Aula 15 Fluxo de gases em meios porosos Parte 01

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Engenharia de reservatórios de petróleo I 
AULA 15: FLUXO DE GASES EM MEIOS POROSOS - 1ª PARTE 
ENGENHARIA DE RESERVATÓRIOS DE PETRÓLEO I 
Aula 15: Fluxo de gases em meios porosos 
- 1ª parte 
Engenharia de reservatórios de petróleo I 
AULA 15: FLUXO DE GASES EM MEIOS POROSOS - 1ª PARTE 
Apresentação do conteúdo da aula 
1. Fluxo de Gases no meio poroso; 
• Equações fundamentais; 
• Difusividade hidráulica Gás ideal; 
o Fluxo linear; 
o Fluxo Radial. 
Engenharia de reservatórios de petróleo I 
AULA 15: FLUXO DE GASES EM MEIOS POROSOS - 1ª PARTE 
Fluxo dos gases 
Equação de Difusividade - premissas 
 
• É obtida a partir de três equações básicas: equação de continuidade, que é uma equação de conservação 
de massa; da lei da Darcy, que representa uma equação de transporte de massa; e uma equação de estado 
(lei dos gases ou equação de compressibilidade); 
• As seguintes hipóteses básicas são admitidas para formular a Equação de Difusividade: o meio poroso ser 
homogêneo e isotrópico; o fluxo estritamente horizontal e isotérmico; o poço penetrando integralmente na 
formação; a permeabilidade ser constante; os gradientes de pressão serem pequenos; fluído 
compressibilidade pequena e constante com viscosidade constante; rocha com compressibilidade pequena 
e constante; forças gravitacionais desprezíveis e rochas e fluídos não reagentes entre sim. 
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Equações fundamentais 
Equação de continuidade 
O fluxo radial dos gases expressa em coordenadas cilíndricas, segundo Matheus & Russel (1967): 
1
𝑟
𝜕)
𝜕𝑟
 (𝜌𝑟𝑣r ) = - 
𝜕 
𝜕𝑡
(𝜃𝜌) 𝜌𝑟𝑣r 
𝑣r é a velocidade aparente de fluxo radial 
 
Equação de fluxo 
A equação que relaciona a velocidade aparente do fluido com as propriedades do meio poroso e com o 
gradiente de potencial é a lei de Darcy: 
vs = - 
𝑘𝑠 𝛾
𝜇
 𝜕𝜱
𝜕𝑥
 
Sendo s a trajetória do fluxo 
Para fluxo horizontal, se expressa: 
vs = - 
𝑘𝑠 
𝜇
 𝜕𝑝
𝜕𝑥
 
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Equações fundamentais 
Equação de estado 
• A equação de estado é a compressibilidade isotérmica: 
c = - 
1 
𝑉
 * 
 𝜕𝑉
𝜕𝑝
}r 
Para o fluxo real, a equação dos gases reais 𝜌 =
𝑀
𝑍𝑅𝑇
 p 
 
A compressibilidade da formação expressa: 
c f = 
1
𝜱
 
𝜕𝜱
𝜕𝑝
 
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Difusividade hidráulica 
Fluxo de gás ideal 
• Nesse caso, a viscosidade é constante e a equação diferencial de escoamento fica simplificada, tanto em 
coordenadas cartesianas como cilíndricas : 
 
𝜕²p²
𝜕𝑥²
+ 
𝜕²𝑝²𝑦
𝜕𝑦²
 +
𝜕²𝑝²
𝜕𝑧²
 =
2𝝓𝜇
𝑘
𝜕𝑝
𝜕𝑡
 
 
𝜕²𝑝²
𝜕𝑟²
 + 
1
𝑟
 
𝜕𝑝²
𝜕𝑟
 = 
𝝓𝜕𝑝²
𝜕𝑡
 
• Como os efeitos gravitacionais sobre o fluxo são desprezíveis, o potencial de gás real pode ser expresso não 
em termos da pressão e sim da relação p/𝛾 pressão/peso específico do fluido. 
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Soluções da equação de difusividade 
Gás Ideal/Fluxo linear/Regime permanente 
Para baixas pressões, as equações para gás ideal são válidas, como 
é o caso de experiências em laboratório. 
• A equação de difusividade para fluxo linear, no termo x da 
coordenada cartesiana, prescindindo-se dos termos em y e z é: 
 
𝜕²𝑝²
𝜕𝑥²
 = 
2ϕ𝜇
𝑘
 
𝜕𝑝
𝜕𝑡
 
• No regime permanente, não ocorre alteração da massa 
específica com o tempo no meio poroso. Significa que o 
segundo termo é nulo: 
 
