Cultural do Dirceu 1 para fazer um comício. 
 
 
Ele pegou o mapa do bairro e mediu a distancia entre o campus e a 
praça que foi de 6,5 cm. Sabendo que a escala utilizada é 1:10.000 cm, 
qual é a distância real do campus para a praça? 
 
 A escala de 1:100, significa que a cada 1 cm no desenho corresponde 
a 10.000 cm no real, ou seja, a 0,1 km. 
𝑒𝑠𝑐𝑎𝑙𝑎 =
𝑑𝑖𝑠𝑡â𝑛𝑐𝑖𝑎 𝑑𝑜 𝑑𝑒𝑠𝑒𝑛ℎ𝑜
𝑑𝑖𝑠𝑡â𝑛𝑐𝑖𝑎 𝑟𝑒𝑎𝑙
 
Distância do desenho = 6,5 cm 
Distância real = x 
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1
10.000 𝑐𝑚
=
6,5 𝑐𝑚
𝑥
⇒ 𝑥 = 10.000 . 6,5 ⇒ 𝑥
= 65000 𝑐𝑚 
100𝑐𝑚
65.000𝑐𝑚
=
1 𝑚
𝑥
 ⇒ 𝑥 =
65.000
100
= 650 𝑚 
1000 𝑚
650 𝑚
=
1 𝑘𝑚
𝑥
 ⇒ 𝑥 =
650
1000
= 0,65 𝑘𝑚 ≅ 1 𝑘𝑚 
 A distância de 6,5 cm do desenho correspondente à distância real de 
0,65 km. Assim, Mão Santa vai percorrer cerca de 1 km. 
 
 
 
1. Um automóvel percorreu 510 km em 6 horas. Qual foi a velocidade 
média do automóvel nesse percurso? 
2. Leia as informações e, depois, responda às perguntas. 
 A distância entre a Terra e o Sol é de, aproximadamente, 150.000.000 
km. 
 A luz do Sol, para atingir a Terra, leva em torno de 500 segundos. 
a) Qual é a velocidade da luz no vácuo? 
b) Quantos minutos a luz do Sol leva para chegar à Terra? 
3. Se um veículo se deslocar com uma velocidade média de 9 km/h, 
quantos quilômetros ele irá percorrer em:. 
a) 1 hora? 
b) 2 horas? 
c) 2 horas e meia? 
 c) Densidade de um corpo 
 Para calcular a densidade de um corpo, também se aplica a ideia de 
razão entre duas grandezas. Assim, a densidade de um corpo é dada pela 
razão entre a mesma e o volume desse corpo, ou seja: 
𝑑𝑒𝑛𝑠𝑖𝑑𝑎𝑑𝑒 =
𝑚𝑎𝑠𝑠𝑎 𝑑𝑜 𝑐𝑜𝑟𝑝𝑜
𝑣𝑜𝑙𝑢𝑚𝑒 𝑑𝑜 𝑐𝑜𝑟𝑝𝑜
 
 
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 d) Densidade Demografica 
 O cálculo da densidade demográfica também é uma aplicação de 
razão entre duas grandezas. Ela expressa o número de habitantes por 
quilometro quadrado de uma região. Assim, densidade demográfica é a 
razão entre o número de habitantes e a área da região ocupada, ou seja: 
𝑑𝑒𝑛𝑠𝑖𝑑𝑎𝑑𝑒 𝑑𝑒𝑚𝑜𝑔𝑟á𝑓𝑖𝑐𝑎 =
𝑛ú𝑚𝑒𝑟𝑜 𝑑𝑒 ℎ𝑎𝑏𝑖𝑡𝑎𝑛𝑡𝑒𝑠
á𝑟𝑒𝑎 𝑑𝑎 𝑟𝑒𝑔𝑖ã𝑜 𝑜𝑐𝑢𝑝𝑎𝑑𝑎
 
EXEMPLO 
o Uma escultura em bronze tem 3,5 kg de massa e volume de 400cm³. 
Qual é a densidade dessa escultura de bronze? 
 
De acordo com os dados, temos: 
𝑑𝑒𝑛𝑠𝑖𝑑𝑎𝑑𝑒 =
𝑚𝑎𝑠𝑠𝑎 𝑑𝑜 𝑐𝑜𝑟𝑝𝑜
𝑣𝑜𝑙𝑢𝑚𝑒 𝑑𝑜 𝑐𝑜𝑟𝑝𝑜
=
3,5 𝑘𝑔
400𝑐𝑚3
=
3500𝑔
400𝑐𝑚3
= 8,75 𝑔/𝑐𝑚³ 
Logo, a densidade dessa escultura de bronze é 8,75 g/cm³. 
 
o Tocantins é o mais novo dos 26 estados brasileiros e ocupa uma área 
aproximada de 280.000km². De acordo com o IBGE, em 2005, o estado 
de Tocantins tinha uma população aproximada de 1.300.000 habitantes. 
Qual era, então, a densidade demográfica aproximada desse estado 
nesse ano? 
 
