EQ BERNOUILLI.doc

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Equação de Bernouilli
1) Considerações gerais
A equação da energia aplicada a um volume de controle onde ocorre um escoamento ideal considerado sem atrito de um fluido incompressível é conhecida como EQUAÇÃO DE BERNOUILLI. Esta equação pode ser deduzida partindo da equação da energia para um volume de controle em regime de escoamento permanente, usando a equação de definição de entalpia e lembrando que para processos reversíveis o calor q pode ser expresso pela temperatura T e pela variação elementar de entropia ds pela relação 
. De acordo com o procedimento citado acima, indicando por 
o trabalho por unidade de massa trocado pelo volume de controle com o meio exterior, por 
 a massa específica, 
 a pressão absoluta, 
 a velocidade, 
a aceleração da gravidade, 
a altura da secção considerada em relação a uma referência arbitrária, supondo constante a massa específica 
 e adotando os índices 1 e 2 respectivamente para as propriedades na entrada e na saída do volume de controle mostrado na figura 1 obtém-se então a seguinte equação:
Figura 1 : Equação de Bernouilli
 (1) 
Admitindo que o trabalho 
é fornecido ao volume de controle, portanto negativo de acordo com a convenção de sinal normalmente adotado na Termodinâmica, conclui-se que a equação (1) pode ser escrita sob a forma:
 (2)
 Verifica-se facilmente que, no sistema SI, o termo 
 tem unidade de J/kg (energia por unidade de massa) bem como os outros termos da equação 
 e 
 que representam respectivamente a energia cinética e a energia potencial também em 
. Portanto o primeiro membro da equação 2 representa o somatório das energias que entram no volume de controle 
 e o segundo membro o somatório das energias que saem do volume de controle 
ou seja 
= 
. 
Na prática, devido à existência de atrito fluido e mecânico o fluido sofre uma perda de energia e, portanto a energia associada ao fluido que entra é maior que a energia associada ao fluido que sai e neste caso, designando por 
 a energia perdida, tem-se que 
=
+ 
. Introduzindo-se na equação 2 a energia perdida 
 resulta: 
 (3)
Admitindo em 2 o trabalho w nulo:
 (4)
A equação 4, expressa em termos de energia por unidade de massa, é a equação da energia aplicada a um escoamento suposto sem atrito de um fluido incompressível ao qual não foi fornecido energia externa. Ela é conhecida como EQUAÇÃO DE BERNOUILLI.
Dutos que conduzem ar ou tubulações de líquidos são modelos físicos que podem ser associados à equação 4.
Multiplicando ambos os membros da equação (4) por 
, resulta a seguinte forma para a equação de Bernoulli:
�� EMBED Equation.3 (5)
Desprezando os termos 
na equação 5 resulta:
 
