Nivelamento de Matemática

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NIVELAMENTO DE 
MATEMÁTICA
Professora Esp. Antoneli da Silva Ramos
Professor Esp. Fernando Marcussi
GRADUAÇÃO
Unicesumar
C397 CENTRO UNIVERSITÁRIO DE MARINGÁ. Núcleo de Educação a 
Distância:
 Nivelamento de Matemática. Antoneli da Silva Ramos; 
Fernando Marcussi. 
 Maringá - PR, 2015. 
 106 p.
“Graduação - EaD”.
 
 1. Matemática .2. Porcentagem . 3. Equações 4. EaD. I. Título.
CDD - 22 ed. 510
CIP - NBR 12899 - AACR/2
Ficha catalográfica elaborada pelo bibliotecário 
João Vivaldo de Souza - CRB-8 - 6828
Reitor
Wilson de Matos Silva
Vice-Reitor
Wilson de Matos Silva Filho
Pró-Reitor de Administração
Wilson de Matos Silva Filho
Pró-Reitor de EAD
Willian Victor Kendrick de Matos Silva
Presidente da Mantenedora
Cláudio Ferdinandi
NEAD - Núcleo de Educação a Distância
Direção de Operações
Chrystiano Mincoff
Direção de Mercado
Hilton Pereira
Direção de Polos Próprios
James Prestes
Direção de Desenvolvimento
Dayane Almeida 
Direção de Relacionamento
Alessandra Baron
Direção Pedagógica
Kátia Coelho
Supervisão do Núcleo de Produção de 
Materiais
Nalva Aparecida da Rosa Moura
Design Educacional
Nádila de Almeida Toledo
Projeto Gráfico
Jaime de Marchi Junior
José Jhonny Coelho
Editoração
Humberto Garcia da Silva
Daniel Fuverki Hey
Revisão Textual
Jaquelina Kutsunugi
Simone Limonta
Ilustração
André Onishi
Viver e trabalhar em uma sociedade global é um 
grande desafio para todos os cidadãos. A busca 
por tecnologia, informação, conhecimento de 
qualidade, novas habilidades para liderança e so-
lução de problemas com eficiência tornou-se uma 
questão de sobrevivência no mundo do trabalho.
Cada um de nós tem uma grande responsabilida-
de: as escolhas que fizermos por nós e pelos nos-
sos farão grande diferença no futuro.
Com essa visão, o Centro Universitário Cesumar 
assume o compromisso de democratizar o conhe-
cimento por meio de alta tecnologia e contribuir 
para o futuro dos brasileiros.
No cumprimento de sua missão – “promover a 
educação de qualidade nas diferentes áreas do 
conhecimento, formando profissionais cidadãos 
que contribuam para o desenvolvimento de uma 
sociedade justa e solidária” –, o Centro Universi-
tário Cesumar busca a integração do ensino-pes-
quisa-extensão com as demandas institucionais 
e sociais; a realização de uma prática acadêmica 
que contribua para o desenvolvimento da consci-
ência social e política e, por fim, a democratização 
do conhecimento acadêmico com a articulação e 
a integração com a sociedade.
Diante disso, o Centro Universitário Cesumar al-
meja ser reconhecido como uma instituição uni-
versitária de referência regional e nacional pela 
qualidade e compromisso do corpo docente; 
aquisição de competências institucionais para 
o desenvolvimento de linhas de pesquisa; con-
solidação da extensão universitária; qualidade 
da oferta dos ensinos presencial e a distância; 
bem-estar e satisfação da comunidade interna; 
qualidade da gestão acadêmica e administrati-
va; compromisso social de inclusão; processos de 
cooperação e parceria com o mundo do trabalho, 
como também pelo compromisso e relaciona-
mento permanente com os egressos, incentivan-
do a educação continuada.
Seja bem-vindo(a), caro(a) acadêmico(a)! Você está 
iniciando um processo de transformação, pois quan-
do investimos em nossa formação, seja ela pessoal 
ou profissional, nos transformamos e, consequente-
mente, transformamos também a sociedade na qual 
estamos inseridos. De que forma o fazemos? Criando 
oportunidades e/ou estabelecendo mudanças capa-
zes de alcançar um nível de desenvolvimento compa-
tível com os desafios que surgem no mundo contem-
porâneo. 
O Centro Universitário Cesumar mediante o Núcleo de 
Educação a Distância, o(a) acompanhará durante todo 
este processo, pois conforme Freire (1996): “Os homens 
se educam juntos, na transformação do mundo”.
Os materiais produzidos oferecem linguagem dialó-
gica e encontram-se integrados à proposta pedagó-
gica, contribuindo no processo educacional, comple-
mentando sua formação profissional, desenvolvendo 
competências e habilidades, e aplicando conceitos 
teóricos em situação de realidade, de maneira a inse-
ri-lo no mercado de trabalho. Ou seja, estes materiais 
têm como principal objetivo “provocar uma aproxi-
mação entre você e o conteúdo”, desta forma possi-
bilita o desenvolvimento da autonomia em busca dos 
conhecimentos necessários para a sua formação pes-
soal e profissional.