De acordo com os dados do exemplo, temos: 
 
𝑑𝑒𝑛𝑠𝑖𝑑𝑎𝑑𝑒 𝑑𝑒𝑚𝑜𝑔𝑟á𝑓𝑖𝑐𝑎 =
1.300.000 ℎ𝑎𝑏
280.000𝑘𝑚²
= 4,6 ℎ𝑎𝑏/𝑘𝑚² 
 
Logo, a densidade demográfica do estado do Tocantins era de 4,6 hab/km², 
aproximadamente. 
 
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1. Sabe-se que um bloco maciço de madeira tem 14 kg de massa e ocupa 
um volume de 25dm³. Qual a densidade desse bloco? 
2. A água-marinha é uma das pedras semipreciosas mais admiradas em 
todo o mundo. Suponha que uma água-marinha tenha 8,1 g de massa e 
ocupe o volume de 3cm³. Qual a densidade dessa pedra? 
3. Um fio de platina ocupa um volume de 0,2cm³. Sabendo que a massa 
do fio é 4,3 g. Determine a densidade desse metal. 
 e) As razoes escritas na forma percentual 
 Além da forma fracionária e da forma decimal, uma razão também 
pode ser representada na forma percentual, com o símbolo %. 
 Podemos dizer que: 
𝑇𝑜𝑑𝑎 𝑟𝑎𝑧ã𝑜
𝑎
𝑏
, 𝑛𝑎 𝑞𝑢𝑎𝑙 𝑏 = 100, 𝑝𝑜𝑑𝑒 𝑠𝑒𝑟 𝑒𝑠𝑐𝑟𝑖𝑡𝑎 
𝑛𝑎 𝑓𝑜𝑟𝑚𝑎 𝑑𝑒 𝒑𝒐𝒓𝒄𝒆𝒏𝒕𝒂𝒈𝒆𝒎. 
 
 Assim, temos: 
30
100
= 0,30 = 30% 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
Forma fracionária 
Forma decimal 
Forma percentual 
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f) Representando uma razão na forma 
percentual 
 Para representar uma razão 
𝑎
𝑏
 na forma percentual, temos dois casos 
a considerar. 
1º caso: O consequente b é um fator natural de 100. 
1
2
=
50
100
= 50% 
 Razão equivalente de consequente igual a 100 
4
5
=
80
100
= 80% 
 Razão equivalente de consequente igual a 100 
2º caso: O consequente b não é um fator natural de 100. 
3
8
= 0,375 =
0,375.100
100
=
37,5
100
= 37,5% 
7
12
= 0,583 =
0,583.100
100
=
58,3
100
= 58,3% 
 
 Uma razão escrita na forma percentual pode ser representada 
também na forma fracionária e na forma decimal. Veja: 
35% =
35
100
=
7
20
 
FORMA FRACIONÁRIA 
35% =
35
100
= 0,35 
 
FORMA DECIMAL 
 
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EXEMPLO 
o Para esculpir uma obra de arte em bronze, um escultor fundiu 23 kg de 
cobre com 2 kg de estanho. Vamos calcular o teor de cada metal nessa 
liga de bronze. 
A massa total do material é igual à soma das massas dos metais que 
compõem a liga. Logo: 
Massa total = 23 kg + 2 kg = 25 kg 
Nos 25 kg de bronze, temos 23 kg de cobre, o que nos dá razão de 23 
para 25. Essa razão pode ser escrita na forma de porcentagem: 
23
25
= 0,92 =
92
100
= 92% 
 Nos 25 kg de bronze, temos 2 kg de estanho, o que nos dá razão de 2 
para 25. Representando na forma percentual, temos: 
2
25
= 0,08 =
8
100
= 8% 
 Essas informações caracterizam, respectivamente, os teores de cobre 
e de estanho na liga metálica bronze: 
TEOR DE COBRE 92% 
TEOR DE ESTANHO 8% 
 
o Um desconto de 7 mil reais sobre um preço de 20 mil reais representa 
quantos por cento? 
 
