Material Calculo 1 - Estácio - Helio Neiva

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CCE0044 – CÁLCULO DIFERENCIAL E INTEGRAL I 
Aula 8: Teorema Fundamental do Cálculo 
Unidade III: Integrais definidas 
Cálculo Diferencial e Integral I 
AULA 8: TEOREMA FUNDAMENTAL DO CÁLCULO E INTEGRAIS DEFINIDAS 
 
TEOREMA FUNDAMENTAL DO CÁLCULO 
1 
PRÓXIMOS 
PASSOS 
INTEGRAIS DEFINIDAS 
2 
Unidade III: Integrais definidas 
Cálculo Diferencial e Integral I 
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No Cálculo Diferencial e Integral há dois tipos de problemas fundamentais: 
 
• Determinar a taxa de variação de uma curva (função) em um ponto. 
• Foi estudado, utilizando as derivadas. 
 
• Determinar a área de uma região sob uma curva (função). 
• Vai ser resolvido com a utilização de integrais definidas. 
• Precisaremos do Teorema fundamental do Cálculo. 
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Exemplo de determinação da área sob o gráfico de uma função linear 
Nesse caso, a região tem a forma de um trapézio. 
 
 
2
)( hbB
A


18
2
3)39(


A
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O problema é que nem sempre o gráfico da função que irá limitar a região é uma reta. 
Como proceder se o gráfico da função for uma curva? 
Pela simplicidade, vamos começar com o mesmo exemplo e: 
 
• Utilizar um processo aproximado; 
• Estimar a área do trapézio pela soma das áreas de vários retângulos; 
• Cada retângulo terá base inferior no eixo x e ponto médio da base superior pertencente 
à função. 
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Construíram-se 3 retângulos de base 1. 
 
A ideia é estimar a área do trapézio como 
sendo a soma da área dos 3 retângulos. 
O problema é que nem sempre o gráfico da função que irá limitar a região é uma reta. 
Como proceder se o gráfico da função for uma curva? 
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Áreas dos retângulos 
R1 = 4, R2 = 6 e R3 = 8 
 
A soma é 18 (resultado exato) 
 
As áreas não computadas são 
“compensadas” pelas áreas acima da reta. 
O problema é que nem sempre o gráfico da função que irá limitar a região é uma reta. 
Como proceder se o gráfico da função for uma curva? 
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Vamos dividir a área abaixo da curva em 
dois retângulos. 
O problema é que nem sempre o gráfico da função que irá limitar a região é uma reta. 
Como proceder se o gráfico da função for uma curva? 
𝑓 𝑥 = 𝑥2 + 1 
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Áreas dos retângulos 
R1 
R2 
 
A soma dá 4,5 (aproximação) 
 
O que acontece se utilizarmos 4 retângulos? 
25,1)5,0()01(  f 25,3)5,1()12(  f
O problema é que nem sempre o gráfico da função que irá limitar a região é uma reta. 
Como proceder se o gráfico da função for uma curva? 
𝑓 𝑥 = 𝑥2 + 1 
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R1 
R2 
R3 
R4 
Retângulo Medida da base Medida da altura Área 
R1 0,5 – 0 = 0,5 
R2 1 – 0,5 = 0,5 
R3 1,5 – 1 = 0,5 
R4 2 – 1,5 = 0,5 
Soma: 4,625 
0625,1)25,0( f 0,531250625,15,0 
1,5625)75,0( f
0,781251,5625,50 
2,5625)25,1( f 1,28125,56252,50 
4,0625)75,1( f
2,031254,0625,50 
O valor 4,625 é uma aproximação melhor da área exata 
sob a curva. 
 
Quanto maior for o número de retângulos, 
mais nos aproximaremos do valor exato da área. 
O problema é que nem sempre o gráfico da função que irá limitar a região é uma reta. 
Como proceder se o gráfico da função for uma curva? 
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divisão em n retângulos 
Base: ∆𝑥 
Altura: 𝑓 𝑥𝑖 ≥ 0 
intervalo real [a,b], onde: 
𝑥𝑖 é o ponto médio do retângulo i, com 𝑖 = 1,… , 𝑛 
Dessa forma, a área A sob o gráfico será aproximada por 
 
𝑨 ≅ 𝒇 𝒙𝟏 ∆𝒙 + 𝒇 𝒙𝟐 ∆𝒙 +⋯+ 𝒇 𝒙𝒏 ∆𝒙 
 
Conhecida com a soma de Riemann 
O problema é que nem sempre o gráfico da função que irá limitar a região é uma reta. 
Como proceder se o gráfico da função for uma curva? 
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O limite da soma de Riemann com n tendendo ao infinito 
(número infinito de retângulos) 
 
𝐴 = lim
𝑛→∞
𝑓 𝑥1 ∆𝑥 + 𝑓 𝑥2 ∆𝑥 +⋯+ 𝑓 𝑥𝑛 ∆𝑥 
 
é conhecido por integral definida da função não negativa f(x) no intervalo [a,b]. 
 