Portanto, nossa distância nesse processo de cres-
cimento e construção do conhecimento deve ser 
apenas geográfica. Utilize os diversos recursos peda-
gógicos que o Centro Universitário Cesumar lhe possi-
bilita. Ou seja, acesse regularmente o AVA – Ambiente 
Virtual de Aprendizagem, interaja nos fóruns e en-
quetes, assista às aulas ao vivo e participe das discus-
sões. Além disso, lembre-se que existe uma equipe de 
professores e tutores que se encontra disponível para 
sanar suas dúvidas e auxiliá-lo(a) em seu processo de 
aprendizagem, possibilitando-lhe trilhar com tranqui-
lidade e segurança sua trajetória acadêmica.
Professora Esp. Antoneli da Silva Ramos
Especialização em Gestão escolar - Unicentro(2014), especialização em 
Matemática e Física para ensino Médio - UNIPAR (2004), Licenciatura em 
Matemática- Unipar (2003). Atuei como Professora do Ensino Fundamental 
e Médio_ SEDUC-2006 a 2012, Professora do Ensino Fundamental e Médio_ 
SEED-2012 a 2013- Atuando como Professora mediadora líder no curso de 
Licenciatura em Matemática- NEAD Unicesumar desde 2014.
Professor Esp. Fernando Marcussi
Possui graduação em Matemática pela Universidade Estadual de Maringá 
(2010) e Especialização em Auditoria e Controladoria pelo Centro Universitário 
Cesumar (2014). Atualmente é Tutor Mediador do Centro Universitário 
Cesumar e Professor da União de Faculdades Metropolitanas de Maringá. Tem 
experiência na área de Administração, com ênfase em Matemática Aplicada, 
Cálculo, com ênfase em Arquitetura e Gestão Ambiental, e Matemática 
Financeira.
A
U
TO
RE
S
SEJA BEM-VINDO(A)!
APRESENTAÇÃO
NIVELAMENTO DE MATEMÁTICA
2
APRESENTAC¸A˜O
Ola´, querido(a) acadeˆmico(a), da Unicesumar, o nivelamento de matema´tica foi programado para atender
a`s dificuldades de Matema´tica Ba´sica e recuperar as lacunas existentes no processo primordial para de-
senvolver a aprendizagem. Neste material abordaremos diversos temas que servira˜o de base e de suporte
para as disciplinas espec´ıficas de seu curso. Permita que nos apresentemos:
Sou a professora Antoneli da Silva Ramos, graduada em Matema´tica com eˆnfase em Informa´tica pela
Unipar; especialista em Matema´tica e F´ısica para o ensino me´dio tambe´m pela Unipar; especialista em
Gesta˜o Escolar pela Unicentro. Atuo, desde 2004, na a´rea da educac¸a˜o, inicialmente, como professora
de alfabetizac¸a˜o, depois, no ensino fundamental e me´dio, no momento, estou trabalhando na EaD da
Unicesumar como Mediadora L´ıder.
Este material foi desenvolvido em parceria com o Professor Fernando Marcussi, Graduado em Licenciatura
em Matema´tica pela Universidade Estadual de Maringa´ e Especialista em Auditoria e Controladoria pela
Unicesumar. Atua, desde 2012, nas a´reas de educac¸a˜o a distaˆncia, como Mediador de Cursos e no ensino
presencial, como Professor das disciplinas de Matema´tica e Ca´lculo Aplicado.
Pensando em ampliar os conhecimentos pre´-adquiridos dentro da Matema´tica, em anos anteriores, foi
que preparamos cuidadosamente este material, com o intuito de aprimorar seus conhecimentos acerca da
relac¸a˜o teoria aplicada na pra´tica, no qual as representac¸o˜es matema´ticas e gra´ficas fara˜o parte de seus
estudos neste livro.
O assunto deste material foi organizado em cinco unidades, sendo que na primeira trataremos
de raza˜o,
de proporc¸a˜o, de regra de treˆs e de Porcentagem, na segunda abordaremos notac¸a˜o cient´ıfica, operac¸o˜es
com frac¸o˜es e operac¸a˜o com nu´mero decimal, muito utilizadas em a´reas que envolvem Qu´ımica e F´ısica,
important´ıssimas para a compreensa˜o da potenciac¸a˜o, na terceira unidade vamos recordar as func¸o˜es
do 1o e 2o grau, na quarta unidade recordaremos leitura de gra´ficos e de tabelas, equac¸o˜es e sistemas
de equac¸o˜es, fechando com Racioc´ınio Lo´gico e matema´tico. A cada abordagem constamos exemplos
resolvidos para voceˆ melhor compreender o assunto.
