Aulas Geometria Análitica

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03/10/2014
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Geometria Analítica — um tratamento vetorial Sistema de Coordenadas
1 – 1 Prof. Dilcesar Dantas
Medida angular entre VetoresMedida angular entre Vetores
Definição: Sejam �, �� ∈ ��. Considere O, P, Q ∈
�� tais que � = 
� e �� = 
�. O ângulo entre os
vetores � e �� é o ângulo formado pelas reta OP e
OQ.
Geometria Analítica — um tratamento vetorial Sistema de Coordenadas
Obs: Lembrando que o ângulo entre duas retas é
definido como sendo o menor ângulo formado
por elas, então o ângulo entre dois vetores
pertence ao intervalo [0, �].
Definição: Dois vetores �, �� são ditos ortogonais
se
(i) � = 0 ou �� = 0;
(ii) Se � ≠ 0 e �� ≠ 0 então o ângulo formado
por eles é
�
�
.
��
�
Notação: � ⊥ ��
Geometria Analítica — um tratamento vetorial Sistema de Coordenadas
Proposição: � ⊥ �� ⟺ � + ��
�
= ||�||� + ||��||�
(� ≠ 0 e �� ≠ 0)
(Teorema de Pitagoras)
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Geometria Analítica — um tratamento vetorial Sistema de Coordenadas
Definição: Uma base � = {��, ��, ��} é dito
ortonormal se os vetores ��, ��, �� são unitários e
dois a dois ortogonais.
Geometria Analítica — um tratamento vetorial Sistema de Coordenadas
Definição: Se E é uma base ortonormal e
� = (�, �, �)� então � = �
� + �� + ��.
� = (�, �, �)�
� = �� + �� + ��
Geometria Analítica — um tratamento vetorial Sistema de Coordenadas
1 – 6 Prof. Dilcesar Dantas
Exemplo1: Decida se os conjuntos abaixo
formam uma base, admitindo que � =
{��, ��, ��} é uma base de �
�.
i) F = {(1, -1, 2)E, (0, 1, 3)E, (4, -3, 11)E};
ii) G = {2�� − ��, �� − �� + 2��, �� + 2��}.
Exemplo2: Obtenha as coordenadas do vetor
�� = (1, 1, 1)E em relação à base G do exemplo
anterior.
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Geometria Analítica — um tratamento vetorial Sistema de Coordenadas
Sistema de Coordenadas em E3Sistema de Coordenadas em E3
Dado um ponto O ∈ �� e uma base
" = {��, ��, ��} o par (O, B) ou a quadrupla
(0, ��, ��, ��) são ditos sistema de coordenadas
em E.
O.
O ponto O é dito origem do sistema de
coordenadas.
Geometria Analítica — um tratamento vetorial Sistema de Coordenadas
Definição: Sejam A, B, C ∈ �� tais que 
# = ���,
" = ���, 
$ = ���.
���
���
���
O
C
A
B
x
y
z
Geometria Analítica — um tratamento vetorial Sistema de Coordenadas
Definição:
(i) Eixos coordenados: São retas OA, OB e OC
que são ditos eixo Ox (ou eixo das abscissas),
eixo Ou (ou eixo das ordenadas) e eixo Oz
(eixo das cotas) respectivamente.
(ii) Planos coordenados: São os planos OAB, OAC
e OBC que são ditos planos Oxy, Oxz e Oyz
respectivamente.
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Geometria Analítica — um tratamento vetorial Sistema de Coordenadas
O
Oxz
Oxy
x
y
z
Oyz
Geometria Analítica — um tratamento vetorial Sistema de Coordenadas
Definição: O sistema de coordenadas (O, B) será
dito ortogonal se a base B for ortonormal.
Sabemos que dado uma base " = {��, ��, ��} e
um ponto � ∈ �� então ∃! ', (, ) ∈ ℝ tais que
� = '�� + (�� + )��
(O: origem do sistema de coordenadas).
Geometria Analítica — um tratamento vetorial Sistema de Coordenadas
Definição: Os números reais x, y, z são ditos
coordenadas do ponto P. Notação P = (x, y, z)
� = '+� + (,� + )-
P =(x, y, z)
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Geometria Analítica — um tratamento vetorial Sistema de Coordenadas
Exercício
1) Verifique que:
(i) � ∈ 
'( ⟺ ∃', (, ) ∈ ℝ tal que . = ', (, 0
(i) � ∈ 
' ⟺ ∃' ∈ ℝ tal que . = ', 0,0 .
Analogamente,
(a) � ∈ 
') ⟺ � = ', 0, ) ;
(b) � ∈ 
() ⟺ � = 0, (, ) ;
(c) � ∈ 
( ⟺ � = 0, (, 0 ;
(d) � ∈ 
) ⟺ � = 0,0, ) .
Geometria Analítica — um tratamento vetorial Sistema de Coordenadas
Proposição: Sejam # = '�, (�, )� , " =
'�, (�, )� ∈ �
�. �� = (1, 2, 3) ∈ �� e 4 ∈ ℝ ,
temos que:
(i) #" = ('� − '�, (� − (�, )� − )�);
(ii) # + 4�� = ('� + 41, (� + 42, )� + 43);
(iii) O ponto médio do segmento AB tem
coordenadas (
67869
�
,
:78:9
�
,
;78;9
�
);
(iv) Se o sistema de coordenadas for ortogonal
então a distância de A a B é dada por
< #, " = ('�−'�)
� + ((�−(�)
� + ()�−)�)
�
Geometria Analítica — um tratamento vetorial Sistema de Coordenadas
Exemplos:
1) Dados os pontos A = (1, 2, -1), B = (0, 1, 1) e
C = (2, 0, 0) determine as coordenadas
a) do vetor #";
b) do ponto A + 2$";
c) do ponto médio de #".
2) Suponha que o sistema é ortogonal, mostre
que o triângulo ABC é equilátero.