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CCE0044 – CÁLCULO DIFERENCIAL E INTEGRAL I Aula 8: Teorema Fundamental do Cálculo Unidade III: Integrais definidas Cálculo Diferencial e Integral I AULA 8: TEOREMA FUNDAMENTAL DO CÁLCULO E INTEGRAIS DEFINIDAS TEOREMA FUNDAMENTAL DO CÁLCULO 1 PRÓXIMOS PASSOS INTEGRAIS DEFINIDAS 2 Unidade III: Integrais definidas Cálculo Diferencial e Integral I AULA 8: TEOREMA FUNDAMENTAL DO CÁLCULO E INTEGRAIS DEFINIDAS No Cálculo Diferencial e Integral há dois tipos de problemas fundamentais: • Determinar a taxa de variação de uma curva (função) em um ponto. • Foi estudado, utilizando as derivadas. • Determinar a área de uma região sob uma curva (função). • Vai ser resolvido com a utilização de integrais definidas. • Precisaremos do Teorema fundamental do Cálculo. Unidade III: Integrais definidas Cálculo Diferencial e Integral I AULA 8: TEOREMA FUNDAMENTAL DO CÁLCULO E INTEGRAIS DEFINIDAS Exemplo de determinação da área sob o gráfico de uma função linear Nesse caso, a região tem a forma de um trapézio. 2 )( hbB A 18 2 3)39( A Unidade III: Integrais definidas Cálculo Diferencial e Integral I AULA 8: TEOREMA FUNDAMENTAL DO CÁLCULO E INTEGRAIS DEFINIDAS O problema é que nem sempre o gráfico da função que irá limitar a região é uma reta. Como proceder se o gráfico da função for uma curva? Pela simplicidade, vamos começar com o mesmo exemplo e: • Utilizar um processo aproximado; • Estimar a área do trapézio pela soma das áreas de vários retângulos; • Cada retângulo terá base inferior no eixo x e ponto médio da base superior pertencente à função. Unidade III: Integrais definidas Cálculo Diferencial e Integral I AULA 8: TEOREMA FUNDAMENTAL DO CÁLCULO E INTEGRAIS DEFINIDAS Construíram-se 3 retângulos de base 1. A ideia é estimar a área do trapézio como sendo a soma da área dos 3 retângulos. O problema é que nem sempre o gráfico da função que irá limitar a região é uma reta. Como proceder se o gráfico da função for uma curva? Unidade III: Integrais definidas Cálculo Diferencial e Integral I AULA 8: TEOREMA FUNDAMENTAL DO CÁLCULO E INTEGRAIS DEFINIDAS Áreas dos retângulos R1 = 4, R2 = 6 e R3 = 8 A soma é 18 (resultado exato) As áreas não computadas são “compensadas” pelas áreas acima da reta. O problema é que nem sempre o gráfico da função que irá limitar a região é uma reta. Como proceder se o gráfico da função for uma curva? Unidade III: Integrais definidas Cálculo Diferencial e Integral I AULA 8: TEOREMA FUNDAMENTAL DO CÁLCULO E INTEGRAIS DEFINIDAS Vamos dividir a área abaixo da curva em dois retângulos. O problema é que nem sempre o gráfico da função que irá limitar a região é uma reta. Como proceder se o gráfico da função for uma curva? 𝑓 𝑥 = 𝑥2 + 1 Unidade III: Integrais definidas Cálculo Diferencial e Integral I AULA 8: TEOREMA FUNDAMENTAL DO CÁLCULO E INTEGRAIS DEFINIDAS Áreas dos retângulos R1 R2 A soma dá 4,5 (aproximação) O que acontece se utilizarmos 4 retângulos? 25,1)5,0()01( f 25,3)5,1()12( f O problema é que nem sempre o gráfico da função que irá limitar a região é uma reta. Como proceder se o gráfico da função for uma curva? 𝑓 𝑥 = 𝑥2 + 1 Unidade III: Integrais definidas Cálculo Diferencial e Integral I AULA 8: TEOREMA FUNDAMENTAL DO CÁLCULO E INTEGRAIS DEFINIDAS R1 R2 R3 R4 Retângulo Medida da base Medida da altura Área R1 0,5 – 0 = 0,5 R2 1 – 0,5 = 0,5 R3 1,5 – 1 = 0,5 R4 2 – 1,5 = 0,5 Soma: 4,625 0625,1)25,0( f 0,531250625,15,0 1,5625)75,0( f 0,781251,5625,50 2,5625)25,1( f 1,28125,56252,50 4,0625)75,1( f 2,031254,0625,50 O valor 4,625 é uma aproximação melhor da área exata sob a curva. Quanto maior for o número de retângulos, mais nos aproximaremos do valor exato da área. O problema é que nem sempre o gráfico da função que irá limitar a região é uma reta. Como proceder se o gráfico da função for uma curva? Unidade