Gostar´ıamos de iniciar este material desejando boas-vindas a voceˆ e esperamos que fac¸a bom uso e amplie
seus conhecimentos por meio desses conteu´dos ba´sicos da matema´tica.
SUMÁRIO
09
UNIDADE I
RAZÃO, PROPORÇÃO, REGRA DE TRÊS E PORCENTAGEM
15 Introdução
16 Razão e Proporção 
17 Forma Fracionária, Forma Decimal e Forma Percentual de uma Razão 
18 Razões Especiais 
20 Regra de Três e Proporção 
24 Porcentagem 
26 Considerações Finais 
UNIDADE II
NOTAÇÃO CIENTÍFICA, OPERAÇÕES COM FRAÇÕES E OPERAÇÃO COM 
NÚMEROS DECIMAIS
31 Introdução
32 Notação Científica 
33 Operações com Frações 
35 Operação com Números Decimais 
38 Expressões Numéricas 
39 Considerações Finais 
SUMÁRIO
UNIDADE III
FUNÇÃO DO 1º E 2º GRAUS
45 Introdução
46 Noção Intuitiva de Função 
48 Função do 1º Grau 
54 Função do 2º Grau ou Função Quadrática 
59 Considerações Finais 
UNIDADE IV
LEITURA DE GRÁFICOS E TABELAS, EQUAÇÕES E SISTEMAS DE 
EQUAÇÕES
65 Introdução
66 Leitura de Gráficos e Tabelas 
68 Equações e Sistemas de Equações 
69 Equações Do 1º Grau 
71 Sistemas de Equações Lineares 
73 Equação do 2º Grau 
76 Considerações Finais 
SUMÁRIO
11
UNIDADE V
RACIOCÍNIO LÓGICO E MATEMÁTICO
83 Introdução
84 Raciocínio Lógico e Matemático 
89 Construção de Tabelas-Verdade 
91 Raciocínio Lógico 
98 Considerações Finais 
101 Conclusão
103 Referências
104 Gabarito
U
N
ID
A
D
E I
Professora Esp. Antoneli da Silva Ramos
Professor Esp. Fernando Marcussi
RAZÃO, PROPORÇÃO, REGRA 
DE TRÊS E PORCENTAGEM
Objetivos de Aprendizagem
 ■ Entender o conceito de razão, proporção e semelhança. 
 ■ Identificar a proporção direta e inversa.
 ■ Realizar ampliações e reduções de figuras em geral. 
 ■ Relacionar situações cotidianas que podem ser tratadas de forma 
proporcional. 
 ■ Entender, Interpretar e Resolver problemas.
 ■ Dada uma razão, determinar outra para formar uma proporção.
 ■ Identificar e solucionar problemas onde é possível utilizar a regra de 
três simples para a sua resolução.
 ■ Resolver problemas que envolvam os conceitos de razão e proporção.
 ■ Identificar Porcentagens.
 ■ Entender e ser capaz de resolver porcentagem em diversas situações.
Plano de Estudo
A seguir, apresentam-se os tópicos que você estudará nesta unidade:
 ■ Razão e Proporção
 ■ Forma fracionária, forma decimal e forma percentual de uma razão
 ■ Regra de três 
 ■ Grandezas Diretamente Proporcionais
 ■ Grandezas Inversamente Proporcionais
 ■ Porcentagem
 ■ Resolução de problemas
4
INTRODUC¸A˜O
Dentro desta unidade, voceˆ, querido(a) acadeˆmico(a), tera´ a oportunidade de aprender e ate´ mesmo
relembrar alguns conteu´dos ba´sicos e essenciais. Voceˆ estudara´ os temas mais aplica´veis ao cotidiano:
Proporc¸o˜es e Porcentagens, conteu´dos que sa˜o a porta de entrada para matema´tica financeira, princi-
palmente para concursos pu´blicos, que tambe´m sa˜o utilizados em diversas a´reas do conhecimento como
F´ısica, Geografia, Qu´ımica, entre outras. Sa˜o temas bastante abrangentes e encontrados, sobretudo, em
operac¸o˜es comerciais e financeiras. Os assuntos apresentados nesta unidade esta˜o organizados de uma
forma gradativa em n´ıvel de complexidade para sua melhor apreensa˜o.
O nivelamento de Matema´tica foi programado para atender a`s dificuldades de Matema´tica Ba´sica e,
dentro desta unidade, os conteu´dos de raza˜o, de proporc¸a˜o e de regra de treˆs sera˜o abordados de maneira
clara e sucinta, utilizando va´rios exemplos do cotidiano, visando, assim, por meio da associac¸a˜o, facilitar
assimilac¸a˜o e aprendizado do conteu´do.
