Passo a passa para Esboço de Gráficos - Calc A Mandolesi

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MATA02 Ca´lculo A - Esboc¸o de Gra´ficos
Prof. Andre´ Mandolesi
Seguem passos para esboc¸ar o gra´fico de uma func¸a˜o f(x). Note que, dependendo da
func¸a˜o ou do objetivo, nem sempre e´ poss´ıvel, ou necessa´rio, fazer todos.
1. Domı´nio: veja se ha´ pontos ou intervalos onde f(x) na˜o existe.
2. Simetria: substitua x por (−x) na func¸a˜o e simplifique.
• Se f(−x) = f(x), ha´ simetria par: o gra´fico e´ sime´trico em relac¸a˜o ao eixo y
(o lado esquerdo e´ o reflexo do direito).
• Se f(−x) = −f(x), ha´ simetria ı´mpar: o gra´fico e´ sime´trico em relac¸a˜o a`
origem (o lado esquerdo e´ igual ao direito rotacionado 180◦).
3. Periodicidade: se houver algum T tal que f(x + T ) = f(x), o gra´fico se repete a
cada intervalo T . Em geral ocorre se f(x) envolver apenas trigonome´tricas.
4. Interceptos: veja onde f intercepta cada eixo.
• Para o eixo y, calcule f(0).
• Para o eixo x, resolva f(x) = 0.
5. Descontinuidades: use limite para examinar cada ponto isolado fora do domı´nio;
e use limites laterais nas extremidades de intervalos do domı´nio, ou em pontos onde
a fo´rmula de f(x) muda (se for definida por partes).
• se lim
x→x0
f(x) = f(x0), na˜o ha´ descontinuidade.
• se lim
x→x0
f(x) = y0 6= f(x0), ha´ descontinuidade remov´ıvel (buraco) em (x0, y0).
• se lim
x→x−0
f(x) 6= lim
x→x+0
f(x), ha´ uma descontinuidade de salto.
• se lim
x→x0
f(x) = ±∞, ha´ uma reta ass´ıntota vertical em x = x0.
6. Comportamento no infinito: calcule lim
x→∞
f(x) e lim
x→−∞
f(x).
• se lim
x→±∞
f(x) = y0, ha´ uma reta ass´ıntota horizontal em y = y0.
• se lim
x→±∞
f(x) = ±∞, o gra´fico sobe ou desce em suas extremidades.
Ele tera´ uma reta ass´ıntota obl´ıqua y = ax+ b caso lim
x→±∞
[f(x)− (ax+ b)] = 0
para algum a, b ∈ R, a 6= 0. Isso ocorre em va´rias situac¸o˜es, como:
– se f(x) puder ser escrita como f(x) = ax + b + g(x), com lim
x→±∞
g(x) = 0.
– se f(x) =
p(x)
q(x)
e´ func¸a˜o racional com grau(p) =grau(q) + 1, a ass´ıntota
obl´ıqua pode ser obtida por divisa˜o de polinoˆmios.
– se a = lim
x→±∞
f(x)
x
6= 0 e b = lim
x→±∞
[f(x)− ax] forem finitos.
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7. Derivadas: calcule f ′ e f ′′
8. Pontos cr´ıticos: veja em que pontos do domı´nio @f ′(x) ou f ′(x) = 0.
Nos pontos onde @f ′, calcule os limites laterais de f ′ para identificar “bicos” e
tangentes verticais.
9. Crescimento: estude o sinal de f ′ para ver em que intervalos f e´ crescente (+) ou
decrescente (−). Marque esses intervalos acima do gra´fico.
10. Concavidade: estude o sinal de f ′′ para ver em que intervalos f tem concavidade
para cima (+) ou para baixo (−). Marque esses intervalos abaixo do gra´fico.
Identifique os pontos de inflexa˜o (onde a concavidade muda e f e´ cont´ınua).
11. Extremos locais: usando os passos anteriores, identifique quais pontos cr´ıticos sa˜o
extremos locais (testes das derivadas primeira ou segunda).
12. Valores: calcule o valor de f(x) nos pontos de interesse (descontinuidades, pontos
cr´ıticos, pontos de inflexa˜o, etc.), e marque tais pontos no gra´fico.
13. Inclinac¸o˜es: se quiser um gra´fico bem preciso, calcule f ′(x) nos interceptos e pontos
de inflexa˜o, e no gra´fico esboce a inclinac¸a˜o da reta tangente nesses pontos.
14. Esboc¸o: a partir das informac¸o˜es obtidas, fac¸a um primeiro esboc¸o para ter uma
noc¸a˜o da curva, e depois fac¸a um segundo gra´fico mais cuidadoso.