Inicialmente, temos a razão 7 para 20, ou seja, 
7
20
. 
Usando frações equivalentes, temos: 
7
20
=
35
100
= 35% 
Usando a forma decimal, temos: 
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7
20
= 0,35 =
35
100
= 35% 
Como pudemos ver, 7 mil reais representam 35% de desconto 
 
 
 
1. O Brasil tem três grandes campeões na Fórmula 1: 
RESUMO DA ATUAÇÃO DOS CAMPEÕES BRASILEIROS DE 
FÓRMULA 1 
Piloto 
Emerson 
Fittipaldi 
Nelson Piquet Ayrton Senna 
Grandes Prêmios 
(GP) disputados 
149 207 162 
Vitórias 14 23 41 
Títulos 2 3 3 
 
De acordo com a tabela, responda: 
a) De quantos por cento foi a taxa de vitórias de cada um em relação ao 
número de GPs disputados? 
b) Qual deles teve melhor índice de aproveitamento? 
2. Cinco minutos representam quantos por cento de uma hora? 
3. 19 pessoas representam quantos por cento de um grupo de 200 
pessoas? 
3. Proporcao 
Uma sentença matemática que expressa uma igualdade entre duas 
razões é chamada proporção. 
Proporção é uma igualdade entre duas razões 
 
Quatros números racionais a, b, c e d, diferentes de zero, tomados nessa 
ordem, formam uma proporção quando: 
EXERCÍCIO DE FIXAÇÃO 
UNIVERSIDADE ESTADUAL DO PIAUÍ – UESPI 
CAMPUS CLÓVIS MOURA – CCM 
PROJETO DE EXTENSÃO UNIVERSITÁRIA: PEDAGOGIANDO PELA PAZ 
A UESPI NA FAZENDA DA PAZ 
 
𝑎 ∶ 𝑏 = 𝑐 ∶ 𝑑 𝑜𝑢
𝑎
𝑏
=
𝑐
𝑑
 
Na proporção 
𝑎
𝑏
=
𝑐
𝑑
, temos: 
 Os números a, b, c e d são denominados termos da proporção. 
 O primeiro e o quarto termos são denominados extremos, enquanto 
o segundo e o terceiro são denominados meios. 
𝑎 ∶ 𝑏 = 𝑐 ∶ 𝑑 
a e d : extremos 
b e c: meios 
𝑎
𝑏
=
𝑐
𝑑
 
a e d : extremo 
b e c : meios 
EXEMPLO 
o A Organização Mundial da Saúde (OMS), órgão da ONU que trata dos 
temas ligados à saúde, recomenda 1 médico para cada grupo de 1000 
habitantes. Nessas condições quantos médicos deveria ter uma cidade 
com 50.000 habitantes? 
 
De acordo com o problema, organizamos a tabela: 
 
Nº de habitantes Nº de médicos 
1.000 1 
2.000 2 
3.000 3 
4.000 4 
5.000 5 
6.000 6 
... ... 
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A UESPI NA FAZENDA DA PAZ 
 
10.000 10 
... ... 
50.000 50 
 
A cidade deveria ter 50 médicos 
Observe que as razões 
1
1000
 𝑒 
50
50.000
 são iguais. 
Então, 
1
1000
=
50
50.000
 é uma proporção. 
4. Propriedade Fundamental das Proporcoes 
De modo geral, em toda proporção, o produto dos extremos é igual ao 
produto dos meios e vice-versa. 
𝑎
𝑏
=
𝑐
𝑑
 ⇔ 𝑎 ∙ 𝑑 = 𝑏 ∙ 𝑐 
 
EXEMPLO 
o Na proporção 
6
9
=
12
18
, temos: 
 Produto dos extremos: 6. 18 = 108 
 Produto dos meios: 9. 12 = 108 
6.18 = 9. 12 
5. Outras propriedades das proporções 
1º PROPRIEDADE: Em toda proporção, a soma ou a diferença dos dois 
primeiros termos está para o primeiro (ou para o segundo), assim como a 
soma ou a diferença dos dois últimos termos está para o terceiro (ou para o 
quarto). 
 
𝑎
𝑏
=
𝑐
𝑑
 ⇒
𝑎 + 𝑏
𝑎
=
𝑐 + 𝑑
𝑐
 𝑒
𝑎 + 𝑏
𝑏
=
𝑐 + 𝑑
𝑑
 
 
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𝑎
𝑏
=
𝑐
𝑑
 ⇒
𝑎 − 𝑏
𝑎
=
𝑐 − 𝑑
𝑐
 𝑒
𝑎 − 𝑏
𝑏
=
𝑐 − 𝑑
𝑑
 
 
2º PROPRIEDADE: Em toda proporção, a soma (ou a diferença) dos 
antecedentes está para a soma (ou diferença) dos consequentes, assim como 
cada antecedente está para o seu consequente. 
 