Ao avanc¸ar no nivelamento, voceˆ aprendera´ a manipular algumas ferramentas e a formalizar alguns
conceitos. Vai entender e conseguir resolver questo˜es que envolvem grandezas diretamente e inversamente
proporcionais, inclusive conseguir realizar os ca´lculos de porcentagem com propriedade e com domı´nio.
Desejamos a todos que aproveitem o material e realizem um bom trabalho!
15
Introdução
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5
RAZA˜O E PROPORC¸A˜O
E´ imposs´ıvel iniciar os estudos do nivelamento de Matema´tica, sem relembrar Raza˜o e Proporc¸a˜o. Sabe-
mos que existem muitas situac¸o˜es do nosso cotidiano que requerem o uso de razo˜es e de proporc¸a˜o, seja na
cozinha de sua resideˆncia ou na manipulac¸a˜o de um medicamento, dessa forma, torna-se primordial esta-
rem bem codificados os conhecimentos adquiridos no ensino fundamental, para utiliza´-los em disciplinas
espec´ıficas e mais complexas.
Iniciamos nossos estudos com o conceito de raza˜o.
RAZA˜O:
De acordo com o conceito, raza˜o e´ o quociente entre dois nu´meros na˜o nulos ou quociente entre duas
grandezas varia´veis, grandezas de espe´cies diferentes, ou seja, raza˜o e´ sinoˆnimo de divisa˜o, que e´ sinoˆnimo
de uma frac¸a˜o, tambe´m e´ a divisa˜o entre dois nu´meros, podendo ser descrita como a comparac¸a˜o entre
duas quantidades por meio da divisa˜o. A raza˜o na˜o e´ usada individualmente. E´ apenas uma ferramenta
para outros temas e problemas.
Definic¸a˜o:
Sendo a e b dois nu´meros racionais com b �= 0, denomina-se raza˜o entre a e b o quociente a
b
ou a : b ,
onde a e´ o antecedente e b e´ o consequente.
Exemplo pra´tico da definic¸a˜o:
Todos os garotos gostam de brincar de estilingue, pore´m, nem todos os garotos possuem habilidades com
esse brinquedo. Imagine que o Joa˜o colocou uma lata em cima do muro e esta´ tentando atingi-la com
a pedra lanc¸ada pelo estilingue, e que a cada 10 tentativas, ele acerte 2 vezes a latinha. Assim de 10
disparos, ele acerta 2, enta˜o, ele erra 8 vezes a latinha. Neste caso poderemos fazer uma raza˜o entre o
nu´mero de acertos e de erros, vejamos a seguir qual sera´ a raza˜o:
Resoluc¸a˜o:
r =
2
8
sendo 2 acertos e 8 erros, logo, simplificando a raza˜o, terei r =
1
4
,ou seja, para cada 1 vez que a
pedra acerta a latinha, tera´ 4 lanc¸amentos que na˜o acertara˜o a latinha.
5
RAZA˜O E PROPORC¸A˜O
E´ imposs´ıvel iniciar os estudos do nivelamento de Matema´tica, sem relembrar Raza˜o e Proporc¸a˜o. Sabe-
mos que existem muitas situac¸o˜es do nosso cotidiano que requerem o uso de razo˜es e de proporc¸a˜o, seja na
cozinha de sua resideˆncia ou na manipulac¸a˜o de um medicamento, dessa forma, torna-se primordial esta-
rem bem codificados os conhecimentos adquiridos no ensino fundamental, para utiliza´-los em disciplinas
espec´ıficas e mais complexas.
Iniciamos nossos estudos com o conceito de raza˜o.
RAZA˜O:
De acordo com o conceito, raza˜o e´ o quociente entre dois nu´meros na˜o nulos ou quociente entre duas
grandezas varia´veis, grandezas de espe´cies diferentes, ou seja, raza˜o e´ sinoˆnimo de divisa˜o, que e´ sinoˆnimo
de uma frac¸a˜o, tambe´m e´ a divisa˜o entre dois nu´meros, podendo ser descrita como a comparac¸a˜o entre
duas quantidades por meio da divisa˜o. A raza˜o na˜o e´ usada individualmente. E´ apenas uma ferramenta
para outros temas e problemas.
Definic¸a˜o:
Sendo a e b dois nu´meros racionais com b �= 0, denomina-se raza˜o entre a e b o quociente a
b
ou a : b ,
onde a e´ o antecedente e b e´ o consequente.
