Prova 2 Téorica

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Universidade Federal de Santa Catarina
Centro de Engenharias da Mobilidade
Prova 2TA - Ca´lculo Nume´rico - 2015/1
Nome:
Nota
Obs: Escreva sua resposta de maneira leg´ıvel, clara e objetiva.
Questa˜o 1 - Some as alternativas corretas:
(01) A integrac¸a˜o de um polinoˆmio de grau 2N − 1 e´ exata se utilizarmos uma quadratura gaussiana
com N/2 pontos. (Falso)
(02) O erro do me´todo do trape´zio composto sera´ proporcional a 1/n2, onde n e´ o nu´mero de intervalos
utilizado. (Verdadeiro)
(04) O ajuste de um polinoˆmio de terceiro grau a um conjunto de pontos e´ um exemplo de regressa˜o
na˜o linear. (Falso)
(08) Apesar do ajuste da func¸a˜o αeβx resultar em uma regressa˜o na˜o linear, a mesma pode ser linearizada
o que permite a utilizac¸a˜o da regressa˜o linear. (Verdadeiro)
(16) A fo´rmula aberta de Newton-Cottes de ordem zero para a integral de uma func¸a˜o f(x) no intervalo
(a, b) e´ I = (b− a) ∗ f [(a+ b)/2] (Verdadeiro)
(32) A descric¸a˜o da forma de um objeto e´ um exemplo de aplicac¸a˜o de regressa˜o linear. (Falso)
Questa˜o 2 - Some as alternativas corretas:
(01) O polinoˆmio interpolador obtido pela forma de lagrange possui erro inferior ao obtido pela forma
de Newton (Falso)
(02) A spline quadra´tica cria uma func¸a˜o interpoladora definida por partes na qual e´ garantida a conti-
nuidade da derivada primeira e segunda da func¸a˜o. (Falso)
(04) O erro da interpolac¸a˜o polinoˆmial diminui com o aumento do nu´mero de pontos a serem interpolados
(Falso)
(08) Tanto o me´todo de Gauss-Seidel quanto o me´todo de Jacobi convergem se estes forem aplicados a`
sistemas lineares (Ax = b) onde a matrix A e´ estritamente diagonal dominante. (Verdadeiro)
(16) O me´todo de Gauss-Seidel pode ser concebido como um aprimoramento do me´todo de Jacobi com
o intuito de melhorar a estabilidade; (Falso)
(32) O ca´lculo dos coeficiente em uma spline cu´bica envolve um sistema onde ha´ mais inco´gnitas que
equac¸o˜es, sendo necessa´rio postular condic¸o˜es adicionais as quais a spline esta sujeita. (Verda-
deiro)
Questa˜o 3 - Seja a raegressa˜o linear de um conjunto de n pontos utilizando um polinoˆmio de primeiro
grau (ax+ b),
a) Explique o que e´ res´ıduo e defina a func¸a˜o soma dos res´ıduos ao quadrado;
R: Em regressa˜o, define-se como res´ıduo do i-e´simo ponto como a diferenc¸a (ou “distaˆncia”) entre
a coordenada yi do ponto e o valor da func¸a˜o resultado da regressa˜o calculada no ponto xi, ou seja,
ei ≡ yi − y(xi) = yi − (axi + b)
De modo a obter a curva que melhor se ajusta aos pontos e´ necessa´rio definir um crite´rio quantitativo
para a melhor curva. Neste contexto, define-se a soma do quadrado dos res´ıduos,
S =
n∑
i=1
e2i =
n∑
i=1
(yi − axi − b)2
como o erro da curva ajustada. Portanto, o melhor ajuste ocorre quando S e´ o mı´nimo poss´ıvel.
b) Obtenha a fo´rmula para a constante a;
R: Como citado acima, a melhor reta e´ encontrada minimizando a func¸a˜o S, ou seja, precisamos
achar quais valores do coeficiente angular a e do coeficiente linear b em que S tem um mı´nimo
local. Para tal precisamos encontrar os pontos cr´ıticos da func¸a˜o S ou onde as derivadas parciais
sa˜o nulas:
∂S
∂a
= −2
n∑
i=1
(yi − axi − b)xi = 0
∂S
∂b
= −2
n∑
i=1
(yi − axi − b) = 0
Separando a somato´ria de cada termo na soma:
n∑
i=1
yixi − a
n∑
i=1
x2i − b
n∑
i=1
xi = 0
n∑
i=1
yi − a
n∑
i=1
xi − bn = 0
Multiplicando a segunda equac¸a˜o por − 1n
∑n
i=1 xi e somando coma primeira:
n∑
i=1
yixi − 1
n
n∑
i=1
xi
n∑
i=1
yi + a
 1
n
(
n∑
i=1
xi
)2
−
n∑
i=1
x2i
 = 0
Isolando a na equac¸a˜o anterior
a =
1
n
∑n
i=1 xi
∑n
i=1 yi −
∑n
i=1 yixi
1
n (
∑n
i=1 xi)
2 −∑ni=1 x2i
c) Enuncie e interprete o significado do coeficiente de determinac¸a˜o r2.