III: Integrais definidas Cálculo Diferencial e Integral I AULA 8: TEOREMA FUNDAMENTAL DO CÁLCULO E INTEGRAIS DEFINIDAS divisão em n retângulos Base: ∆𝑥 Altura: 𝑓 𝑥𝑖 ≥ 0 intervalo real [a,b], onde: 𝑥𝑖 é o ponto médio do retângulo i, com 𝑖 = 1,… , 𝑛 Dessa forma, a área A sob o gráfico será aproximada por 𝑨 ≅ 𝒇 𝒙𝟏 ∆𝒙 + 𝒇 𝒙𝟐 ∆𝒙 +⋯+ 𝒇 𝒙𝒏 ∆𝒙 Conhecida com a soma de Riemann O problema é que nem sempre o gráfico da função que irá limitar a região é uma reta. Como proceder se o gráfico da função for uma curva? Unidade III: Integrais definidas Cálculo Diferencial e Integral I AULA 8: TEOREMA FUNDAMENTAL DO CÁLCULO E INTEGRAIS DEFINIDAS O limite da soma de Riemann com n tendendo ao infinito (número infinito de retângulos) 𝐴 = lim 𝑛→∞ 𝑓 𝑥1 ∆𝑥 + 𝑓 𝑥2 ∆𝑥 +⋯+ 𝑓 𝑥𝑛 ∆𝑥 é conhecido por integral definida da função não negativa f(x) no intervalo [a,b]. 𝒇 𝒙 𝒅𝒙 𝒃 𝒂 O problema é que nem sempre o gráfico da função que irá limitar a região é uma reta. Como proceder se o gráfico da função for uma curva? Unidade III: Integrais definidas Cálculo Diferencial e Integral I AULA 8: TEOREMA FUNDAMENTAL DO CÁLCULO E INTEGRAIS DEFINIDAS Portanto, área A sob o gráfico da função 𝑓 𝑥 e limitada pelos valores 𝑥 = 𝑎 e 𝑥 = 𝑏 tais que 𝑓 𝑥 ≥ 0 em [a,b] pode ser dada por: 𝑨 = 𝒇 𝒙 𝒅𝒙 𝒃 𝒂 Mas como podemos determinar o valor da integral definida? O problema é que nem sempre o gráfico da função que irá limitar a região é uma reta. Como proceder se o gráfico da função for uma curva? Unidade III: Integrais definidas Cálculo Diferencial e Integral I AULA 8: TEOREMA FUNDAMENTAL DO CÁLCULO E INTEGRAIS DEFINIDAS Teorema Fundamental do Cálculo Considere uma função 𝑓 𝑥 contínua no intervalo [a,b]. Seja 𝐹 𝑥 uma antiderivada qualquer de 𝑓 𝑥 . Então: 𝑓 𝑥 𝑑𝑥 = 𝐹 𝑏 − 𝐹(𝑎) 𝑏 𝑎 Mas e as constantes? Como o valor de C será o mesmo em F(b) e em F(a), Serão cancelados na subtração! Unidade III: Integrais definidas Cálculo Diferencial e Integral I AULA 8: TEOREMA FUNDAMENTAL DO CÁLCULO E INTEGRAIS DEFINIDAS 𝑓 𝑥 = 𝑥2 + 1 𝑨 = 𝒙𝟐 + 𝟏)𝒅𝒙 𝟐 𝟎 O problema é que nem sempre o gráfico da função que irá limitar a região é uma reta. Como proceder se o gráfico da função for uma curva? Unidade III: Integrais definidas Cálculo Diferencial e Integral I AULA 8: TEOREMA FUNDAMENTAL DO CÁLCULO E INTEGRAIS DEFINIDAS 1)( 2 xxf O problema é que nem sempre o gráfico da função que irá limitar a região é uma reta. Como proceder se o gráfico da função for uma curva? 𝐴 = 𝑥2 + 1 𝑑𝑥 2 0 = 𝐹 2 − 𝐹 0 = 23 3 + 2 + 𝐶 − 03 3 + 0 + 𝐶 = 14 3 + 𝐶 − 𝐶 = 14 3 + 𝐶 − 𝐶 = 14 3 = 4,66667 Unidade III: Integrais definidas Cálculo Diferencial e Integral I AULA 8: TEOREMA FUNDAMENTAL DO CÁLCULO E INTEGRAIS DEFINIDAS Portanto, no cálculo das integrais definidas, podemos simplesmente ignorar as constantes 𝐴 = 𝑥2 + 1 𝑑𝑥 2 0 = 𝐹 2 − 𝐹 0 = 23 3 + 2 − 03 3 + 0 = 14 3 𝑓 𝑥 = 𝑥2 + 1 O problema é que nem sempre o gráfico da função que irá limitar a região é uma reta. Como proceder se o gráfico da função for uma curva? Unidade III: Integrais definidas Cálculo Diferencial e Integral I AULA 8: TEOREMA FUNDAMENTAL DO CÁLCULO E INTEGRAIS DEFINIDAS Duas formas bastante utilizadas para representar o cálculo utilizado na determinaçãoda integral definida são: 𝒇 𝒙 𝒅𝒙 − 𝑭(𝒙)]𝒂 𝒃 𝒃 𝒂 𝒇 𝒙 𝒅𝒙 = [𝑭(𝒙)]𝒂 𝒃 𝒃 𝒂 Unidade III: Integrais definidas Cálculo Diferencial e Integral I AULA 8: TEOREMA FUNDAMENTAL DO CÁLCULO E INTEGRAIS DEFINIDAS PROPRIEDADES DA INTEGRAL DEFINIDA Considere as funções f(x) e g(x) contínuas em um intervalo [a,b] e a constante real k . Então: (I) ; (II) ; (III) ; (IV) , para todo c do domínio de f(x); (V) Se b a b a dxxfkdxxkf )()( b a b a b a dxxgdxxfdxxgxf )()()()( a b b a dxxfdxxf )()( b c c a b a dxxfdxxfdxxf )()()( então ,0)( xf 0)( b a dxxf Assuntos da próxima aula: 1. Teorema Fundamental do Cálculo; 2. Integral definida.
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