 (5a)
Verifica-se facilmente que a unidade de cada termo da equação (5) ou (5a) é J/m3. A equação (5a) é usada normalmente no estudo de ventiladores e de dutos que conduzem ar onde a variação de energia potencial é desprezível.
O termo 
é chamado de pressão estática (
) e age perpendicularmente às paredes do duto tendendo a rompê-lo se for maior que a pressão externa ou permitir seu esmagamento se for menor que a pressão externa. A pressão estática é normalmente medida em relação à pressão atmosférica podendo ser negativa quando menor que ela ou positiva em caso contrário. Assim a pressão estática no duto de aspiração de um ventilador é considerada negativa por ser menor que a pressão atmosférica e a pressão estática no duto de descarga do ventilador é considerada positiva por ser maior que a pressão atmosférica. 
O termo 
é chamado de pressão velocidade (
) ou pressão dinâmica (
), age na direção da velocidade do escoamento e é sempre positiva.
A soma da pressão estática com a pressão dinâmica é chamada de pressão total (
), ou seja:
 (6)
Tendo em vista a equação 5a e a definição de pressão total (equação 6) conclui-se que 
 e portanto ao longo de um duto a soma da pressão estática com a pressão dinâmica é constante ou seja:
constante (6a)
A relação (6a) mostra que ao longo de um duto, desprezando o atrito e supondo o fluido incompressível, a soma da pressão estática com a pressão dinâmica em dois pontos arbitrários do duto é constante e, portanto a pressão total ou seja a energia permanece constante.
 Por outro lado, supondo a vazão em massa ao longo do duto constante, se ocorrer um decréscimo de velocidade associado, por exemplo, a um acréscimo na área da secção reta do duto, a pressão dinâmica 
 diminui e, portanto a pressão estática aumenta ocorrendo, portanto uma recuperação de pressão estática. Inversamente ocorrendo um aumento da velocidade associado a um decréscimo a área da seção do duto a pressão estática diminui.
Em resumo a relação 5 estabelece que a energia por unidade de volume (Joule por metro cúbico →
)
de fluido em uma seção 1 (E1) é igual a energia por unidade de volume em uma seção 2 (E2) ou seja para um escoamento sem atrito de um fluido incompressível E1 = E2 ou seja a energia que entra é igual a energia que sai. Saliente-se que, no uso normal da equação, a unidade de cada termo é expressa em Pascal no sistema SI. 
Na prática, devido à existência de atrito fluido e mecânico a energia que entra é maior que a energia que sai. Neste caso, designando por 
a perda de energia em J/m3 expressa em termos de pressão, a equação que representa o balanço de energia pode ser escrita sob a forma: 
 (7)
Sabe-se que a pressão p pode ser expressa pelo produto do peso específico de um fluido (
) pela altura de coluna de fluido (
), isto é: 
 (8)
Substituindo a expressão 8 na equação 4 e dividindo a expressão resultante por 
 pode-se obter a equação de Bernouilli em termos de altura de coluna de fluido, isto é:
n
 (9)
A equação (9) é usada normalmente estudo de sistemas hidráulicos e bombas. 
É conveniente salientar que agora, cada termo da equação 9 está expresso em joule por Newton (
) ou seja energia por unidade de peso de fluido que circula no volume de controle. Saliente-se que no uso normal da equação a unidade de cada termo é expressa em metro de coluna de fluido no sistema SI. 
 Se indicarmos por 
 as perdas de energia em termos de altura de coluna de fluido a equação 9 fica:
 (9a)
Sintetizam-se abaixo as equações (7) e (9a) que são as duas formas mais usuais da equação de Bernouilli que são as vezes conhecidas como equação de Bernouilli extendida.
 (7)
 (9a)
2) Cálculo da perda de carga
Na equação 7 
representa uma perda de pressão ou decréscimo de pressão designada normalmente por perda de carga. Ela é função das dimensões e do comprimento do duto, da velocidade, da massa específica do fluido e da rugosidade do material de fabricação do duto. 
A perda de carga pode ser calculada pela equação de Darcy-Weisbach explicitada abaixo. Indicando por 
 a perda de carga em Pascal, 
 o fator de atrito adimensional, L o comprimento do duto em metros, DH o diâmetro hidráulico em metros, v a velocidade em m/s e
a massa específica em kg/m3 tem-se;
 (10)
Determinação do fator de atrito
O fator de atrito 
 é função do diâmetro hidráulico, da rugosidade da tubulação e do Número de Reynolds.
 
