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CCE0044 – Cálculo Diferencial e Integral I Aula 5: Modelagem e Otimização Unidade II: Aplicações de Derivadas Cálculo Diferencial e Integral I AULA 5: MODELAGEM E OTIMIZAÇÃO MODELAGEM E OTIMIZAÇÃO 1 PRÓXIMOS PASSOS Unidade II: Aplicações de Derivadas Cálculo Diferencial e Integral I AULA 5: MODELAGEM E OTIMIZAÇÃO Modelagem: Representar o comportamento de um fenômeno de interesse por meio de funções matemáticas. Otimização: Utilizar recursos matemáticos para minimizar ou maximizar determinadas variáveis das funções que modelam o fenômeno. Modelagem e Otimização Trata-se de organizar estrategicamente os conhecimentos adquiridos até aqui, com o objetivo de se obter a melhor solução para um determinado problema. Unidade II: Aplicações de Derivadas Cálculo Diferencial e Integral I AULA 5: MODELAGEM E OTIMIZAÇÃO Situação Problema: dado um retângulo de papelão de 60cm x 40cm, descubra como dobrá-lo de forma a obter uma caixa com maior volume possível. Unidade II: Aplicações de Derivadas Cálculo Diferencial e Integral I AULA 5: MODELAGEM E OTIMIZAÇÃO Modelagem: Construir uma função que calcule o volume da caixa em função de x. V(x) = (60-2x).(40-2x) . x V(x) = (2400-120x-80x+4x2). x V(x) = 4x3 – 200x2 + 2400x Situação Problema: dado um retângulo de papelão de 60com x 40cm, descubra como dobrá- lo de forma a obter uma caixa com maior volume possível. Unidade II: Aplicações de Derivadas Cálculo Diferencial e Integral I AULA 5: MODELAGEM E OTIMIZAÇÃO Modelagem: V(x) = 4x3 – 200x2 + 2400x Como temos uma função que calcula o volume da caixa para valores de x, nos resta descobrir para qual valor de x o volume é máximo. Recaímos em um problema de máximos e mínimos de função. Situação Problema: dado um retângulo de papelão de 60cm x 40cm, descubra como dobrá-lo de forma a obter uma caixa com maior volume possível. Unidade II: Aplicações de Derivadas Cálculo Diferencial e Integral I AULA 5: MODELAGEM E OTIMIZAÇÃO Modelagem: V(x) = 4x3 – 200x2 + 2400x Otimização : V’(x) = 12x2 - 400x + 2400 Pontos candidatos: V’(x) = 12x2 - 400x + 2400 = 0 Resolvendo a eq. do 2º grau: x = 25,48 ou x = 7,85cm Situação Problema: dado um retângulo de papelão de 60cm x 40cm, descubra como dobrá-lo de forma a obter uma caixa com maior volume possível. Unidade II: Aplicações de Derivadas Cálculo Diferencial e Integral I AULA 5: MODELAGEM E OTIMIZAÇÃO Modelagem: V(x) = 4x3 – 200x2 + 2400x Otimização : V’(x) = 12x2 - 400x + 2400 Pontos candidatos: x = 25,48 ou x = 7,85 cm Como a solução de x=25,48 não é fisicamente possível (um dos lados é 40cm), o maior volume é obtido ao se construir a caixa com altura de 7,85cm. volume máximo: 8450,45cm3 Situação Problema: dado um retângulo de papelão de 60cm x 40cm, descubra como dobrá-lo de forma a obter uma caixa com maior volume possível. Unidade II: Aplicações de Derivadas Cálculo Diferencial e Integral I AULA 5: MODELAGEM E OTIMIZAÇÃO Situação Problema: construir moldes cilíndricos utilizando chapas metálicas. Fixando o consumo máximo de material em 500cm2, quais devem ser as dimensões (altura e raio) para que seu volume seja máximo (considerar a parede e as 2 bases)? Modelagem: Construir uma função que calcule o volume do cilindro em função do raio ou da altura para uma área fixa de 500 cm2. 𝑉 = 𝜋𝑟2ℎ 𝐴 = 2𝜋𝑟2 + 2𝜋𝑟ℎ = 2𝜋𝑟 𝑟 + ℎ = 500 substituindo h por ℎ = 250 𝜋𝑟 − 𝑟 , temos 𝑽 𝒓 = 𝝅𝒓𝟐( 𝟐𝟓𝟎 𝝅𝒓 − 𝒓) h r Unidade II: Aplicações de Derivadas Cálculo Diferencial e Integral I AULA 5: MODELAGEM E OTIMIZAÇÃO Modelagem: 𝑉 𝑟 = 𝜋𝑟2 250 𝜋𝑟 − 𝑟 = 250𝑟 − 𝜋𝑟3 Otimização: 𝑉′ 𝑟 = 250 − 3𝜋𝑟2 = 0 h r Situação Problema: construir moldes cilíndricos utilizando chapas metálicas. Fixando o consumo máximo de material em 500cm2, quais devem ser as dimensões (altura e raio) para que seu volume seja máximo (considerar a parede e as 2 bases)? Unidade II: Aplicações de Derivadas Cálculo Diferencial e Integral I AULA 5: MODELAGEM E OTIMIZAÇÃO Situação Problema: uma bateria de 12v e resistência interna de 2 ohm é ligada a um circuito com resistência variável R. A sua corrente varia segundo a lei de Ohm ( ) e a potência é dada por RI2. Qual é a resistência que fornece a potência máxima? Qual o valor da potência máxima? Modelagem: Temos que criar uma função da potência em função da resistência. Unidade II: Aplicações de Derivadas Cálculo Diferencial e Integral I AULA 5: MODELAGEM E OTIMIZAÇÃO Modelagem: Otimização: Situação Problema: uma bateria de 12v e resistência interna de 2 ohm é ligada a um circuito com resistência variável R. A sua corrente varia segundo a lei de Ohm ( ) e a potência é dada por RI2. Qual é a resistência que fornece a potência máxima? Qual o valor da potência máxima? Unidade II: Aplicações de Derivadas Cálculo Diferencial e Integral I AULA 5: MODELAGEM E OTIMIZAÇÃO Modelagem: Otimização: Situação Problema: uma bateria de 12v e resistência interna de 2 ohm é ligada a um circuito com resistência variável R. A sua corrente varia segundo a lei de Ohm ( ) e a potência é dada por RI2. Qual é a resistência que fornece a potência máxima? Qual o valor da potência máxima? Unidade II: Aplicações de Derivadas Cálculo Diferencial e Integral I AULA 5: MODELAGEM E OTIMIZAÇÃO Modelagem: Otimização: Situação Problema: uma bateria de 12v e resistência interna de 2 ohm é ligada a um circuito com resistência variável R. A sua corrente varia segundo a lei de Ohm ( ) e a potência é dada por RI2. Qual é a resistência que fornece a potência máxima? Qual o valor da potência máxima? Assuntos da próxima aula: 1. Integral Indefinida; 2. Integrais Imediatas e Integração por substituição.
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