Material Calculo 1 - Estácio - Helio Neiva

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CCE0044 – Cálculo Diferencial e Integral I 
Aula 6: Integrais indefinidas 
Cálculo Diferencial e Integral I 
AULA 6: INTEGRAIS INDEFINIDAS 
Conteúdo desta aula 
INTEGRAL INDEFINIDA 
1 
PRÓXIMOS 
PASSOS 
Cálculo Diferencial e Integral I 
AULA 6: INTEGRAIS INDEFINIDAS 
Operações matemáticas elementares possuem suas operações inversas. 
Com o processo de derivação não é diferente. 
O processo inverso ao da derivação é o da integração. 
 
Veremos definições, significados, características e propriedades das integrais. 
Já derivamos funções para resolver diversos tipos de problemas e determinamos a função 
velocidade de um móvel a partir da sua função posição. 
 
Seria possível determinar a função posição a partir da função velocidade? 
SIM 
 
 
Se 𝑓′ 𝑥 é a derivada de 𝑓 𝑥 , podemos dizer que 𝑓 𝑥 é uma integral de 𝑓′ 𝑥 
Cálculo Diferencial e Integral I 
AULA 6: INTEGRAIS INDEFINIDAS 
As derivadas e as integrais são os instrumentos mais importantes do 
Cálculo Diferencial e Integral 
 
 
• Dada uma função, a sua derivada é única. 
• No processo inverso (integração), a integral 𝑓 𝑥 da função 𝑓′ 𝑥 não é bem definida, 
tanto que é denominada integral indefinida. 
Cálculo Diferencial e Integral I 
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Exemplo: considere a função 𝑓 𝑥 = 𝑥2 + 3𝑥 − 5, cuja derivada é 𝑓′ 𝑥 = 2𝑥 + 3 
 
 
 
Não é difícil perceber que 2𝑥 é a derivada de 𝑥2 e que 3 é a derivada de 3𝑥 
Mas e a derivada de -5? É zero. 
 
E se não fosse -5 e sim + 387? Seria zero também! 
 
Logo, o caminho inverso possui uma indefinição. 
2𝑥 + 3 é a derivada de 𝑥2 + 3𝑥 − 5 , mas também é de de 𝑥2 + 3𝑥 + 387 
Portanto, 2𝑥 + 3 é a derivada de qualquer função 2𝑥2 + 3𝑥 + 𝑐𝑡𝑒! 
 
Costuma-se dizer que 𝒇 𝒙 = 𝒙𝟐 + 𝟑𝒙 + 𝑪 é uma antiderivada de 𝒇 𝒙 = 𝟐𝒙 + 𝟑 
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Definição de ANTIDERIVADA 
 
Dada uma função 𝑓 𝑥 definida em um intervalo I, dizemos que 𝐹 𝑥 é uma antiderivada de 𝑓 𝑥 se 
𝐹′(𝑥) = 𝑓(𝑥) para todo e qualquer x em I. 
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Situação Problema: Encontre a antiderivada geral de 𝑓 𝑥 = 2 
Com o que já sabemos, não é difícil concluir que 2𝑥 é uma antiderivada de 𝑓 𝑥 . 
 
Para obter outras antiderivadas, basta adicionar qualquer constante, como: 
𝐹 𝑥 = 2𝑥 + 5 𝐹 𝑥 =
7
2
+ 2𝑥 𝐹 𝑥 = 2𝑥 − 1 
 
Então podemos dizer que a antiderivada geral de 𝑓 𝑥 = 2 tem a forma: 
 
 𝐹 𝑥 = 2𝑥 + C , onde C é uma constante. 
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Se duas funções 𝐹1 𝑥 e 𝐹𝟐 𝑥 têm derivadas iguais, 
então concluímos que: 
 
 
 ou 
 
 
 
 
Isto quer dizer que elas se diferem por uma constante. 
 
𝐹1 𝑥 = 𝐹2 𝑥 + 𝐶 
𝐹1 𝑥 − 𝐹2 𝑥 = 𝐶 
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Considere uma função 𝑓 𝑥 cujas antiderivadas tenham a forma F(x) + C. 
A notação utilizada, nesse caso, é: 
 
 
 
 
 
 
E que deve ser lida como integral indefinida de 𝑓 𝑥 e representa 
o processo de antidiferenciação de 𝑓 𝑥 . 
 
 𝒇 𝒙 𝒅𝒙 = 𝑭 𝒙 + 𝑪 
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O sinal é conhecido como sinal da integral. 
 
• A função 𝑓 𝑥 é denominada integrando. 
• A constante C é a constante de integração. 
• O termo “dx” serve para identificar em relação à qual variável deve 
ocorrer o processo de antidiferenciação (pode-se ter mais de uma variável). 
 