Diâmetro hidráulico (DH) é um parâmetro normalmente usado no estudo de escoamento em dutos de secção não circular. O conceito de diâmetro hidráulico permite, por exemplo, o cálculo de perda de carga em dutos com secção reta não circular usando a mesma formulação de dutos com área de secção reta circular.
Indicando por A área da secção reta da tubulação e por P o perímetro da tubulação em contacto com o fluido, o diâmetro hidráulico é calculado pela expressão:
 (11)
Para um tubo circular com diâmetro interno 
, a área da secção reta é 
 e o perímetro é 
 e, portanto 
Os materiais não são totalmente lisos e apresentam na sua superfície saliências (picos) e reentrâncias (vales) detamanho micrométrico que vão influenciar na maior ou menor rugosidade do material. Assim quanto maior a rugosidade maior a aspereza ou a irregularidade da superfície. A rugosidade é normalmente expressa em termos de rugosidade absoluta e rugosidade relativa.
Rugosidade absoluta (
) , expressa em unidade de comprimento, é a distância média entre a altura de uma saliência e a profundidade de uma reentrância consecutivas em relação a uma linha de referência. Valores típicos de rugosidade absoluta são fornecidos abaixo.
Cobre: 0.0015 mm
Aço galvanizado: 0,09 mm
Fibra de vidro: 0.9 mm
Concreto: 3 mm
Rugosidade relativa (
) é o quociente entre a rugosidade absoluta e o diâmetro hidraúlico (
) de um tubo expressos na mesma unidade. 
Número de Reynolds é um parâmetro adimensional que relaciona a velocidade, a massa específica, a velocidade do fluido e o diâmetro hidráulico do duto. Assim para a velocidade 
 em m/s, o diâmetro hidráulico 
em m, a massa específica em kg/m3 e a viscosidade em PA.
(
o número de Reynolds pode ser calculado pela expressão: 
 (12)
 O Número de Reynolds pode ser expresso como função da viscosidade cinemática (
) definida como o quociente entre a viscosidade absoluta e a massa especifica isto é:
 (13)
No sistema SI 
 tem unidade de 
Neste caso, o número de Reynolds pode ser calculado pela expressão:
 (14)
Indicando por t a temperatura em oC, a viscosidade cinemática do ar 
 em m2/s pode ser estimada com razoável precisão pela expressão:
v = (13 + 0,1 t) x 10-6 (15)
A relação 15 acima oferece boa precisão na faixa de temperaturas normalmente usada em sistemas de ar condicionado.
A tabela 1 fornece o valor da viscosidade absoluta do ar em Pa.s a 1 bar na faixa de temperaturas de 10oC a 80oC.
Tabela 1: Viscosidade absoluta do ar
	Temperatura (oC)
	Viscosidade (Pa.s x10-6))
	10
	17.72
	20
	18.20
	30
	18.68
	40
	19.15
	50
	19.61
	60
	20.06
	70
	20.51
	80
	20.96
A tabela 2 fornece o valor da viscosidade da água em Pa.s na faixa de temperaturas de 10oC a 100oC.
Referência: www.ebah.com.br Propriedades do ar seco sobre pressão normal. 
Tabela 2: Viscosidade absoluta da água
	Temperatura (oC)
	Viscosidade (Pa,s x 10-3)
	10
	1.307
	20
	1.002
	30
	0.798
	40
	0.653
	50
	0.547
	60
	0.467
	70
	0.404
	80
	0.355
	90
	0.315
	100
	0.282
Referência: The Engineering Toolbox
Para números de Reynolds menores que 2100 o escoamento é considerado laminar e para número de Reynolds maiores que 4100 o escoamento é considerado turbulento que é o regime mais usual em tubulações para o escoamento de ar e água. No intervalo entre 2300 e 4000 ocorre um regime de transição podendo o regime ser laminar ou turbulento.
O diagrama de Moody, mostrado na figura 1 abaixo, é a maneira mais conhecida para a determinação do fator f em função dos parâmetros acima definidos. A abcissa é o Número de Reynolds e a ordenada o fator de atrito. O diagrama indica uma região a esquerda onde o regime de escoamento é laminar e o valor de 
independe da rugosidade. No regime laminar o fator de atrito pode ser calculado pela relação:
 Na outra região, que representa o regime turbulento, estão indicadas linhas de rugosidade relativa constante e neste caso o fator de atrito é função do número de Reynolds e da rugosidade relativa. 
Figura 1: Diagrama de Moody
Portanto, conhecendo-se o número de Reynolds levanta-se uma vertical até sua intercessão com a linha de rugosidade relativa cujo valor é conhecido definindo-se então um ponto no diagrama. Por este ponto traça-se uma horizontal que, na intercessão com o eixo das ordenadas, fornecerá o fator de atrito desejado. Assim, por exemplo, para um número de Reynolds 2 x 105 e uma rugosidade relativa de 0.0008 o fator de atrito vale 0.02. 
Existem equações que permitem a determinação analítica do fator de atrito f como, por exemplo, equação de Colebrook considerada como referência para o cálculo do fator de atrito mas que envolve um cálculo iterativo para o cálculo de f
 (16)
Uma equação mais simples é a devida a Swamee – Jain (1976) que não envolve um processo de cálculo iterativo para o cálculo de f. Ela se apresenta sob a forma:
 (16)
Referência Wikipédia
Para sistemas de ventilação e ar condicionado o manual Fundamentals da American Society of Heating, Refrigeration and Air Conditioning Engineers (ASHRAE) apresenta o método abaixo para o cálculo do fator de atrito.
 A) Calcula-se um fator fo pela relação:
	(17)
B) Se fo 
 0.018, fo = f
C) Se fo < 0.018 o fator de atrito f será calculado pela equação: 
	 	
