Lista 1 - limites e continuidade

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Lista 1 - Limites e Continuidade
Prof. André Mandolesi
Limites (intuitivo)
1) Com base no gráfico abaixo, estime as informações pedidas:
a) lim
x→−∞
f(x) =
b) lim
x→−2
f(x) =
c) f(−2) =
d) lim
x→1−
f(x) =
e) lim
x→1+
f(x) =
f) lim
x→1
f(x) =
g) f(1) =
h) lim
x→4
f(x) =
i) f(4) =
j) lim
x→∞
f(x) =
2) Este exercício deve ser feito com calculadora ou computador (veja as dicas abaixo).
Estime os limites usando uma tabela de valores, e depois pelo gráfico.
a) lim
x→0
1− x2
x3 − x2
b) lim
x→1
1− x2
x3 − x2
c) lim
x→∞
1− x2
x3 − x2
d) lim
x→0−
21/x
e) lim
x→0+
21/x
f) lim
x→−∞
21/x
g) lim
x→0
cos
(1
x
)
h) lim
x→−∞
cos
(1
x
)
i) lim
x→0
sen 3x
x
j) lim
x→∞
sen 3x
x
• Peça ajuda a alguém com experiência em softwares matemáticos.
• Lembre de por a calculadora em radianos (RAD).
• Com planilhas (Excel ou Planilha Google) é fácil obter uma tabela de valores.
Ponha os valores de x na 1a coluna, e na 1a célula da 2a coluna ponha a função
começando com =. Funções devem ter só letras maiúsculas, e no lugar do x ponha
o nome da célula onde está seu valor (ex: COS(A1) ). Copie (ctrl-C, ctrl-V) essa
1
a
célula para o resto da 2
a
coluna para calcular todos os valores.
• Dicas de como por expressões matemáticas no computador (varia dependendo do
programa, o Wolfram Alpha por exemplo é bem flexível):
� multiplicações devem ser colocadas explicitamente com um asterisco *
� expoentes são colocados com um acento circunflexoˆ
� ponha o argumento de funções entre parênteses
� ponha numerador e denominador entre parênteses se houver vários termos
� em geral, a função seno é SIN e não SEN
Por ex., as funções acima ficam:
(1-x^2)/(x^3-x^2) 2^(1/x) cos(1/x) sin(3*x)/x
Limites (formal)
3) Use a definição formal (em termos de ε e δ) para provar os limites.
a) lim
x→2
3x+ 1 = 7
b) lim
x→2
x2 = 4
c) lim
x→0
1
x2
=∞
d) lim
x→−∞
2x = 0
e) lim
x→0+
log x = −∞
f) lim
x→0
senx = 0
Cálculo de Limites
4) Use as propriedades de limites para calcular o valor de:
a) lim
x→−3
x3 − 8x+ 2
x2 + 1
b) lim
x→0−
|x|
x
Dica: |x| =
{
−x se x < 0
x se x ≥ 0
c) lim
x→0+
|x|
x
d) lim
t→4
t2 − 16
t− 4
Dica: simplifique
e) lim
x→3
x− 8
x− 3
Dica: cheque os limites laterais
f) lim
x→−∞
x3
g) lim
x→−∞
x4
h) lim
x→0
1
x3
i) lim
x→0
1
x4
j) lim
x→0+
log3(
1
x
)
Dica: mude a variável
k) lim
x→∞
ln(
1
x
)
l) lim
r→∞
12
4 + 7e−r
m) lim
x→0
21/x
n) lim
θ→−∞
cos(θ2)
o) lim
x→0+
3
√
lnx
p) lim
x→∞
2
x3 + 6
q) lim
x→0+
(5x− 2 lnx)
r) lim
t→∞
t2et
s) lim
x→1+
x3 − 5
x− 1
t) lim
x→3−
ln(3− x)
x− 3
u) lim
x→−∞
expx
1 + x2
v) lim
x→−∞
x3 + 4x
ex
w) lim
x→0+
√
x+ cosx
tan
(
pi
2
+ x
)
5) Use limites para provar que as seguintes desigualdades são válidas:
a)
x2 + 1
(1− x)2 > 3700 para todo x suficientemente próximo de 1 (exceto x = 1).
b) 1,95 <
2x+ 75
x
< 2,1 para todo x suficientemente grande.