Exemplo pra´tico da definic¸a˜o:
Todos os garotos gostam de brincar de estilingue, pore´m, nem todos os garotos possuem habilidades com
esse brinquedo. Imagine que o Joa˜o colocou uma lata em cima do muro e esta´ tentando atingi-la com
a pedra lanc¸ada pelo estilingue, e que a cada 10 tentativas, ele acerte 2 vezes a latinha. Assim de 10
disparos, ele acerta 2, enta˜o, ele erra 8 vezes a latinha. Neste caso poderemos fazer uma raza˜o entre o
nu´mero de acertos e de erros, vejamos a seguir qual sera´ a raza˜o:
Resoluc¸a˜o:
r =
2
8
sendo 2 acertos e 8 erros, logo, simplificando a raza˜o, terei r =
1
4
,ou seja, para cada 1 vez que a
pedra acerta a latinha, tera´ 4 lanc¸amentos que na˜o acertara˜o a latinha.
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RAZA˜O E PROPORC¸A˜O
E´ imposs´ıvel iniciar os estudos do nivelamento de Matema´tica, sem relembrar Raza˜o e Proporc¸a˜o. Sabe-
mos que existem muitas situac¸o˜es do nosso cotidiano que requerem o uso de razo˜es e de proporc¸a˜o, seja na
cozinha de sua resideˆncia ou na manipulac¸a˜o de um medicamento, dessa forma, torna-se primordial esta-
rem bem codificados os conhecimentos adquiridos no ensino fundamental, para utiliza´-los em disciplinas
espec´ıficas e mais complexas.
Iniciamos nossos estudos com o conceito de raza˜o.
RAZA˜O:
De acordo com o conceito, raza˜o e´ o quociente entre dois nu´meros na˜o nulos ou quociente entre duas
grandezas varia´veis, grandezas de espe´cies diferentes, ou seja, raza˜o e´ sinoˆnimo de divisa˜o, que e´ sinoˆnimo
de uma frac¸a˜o, tambe´m e´ a divisa˜o entre dois nu´meros, podendo ser descrita como a comparac¸a˜o entre
duas quantidades por meio da divisa˜o. A raza˜o na˜o e´ usada individualmente. E´ apenas uma ferramenta
para outros temas e problemas.
Definic¸a˜o:
Sendo a e b dois nu´meros racionais com b �= 0, denomina-se raza˜o entre a e b o quociente a
b
ou a : b ,
onde a e´ o antecedente e b e´ o consequente.
Exemplo pra´tico da definic¸a˜o:
Todos os garotos gostam de brincar de estilingue, pore´m, nem todos os garotos possuem habilidades com
esse brinquedo. Imagine que o Joa˜o colocou uma lata em cima do muro e esta´ tentando atingi-la com
a pedra lanc¸ada pelo estilingue, e que a cada 10 tentativas, ele acerte 2 vezes a latinha. Assim de 10
disparos, ele acerta 2, enta˜o, ele erra 8 vezes a latinha. Neste caso poderemos fazer uma raza˜o entre o
nu´mero de acertos e de erros, vejamos a seguir qual sera´ a raza˜o:
Resoluc¸a˜o:
r =
2
8
sendo 2 acertos e 8 erros, logo, simplificando a raza˜o, terei r =
1
4
,ou seja, para cada 1 vez que a
pedra acerta a latinha, tera´ 4 lanc¸amentos que na˜o acertara˜o a latinha.
RAZÃO, PROPORÇÃO, REGRA DE TRÊS E PORCENTAGEM
Reprodução proibida. A
rt. 184 do Código Penal e Lei 9.610 de 19 de fevereiro de 1998.
I
6
Exemplo 01: Observe a tabela:
Re´ptil Tamanho ma´ximo
Jacare´ do Pantanal 2,5m
Jacare´-ac¸u 6m
Crocodilo da A´sia (maior re´ptil do planeta) 7m
Qual e´ a raza˜o entre o comprimento do maior re´ptil do planeta e do jacare´ do Pantanal?
7
2, 5
= A raza˜o e´ de 7 para 2,5.
FORMA FRACIONA´RIA, FORMA DECIMAL E FORMA PERCEN-
TUAL DE UMA RAZA˜O.
Apo´s ter a definic¸a˜o clara de raza˜o, e´ necessa´rio identificarmos as formas de representac¸a˜o existentes e,
para fixar o aprendizado, apresentaremos estas formas, atrave´s de exemplos, veja:
Exemplo 02: Determine a raza˜o na forma fraciona´ria entre a primeira e a segunda medidas abaixo:
A) 12 cent´ımetros e 40 cent´ımetros
B) 500 gramas e 3 quilogramas
Resoluc¸a˜o:
A) Para iniciar a divisa˜o sempre utilizamos o primeiro pelo segundo valor, assim, teremos: r =
12
40
simplificando r =
3
10
B) Note que esta˜o em unidades diferentes, nesse caso, necessitamos que elas estejam na mesma unidade.
Enta˜o neste caso e´ necessa´rio realizar a conversa˜o, assim, 3 quilogramas equivale a 3000 gramas.
r =
500
3000
, ou seja, r =
5
30
simplificando teremos r =
1
6
.