𝜕²𝑝²
𝜕𝑥²
=0 
Figura 4.2 reproduzida de A J Rosa 
op. cit em “saiba mais” 
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Soluções da equação de difusividade 
Gás Ideal/Fluxo linear/Regime permanente 
• A vazão no meio poroso é o produto da vazão pela área aberta ao fluxo: 
 
q(x) = - v x A ; pela equação de Darcy (slide 4) vs = - 
𝑘𝑠 
𝜇
 𝜕𝑝
𝜕𝑥
 
q(x=0) = qw = 
𝑘𝐴
𝜇𝐿
 
(𝑝²ₑ − 𝑝2𝑤)
2𝑝𝑤
 
qₒ = 
𝑘𝐴
𝜇𝐿
𝑇ₒ
𝑇
 
 (𝑝²ₑ − 𝑝2𝑤)
2𝑝ₒ
 
 Equação essa para as condições padrão T ₒ e pₒ, aplicando-se a lei dos Gases Z=1 . 
Acompanhe o exercício resolvido do exemplo 4.1 de A J Rosa e os exercícios do capítulo 8 de L P Dake citados 
no “saiba mais”. 
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Soluções da equação de difusividade 
Gás Ideal/Fluxo linear/Regime pseudopermanente 
O reservatório não possui alimentação externa, não repondo o fluido 
que vem sendo produzido. Produz com vazão constante; redução do 
fluido no meio poroso e consequente queda de pressão ao longo do 
tempo. Figura o lado ilustra isso. 
Essa face está selada e o gradiente de pressão é zero . 
A produção se deve à expansão do gás do reservatório. A equação 
de compressibilidade expressa: 
cg = - 
1
𝐴𝐿ϕ
𝜕𝑉𝑔
𝜕𝑡
𝜕𝑡
𝜕𝑝
 , sendo 
𝜕𝑉𝑔
𝜕𝑡
 = qw (expansão do gás com o tempo) 
A equação do cálculo da vazão, medida nas condições padrão: 
qₒ = 
𝑘𝐴
𝜇𝐿
𝑇ₒ𝑝𝑤
𝑇𝑝ₒṕ
 (p²ₑ – p²w) 
Figura 4.3 reproduzida de A J Rosa 
op. cit em “saiba mais” 
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Soluções da equação de difusividade 
Gás Ideal /Fluxo Radial/Regime Permanente. 
A equação de difusividade hidráulica para fluxo radial de um gás ideal: 
1
𝑟
𝜕
𝜕𝑟
 [𝑟
 𝜕𝑝²
𝜕𝑥
 ] = 
ϕ𝜇
𝑘𝑝
 
𝜕𝑝²
𝜕𝑡
 
• Equações para regime permanente descrevem o movimento do 
fluido no meio poroso cilíndrico. Figura ao lado. Esse meio poroso 
recebe alimentação externa contínua e constante sendo reposto 
simultaneamente. 
• O segundo terno da equação é zero devido à alimentação externa. 
• A vazão de produção, nas condições padrão, é dada pela expressão : 
qₒ = 
2𝜋𝑘ℎ
𝜇
𝑇 ₒ( 𝑝 ²ₑ− 𝑝2𝑤)
𝑇 𝑝ₒ 2 ln (𝑟ₑ/𝑟𝑤)
 
Figura 4.5 reproduzida de A J Rosa 
op. cit em “saiba mais” 
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Soluções da equação de difusividade 
Gás Ideal/Fluxo Radial/Regime Pseudopermanente 
 
A figura ao lado mostra o esquema desse fluxo radial com a parede 
externa selada no meio poroso de altura h. 
• A equação do fluxo de um gás ideal: 
p²(r) = p²w + 2 
𝑇ₒ𝑝ₒ𝑞
𝑇ₒ𝑝𝑤
 
𝜇
2𝜋𝑘ℎ
 [ ln( 𝑟
𝑟𝑤
) - 
1 
2 
(
𝑟
𝑟ₑ
 )²] 
• A equação de vazão: 
qₒ = 
2𝜋𝑘ℎ
𝜇
 
𝑇ₒ𝑝𝑤
𝑇𝑝ₒṕ
 
1
2
(𝑝²ₑ − 𝑝²𝑤)
ln(
𝑟ₑ
𝑟𝑤) −1/2
 
Figura 4.6 reproduzida de A J Rosa 
op. cit em “saiba mais” 
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DAKE, L. P. Engenharia de reservatórios. 
Fundamentos. Rio de Janeiro: Elsevier, 2014. cap. 6. 
JAHN, F. et al. Introdução à exploração e produção 
de hidrocarbonetos. Rio de Janeiro: Elsevier 
Campus, 2012. 
ROSA, Adalberto Jose et ali. Engenharia de 
reservatórios de petróleo. Rio de Janeiro: 
Interciência, 2006. cap. 4. 
Saiba mais 
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VAMOS AOS PRÓXIMOS PASSOS? 
 
Fluxo de Gases no meio poroso; 
Equações fundamentais; 
Difusividade hidráulica - Gás Real; 
Fluxo linear; 
Fluxo Radial; 
Fluxo Turbulento e efeito de película; 
Poços horizontais.AVANCE PARA FINALIZAR 
A APRESENTAÇÃO.