R: O coeficiente de determinac¸a˜o r2 e´ definido como
r2 =
∑n
i=1(yi − y¯)2 −
∑n
i=1(yi − axi − b)2∑n
i=1(yi − y¯)2
Este coeficiente mensura a qualidade do ajuste a func¸a˜o estipulada na regressa˜o, no nosso casa uma
reta. Neste coeficiente compara-se o erro (soma dos res´ıduos ao quadrado) de um ajuste de uma
func¸a˜o constante (ou seja) onde ha´ independeˆncia entre as varia´veis x e y,
n∑
i=1
(yi − y¯)2
com o erro resultante para o ajuste por uma reta,
n∑
i=1
(yi − axi − b)2
Se o erro do ajuste por uma reta e´ da ordem do erro do ajuste por uma func¸a˜o constante enta˜o
r2 ≈ 0, ou seja, a qualidade do ajuste e´ questiona´vel. Se o erro do ajuste por uma reta e´ muito
menor do que o erro do ajuste por uma func¸a˜o constante enta˜o r2 ≈ 1, ou seja, a qualidade do
ajuste e´ razoa´vel.
Questa˜o 4 - A respeito de fo´rmula de Newton-Cottes:
a) Explique a aproximac¸a˜o que e´ realizada quando a fo´rmula de Newton-Cottes e´ utilizada no ca´lculo
de uma integral.
R: Na fo´rmula de Newton-Cottes aproxima-se a integral definina de um func¸a˜o f(x) no intervalo
(a, b) pela integral de um polinoˆmio interpolador sobre o mesmo intervalo, ou seja,∫ b
a
f(x)dx ≈
∫ b
a
Pn(x)dx
Como interpretac¸a˜o da integral
∫ b
a
f(x) e´ a a´rea abaixo da curva entre x = a e x = b, nota-se que
a a´rea abaixo do polinoˆmio interpolador tera´ um valor aproximado da a´rea original.
b) Explique a diferenc¸a entre as fo´rmulas abertas e fechadas. Deˆ um exemplo de uma integral onde e´
necessa´rio a utilizadac¸a˜o de fo´rmulas abertas.
R: As fo´rmulas fechadas utilizam os pontos nos extremos do intervalo de integrac¸a˜o (denotados
usalmente por a e b) para construir os polinoˆmios interpoladores. Ja´ as fo´rmulas abertas na˜o
utilizam este pontos.
Tal diferenc¸a ocorre pois algumas func¸o˜es apesar de serem integra´veis no intervalo de a a b na˜o sa˜o
definidas nesses pontos. Seja por exemplo a func¸a˜o f(x) = 1/
√
x. Notamos que tal func¸a˜o na˜o e´
definida em x = 0, pore´m esta e´ integra´vel do intervalo de (0, 1):∫ 1
0
1√
x
dx = 2
√
x
∣∣∣∣1
0
= 2
Logo, para que seja fact´ıvel construir um polinoˆmio interpolador na˜o podemos utilizar o ponto
x = 0.
C) Utilizando o conceito de interpolac¸a˜o obtenha a fo´rmula de Newton-Cottes fechada de primeiro
grau (com dois pontos).
R: Queremos aproximar a integral em um intervalo de a ate´ b pela integral de um polinoˆmio
interpolador de primeiro grau, ou seja,∫ b
a
f(x)dx ≈
∫ b
a
P1(x)dx
Para construir o polinoˆmio interpolador de primeiro grau, denota-se x0 = a e x1 = b. Empregrando
a forma de Largrange tem-se Queremos
P1(x) = f(x0)
(x− x1)
x0 − x1 + f(x1)
(x− x0)
x1 − x0
Substituindo na integral tem-se∫ b
a
P1(x)dx =
∫ x1
x0
[
f(x0)
(x− x1)
x0 − x1 + f(x1)
(x− x0)
x1 − x0
]
dx
∫ b
a
P1(x)dx = f(x0)
∫ x1
x0
(x− x1)
x0 − x1 dx+ f(x1)
∫ x1
x0
(x− x0)
x1 − x0 dx
Definindo o tamanho do intervalo h ≡ x1 − x0, tem-se:∫ b
a
P1(x)dx =
f(x0)
−h
∫ x0+h
x0
(x− x0 − h)dx+ f(x1)
h
∫ x0+h
x0
(x− x0)dx
Fazendo a substituic¸a˜o de varia´vel u = (x− x0) enta˜o,∫ b
a
P1(x)dx =
f(x0)
−h
∫ h
0
(u− h)du+ f(x1)
h
∫ h
0
udu
∫ b
a
P1(x)dx =
f(x0)
−h
−h2
2
+
f(x1)
h
h2
2∫ b
a
P1(x)dx =
h
2
[f(x0) + f(x1)]
Que corresponde a regra do trape´zio.
Formula´rio
Erro do me´todo do trape´zio simples:
E1s = −f ′′(ξ)h
3
12
Gabarito - Somato´rio
Prova
0
1
2
3
4
5
6
7
8
9
0
1
2
3
4
5
6
7
8
9
0
1
2
3
4
5
6
7
8
9
0
1
2
3
4
5
6
7
8
9
0
1
2
3
4
5
6
7
8
9
Q 01
0
1
2
3
4
5
6
7
8
9
0
1
2
3
4
5
6
7
8
9
Q 02
0
1
2
3
4
5
6
7
8
9
0
1
2
3
4
5
6
7
8
9
Q 03
0
1
2
3
4
5
6
78
9
0
1
2
3
4
5
6
7
8
9
Q 04
0
1
2
3
4
5
6
7
8
9
0
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2
3
4
5
6
7
8
9
Q 05
0
1
2
3
4
5
6
7
8
9
0
1
2
3
4
5
6
7
8
9
Q 06
0
1
2
3
4
5
6
7
8
9
0
1
2
3
4
5
6
7
8
9
Q 07
0
1
2
3
4
5
6
7
8
9
0
1
2
3
4
5
6
7
8
9
Q 08
0
1
2
3
4
5
6
7
8
9
0
1
2
3
4
5
6
7
8
9
Q 09
0
1
2
3
4
5
6
7
8
9
0
1
2
3
4
5
6
7
8
9
Q 10