Material Calculo 1 - Estácio - Helio Neiva

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CCE0044 – Cálculo Diferencial e Integral I 
Aula 2: Derivadas (parte 2) 
Unidade I: Derivadas 
Cálculo Diferencial e Integral I 
AULA 2: Derivadas (parte 2) 
DERIVADAS: 
TRIGONOMÉTRICAS 
1 
DERIVADAS: 
TRIGONOMÉTRICAS INVERSAS 
2 
DERIVADAS: 
EXPONENCIAIS E LOGARÍTMICAS 
3 
PRÓXIMOS 
PASSOS 
Unidade I: Derivadas 
Cálculo Diferencial e Integral I 
AULA 2: Derivadas (parte 2) 
 
A derivada da função SENO é dada por 
 
 
A derivada da COSSENO é dada por 
 
 
A derivada da TANGENTE é dada por 
 
xx
dx
d
cos)sen (  xx
dx
d
sen ) cos(  xx
dx
d 2sec) tg( Derivadas de Funções Trigonométricas 
Unidade I: Derivadas 
Cálculo Diferencial e Integral I 
AULA 2: Derivadas (parte 2) 
 
A derivada da função COSSECANTE é dada por 
 
 
A derivada da SECANTE é dada por 
 
 
A derivada da COTANGENTE é dada por 
 
xx
dx
d 2csc) cotg( 
xxx
dx
d
 cotg csc) csc(  xxx
dx
d
 tgsec) sec( 
Derivadas de Funções Trigonométricas 
Unidade I: Derivadas 
Cálculo Diferencial e Integral I 
AULA 2: Derivadas (parte 2) 
xxy cossen  x
x
xf
sen 
)( 
xxxf sec)( 3 
txxtxg tg3sen cos)( 
Derivadas de Funções Trigonométricas 
Unidade I: Derivadas 
Cálculo Diferencial e Integral I 
AULA 2: Derivadas (parte 2) 
Derivadas das Funções Trigonométricas Inversas 
Nas regras de derivação abaixo, considere – 1  x  1. 
 
 
21
1
)sen arc(
x
x
dx
d


21
1
) cos arc(
x
x
dx
d



21
1
) tgarc(
x
x
dx
d


1
1
) csc arc(
2 


xx
x
dx
d
1
1
) sec arc(
2 

xx
x
dx
d
21
1
) cotg(
x
x
dx
d



Derivadas de Funções Trigonométricas Inversas 
Unidade I: Derivadas 
Cálculo Diferencial e Integral I 
AULA 2: Derivadas (parte 2) 
xxy sec arc2 Obtenha a taxa de variação da função em )cos( arc xy 2
1
x
Derivadas de Funções Trigonométricas Inversas 
Unidade I: Derivadas 
Cálculo Diferencial e Integral I 
AULA 2: Derivadas (parte 2) 
)1(sen 2  xy
')(cos)sen ( uuu
dx
d

Regra da Cadeia: 




1
sen 
2xt
ty
xx 2)1( cosy´ 2 
Derivadas de Funções Trigonométricas Inversas 
Unidade I: Derivadas 
Cálculo Diferencial e Integral I 
AULA 2: Derivadas (parte 2) 
 
')(cos)sen ( uuu
dx
d
 ')sen () cos( uuu
dx
d
 ')(sec) tg(
2 uuu
dx
d

Derivadas de Funções Trigonométricas Inversas 
Unidade I: Derivadas 
Cálculo Diferencial e Integral I 
AULA 2: Derivadas (parte 2) 
 
') cotg csc() csc( uuuu
dx
d

') tg(sec) sec( uuuu
dx
d

21
'
) cotg(
u
u
u
dx
d



Derivadas de Funções Trigonométricas Inversas 
Unidade I: Derivadas 
Cálculo Diferencial e Integral I 
AULA 2: Derivadas (parte 2) 
 
21
'
)sen arc(
u
u
u
dx
d


21
'
) cos arc(
u
u
u
dx
d



21
1
) tgarc(
u
u
dx
d


Derivadas de Funções Trigonométricas Inversas 
Unidade I: Derivadas 
Cálculo Diferencial e Integral I 
AULA 2: Derivadas (parte 2) 
 
')csc() cotg( 2 uuu
dx
d

1
'
) csc arc(
2 


uu
u
u
dx
d
1
'
) sec arc(
2 

uu
u
u
dx
d
Derivadas de Funções Trigonométricas Inversas 
Unidade I: Derivadas 
Cálculo Diferencial e Integral I 
AULA 2: Derivadas (parte 2) 
Principal aplicação: modelos de crescimento e matemática financeira 
 
• geralmente têm o formato ou 
em que a pode ser qualquer constante real tal que e e o 
número e também é uma constante real definida como 
 
 
 
xaxf )( xexf )(
0a 1a
71828,2
1
1lim 







x
x x
e
Derivadas de Funções Exponenciais e Logarítmicas 
Unidade I: Derivadas 
Cálculo Diferencial e Integral I 
AULA 2: Derivadas (parte 2) 
xxf 2)( 
x
xf 






2
1
)(
Derivadas de Funções Exponenciais e Logarítmicas 
Unidade I: Derivadas 
Cálculo Diferencial e Integral I 
AULA 2: Derivadas (parte 2) 
Nas regras de derivação abaixo, considere a > 0 e a  1, x > 0 para as funções 
exponenciais. 
aaa
dx
d xx ln)( 
xx ee
dx
d
)(
ax
x
dx
d
a
ln
1
)(log


x
x
dx
d 1
)(ln 
Derivadas de Funções Exponenciais e Logarítmicas 
Unidade I: Derivadas 
Cálculo Diferencial e Integral I 
AULA 2: Derivadas (parte 2) 
 
')ln()( uaaa
dx
d uu 
')()( uee
dx
d uu 
au
u
u
dx
d
a
ln
'
)(log


u
u
u
dx
d '
)(ln 
Derivadas de Funções Exponenciais e Logarítmicas 
Unidade I: Derivadas 
Cálculo Diferencial e Integral I 
AULA 2: Derivadas (parte 2) 
)log31(10)( xxf x x
x
xg
ln
)( 
xxexh )(
Derivadas de Funções Exponenciais e Logarítmicas 
Assuntos da próxima aula: 
1. Derivação Implícita 
2. Equação da Reta Tangente 
3. Equação da Reta Normal