A internet oferece aplicativos para o cálculo do fator de atrito. No endereço www.ajdesigner.com no menu Fluid Mechanics- Colebrook Equation Calculator é oferecido um aplicativo para o cálculo do fator de atrito f.
Portanto, calculado o fator de atrito por qualquer uma das formas anteriormente mostrada e conhecendo a velocidade e a massa especifica do fluido na tubulação a perda de carga pode ser determinada pela expressão 10 abaixo repetida e é conhecida como perda de carga distribuída.
 (10)
Perda de carga localizada é aquela que é associada a acessórios existentes em um sistema de dutos ou tubulações como curvas, válvulas, peças necessárias à montagem do sistema como reduções, expansões, etc.
O método de cálculo da perda de carga anteriormente mostrado é genérico e pode ser usado para qualquer fluido. Na literatura especializada são apresentadas formulações específicas para o cálculo da perda de carga em determinado tipo de fluido como no caso de tubulações de fluidos frigoríficos, ar comprimido, água, etc. e que deverão ser usados de preferência à formulação apresentada. O método para o cálculo da perda de carga em sistemas que usam água está descrito abaixo. 
A perda de carga para o escoamento de água em tubulações pode ser calculada pela equação de Hazen-Williams. Indicando por L o comprimento da tubulação em metros, V a velocidade do fluido em metros por segundo, D o diâmetro interno da tubulação em metros e C o fator de rugosidade que depende do material de fabricação da tubulação, a perda de pressão ou perda de carga do fluido 
 em metros de coluna de água pode ser calculada por:
 (18)
A tabela 3, na página seguinte, fornece valores típicos do fator de rugosidade para alguns materiais.
 Tabela 3: Fator de rugosidade
	Material
	Fator de rugosidade
	Aço
	140
	Cobre
	130-140
	Concreto
	100-140
	Fibra de vidro
	150
	Metal corrugado
	60
Exemplo 1: Uma corrente de 6800 m3/h de ar a 100 kPa e 10oC escoa em um duto, de secção reta circular, com velocidade de 5 m/s. Admitindo que a rugosidade absoluta do material de fabricação do duto vale 0.09 mm e que seu comprimento vale 15 m calcular em Pa a perda de pressão no duto.
Solução
Vazão de ar:
Área da secção reta do duto
 A = 0.378 m2
Diâmetro interno do duto
 D = 0.694 m = 694 mm
Massa específica do ar
 
Viscosidade absoluta do ar a 10oC : 
 (tabela 1)
Número de Reynolds
 
 
Rugosidade relativa: 
Com o valor do número de Reynolds e a rugosidade relativa obtém-se do diagrama de Moody f =0.016
Cálculo do fator de atrito pela correlação devida a Swamee (equação 16)
 f = 0.0161
Perda de carga
 
5.32 Pa =0.55 mmca
Exemplo 2: Resolver o exemplo 1 admitindo que a secção do duto é retangular e que a altura do duto não deve ultrapassar 20 cm;
Solução
Largura do duto
0.368 = L 
0.2 L = 1.84 m
Perímetro do duto
P = 2 x 0.2 + 2 x 1.84 P= 4.08 m 
Diâmetro hidráulico
 
 
Número de Reynolds
 
Rugosidade relativa
 
O cálculo dofator de atrito será feito pelas equações 17 e 17a
 
Como 
 (maior que 0.018) 
Perda de carga
 
= 12.82 Pa
Exemplo 3: Uma vazão de 6.8 m3/h de água escoa em uma tubulação de aço com comprimento de 10m. Sabendo que a velocidade é de 3 m/s, calcular, usando a equação de Hazem-Williams, a perda de carga em metros de coluna de água.
Solução
Vazão de água
Q = 6.8 / 3600 Q = 0.00188 m3/s
Área da secção reta
0.00188 = A x 3 A = 6.266 x 10-4 m2
Diâmetro da tubulação
 D = 0.0282 m 
Perda de carga
 
Exemplo 4: Uma corrente de 24 litros por minuto de um óleo escoa na tubulação mostrada no desenho abaixo.
�
A pressão manométrica no ponto 1 vale 500 kPa. Calcular a pressão manométrica no ponto 2 sendo conhecidos:
a) Densidade do óleo em relação a água: 0.82
b) Diâmetro da secção 1: 12 mm
c) Diâmetro da secção 2: 25 mm
d) Perdas totais entre os pontos 1 e 2 : 2.3 m de coluna de fluido
Solução
Pressão no ponto 1: p1 = 500 kPa = 500000 Pa
Vazão de óleo: 
Massa específica do óleo: 
 
Área interna da secção 1
Área interna da secção 2
g
Velocidade no ponto 1
 
Velocidade no ponto 2
 
Perda de carga de 2.3 m expressa em N/ m2 (Pa)
Será usada a Equação de Bernouilli em termos de pressão (equação 7) para a solução do problema:
Deve ser observado que, como o valor adotado para p1 na solução do problema é pressão manométrica, a pressão p2 calculada também é manométrica.
Exemplo 5: Qual o nível, h, que deve ser mantido no reservatório para produzir uma vazão volumétrica de 0,03 m3/s de água? O diâmetro interno do cano liso é de 75 mm e seu comprimento é de 100 m. A perda de carga associada à entrada do cano na junção com o reservatório é de 1.178 mca . A água é descarregada para a atmosfera e a pressão na parte superior do tanque é também a pressão atmosférica. 
Solução
Será usada a Equação de Bernouilli em termos de pressão (equação 7) para a solução do problema:
Será admitido um plano de referência coincidindo com a linha de centro do cano. Como a parte superior do tanque e a saída do cano estão sujeitas à pressão atmosférica conclui-se que p1 = p2 = 0 (pressão manométrica). Admite-se ainda que v1= 0.
Área da secção reta do cano
 
