Baixe o app para aproveitar ainda mais
Prévia do material em texto
Profº Luciano A´lgebra Linear I − Licenciatura em Matema´tica 10/10/2017 Lista I 1. Considere as matrizes A = 1 2 3 2 1 −1 , B = −2 0 1 3 0 1 , C = −1 2 4 , D = [ 2 −1 ] , E = 1 0 3 −1 4 2 e F = 1 0 0 1 (a) A+B (b) A · C (c) B + F (d) B · C (e) D ·A (f) D ·B (g) E · F +At −Bt (h) Et + (−A) (i) C ·D + 2E −At (j) Ct · E − 3D 2. Seja A = 2 y2 2y − 1 0 . Encontre y, sabendo que At = A. 3. (IME-81/82) Determine a matriz H tal que HA = B onde A = 1 0 2 2 1 3 e B = 4 2 6 3 1 5 2 0 4 . 4. Calcular as matrizes X, quadradas de ordem 2, tais que X2 = O. Fac¸a o mesmo para X2 = X. 5. (Interno - ITA) Uma matriz real A de ordem n que satisfaz as relac¸o˜es AAt = AtA = I e´ chamada ortogonal. i) Deˆ exemplo de uma matriz ortogonal 2× 2, distinta da identidade. ii) Ache a matriz ortogonal geral 2× 2. iii) Mostre que o produto de duas matrizes ortogonais e´ uma matriz ortogonal. iv) Mostre que a inversa de uma matriz ortogonal e´ uma matriz ortogonal. 6. Considere a matriz A = (aij)2×2 tal que aij = sen (pi 2 i ) , se i = j cos(pii), se i 6= j Ache a transposta da matriz A2. 1 Profº Luciano A´lgebra Linear I − Licenciatura em Matema´tica 10/10/2017 7. Determinar todas as matrizes quadradas de ordem 3 que comutam com a matriz: B = b 1 0 0 b 1 0 0 b ou seja, todas as matrizes X do tipo 3× 3 tais que BX = XB, com b e´ um nu´mero real. 8. Uma matriz quadrada A diz sime´trica se At = A e anti-sime´trica se At = −A. (a) Mostre que a soma de duas matrizes sime´tricas e´ tambe´m sime´trica. E que tambe´m vale para as matrizes anti-sime´tricas. (b) O produto de duas matrizes sime´tricas de ordem n e´ uma matriz sime´trica? Se na˜o for ,determine a condic¸a˜o necessa´ria e suficiente para que o produto seja sime´trica. (c) Mostre que a matriz anti-sime´trica e´ quadrada, e que os elementos da diagonal sa˜o nulos. 9. (UFMT - 2004) Uma maneira para codificar ou decodificar uma mensagem e´ utilizar a multiplicac¸a˜o de matrizes. Para tanto, associam-se as letras do alfabeto e alguns s´ımbolos aos nu´meros, segundo a correspondeˆncia a seguir. A B C D E F G H I J K L M N O 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 P Q R S T U V W X Y Z . , # 16 17 18 19 20 21 22 23 24 25 26 27 28 29 Nesse exemplo, o s´ımbolo # indica um espac¸o entre as palavras. A mensagem codificada a ser enviada 63 20 42 12 113 44 15 32 11 84 esta´ representada pela matriz: N = 63 20 42 12 113 44 15 32 11 84 obtida do produto entre a matriz A = 3 1 2 1 e a matriz M que conte´m a mensagem original decodificada (N = A.M). Para decodificar a mensagem, multiplica-se a matriz inversa de A pela matriz N obtendo-se a matriz M (M = A−1.N). Assim sendo, qual e´ a mensagem apo´s decodificada? 10. Calcule det 2 0 −1 3 0 2 4 −3 7 2 Profº Luciano A´lgebra Linear I − Licenciatura em Matema´tica 10/10/2017 (a) pela definic¸a˜o (b) em relac¸a˜o a` segunda coluna, usando o desenvolvimento de Laplace. 11. Dadas as matrizes A = 1 2 1 0 e B = 3 −1 0 1 , calcule (a) det A+det B (b) det (A+B) 12. Considere A e B matrizes 2 × 2, arbitra´rias. Das afirmac¸o˜es abaixo assinale a verdadeira. No seu caderno, justifique a afirmac¸a˜o verdadeira e deˆ exemplo para mostrar que cada uma das demais e´ falsa. (a) Se A e´ na˜o nula enta˜o A possui inversa. (b) (AB)t = AtBt (c) det (AB) = det (BA) (d) det (A2) = 2det A (e) (A+B)(A−B) = A2 −B2 13. Reduza as matrizes abaixo a` forma reduzida escalonada e determine o posto e a nulidade das mesmas. (a) A = 1 1 1 3 1 0 −1 1 0 1 2 2 (b) B = 6 3 −4 −4 1 −6 1 2 −5 (c) C = 1 0 0 1 0 0 1 2 14. Dada A = 2 3 1 −2 5 3 1 4 0 1 2 2 3 −1 −2 4 , calcule (a) A23 (b) |A23| (c) 423 (d) det A 15. Dada a matriz A = 2 1 −3 0 2 1 5 1 3 , calcule (a) adj A (b) det A (c) A−1 3 Profº Luciano A´lgebra Linear I − Licenciatura em Matema´tica 10/10/2017 16. Resolva os sistemas abaixo, usando o escalonamento. (a) x+ 2y − 2z = −6 3x+ 2y − 2z = −2 3x− 5z = −9 (b) x− y + 2z = 4 3x+ y + 4z = 6 x+ y + z = 1 (c) x+ 2y − 3z = 0 2x+ 4y − 2z = 2 3x+ 6y − 4z = 3 (d) x− y − z = 4 x− y + z = 2 17. Discuta em func¸a˜o de k os sistemas : S1: −4x+ 3y = 2 5x− 4y = 0 2x− y = k S2: x+ y − kz = 0 kx+ y − z = 2 18. Determine os valores de a e b que tornam o seguinte sistema poss´ıvel e determinado. 3x− 7y = a x+ y = b 5x+ 3y = 5a+ 2b x+ 2y = a+ b− 1 19. Utilize a Regra de Crammer para resolver os sistemas: (a) −x+ y + z = 6 2x+ 5y − 2z = 6 x+ 7y − 7z = −10 (b) x+ 3y = 8 x− y = 0 20. Dado o sistema linear 3x+ 5y + 12z − w = −3 x+ y + 4z − w = −6 2y + 2z + w = 5 (a) Discuta a soluc¸a˜o do sistema. (b) Acrescente a equac¸a˜o 2z+kw = 9 a este sistema, encontre um valor de k que torne o sistema incompat´ıvel. 4
Compartilhar