APRESENTACAO DA AULA 3

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CCE0044 – Cálculo Diferencial e Integral I 
Aula 3: Derivadas (parte 3) 
Unidade I: Derivadas 
Cálculo Diferencial e Integral I 
AULA 3: Derivadas (parte 3) 
DERIVAÇÃO 
IMPLICITA 
1 
EQUAÇÃO DA 
RETA TANGENTE 
2 
EQUAÇÃO DA 
RETA NORMAL 
3 
PRÓXIMOS 
PASSOS 
Unidade I: Derivadas 
Cálculo Diferencial e Integral I 
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Derivação Implícita 
 
 forma explícita: 
 
 
 forma implícita: 
52 3  xxy
052 3  xxy
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Cálculo Diferencial e Integral I 
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922  yx
Não é uma função, mas se quisermos, por exemplo, 
obter uma reta tangente a essa circunferência em um 
ponto qualquer, precisaremos determinar a derivada 
de y em relação a x. 
 
Pode-se dividir em 2 semicírculos: 
29)( xxf  29)( xxf 
Derivação Implícita 
Unidade I: Derivadas 
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Em alguns casos, a decomposição da equação em duas ou mais funções não 
é tão simples ou não é possível. 
 
Então, recomenda-se obter a derivada diretamente a partir da equação que 
relaciona x e y. 
Derivação Implícita 
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f2 
f3 
f4 
f1 
x
y
O
P
Q
• Dividir o gráfico em 4 partes nos 
pontos P e Q 
• Criar 4 funções f1, f2, f3 e f4 
 
Derivação Implícita 0833  xyyx
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0833  xyyx
Como determinar a derivada nos casos em que 
a variável y não está definida de forma explícita 
em relação a x ? 
x
y
O
P
Q
Derivação Implícita 
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012 xy 11  xy 12  xy
12
1
'1


x
y
12
1
'2


x
y
Processo de derivação implícita a partir da equação 
012 xy
Derivação Implícita 
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012 xy
ydx
dy
dx
dy
y
dx
d
dx
xyd
2
1
012
)0()1( 2




Note que esse resultado equivale às duas expressões já obtidas 
12
1
2
1 1
1
1


xdx
dy
ydx
dy
12
1
2
1 2
2
2


xdx
dy
ydx
dy
11  xy
12  xy
Processo de derivação implícita a partir da equação 
Derivar os dois lados da equação: 
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Derivar os dois lados da equação: 
222  xyyx
0
)()(
)2()(
22
22



dx
xyd
dx
yxd
dx
d
dx
xyyxd
Processo de derivação implícita a partir da equação 
Unidade I: Derivadas 
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Processo de derivação implícita a partir da equação 
222  xyyx
Aplicar a Regra 5 (produto): 
xyx
yxy
dx
dy
yxyxyx
dx
dy
yxy
dx
dy
xy
dx
dy
x
y
dx
dy
xy
dx
dy
xxy
y
dx
dx
x
dx
yd
x
dx
dy
y
dx
xd
2
2
2)2(
22
022
0
)()(
2
2
22
22
22
2
2
2
2



















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O coeficiente angular da reta tangente a uma curva em um determinado ponto é 
igual ao valor da derivada calculada nesse ponto. )(xfy 
Seja derivável em 
 
O coeficiente angular (m) da reta tangente ao seu gráfico no 
ponto é igual a . 
 
0x ),( 00 yx )(' 0xf )(' 0xfm 
Equação da reta tangente 
Unidade I: Derivadas 
Cálculo Diferencial e Integral I 
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A equação da reta tangente a uma curva em um ponto é construída a partir das 
coordenadas desse ponto e do coeficiente angular m, obtido pela derivada da 
função. ))((' 000 xxxfyy 
Equação da reta tangente 
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Reta tangente à curva no ponto de abscissa 
12)( 23  xxxxf 20 x 143)(' 2  xxxf 312423)2(' 2  mfm 112222)2()( 0
23
00  yfxfy
Equação da reta tangente 
Unidade I: Derivadas 
Cálculo Diferencial e Integral I 
AULA 3: Derivadas (parte 3) 
Reta tangente à curva 
no ponto de abscissa 
12)( 23  xxxxf20 x
73
631
)2(31
))((' 000




xy
xy
xy
xxxfyy
Equação da reta tangente 
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A reta normal a uma curva, em um determinado ponto, é aquela que é 
perpendicular à reta tangente nesse ponto. 
Relação entre os coeficientes de duas retas perpendiculares é dada por: m
n
1
 )(
)('
1
0
0
0 xx
xf
yy 
Portanto, a equação da reta normal pode ser construída pela expressão: 
Equação da reta normal 
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Reta normal à curva no ponto de abscissa 
12)( 23  xxxxf 20 x 143)(' 2  xxxf 312423)2(' 2  mfm
112222)2()( 0
23
00  yfxfy
3
1
3
1


n
Equação da reta normal 
Unidade I: Derivadas 
Cálculo Diferencial e Integral I 
AULA 3: Derivadas (parte 3) 
Reta normal à curva 
no ponto de abscissa 
12)( 23  xxxxf20 x 3
1
3
3
2
3
1
)2(
3
1
1
)(
)('
1
0
0
0






x
y
x
y
xy
xx
xf
yy
Equação da reta normal 
Assuntos da próxima aula: 
1. Taxas Relacionadas 
2. Máximos e Mínimos 
3. Traçado de curvas