Exemplo 03: r =
7
10
= 0, 7 = 70%, observe que a raza˜o foi apresentada na forma fraciona´ria, decimal,
e percentual.
17
Forma Fracionária, Forma Decimal e Forma Percentual de uma Razão
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Exemplo 04: Em um hospital, no meˆs de julho de 2011, havia 320 pessoas internadas com sintomas de
gripe A e no meˆs de agosto, esse nu´mero subiu para 512 pessoas. Determine a raza˜o na forma decimal
entre o nu´mero de pessoas com sintomas de gripe A no meˆs de agosto e julho de 2011.
Resoluc¸a˜o:
215
320
= 1, 6
RAZO˜ES ESPECIAIS
As razo˜es especiais sa˜o algumas razo˜es entre grandezas de mesmo tipo ou de tipos diferentes que sa˜o
utilizadas com bastante frequeˆncia no nosso cotidiano. Dentro das razo˜es especiais, as mais utilizadas sa˜o:
Escala, Velocidade Me´dia e Densidade Demogra´fica.
ESCALA: usada principalmente em mapas, maquetes e plantas, a escala e´ a raza˜o entre a medida do
comprimento no desenho e a medida do comprimento real do objeto.
Podendo ser resolvida pela fo´rmula:
Escala =
d (distância do desenho)
D (distância real)
Exemplo 05: Alberto vai construir a casa dele, e, para iniciar o projeto, e´ necessa´ria a planta baixa da
casa. Esta planta ira´ mostrar a disposic¸a˜o dos ambientes e suas medidas. Desta forma, para caber no
papel, as medidas reais dos ambientes foram dividas em escalas de 1: 200 (1 para 200, ou seja, cada 1 cm
do desenho corresponde a 200 cm nas medidas reais), sabemos que a escala e´ a raza˜o entre as medidas do
desenho e as medidas reais.
20m
10
m
escala 1:200
RAZÃO, PROPORÇÃO, REGRA DE TRÊS E PORCENTAGEM
Reprodução proibida. A
rt. 184 do Código Penal e Lei 9.610 de 19 de fevereiro de 1998.
I
8
Resoluc¸a˜o:
Escala =
d
D
−→ Escala = 1
200
Enta˜o, nessa escala:
Um comprimento de 4 cm, no desenho, corresponde a 4.200 = 800 cm ou 8 m na realidade.
Um comprimento de 12 m na realidade sera´ representado por 6 cm no desenho, pois 12 m = 1200 cm
1200 cm : 200 = 6 cm
Exemplo 06: Em um desenho, um comprimento de 10 m esta´ representado por 5 cm. Qual escala e´
utilizada para fazer esse desenho?
Resoluc¸a˜o:
5 cm
10m
=
5 cm
1000 cm
=
1
200
Logo a escala e´ de 1 : 200
Exemplo 07: A miniatura de um carro foi constru´ıda na escala 1:50. Determine o comprimento e a
largura deste carro.
Resoluc¸a˜o:
1
50
=
4 cm
x
x = 4 · 50 = 200 cm = 2 cm
1
50
=
10 cm
y
y = 10 · 50 = 500 = 5m
Logo, comprimento 5 m e largura 2 m.
8
Resoluc¸a˜o:
Escala =
d
D
−→ Escala = 1
200
Enta˜o, nessa escala:
Um comprimento de 4 cm, no desenho, corresponde a 4.200 = 800 cm ou 8 m na realidade.
Um comprimento de 12 m na realidade sera´ representado por 6 cm no desenho, pois 12 m = 1200 cm
1200 cm : 200 = 6 cm
Exemplo 06: Em um desenho, um comprimento de 10 m esta´ representado por 5 cm. Qual escala e´
utilizada para fazer esse desenho?
Resoluc¸a˜o:
5 cm
10m
=
5 cm
1000 cm
=
1
200
Logo a escala e´ de 1 : 200
Exemplo 07: A miniatura de um carro foi constru´ıda na escala 1:50. Determine o comprimento e a
largura deste carro.
Resoluc¸a˜o:
1
50
=
4 cm
x
x = 4 · 50 = 200 cm = 2 cm
1
50
=
10 cm
y
y = 10 · 50 = 500 = 5m
Logo, comprimento 5 m e largura 2 m.
10cm
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Razões Especiais
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9
Ale´m de utilizarmos a escala para confecc¸a˜o de plantas e de miniaturas, e´ comum usarmos a escala na
confecc¸a˜o de mapas, pois os mapas devem ser uma reproduc¸a˜o fiel em tamanho reduzido.
VELOCIDADE ME´DIA
E´ a raza˜o entre a distaˆncia percorrida por um mo´vel e o tempo gasto para percorrer essa distaˆncia.