6) Resolva os seguintes problemas:
a) Após um objeto ser retirado do forno, sua temperatura T (em oC) variou ao longo
do tempo t (em min) de acordo com T (t) = 28+52e−
t
15
. Ache a temperatura inicial
do objeto, e para qual valor ela converge após um tempo suficientemente longo.
b) Na Teoria da Relatividade, a massa m de um corpo varia com sua velocidade v,
de acordo com a fórmula m(v) = m0√
1− v2
c2
, onde m0 é sua massa de repouso (quando
v = 0) e c ∼= 300.000 km/s é a velocidade da luz. Determine o que acontece com m
à medida que v se aproxima de c (com v < c).
Continuidade
7) Determine onde as funções são contínuas.
a) f(x) =
√
1− x2
b) y(x) = ln(x2 − x− 6)
c) h(x) =
4
√
x+ 5
1− ex
d) f(t) =
√
2−√t
e) f(x) =
x3
ln |x|
f) f(θ) =
3
√
sen θ
cos θ
2
g) g(x) =

x2−x
x−1 se x 6= 1
1 se x = 1
h) f(x) =
exp
(
1
x
)
se x < 0
x2−9
x−3 se x ≥ 0
8) Identifique que tipo de descontinuidades as funções abaixo têm. Se for removível,
redefina a função em um ponto de modo a eliminar a descontinuidade.
a) f(x) =
|x|
x
b) f(h) =
h2 − 1
h+ 1
c) f(x) =
1
(x− 2)4
9) Calcule os limites.
a) lim
x→5
ln(x− 4)√
x+ 4
b) lim
x→−4
3
√
x2 − 16
x+ 4
c) lim
x→∞
∣∣∣∣7− 6x2x
∣∣∣∣
d) lim
x→−∞
tan(ex)
Teorema do Valor Intermediário
10) Veja se o Teorema do Valor Intermediário garante que f(x) =
12x3 − 4x2 − 13x− 4
2x− 1 se
anula em algum ponto dos intervalos abaixo. Se sim, divida o intervalo em 10 pedaços
de tamanho 0,1 e use o TVI para localizar o ponto com precisão de 0,05 (use uma
planilha para facilitar). Trace o gráfico no computador e confira seus resultados.
a) [−1, 0] b) [0, 1] c) [1, 2]
11) Use o TVI para mostrar que:
a) o polinômio p(x) = x4 − 3x3 + 4 tem alguma raiz no intervalo [1, 2].
b) a equação 2x + 3 = 4x tem pelo menos 2 soluções.
12) Estude o sinal das funções. Trace o gráfico no computador e confira seus resultados.
a) f(x) = x4 − x3 − 2x2
b) g(x) =
x2 − 4
x3 − 1
c) f(x) =
e−x · lnx
(x− 2)3
13) Use um estudo de sinal para:
a) resolver a inequação
x3 + x
x− 8 ≤ 1.
b) achar o domínio de f(x) =
√
1− ex
x4 − 16 .
c) determinar onde g(x) = ln(x3 − x2 − 6x) é contínua.
Limites de Polinômios e Funções Racionais
14) Calcule os limites.
a) lim
x→∞
5x3 − 2x4 + 6
b) lim
x→−∞
x6 + 4x5 − 3x2
c) lim
x→−2
x3 + x2 + 1
d) lim
t→∞
t3 + 2t2
1− t3
e) lim
x→−∞
x5 − 3x3 + x
x+ 2
f) lim
x→∞
2x
x2 + 3x− 1
g) lim
a→1
a2 + 2a− 3
a2 − 1
h) lim
x→0
x3 − 6
2− x
i) lim
x→2
x3 + x− 10
2x2 − 3x− 2
j) lim
s→−1
s+ 3
s2 + 5s+ 4
k) lim
x→2
x2 − 3x− 1
x3 − 4x2 + 4x
l) lim
x→3−
x2 − 3x
−x3 + 5x2 − 3x− 9
m) lim
x→2+
(
1
x2 − 4 −
1
x− 2
)
15) Prove que todo polinômio p(x) de grau ímpar tem pelo menos uma raiz real.
Dica: mostre que lim
x→±∞
p(x) = ±∞ e use o Teorema do Valor Intermediário.
