Aulas Geometria Analítica

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08/09/2014
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Geometria Analítica — um tratamento vetorial Dependência e Independência Linear
1 – 1 Prof. Dilcesar Dantas
Dependência e Independência LinearDependência e Independência Linear
Definição: (Geométrica).
(i) O conjunto {��} é linearmente dependente
(LD) se �� = 0 e será linearmente
independente (LI) se �� ≠ 0;
(ii) O conjunto {�, ��} é LD se � e �� são paralelos
e LI caso contrário;
(iii)O conjunto {�, ��, 	} é LD se �, ��, 	 são
coplanares, ou seja, se estes vetores
possuem representantes no mesmo plano e
LI caso contrário.
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(iv)Em 
�, todo conjunto finito com 4 ou mais
elementos é, por definição, LD.
Geometricamente / graficamente,
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Exemplos.
1) Se ABC é um triângulo e AN, BP e CM são suas
medianas então os conjuntos, {�
, ��, 
�} e
{��, 
�, ��} são LD, pois seus vetores possuem
representantes no plano determinado pelos
pontos A, B, C.
2) Se AB é um segmento não nulo e C e D são
pontos de AB então o conjunto {�
, ��} é LD,
pois estes vetores possuem representantes na
reta que passa por A e B.
BA C D
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Definição (Combinação Linear)
Sejam ���, … , ��� e ��, … , �� ∈ ℝ.
O vetor �� = ����� + ⋯ + ����� é chamado
combinação linear de ���, … , ��� com os
coeficientes ��, … , ��.
O vetor � é dito combinação linear de ���, … , ���
se existirem ��, … , �� ∈ ℝ tais que
� = ����� + ⋯ + �����.
Exemplo 1. No triângulo ABC abaixo temos que
��, 
�, �� são combinação lineares de AB e
AC, pois,
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A B
C
M
P
N
Exemplo 2. O vetor nulo é combinação linear de
quaisquer n vetores {���, … , ���},
pois 0 = 0��� + ⋯ + 0���.
Obs: Se somente existir uma maneira de calcular
o vetor 0 será no conjunto LI, se houver mais de
uma será no conjunto LD.
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Proposição: O conjunto {���, … , ���} (� ≥ 2) é LD
se, e somente se, um dos vetores é combinação
linear dos demais.
Corolário 1: Todo conjunto que contém o vetor
nulo é LD.
Corolário 2: O conjunto {�, ��} é LD se, e somente
se, existe � ∈ ℝ tal que � = ��� ou �� = ��.
Corolário 3: Se {�, ��, 	} é LI e !� é um vetor
qualquer então existem �, �, " ∈ ℝ tais que
!� = �� + ��� + "	.
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Figura 1-4
A equação
����� + ⋯ + ����� = 0 (*)
Possuem pelo menos uma solução dada por
�� = �# = ⋯ = �� = 0 (solução trivial)
Proposição: O conjunto {���, … , ���} (� ≥ 2) será
LD se, e somente se, a equação (*) possui outras
soluções além da trivial, isto é, existe pelo
menos um 1 ≤ & ≤ � tal que
����� + ⋯ + �'��' + ⋯ + ����� = 0 com �' ≠ 0.
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Corolário: O conjunto { ���, … , ��� } é LI se, e
somente se, a única solução da equação (*) for a
trivial.
Exemplos: No triângulo ABC abaixo, o conjunto
{��, �
, ��} é LD pois a equação
��
 + ��� + "�� = 0
Admite a solução não trivial.
� =
�
#
� =
�
#
" = −1
Exemplo. Verifique que se {�, ��, 	} é LI e
��� + �#�� + ��	 = ��� + �#�� + ��	
Então �� = ��, �# = �#, �� = ��.
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Base em 
�Base em 
�
Sabemos que
(i) Se E = {)��, )�#, )��} é LI então ∀ �� ∈ 
�, ∃�, �, " ∈ ℝ
tais que �� = �)�� + �)�# + ")��.
(ii) Esta combinação linear é única para cada vetor ��
dado.
Portanto, 
se E = {)��, )�#, )��} é LI então ∀ �� ∈ 
�, ∃! -�, -#, -� ∈ ℝ
tal que �� = -�)�� + -#)�# + -�)��.
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Definição: Todo conjunto E = {)��, )�#, )��} é LI é
chamado base de 
�.
Os números reais -�, -#, -� que aparecem na
equação acima são ditos coordenadas de �� na
base E.
NOTAÇÃO: �� = (-�, -#, -� )0 ou simplesmente
�� = (-�, -#, -�).
Isto é, �� = (-�, -#, -� )0 ⟺ �� = -�)�� + -#)�# +
-�)��.
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Igualdade
Sejam � = (-�, -#, -� )0, �� = (2�, 2#, 2� )0 ,
� = �� ⟺ -�)�� + -#)�# + -�)�� = 2�)�� + 2#)�# +
2�)��.
Adição
Sejam � e �� como antes, assim � + �� =
(-�)��+-#)�# + -�)��) + (2�)�� + 2#)�# + 2�)��).
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Multiplicação por escalarMultiplicação por escalar
Sejam � ∈ ℝ e � = (-�, -#, -� )0
�� = �(-�)�� + -#)�# + -�)��)
Exemplos: Fixado uma base em 
�, considere os
vetores � = (1, 0, −1)0 e �� = (2, −1, 3)0 .
Obtenha as coordenadas do vetor -� na equação
2-� − �� = 3�.
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Proposição: Seja E = {)��, )�#, )��} uma base de 
�.
(i) Os vetores � = (-�, 2�, 4� )0 e �� =
(-#, 2#, 4# )0 são LD se, e somente se, suas
coordenadas são proporcionais, ou seja, se
-#, 2#, 4# ≠ 0 então
56
57
=
86
87
=
96
97
e se uma das
coordenadas de �� é nula então a coordenada
correspondente de � também o é.
Exemplo.
(1, 0, 3) e (1, 1, 1).
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(ii) Os vetores � = (-�, 2�, 4� )0 , �� =
(-#, 2#, 4# )0 e 	 = (-�, 2�, 4� )0 são LI, se, e
somente se,
-� 2� 4�
-# 2# 4#
-� 2� 4�
≠ 0.
Propriedades:
(i) O sistema AX = B (onde A é quadrada) tem
única solução ⟺ :);� ≠ 0.
(ii) :);� = :);�<, onde �< é a transposta de A.
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Exemplo. Verifique se os conjuntos abaixo são LI
ou LD.
1) {(-3, 2, 1), (
�
#
, -1, −
�
#
)}
2) {(-1, 2, 0), (2, -4, 0)}
3) {(1, -1, 0), (0, -1, 1), (-1, 0, -1)}