Exemplo 08: A velocidade me´dia de um trem bala que percorre 800 km em 2 horas e´ dada pela raza˜o:
distância
tempo
=
800
2
= 400 km/h
DENSIDADE DEMOGRA´FICA
E´ a raza˜o entre o nu´mero de habitantes (populac¸a˜o) de uma regia˜o e a a´rea dessa regia˜o.
Exemplo 09: Um pa´ıs tem 100.000.000 de habitantes e uma a´rea de 5.000.000 km2 . Qual e´ a densidade
demogra´fica desse pa´ıs?
d =
100.000.000 habitantes
50.000.000 km
= 20 hab/km2
REGRA DE TREˆS E PROPORC¸A˜O
REGRA DE TREˆS SIMPLES
A regra de treˆs simples e´ um processo pra´tico para determinar, a partir de treˆs valores conhecidos, um
quarto valor com o qual todos se relacionam proporcionalmente. Na pra´tica, a Regra de Treˆs e´ a meca-
nizac¸a˜o da proporc¸a˜o, dispondo-os em uma espe´cie de tabela organizada.
Para entendermos melhor a regra de treˆs na resoluc¸a˜o de determinados problemas, e´ necessa´rio que voceˆ
domine grandezas proporcionais.
PROPORC¸A˜O
A proporc¸a˜o representa a igualdade entre duas razo˜es e so´ faz sentido quando na˜o sabemos uma das
parcelas dessa igualdade.
Exemplo 10: Se dissermos que a raza˜o entre o nu´mero de meninas e o nu´mero de meninos de um cole´gio
e´
2
3
, isso significa que:
RAZÃO, PROPORÇÃO, REGRA DE TRÊS E PORCENTAGEM
Reprodução proibida. A
rt. 184 do Código Penal e Lei 9.610 de 19 de fevereiro de 1998.
I
10
Para cada 2 meninas existem 3 meninos, ou para cada 4 meninas existem 6 meninos, enta˜o, as frac¸o˜es
2
3
e
4
6
sa˜o frac¸o˜es equivalentes, ou seja, ao simplificarmos as frac¸o˜es, elas sera˜o iguais. Essa igualdade
chama-se proporc¸a˜o, logo, para resolver uma proporc¸a˜o, basta multiplicar em cruz, observe:
3
4
=
x
8
−→ 4 · x = 3 · 8 −→ x = 6
GRANDEZAS DIRETAMENTE PROPORCIONAIS
Sa˜o grandezas relacionadas de forma ideˆntica quanto ao seu crescimento ou decrescimento. O aumento
de uma grandeza implica no aumento da outra, e a diminuic¸a˜o de uma grandeza implica na diminuic¸a˜o
imediata da outra.
Exemplo 11: Em um supermercado, e´ poss´ıvel utilizar as razo˜es para descobrir qual das embalagens e´
mais vantajosa para o consumidor.
Comparamos as quantidades :
900
400
= 2, 25
Comparamos os prec¸os:
4, 95
3, 30
= 1, 5
A embalagem maior tem mais que o dobro da quantidade de cereal da menor e seu prec¸o e´ uma vez e
meia o prec¸o da menor. Nesse caso, compensa levar a embalagem maior.
E´ poss´ıvel, nesse caso, utilizarmos o racioc´ınio lo´gico, observe que, na embalagem maior, 900 g custam R$
4,95. Enta˜o 100 g custam R$ 4,95 : 9 = R$ 0,55, logo, 400g custam 4. R$0,55 = R$ 2,20, como R$2,20 e´
menor que R$3,30, que e´ o prec¸o da embalagem menor, enta˜o, a embalagem maior e´ relativamente mais
barata. Esse e´ um tipo de exerc´ıcio em que e´ poss´ıvel aplicar a regra de treˆs que veremos na sequeˆncia.
10
Para cada 2 meninas existem 3 meninos, ou para cada 4 meninas existem 6 meninos, enta˜o, as frac¸o˜es
2
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sa˜o frac¸o˜es equivalentes, ou seja, ao simplificarmos as frac¸o˜es, elas sera˜o iguais. Essa igualdade
chama-se proporc¸a˜o, logo, para resolver uma proporc¸a˜o, basta multiplicar em cruz, observe:
3
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=
x
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−→ 4 · x = 3 · 8 −→ x = 6
GRANDEZAS DIRETAMENTE PROPORCIONAIS
Sa˜o grandezas relacionadas de forma ideˆntica quanto ao seu crescimento ou decrescimento. O aumento
de uma grandeza implica no aumento da outra, e a diminuic¸a˜o de uma grandeza implica na diminuic¸a˜o
imediata da outra.
Exemplo 11: Em um supermercado, e´ poss´ıvel utilizar as razo˜es para descobrir qual das embalagens e´
mais vantajosa para o consumidor.