16) Dada a função f(x) =
−5x2 + 50x+ 375
x2 − 20x+ 75 :
a) Determine onde f é descontínua, e qual seu comportamento nas descontinuidades.
b) Calcule lim
x→±∞
f(x).
c) Determine onde f intercepta os eixos x e y.
d) Com base nessas informações, tente esboçar o gráfico de f .
Limites com Raízes
17) Calcule os limites.
a) lim
x→4
√
x2 − 16
x− 4
b) lim
x→3+
√
x2 − 9
x− 3
c) lim
q→−∞
√
q2 + 5q − 4
d) lim
x→−∞
√
4x2 − x
2x+ 1
e) lim
x→−∞
x+ x4
3
√
1 + x9
f) lim
x→∞
x2 + 2x√
4 + x5
g) lim
x→9
9− x
3−√x
h) lim
h→0
√
h+ 4− 2
h
i) lim
x→0−
x
3−√x2 + 9
j) lim
x→1
√
3 + x−√5− x
x− 1
k) lim
r→∞
√
r2 − 6r − r
l) lim
x→16
√
x− 4
4
√
x− 2
m) lim
x→0
3
√
x+ 8− 2
x
Limites com Exponenciais e Logaritmos
18) Calcule os limites.
a) lim
t→0
e1+t − e
t
b) lim
x→3
2x − 8
x− 3
c) lim
h→0
ln(2 + h)− ln 2
h
d) lim
x→1
lnx
x− 1
19) Ao emprestar R$1000,00, a juros de 60% ao ano, espera-se que, sem nenhum paga-
mento, em um ano a dívida aumente para R$1600,00. Mas há uma �pegadinha�.
Se 60% for a taxa nominal, e a capitalização for semestral, a cada 6 meses será aplicada
uma taxa de 30% (= 60%/2). Com juros compostos (juros sobre juros), isso dá uma
taxa efetiva de 69% (1, 3 · 1, 3 = 1, 69) e a dívida vai para R$1690,00.
Na capitalização mensal, a cada mês temos 5% (= 60%/12) de juros, que compostos
dão uma taxa efetiva de 79,6% (1, 0512 ∼= 1, 796), levando a dívida para R$1796,00.
Existe capitalização semanal, diária, etc. Se dividir o ano em n períodos, a taxa efetiva
é dada por
(
1 + 0,6
n
)n
. Na capitalizaçãocontínua (a todo instante), fazemos n→∞.
Calcule para quanto irá a dívida nos casos de capitalização diária e contínua.
Limites Trigonométricos
20) Use o Teorema do Confronto para calcular os limites.
a) lim
x→−∞
ex senx
b) lim
x→∞
sen(x−√x)
x3
c) lim
x→0+
√
x · cos(lnx)
d) lim
x→−∞
√
5 + 4 senx
x
e) lim
x→∞
cos2 x
x
f) lim
x→0
x sen2(
1
x
)
g) lim
x→∞
exp(cosx− x)
h) lim
x→∞
(2 + cos x)
1
x
21) Calcule os limites.
a) lim
x→0−
sen2 x
x3
b) lim
x→−∞
sen(ex)
ex
c) lim
x→0
sen 5x
x
d) lim
x→0
senx2
x
e) lim
x→0
sen 6x
sen 3x
f) lim
x→1
sen pix
x− 1
g) lim
x→0
x cosecx
h) lim
x→0
x
tan 3x
i) lim
x→0
1− cosx
x2
j) lim
x→0
cos 2x− cosx
x2
Respostas
1) a) 3
b) 3
c) 5
d) 1
e) −1
f) @
g) −1
h) ∞
i) @
j) 0
2) a) −∞
b) −2
c) 0
d) 0
e) ∞
f) 1
g) @
h) 1
i) 3
j) 0
3) Troquem ideias entre vocês, e se não conseguirem me perguntem. Para o último, usem
a representação do seno no ciclo trigonométrico.
4) a) − 1
10
b) −1
c) 1
d) 8
e) @
f) −∞
g) ∞
h) @
i) ∞
j) ∞
k) −∞
l) 3
m) @
n) @
o) −∞
p) 0 (forma c∞)
q) ∞ (forma −c · (−∞))
r) ∞
s) −∞ (forma −c
0+
)
t) ∞ (forma −∞
0− )
u) 0 (forma 0∞)
v) −∞ (forma −∞
0+
)
w) 0 (forma c∞)
5) a) Mostre que lim
x→1
x2 + 1
(1− x)2 =∞.
b) Mostre que lim
x→∞
2x+ 75
x
= 2.