 
 
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Esta expressão é conhecida por integral indefinida de 𝑓 𝑥 e denota a famíliade todas as antiderivadas de 𝑓 𝑥 . 
 𝒇 𝒙 𝒅𝒙 
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Resumo (algumas regras) 
 𝑑𝑥 = 𝑥 + 𝑐 
 𝑘 𝑑𝑥 = 𝑘 𝑑𝑥 = 𝑘𝑥 + 𝑐 
 𝑥𝑝𝑑𝑥 = 
𝑥𝑝+1
𝑝 + 1
+ 𝑐 
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Resumo (algumas regras) 
Aplicação: 𝑑𝑥 = 𝑥 + 𝑐 
 𝑘 𝑑𝑥 = 𝑘 𝑑𝑥 = 𝑘𝑥 + 𝑐 
 𝑥𝑝𝑑𝑥 = 
𝑥𝑝+1
𝑝 + 1
+ 𝑐 
 𝑥3𝑑𝑥 
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Resumo (algumas regras) 
Aplicação: 𝑑𝑥 = 𝑥 + 𝑐 
 𝑘 𝑑𝑥 = 𝑘 𝑑𝑥 = 𝑘𝑥 + 𝑐 
 𝑥𝑝𝑑𝑥 = 
𝑥𝑝+1
𝑝 + 1
+ 𝑐 
 3𝑥4𝑑𝑥 
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Resumo (algumas regras) 
Aplicação: 𝑑𝑥 = 𝑥 + 𝑐 
 𝑘 𝑑𝑥 = 𝑘 𝑑𝑥 = 𝑘𝑥 + 𝑐 
 𝑥𝑝𝑑𝑥 = 
𝑥𝑝+1
𝑝 + 1
+ 𝑐 
 4𝑥5 + 7 𝑑𝑥 
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Resumo (algumas regras) 
Aplicação: 𝑑𝑥 = 𝑥 + 𝑐 
 𝑘 𝑑𝑥 = 𝑘 𝑑𝑥 = 𝑘𝑥 + 𝑐 
 𝑥𝑝𝑑𝑥 = 
𝑥𝑝+1
𝑝 + 1
+ 𝑐 
 𝑥3𝑑𝑥 
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Resumo (algumas regras) 
Aplicação: 𝑑𝑥 = 𝑥 + 𝑐 
 𝑘 𝑑𝑥 = 𝑘 𝑑𝑥 = 𝑘𝑥 + 𝑐 
 𝑥𝑝𝑑𝑥 = 
𝑥𝑝+1
𝑝 + 1
+ 𝑐 
 7 𝑥2
5
+ 
3
𝑥3
𝑑𝑥 
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Resumo (algumas regras) 
Aplicação: 
 
𝑥 𝑥3
𝑥2
3 𝑑𝑥 
 𝑑𝑥 = 𝑥 + 𝑐 
 𝑘 𝑑𝑥 = 𝑘 𝑑𝑥 = 𝑘𝑥 + 𝑐 
 𝑥𝑝𝑑𝑥 = 
𝑥𝑝+1
𝑝 + 1
+ 𝑐 
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 𝑑𝑥 = 𝑥 + 𝑐 
Resumo (algumas regras) 
 
 𝑘 𝑑𝑥 = 𝑘 𝑑𝑥 = 𝑘𝑥 + 𝑐 
 𝑥𝑝𝑑𝑥 = 
𝑥𝑝+1
𝑝 + 1
+ 𝑐 
Aplicação: 
 
5𝑥2 + 7
𝑥
4
3
 𝑑𝑥 
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De forma similar podemos pensar nas funções: 
𝒇 𝒙 = 𝐬𝐞𝐧𝒙 
𝒇 𝒙 = 𝒆−𝟑𝒙 
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Já vimos que: 
 
 
 
Sendo assim, a antiderivada geral de 𝒇 𝒙 = 𝐬𝐞𝐧𝒙 é: 
 
𝑭 𝒙 = −𝐜𝐨𝐬𝒙 + 𝑪 
𝒇 𝒙 = 𝐬𝐞𝐧𝒙 
𝑑 cos 𝑥
𝑑𝑥
= −sen 𝑥 
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Derivadas de funções do tipo “𝑒c𝑥” são sempre iguais ao produto de uma constante com “𝑒c𝑥”, 
com c constante. 
 
Vamos “experimentar” uma função da forma 𝐹′(𝑥) = 𝑘𝑒−3𝑥 e determinar a sua derivada: 
por exemplo 𝐹′(𝑥) = −3𝑘𝑒−3𝑥. 
 
𝒇(𝒙) = 𝒆−𝟑𝒙 
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Se tomarmos, −3𝑘 = 1 , significa dizer que 𝑘 = −
1
3
 
 
Portanto podemos considerar que 𝐹 𝑥 = −
1
3
𝑒−3𝑥 
 
Seja uma antiderivada de 𝑓 (𝑥) = 𝑒−3𝑥 
 
Sendo assim, a antiderivada geral é 𝐹 𝑥 = −
1
3
𝑒−3𝑥 + C 
 
𝒇(𝒙) = 𝒆−𝟑𝒙 𝑭′(𝒙) = −𝟑𝒌𝒆−𝟑𝒙 
Assuntos da próxima aula: 
1. Integrais Imediatas; 
 
2. Integração por substituição.