Velocidade na saída do cano
0.03 = 0.00441 
 
Masssa específica da água: 
Perda de pressão junção cano-reservatório
 
 
Viscosidade da água: 
 
Número de Reynolds
 
 
Rugosidade relativa
Fator de atrito
 
Perda de carga no cano
 
Perda de carga total
 
Altura do reservatório
 
Exemplo 6: No sistema de dutos mostrado na figura abaixo escoa uma vazão de 13600 m3/h. A perda de carga entre as secções 1 e 2 é de 11 milímetros de coluna de água. A área da secção 1 vale 0.371 m2 e a área da secção 3 é 1.49 m2. Sabendo que a pressão estática em 1 vale 28 milímetros de coluna de água e adotando um valor de 1.2 kg/m3para a massa especifica do ar, calcular a pressão estática na secção 2.
Solução
Vazão no duto
Q = 13600 / 3600 Q = 3.777 m3/s
Pressão estática na secção 1
p1 = 28 x 9.81 = 274.68 Pa
Velocidade na secção 1
3.777 = 0.371 x v1 v1 = 10.18 m/s
Velocidade na secção 2
3.777 = 1.49 x v2 v2 = 2.53 m/s
Perda de carga
Será usada a Equação de Bernouilli em termos de pressão (equação 7) para a solução do problema:
 
Exemplo 7: Perdas localizadas são as vezes fornecidas em termos de comprimento equivalente do tubo. Por exemplo, um registro globo para um tubo com 25 mm de diâmetro nominal apresenta um comprimento equivalente de 15 m quando todo aberto. Isto significa que o registro apresenta a mesma perda de carga que um tubo reto com comprimento de 15 m. Calcular em pascal e bar a perda de carga no registro globo de aço galvanizado citado para uma velocidade da água no tubo de 3 m/s.
Solução
Massa especifica da água: 
= 1000 
Rugosidade absoluta do aço galvanizado: 0.09 mm
Viscosidade absoluta da água: 0.001 Pa.s
Diâmetro interno do duto adotado: 25 mm
Rugosidade relativa: 
Número de Reynolds: 
	
Fator de atrito: 0.029 (obtido do aplicativo)
Perda de carga: 
Exemplo 8: Calcular a perda de carga em um duto, com dimensões de 0.6 m, por 0.3 m com comprimento de 10 m, rugosidade absoluta de 0.09 mm, sabendo que a vazão é de 4000 m3/h e que a massa especifica do ar é de 1.2 kg/m3.
Solução
Viscosidade do ar: 
Dimensões do duto: 0.6 m por 0.3 m
Área do duto: A = 0.6 x 0.3 = 0.18 m2
Perímetro do duto: P = 2 (0.6 + 0.3) = 1.8 
Diâmetro hidráulico: DH = 4 x 0.18 / 1.8 = 0.4 m 
Rugosidade absoluta: 
Rugosidade relativa: 0.09/400 = 2.25 x 10-4
Velocidade do ar no duto: 
 
= 6.17 m/s
Número de Reynolds: 
 
Fator de atrito
 
Fator de atrito para cálculo para o cálculo da perda de carga
 
Perda de carga
 
 
VERIFICAÇÃO DO VALOR DE FATOR DE ATRITO PELA EQUAÇÃO DE COLEBROOK
 
Substituindo na equação os valores anteriormente calculados resulta:
 
Efetuando
 
Ou
 
 
7.52 = 7.506
O valor de f calculado pela correlação satisfaz a equação de Colebrook com bastante precisão.
� EMBED Equation.3 ���
� EMBED Equation.3 ���
�PAGE �
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CURSO DE EXTENSÃO EM ENGENHARIA DO AR CONDICIONADO
 
16º CURSO DE EXTENSÃO EM ENGENHARIA 
DO AR CONDICIONADO
Equação de Bernouilli
Conceituação e uso
PROFESSOR 
 Antonio Luiz dos Santos
 
   
  
�
REALIZAÇÃO
 �
COORDENAÇÃO E APOIO
IME - INSTITUTO MILITAR DE ENGENHARIA
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