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Estatística e Probabilidade Alexandre Antunes Medidas de Dispersão GST1079 - Estatística e Probabilidade 1ª Questão: Dado o conjunto de números 8, 4, 6, 9, 10, 5 a) Determine o desvio médio desses valores em relação a sua média. b) Determine a variância. c) Determine o desvio padrão. d) qual a amplitude total? Medidas de Dispersão GST1079 - Estatística e Probabilidade 1ª Questão: Dado o conjunto de números 8, 4, 6, 9, 10, 5 a) Determine o desvio médio desses valores em relação a sua média. Média: 𝑋 = 𝑋𝑖 𝑁 = 8:4:6:9:10:5 6 = 42 6 𝑋 = 7 𝑋𝑖 𝑋𝑖 − 𝑋 𝑋𝑖 − 𝑋 4 5 6 8 4 − 7 = −3 5 − 7 = −2 6 − 7 = −1 8 − 7 = 1 3 2 1 1 9 10 9 − 7 = 2 10 − 7 = 3 2 3 𝑋𝑖 − 𝑋 = 0 𝑋𝑖 − 𝑋 = 12 Portanto o desvio médio é 𝐷𝑚 = 𝑋𝑖 − 𝑋 . 𝑓𝑖 𝑛 = 12 6 = 2 Medidas de Dispersão GST1079 - Estatística e Probabilidade 1ª Questão: Dado o conjunto de números 8, 4, 6, 9, 10, 5 b) Determine a variância. 𝑋𝑖 𝑋𝑖 − 𝑋 𝑋𝑖 − 𝑋 2 4 5 6 8 4 − 7 = −3 5 − 7 = −2 6 − 7 = −1 8 − 7 = 1 9 4 1 1 9 10 9 − 7 = 2 10 − 7 = 3 4 9 𝑋𝑖 − 𝑋 = 0 𝑋𝑖 − 𝑋 2 = 28 Portanto a variância é 𝑆2 = 𝑋𝑖 − 𝑋 2. 𝑓𝑖 𝑁 − 1 = 28 5 = 5,6 Média: 𝑋 = 𝑋𝑖 𝑁 = 8:4:6:9:10:5 6 = 42 6 𝑋 = 7 Medidas de Dispersão GST1079 - Estatística e Probabilidade 1ª Questão: Dado o conjunto de números 8, 4, 6, 9, 10, 5 c) Determine o desvio padrão. 𝑆 = 𝑋𝑖 − 𝑋 2. 𝑓𝑖 𝑁 − 1 = 5,6 = 2,36 d) qual a amplitude total? 𝐴𝑇 = 10 − 4 = 6 Medidas de Dispersão GST1079 - Estatística e Probabilidade 2ª Questão: A tabela ao lado é o resultado de uma pesquisa realizada entre os funcionários de uma empresa de exportação e importação de produtos eletrônicos, com o objetivo de verificar os salários nesse segmento de mercado. a) determine o desvio médio; b) determine a variância; c) determine o desvio padrão. Salário (Em salários mínimos) Funcionários 1 |-- 2 1 2 |-- 3 4 3 |-- 4 6 4 |-- 5 5 5 |-- 6 6 6 |-- 7 10 7 |-- 8 9 8 |-- 9 6 9 |-- 10 3 50 Medidas de Dispersão GST1079 - Estatística e Probabilidade 2ª Questão: a) determine o desvio médio; Salário Funcionários (Em salários mínimos) Xi Frequência (fi) Xi * fi Xi - M |Xi - M|.fi 1 |-- 2 1.50 1 1.50 -4.50 4.50 2 |-- 3 2.50 4 10.00 -3.50 14.00 3 |-- 4 3.50 6 21.00 -2.50 15.00 4 |-- 5 4.50 5 22.50 -1.50 7.50 5 |-- 6 5.50 6 33.00 -0.50 3.00 6 |-- 7 6.50 10 65.00 0.50 5.00 7 |-- 8 7.50 9 67.50 1.50 13.50 8 |-- 9 8.50 6 51.00 2.50 15.00 9 |-- 10 9.50 3 28.50 3.50 10.50 50 300.00 88.00 𝑀 = 𝑋 𝑋 = 𝑋𝑖 . 𝑓𝑖 𝑛 𝑖=1 𝑓𝑖 𝑛 𝑖=1 = 300 50 𝑋 = 6 Portanto, o desvio médio é 𝐷𝑚 = 𝑋𝑖 − 𝑋 . 𝑓𝑖 𝑁 = 88 50 = 1,76 Medidas de Dispersão GST1079 - Estatística e Probabilidade 2ª Questão: b) determine a variância; c) determine o desvio padrão. Salário Funcionários (Em salários mínimos) Xi Frequência (fi) Xi * fi Xi - M (Xi - M) 2.fi 1 |-- 2 1.50 1 1.50 -4.50 20.25 2 |-- 3 2.50 4 10.00 -3.50 49.00 3 |-- 4 3.50 6 21.00 -2.50 37.50 4 |-- 5 4.50 5 22.50 -1.50 11.25 5 |-- 6 5.50 6 33.00 -0.50 1.50 6 |-- 7 6.50 10 65.00 0.50 2.50 7 |-- 8 7.50 9 67.50 1.50 20.25 8 |-- 9 8.50 6 51.00 2.50 37.50 9 |-- 10 9.50 3 28.50 3.50 36.75 50 300.00 216.50 Portanto a variância é 𝑆2 = 𝑋𝑖 − 𝑋 2. 𝑓𝑖 𝑁 − 1 = 216,50 50 𝑆2 = 4,33 E o desvio padrão é 𝑆 = 𝑋𝑖 − 𝑋 2. 