6) a) T (0) = 80oC, e lim
t→∞
(28 + 52e−
t
15 ) = 28oC.
b) A massa se tornaria arbitrariamente grande, pois lim
v→c−
m0√
1− v2
c2
=∞.
7) a) [−1, 1]
b) (−∞,−2) ∪ (3,∞)
c) {x ≥ −5 e x 6= 0}
d) [0, 4]
e) {x 6= 0 e x 6= ±1}
f) {θ 6= ±pi,±3pi,±5pi, . . .}
g) R
h) {x 6= 0 e x 6= 3}
8) a) Salto, em x = 0.
b) Removível, em h = −1. Pode ser removida definindo f(−1) = −2.
c) Infinita, em x = 2.
9) a) 0
b) −2
c) 3
d) 0
10) a) Não garante, pois f(−1) e f(0) têm o mesmo sinal. Obs: note que, ainda assim, a
função se anula em x = −1
2
.
b) Não garante, pois embora f(0) e f(1) tenham sinais opostos, a função tem uma
descontinuidade nesse intervalo, em x = 1
2
.
c) Sim, pois a função é contínua nesse intervalo e os sinais de f(1) e f(2) são opostos.
Calculando o valor de f(x) em x = 1,1, x = 1,2, . . . , x = 1,9 vemos que a mudança
do sinal ocorre entre x = 1,3 e x = 1,4. Logo f(x) tem um zero em x ∼= 1,35±0, 05.
11) a) Como p é contínuo, p(1) = +2 e p(2) = −4 (sinais opostos), há alguma raiz.
b) f(x) = 2x + 3− 4x é contínua, e testando valores vemos que f(1) = +, f(2) = −,
f(3) = − e f(4) = +. Logo há pelo menos uma solução no intervalo [1, 2] e outra
em [3, 4], pois muda de sinal.
12) a)
b)
c)
13) a) {−2 ≤ x < 8}
b) {x < −2 ou 0 ≤ x < 2}
c) {−2 < x < 0 ou x > 3}
14) a) −∞
b) +∞
c) −3
d) −1
e) ∞
f) 0
g) 2
h) −3
i)
13
5
j) @
k) −∞
l) ∞
m) −∞
15) Para x positivo (negativo) suficientemente grande, p(x) será positivo (negativo). Como
polinômios são contínuos, p(x) se anulará em algum ponto, pelo TVI.
16) a) Descontinuidade removível em x = 15 (com f(x) → −10), e descontinuidade infi-
nita em x = 5 (com f(x)→∞ à esquerda e f(x)→ −∞ à direita).
b) Ambos dão −5.
c) Nos pontos (−5, 0) e (0, 5).
d)
Note que há um buraco em x = 15.
17) a) 2
√
2
b) ∞
c) ∞
d) −1
e) −∞
f) 0
g) 6
h)
1
4
i) ∞
j)
1
2
k) −3
l) 4 (faça x = t4)
m)
1
12
(faça x+ 8 = t3)
18) a) e
b) 8 ln 2 (faça t = x− 3)
c)
1
2
(use propriedades do logaritmo e uma mudança de variável)
d) 1 (faça t = x− 1)
19) R$1821,22 na diária, e R$1822,12 na contínua: lim
n→∞
(
1 + 0,6
n
)n
= e0,6 ∼= 1, 82212
20) a) 0
b) 0 (vale −1 ≤ sen(. . .) ≤ 1 independente do que está no parênteses)
c) 0
d) 0 (cuidado com a desigualdade pois x < 0)
e) 0 (cuidado com a desigualdade por causa do quadrado)
f) 0 (analise a desigualdade com cuidado nos casos x→ 0+ e x→ 0−)
g) 0
h) 1
21) a) −∞ (reescreva como 1
x
· ( senx
x
)2
)
b) 1 (t = ex)
c) 5 (multiplique e divida por 5, faça t = 5x)
d) 0 (multiplique e divida por x, faça t = x2)
e) 2 (multiplique e divida o numerador por 6x, e o denominador por 3x)
f) −pi (t = x− 1, use sen(θ ± pi) = − sen θ)
g) 1 (reescreva em termos de senx)
h)
1
3
i)
1
2
(multiplique e divida por 1 + cos x)
j) −3
2
(use cos 2x = 1− 2 sen2 x e o item anterior)