Geometria Análitica Lista1

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Universidade Estadual de Feira de Santana
Departamento de Cieˆncias Exatas - DEXA
Disciplina: EXA 702 - A´lgebra Vetorial e Geometria Anal´ıtica
Professor: Dilcesar Dantas
Primeira Lista de Exerc´ıcios 2015.1
QUESTO˜ES
1. Dados os vetores ~u = (1,−2, 3), ~v = (2, 1, 3), ~w = (−1,−1, 4) e os pontos X = (0, 1,−4) e
Y= (1, 3,−3), Calcule as coordenadas
a) dos vetores ~u + 2~w − 3−−→XY . R. : (−4,−10, 8)
b) do ponto me´dio segmento XY. R. : (
1
2
, 2,−7
2
)
2. Sejam ~u = (1,−2, 3), ~v = (2, 1, 3), ~w = (−1,−1, 4), ~t = (4, 0, 13).
a) Mostre que ~u na˜o e´ combinac¸a˜o linear de ~v e ~w.
b) Escreva ~t como combinac¸a˜o linear de ~u,~v e ~w. R. : ~t =
15
26
u +
59
26
v +
29
26
w
3. Sejam OABC um tetraedro em M o ponto me´dio de BC.
a) Justifique a afirmac¸a˜o {−→OA,−−→OB,−→OC} e´ uma base do espac¸o.
b) Determine as coordenadas do vetor
−−→
AM nesta base. R. : (−1, 1
2
,
1
2
)
4. Calcule o per´ımetro do triaˆngulo de ve´rtices A = (1, 2, 3); B = (−1, 0, 1) e C = (1, 4, 3).
R. : 2(
√
3 +
√
6 + 1)
5. Dados os pontos A = (1, 2, 3); B = (−6,−2, 3) e C = (1, 2, 1) determine dois vetores unita´rios
na direc¸a˜o do vetor ~v = 3
−→
BA − 2−−→BC. Qual destes vetores tem o mesmo sentido de ~v?. R. :
±1
9
(7, 4, 4)
6. Determine o nu´mero real m para que o vetor ~a =
1
5
(m, 2, 4) seja unita´rio. R. : ±√5
7. Sejam ~u = (1, 2, 3). Determine vetor paralelo a ~u, nas seguintes condic¸o˜es:
a) Mesmo sentido de ~u e o triplo de seu comprimento;
b) Sentido contrario ao de ~u eo dobro de seu comprimento;
c) Sentido contra´rio ao de ~u e unita´rio;
d) Mesmo sentido de ~u e de comprimento igual a 5.
8. Dados os pntos A = (1, 0,−1);B = (4, 2, 1) e C = (1, 2, 0).
Resolva a equac¸a˜o ‖m−→AC +−−→BC‖ = 7. R. : 3 ou −13
5
.
9. Determine a extremidade do segmento que representa o vetor ~v = (2, 5,−1), sabendo que sua
origem e´ A = (1, 3, 4). R. : (1, 8, 3)
10. Sejam A = (−2, 1, 3) e B = (6,−7, 1). Determine as coordenadas dos pontso C, D, E que
dividem o segmento AB em partes iguais.
11. Determine as coordenadas da extremidade de segmento da reta, sabendo que seu ponto me´dio
tem coordenadas (−1, 3, 4) e a origem tem coordenadas (2, 5,−1). R. : (−4, 1, 9)
12. Determine o ponto do eixo das abscissas que equidista dos pontos A = (2,−3, 1) e B =
(−2, 1,−1). R. : (1, 0, 0).
13. Dados os pontos A = (2, 3,−1) e B = (4, 5,−2), determine as coordenadas de P tal que
a)
−→
AP =
−−→
BP . R.: Na˜o existe;
b)
−→
AP = 3
−→
AB R.: (8, 9,−4);
c)
−→
AP =
−−→
PB R.: (3, 4,−3
2
).
14. Determine a, b de modo que ~u = (4, 1,−3) e ~v = (6, a, b) sejam paralelos. R.: a = 3
2
; b = −9
2
.
15. Verifique se os pontos abaixo sa˜o colineares
a) A = (−1,−5, 0); B = (2, 1, 3); C = (−2,−7,−1) R.: Sim
b) A = (2, 1,−1); B = (3,−1, 0); C = (1, 0, 4) R.: Na˜o
16. Em um dos itens do exemplo anterior, os treˆs pontos determinam um triaˆngulo. Calcule o seu
baricentro.
17. Verifique se os pontos abaixo sa˜o coplanares.
a) A = (1, 1, 1); B = (−2,−1,−3); C = (0, 2,−2) e D = (−1, 0,−2) R.: Sim
b) A = (1, 0, 2); B = (−1, 0, 3); C = (2, 4, 1) e D = (−1,−2, 2) R.: Na˜o
18. Determine a, b para que A = (3, 1, 2); B = (1, 5, 1); C = (a, b, 7) sejam colineares. R.: a =
−3, b = 13
19. Determine o valor de m para que A = (m, 1, 2); B = (2,−2, 3); C = (5,−1, 1) e D =
(3,−2, 2) sejam coplanares. R.: m = 6.
20. Mostre que os pontos
a) A = (4, 0, 1); B = (5, 1, 3); C = (3, 2, 5); D = (2, 1, 3) sa˜o ve´rtices de um paralelogramo.
b) A = (3, 0,−1); B = (0, 3, 0); C = (5, 1,−2); D = (−4, 1, 2) sa˜o ve´rtices de um trape´zio.
Bons Estudos!
”Conservar a unidade do Esp´ırito pelo v´ınculo da paz”(Efe´sios 4,3)