𝑓𝑖 𝑁 − 1 𝑆 = 2,08 Medidas de Assimetria GST1079 - Estatística e Probabilidade Para revisar os índices de Assimetria e Curtose, ditos de Pearson, sugerimos que você reveja a apresentação do PreparAV1. Ressalto que, além desse tema, as demais revisões poderão ser uteis para o bom fechamento de seu semestre na disciplina! Probabilidade GST1079 - Estatística e Probabilidade 3ª Questão: (FGV) Uma urna contém 50 bolinhas numeradas de 1 a 50. Sorteando-se uma bolinha, a probabilidade de que o número observado seja múltiplo de 8 é: O espaço amostral (Ω) possui 50 elementos. Probabilidade GST1079 - Estatística e Probabilidade 3ª Questão: (FGV) Uma urna contém 50 bolinhas numeradas de 1 a 50. Sorteando-se uma bolinha, a probabilidade de que o número observado seja múltiplo de 8 é: Os múltiplos de 8 são os números 8, 16, 24, 32, 40, 48. Para problemas com uma quantidade maior de números, podemos encontrar a quantidade de múltiplos de 8, utilizando a progressão aritmética de razão 8, com a1 = 8 (1º múltiplo) e an (último múltiplo). O número de elementos do evento E (múltiplos de 8) é n(E) = 6. Logo, 25 3 50 6 )E(P . Probabilidade GST1079 - Estatística e Probabilidade 4ª Questão: No lançamento de um dado não viciado o resultado foi um número maior do que 3, qual é a probabilidade de esse ser um número par? . Probabilidade GST1079 - Estatística e Probabilidade 4ª Questão: No lançamento de um dado não viciado o resultado foi um número maior do que 3, qual é a probabilidade de esse ser um número par? O espaço amostral para um lançamento de dados é {1, 2, 3, 4, 5, 6}. Como foi informado que o resultado é maior que 3, o espaço amostral fica reduzido para {4, 5, 6}. Neste espaço, os resultados pares são 4 e 6. Logo, . . 1ª Solução: Redução do espaço amostral 3 2 3|parP Probabilidade GST1079 - Estatística e Probabilidade 4ª Questão: No lançamento de um dado não viciado o resultado foi um número maior do que 3, qual é a probabilidade de esse ser um número par? i) E = {resultado maior que 3} = {4, 5, 6}; ii) E’ = {resultado par} = {2, 4, 6}; iii) E ∩ E’ = {4, 6} Logo, . . 2ª Solução: Utilizando a fórmula para a probabilidade condicional, temos: 3 2 3 6 . 6 2 6 3 6 2 )E(P E'EP E|'EP Probabilidade GST1079 - Estatística e Probabilidade 5ª Questão: Numa comunidade de 1000 habitantes, 400 são sócios de um clube A, 300 de um clube B e 200 de ambos. Escolhendo-se uma pessoa ao acaso, qual a probabilidade dessa pessoa ser sócia de A ou de B? . Probabilidade GST1079 - Estatística e Probabilidade 5ª Questão: Numa comunidade de 1000 habitantes, 400 são sócios de um clube A, 300 de um clube B e 200 de ambos. Escolhendo-se uma pessoa ao acaso, qual a probabilidade dessa pessoa ser sócia de A ou de B? . Utilizando a teoria de conjuntos, temos: n(A B) = n(A) + n(B) – n(A ∩ B) = 400 + 300 – 200 = 500. Logo, %50 2 1 1000 500 BAP Probabilidade GST1079 - Estatística e Probabilidade 6ª Questão: Em uma caixa, temos três bolas brancas, duas bolas pretas e cinco bolas amarelas. Qual a probabilidade de retirarmos duas bolas brancas, uma após outra, sem reposição? . Probabilidade GST1079 - Estatística e Probabilidade 6ª Questão: Em uma caixa, temos três bolas brancas, duas bolas pretas e cinco bolas amarelas. Qual a probabilidade de retirarmos duas bolas brancas, uma após outra, sem reposição? . A = {a primeira bola é branca} B = {a segunda bola é branca} 𝑃(𝐴 𝐵) = 𝑃(𝐴). 𝑃(𝐵|𝐴) 𝑃 𝐴 𝐵 = 3 10 . 2 9 = 1 5 . 1 3 = 1 15 = 0,0667 Logo, a probabilidade é de 6,67% Probabilidade GST1079 - Estatística e Probabilidade 7ª Questão: Em uma caixa, temos três bolas brancas, duas bolaspretas e cinco bolas amarelas. Qual a probabilidade de retirarmos duas bolas brancas, uma após outra, sem reposição? . Probabilidade GST1079 - Estatística e Probabilidade 7ª Questão: Qual é a probabilidade de menos que 3 caras em 5 lançamentos de uma moeda honesta? .
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