Trabalho virtual

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Universidade Mogi das Cruzes 
Curso de Graduação 
Engenharia Civil 
 
São Paulo 
2013 
Aluna: Rosana Mendonça 
RGM: 12112401228 
Matéria: Teoria das estruturas 
Semestre: 6° A 
Prof°: Cristina 
 
 
 
 
 
Trabalho Virtual 
Universidade Mogi das Cruzes 
Curso de Graduação 
Engenharia Civil 
 
São Paulo 
2013 
Índice 
1. Trabalho Virtual ........................................................................................................................................ 3 
1.1. Princípio dos Trabalhos Virtuais para Corpos Rígidos ....................................................................... 3 
1.2. Teorema do deslocamento virtual unitário para cálculo de forças. ................................................ 4 
1.3. Aplicações do Princípio dos Trabalhos Virtuais ................................................................................. 5 
1.3.1. Sistemas hipoestáticos ............................................................................................................... 5 
1.4. Sistemas isostáticos ........................................................................................................................... 5 
 
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Engenharia Civil 
 
São Paulo 
2013 
1. TRABALHO VIRTUAL 
O estudo aborda o trabalho virtual dentro do calculo estrutural, virtual significa que as 
quantidades são imaginárias e que não existem no sentido real ou físico. Sendo assim 
o deslocamento virtual é imaginário e arbitrariamente imposto sobre o sistema 
estrutural. Já o trabalho realizado por forças reais durante um deslocamento virtual é 
chamado de trabalho virtual. 
O trabalho virtual pode ser considerado como o trabalho produzido em uma das duas 
situações abaixo relacionadas: 
 Trabalho realizado por forças reais durante um deslocamento virtual; 
 Trabalho realizado por forças virtuais durante um deslocamento real. 
Considera-se que um deslocamento provocado por alguma outra ação que não o 
sistema de carregamento em questão atuante na estrutura seja deslocamento virtual. 
Onde a força virtual, da mesma forma, pode ser considerada uma outra força qualquer 
que não seja a que está provocando o deslocamento real. 
Deste modo, na expressão do trabalho virtual, a força e o deslocamento envolvidos 
(virtual e real ou vice-versa) têm uma relação de equivalência, mas nunca de 
causalidade. 
1.1. PRINCÍPIO DOS TRABALHOS VIRTUAIS PARA CORPOS RÍGIDOS 
O princípio dos trabalhos virtuais para os corpos rígidos está sujeito a um sistema de 
forças reais PI constantes e integralmente aplicadas a um corpo rígido conforme 
mostrado na figura abaixo. Se ele é submetido a um deslocamento virtual δv, sendo δvi 
as componentes do deslocamento virtual correspondentes aos PI. 
Todas as grandezas virtuais serão denotadas pela letra δ precedendo a grandeza, por 
exemplo, δv significa deslocamento virtual e δF força virtual. 
Na figura a seguir, considerando-se vi deslocamentos reais (provocados por um 
sistema de forças real) e δPi um sistema de forças virtuais (não são elas que provocam 
vi), tem-se uma expressão análoga para o trabalho virtual. 
O trabalho virtual realizado é dado pelas forças reais Pi durante o deslocamento virtual 
δv é dado por: 
 
δW = P¹ x δV¹+ P² x δV² + P³ x δV³ 
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Figura 1. Trabalho virtual realizado por forças reais 
1.2. TEOREMA DO DESLOCAMENTO VIRTUAL UNITÁRIO PARA CÁLCULO DE FORÇAS. 
O Teorema dos Trabalhos Virtuais (TTV) é utilizado para a determinação da 
configuração de equilíbrio de uma estrutura ou dos esforços que estão a atuando em 
configuração de equilíbrio. Para o corpo da figura seguinte são conhecidos os valores 
dos deslocamentos d1, d2, d3 e d4 e se pretende determinar o valor da carga Q4. 
Consideremos um deslocamento virtual tal que d4=1, por aplicação das equações 
anteriores podemos escrever: 
 
Onde deij representa as deformações associadas ao deslocamento virtual d4=1 e sij as 
tensões associadas às cargas Qi, as cargas reais aplicadas. De notar que a 
consideração de um deslocamento virtual dqi=0 com dq4=1 é possível, desde que tal 
deslocamento respeite as condições fronteira impostas ao corpo. A equação anterior 
corresponde ao enunciado do Teorema do Deslocamento Unitário que refere que numa 
estrutura em equilíbrio, o esforço Qj pode ser calculado considerando um 
deslocamento virtual unitário dqj = 1 a partir de: 
 
A utilização desta equação depende da possibilidade de cálculo do seu segundo 
membro. O caso mais simples é o das estruturas articuladas, razão pela qual se 
apresentarão algumas aplicações. 
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Figura 2. Teorema de deslocamento 
1.3. APLICAÇÕES DO PRINCÍPIO DOS TRABALHOS VIRTUAIS 
1.3.1. SISTEMAS HIPOESTÁTICOS 
Vamos agora considerar algumas aplicações do P.V.T. aos corpos rígidos e a sistemas 
de corpos rígidos e começaremos por considerar o caso dos sistemas hipoestáticos. 
Fundamentalmente podem distinguir-se dois tipos de aplicações: 
 Determinação da relação ou relações entre as forças aplicadas ao sistema para 
assegurar uma determinada posição de equilíbrio; 
 Determinação da configuração de equilíbrio para um conjunto de forças 
aplicadas conhecidas. 
1.3.2. SISTEMAS ISOSTÁTICOS 
Pode à primeira vista parecer estranho que se queira fazer a aplicação do P.T.V. a 
sistemas isostáticos, os quais por definição não podem apresentar qualquer tipo de 
deslocamento compatível com as ligações. No entanto vejamos que, mediante um 
pequeno artifício, se pode fazer a sua aplicação aos dois casos seguintes: 
 Determinação de reacções de apoio; 
 Determinação de forças de ligação interiores. 
O P.T.V. diz que, se o sistema está em equilíbrio, é nulo o trabalho virtual das forças 
aplicadas ao sistema. Tudo reside naquilo que se considera o sistema. Para a 
determinação de reacções de apoio em sistemas isostáticos suprime-se a ligação 
correspondente à reacção a determinar substituindo-a pela força incógnita respectiva. 
Ficamos assim com um sistema em equilíbrio, de geometria idêntica ao anterior, mas 
hipoestático, ao qual portanto já é possível impor deslocamentos virtuais compatíveis 
com as ligações que ficaram. O equilíbrio não foi alterado, porquanto a reacção 
incógnita desempenha as funções da ligação suprimida passando a ser considerada 
como força aplicada. 
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Referencia 
PUC - Pontifícia Universidade Católica do Rio de Janeiro Departamento de 
Engenharia Civil – arquivo de pesquisa de Juliana Braghini Ramalho e 
Raul Rosas. 
http://www.cadtec.dees.ufmg.br/NucleoEAD/Forum/Arquivos/apostila_PTV.
pdf 
http://www.civil.ist.utl.pt/~eduardo/Mec_I/folhas/Estatica_ptv.pdf 
http://www.ipb.pt/~ppiloto/pdf/me1.pdf 
A arte de "engenhar" consiste em transformar números, calculos, formulas e desenhos em 
realidade.
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