𝑎
𝑏
=
𝑐
𝑑
 ⇒
𝑎 + 𝑐
𝑏 + 𝑑
=
𝑎
𝑏
 𝑒
𝑎 + 𝑏
𝑏 + 𝑑
=
𝑐
𝑑
 
 
𝑎
𝑏
=
𝑐
𝑑
 ⇒
𝑎 − 𝑐
𝑏 − 𝑑
=
𝑎
𝑏
 𝑒
𝑎 − 𝑐
𝑏 − 𝑑
=
𝑐
𝑑
 
 
EXEMPLO 
o São dados dois números racionais x e y não-nulos, tais que 
𝑥
𝑦
=
3
4
. 
Aplicando a 1ª propriedade 
 
𝑥
𝑦
=
3
4
⇒
𝑥 + 𝑦
𝑥
=
3 + 4
𝑥
⇒
𝑥 + 𝑦
𝑥
=
7
3
 
 
Como x + y = 28, temos: 
 
28
𝑥
=
7
3
 
7 . 𝑥 = 3. 28 
7𝑥 = 84 
𝑥 =
84
7
= 12𝑥 + 𝑦 = 28 
12 + 𝑦 = 28 
𝑦 = 28 − 12 
𝑦 = 16 
 
 
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Logo, x = 12 e y = 16. 
 
o É dado o sistema de equações {
𝑥
3
=
𝑦
2
𝑥 + 𝑦 = 80
. Qual o par ordenado 
(x,y) que é solução desse sistema? 
 
Aplicando a 2ª propriedade: 
𝑥
3
=
𝑦
2
⇒
𝑥 + 𝑦
3 + 2
=
𝑥
3
=
𝑦
2
⇒
𝑥 + 𝑦
5
=
𝑥
3
 𝑜𝑢
𝑥 + 𝑦
5
=
𝑦
2
. 
Como x + y = 80, temos: 
80
5
=
𝑥
3
 ⇒ 5 ∙ 𝑥 = 80 ∙ 3 ⇒ 5𝑥 = 240 ⇒ 𝑥 =
240
5
 ⇒ 𝑥 = 48 
 
80
5
=
𝑥
2
 ⇒ 5 ∙ 𝑥 = 80 ∙ 2 ⇒ 5𝑥 = 160 ⇒ 𝑥 =
160
5
 ⇒ 𝑥 = 32 
Logo, a solução do sistema é o par ordenado (48,32). 
 
 
1. Segundo dados do Tribunal Superior Eleitoral (TSE), em 2006, 
estavam aptos a votar 125.913.479 eleitores, sendo que 51,53% eram 
mulheres. Quantas mulheres, aproximadamente, estavam aptas a 
votar nas eleições de 2006? 
2. Determine x e y na proporção 
𝑥
𝑦
=
5
3
, sabendo que x + y = 32. 
3. Em 2006, foram eleitos para o cargo de deputado federal 45 mulheres 
e 468 homens. Determine a porcentagem de mulheres eleitas 
deputadas federais nesse ano. 
 
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ATIVIDADES GERAIS 
Plano Cartesiano 
1. Localize os pontos associados aos seguintes pares de números: 
a) (4,4) 
b) (4,2) 
c) (4,0) 
d) (-3,4) 
e) (-4,-4) 
f) (-5,-1) 
g) (4,-2) 
h) (5,-2) 
i) (-6,1) 
j) (-4,0) 
2. Localize num dado plano cartesiano as seguintes figuras. 
a) Triangulo ABC, onde: 
A (1, -2) 
B (-2,4) 
C (-1,-5) 
b) Quadrado ABCD, onde: 
A (1,0) 
B (4,0) 
C (4,3) 
D (1,3) 
c) Losango ABCD, onde: 
A (0,0) 
B (2, -4) 
C (4,0) 
D (2,4) 
d) Paralelogramo ABCD, onde: 
A (2,-2) 
B (4,2) 
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C (-2,2) 
D (-4,-2) 
Sequência Numérica 
1. Que numero corresponde a seqüência a seguir: 1, 2, 4, 7, 11... 
e) 12 
f) 13 
g) 14 
h) 15 
i) 16 
2. Que numero corresponde a seqüência a seguir: 1, 4, 9, 16... 
a) 18 
b) 22 
c) 25 
d) 144 
e) 325 
3. Que numero corresponde a seqüência a seguir: 1, 10, 100, 1000, 
10000... 
a) 100.000 
b) 1.000.000 
c) 10.000.000 
d) 100.000.000 
e) 1.000.000.000 
4. Que numero corresponde a seqüência a seguir: 1000, 990, 970, 940, 
900, 850... 
a) 850 
b) 840 
c) 820 
d) 790 
e) 780 
Razão e Proporção 
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A UESPI NA FAZENDA DA PAZ 
 