 𝒇 𝒙 𝒅𝒙
𝒃
𝒂
 
O problema é que nem sempre o gráfico da função que irá limitar a região é uma reta. 
Como proceder se o gráfico da função for uma curva? 
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Portanto, área A sob o gráfico da função 𝑓 𝑥 e limitada pelos valores 𝑥 = 𝑎 e 𝑥 = 𝑏 
tais que 𝑓 𝑥 ≥ 0 em [a,b] pode ser dada por: 
 
𝑨 = 𝒇 𝒙 𝒅𝒙
𝒃
𝒂
 
 
Mas como podemos determinar o valor da integral definida? 
 
O problema é que nem sempre o gráfico da função que irá limitar a região é uma reta. 
Como proceder se o gráfico da função for uma curva? 
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Teorema Fundamental do Cálculo 
Considere uma função 𝑓 𝑥 contínua no intervalo [a,b]. 
Seja 𝐹 𝑥 uma antiderivada qualquer de 𝑓 𝑥 . Então: 
 
 𝑓 𝑥 𝑑𝑥 = 𝐹 𝑏 − 𝐹(𝑎)
𝑏
𝑎
 
 
Mas e as constantes? 
Como o valor de C será o mesmo em F(b) e em F(a), 
Serão cancelados na subtração! 
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𝑓 𝑥 = 𝑥2 + 1 
𝑨 = 𝒙𝟐 + 𝟏)𝒅𝒙
𝟐
𝟎
 
O problema é que nem sempre o gráfico da função que irá limitar a região é uma reta. 
Como proceder se o gráfico da função for uma curva? 
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1)( 2  xxf
O problema é que nem sempre o gráfico da função que irá limitar a região é uma reta. 
Como proceder se o gráfico da função for uma curva? 
𝐴 = 𝑥2 + 1 𝑑𝑥
2
0
 
= 𝐹 2 − 𝐹 0 
=
23
3
+ 2 + 𝐶 −
03
3
+ 0 + 𝐶 
=
14
3
+ 𝐶 − 𝐶 
=
14
3
+ 𝐶 − 𝐶 =
14
3
= 4,66667 
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Portanto, no cálculo das integrais definidas, podemos 
simplesmente ignorar as constantes 
𝐴 = 𝑥2 + 1 𝑑𝑥
2
0
 
= 𝐹 2 − 𝐹 0 =
23
3
+ 2 −
03
3
+ 0 =
14
3
 
𝑓 𝑥 = 𝑥2 + 1 
O problema é que nem sempre o gráfico da função que irá limitar a região é uma reta. 
Como proceder se o gráfico da função for uma curva? 
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Duas formas bastante utilizadas para representar o cálculo utilizado na determinaçãoda integral 
definida são: 
 𝒇 𝒙 𝒅𝒙 − 𝑭(𝒙)]𝒂
𝒃
𝒃
𝒂
 
 𝒇 𝒙 𝒅𝒙 = [𝑭(𝒙)]𝒂
𝒃
𝒃
𝒂
 
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PROPRIEDADES DA INTEGRAL DEFINIDA 
 
Considere as funções f(x) e g(x) contínuas em um intervalo [a,b] e a constante real k . 
Então: 
 
(I) ; 
 
(II) ; 
 
(III) ; 
 
(IV) , para todo c do domínio de f(x); 
 
(V) Se 
 
 
b
a
b
a
dxxfkdxxkf )()(
   
b
a
b
a
b
a
dxxgdxxfdxxgxf )()()()(
 
a
b
b
a
dxxfdxxf )()(
 
b
c
c
a
b
a
dxxfdxxfdxxf )()()(
 então ,0)( xf 0)( 
b
a
dxxf
Assuntos da próxima aula: 
1. Teorema Fundamental do Cálculo; 
2. Integral definida.