1. Em uma empresa trabalham 80 pessoas, das quais 25 usam óculos. A 
razão entre o número de empregados que usam óculos e o total de 
empregados dessa empresa, na forma decimal, é: 
a) 0,3175 
b) 0,3150 
c) 0,3125 
d) 3,25 
e) 3,2 
2. Se um corredor fez 200 m em 25 segundos, qual a velocidade média 
desse atleta nesse percurso? 
a) 5 m/s 
b) 6 m/s 
c) 10 m/s 
d) 12 m/s 
e) 8 m/s 
3. Um comerciante do bairro do Vale do gavião vende cajuína “Lasca 
Alma” para o bairro e redondeza. Ao fechar para o balanço de fim de 
mês, percebeu que tinha no estoque 300 cajuínas, e dessas vendeu 
225. A razão entre o número de cajuínas vendidas e o total de 
cajuínas que se encontravam no estoque, na forma percentual, é: 
a) 90% 
b) 85% 
c) 83% 
d) 80% 
e) 75% 
4. Considere a proporção 
𝑑
𝑣2
=
3
200
. Se v = 30, o valor de d é: 
a) 13,5 
b) 13 
c) 12,5 
d) 12 
e) 11,5 
5. Zé pinguelo foi ao Bar da Morena no Dirceu 1, e para cada música 
brega tocada, ele tomou 3 cervejas. Se ele tomou 30 cervejas, 
quantas músicas bregas tocou? 
a) 5 
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A UESPI NA FAZENDA DA PAZ 
 
b) 7 
c) 10 
d) 11 
e) 12 
6. Segundo o IBGE, referente ao censo de 2010. Teresina tinha 822.363 
habitantes, sendo que sua área é de 1.381,981 km². Qual é a 
densidade demográfica da capital do Piauí, aproximadamente? 
a) 595 
b) 567 
c) 610 
d) 623 
e) 626 
7. Um homem estava nadando na piscina do SESC Ilhotas, sendo que 
ele pesa 65kg e a piscina possuía o volume de 24,84m³. Qual é a 
densidade dessa pessoa na piscina? 
OBSERVAÇÃO: 24,84m³, convertendo dá 24.840.000cm³/65 kg 
convertendo dá 65.000g. 
a) 0,0001 
b) 0,0010 
c) 0,0026 
d) 0,0029 
e) 0,0084 
8. O prefeito da cidade ME AJUDA A PASSAR, recebeu do governo 
federal R$ 150.000,00 e do governo do estado R$ 34.000,00, entre 
impostos e ajuda financeira. Por lei ele tem obrigação de destinar: 
 Educação: 50.000,00 
 Saúde: 65.000,00 
 Saneamento Básico: 34.000,00 
Vamos calcular quanto vai sobrar e seu percentual, aproximadamente? 
a) 40.000 / 21,7% 
b) 35.000 / 19% 
c) 54.000 / 10% 
d) 35.000 / 25% 
e) 10.000 / 5,43% 
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A UESPI NA FAZENDA DA PAZ 
 
GABARITO DAS QUESTOES 
Plano Cartesiano 
2- a) 3.° quadrante 
b) 1.° quadrante 
c) 1.° quadrante 
d) 4.° quadrante 
e) 4.° quadrante 
3- Letra E 
Sequência Numérica 
1- B 
2- E 
3- B 
4- 200 
5- D 
6- C 
Razão e Proporção 
Razão 
Algumas razões especiais 
 Velocidade media e escala 
1. 85 km/h 
2. a) 300.000 km/s 
b) cerca de 8 minutos e 20 segundos 
3. a) 95 km 
b) 190 km 
c) 237,5 km 
Densidade de corpo e Densidade Demográfica 
1. 0,56 kg/dm³ 
2. 2,7 g/cm³ 
3. 21,5 g/cm³ 
As razões escritas e representando uma razão 
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A UESPI NA FAZENDA DA PAZ 
 
1. a) 9,4%, 11,1%, 25,3% 
b) Ayrton Senna 
2. 8,3% 
3. 9,5% 
Proporção 
Propriedade fundamental das Proporções 
Outras propriedades das proporções 
1. 64.883.216 mulheres, aproximadamente 
2. x = 20 e y = 12 
3. 8,8% 
ATIVIDADES GERAIS 
Sequência Numérica 
1- E 
2- C 
3- A 
4- D 
Razão e Proporção 
1. C 
2. E 
3. E 
4. A 
5. C 
6. A 
7. C 
8. B