Comparamos as quantidades :
900
400
= 2, 25
Comparamos os prec¸os:
4, 95
3, 30
= 1, 5
A embalagem maior tem mais que o dobro da quantidade de cereal da menor e seu prec¸o e´ uma vez e
meia o prec¸o da menor. Nesse caso, compensa levar a embalagem maior.
E´ poss´ıvel, nesse caso, utilizarmos o racioc´ınio lo´gico, observe que, na embalagem maior, 900 g custam R$
4,95. Enta˜o 100 g custam R$ 4,95 : 9 = R$ 0,55, logo, 400g custam 4. R$0,55 = R$ 2,20, como R$2,20 e´
menor que R$3,30, que e´ o prec¸o da embalagem menor, enta˜o, a embalagem maior e´ relativamente mais
barata. Esse e´ um tipo de exerc´ıcio em que e´ poss´ıvel aplicar a regra de treˆs que veremos na sequeˆncia.
900 g por
R$ 4,95 400 g por
R$ 3,30
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Regra de Três e Proporção
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11
GRANDEZAS INVERSAMENTE PROPORCIONAIS
Sa˜o grandezas relacionadas de forma oposta quanto ao seu crescimento ou decrescimento. O aumento
de uma grandeza implica na diminuic¸a˜o da outra, e a diminuic¸a˜o de uma grandeza implica no aumento
imediato da outra.
Exemplo 12: Um muro e´ constru´ıdo por 6 homens em 12 dias. Quantos dias sera˜o necessa´rios para 9
homens constru´ırem o mesmo muro?
Resoluc¸a˜o: observe que quanto mais homens menos dias, enta˜o, as grandezas sa˜o inversamente propor-
cionais, assim, montamos a proporc¸a˜o invertendo os termos da raza˜o que na˜o possuem x.
9
6
=
12
x
9 · x = 6 · 12
9x = 72
x =
72
9
x = 8
FIQUE ESPERTO!
Existem situac¸o˜es em que na˜o ha´ proporcionalidade!
A tabela abaixo mostra a variac¸a˜o da idade e da altura de Joa˜o.
Idade (anos) Altura(m)
10 1,30
15 1,65
20 1,80
25 1,80
30 1,80
Essas grandezas na˜o sa˜o direta nem inver-
samente proporcionais, pois na˜o variam na
mesma raza˜o, nem na raza˜o inversa.
Dica:
Devemos multiplicar um dos valores de uma grandeza com um valor da outra grandeza. Mas esse
processo na˜o e´ aleato´rio: deve-se seguir as setas de forma a estabelecer um caminho. Na˜o existe esse
nego´cio de ”regra de treˆs e´ so´ multiplicar cruzado”. Ha´ circunstaˆncias em que o caminho e´ multiplicar
cruzado e ha´ circunstaˆncias em que o caminho e´ multiplicar o ”de cima”pelo ”de cima”e o ”de baixo”pelo
”de baixo”. Assim quando dissermos ”quanto mais”, orientaremos a seta para cima. Quando dissermos
”quanto menos”, orientaremos a seta para baixo.
11
GRANDEZAS INVERSAMENTE PROPORCIONAIS
Sa˜o grandezas relacionadas de forma oposta quanto ao seu crescimento ou decrescimento. O aumento
de uma grandeza implica na diminuic¸a˜o da outra, e a diminuic¸a˜o de uma grandeza implica no aumento
imediato da outra.
Exemplo 12: Um muro e´ constru´ıdo por 6 homens em 12 dias. Quantos dias sera˜o necessa´rios para 9
homens constru´ırem o mesmo muro?
Resoluc¸a˜o: observe que quanto mais homens menos dias, enta˜o, as grandezas sa˜o inversamente propor-
cionais, assim, montamos a proporc¸a˜o invertendo os termos da raza˜o que na˜o possuem x.
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=
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x
9 · x = 6 · 12
9x = 72
x =
72
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FIQUE ESPERTO!
Existem situac¸o˜es em que na˜o ha´ proporcionalidade!
A tabela abaixo mostra a variac¸a˜o da idade e da altura de Joa˜o.
Idade (anos) Altura(m)
10 1,30
15 1,65
20 1,80
25 1,80
30 1,80
Essas grandezas na˜o sa˜o direta nem inver-
samente proporcionais, pois na˜o variam na
mesma raza˜o, nem na raza˜o inversa.
Dica:
Devemos multiplicar um dos valores de uma grandeza com um valor da outra grandeza. Mas esse
processo na˜o e´ aleato´rio: deve-se seguir as setas de forma a estabelecer um caminho. Na˜o existe esse
nego´cio
de ”regra de treˆs e´ so´ multiplicar cruzado”. Ha´ circunstaˆncias em que o caminho e´ multiplicar
cruzado e ha´ circunstaˆncias em que o caminho e´ multiplicar o ”de cima”pelo ”de cima”e o ”de baixo”pelo
”de baixo”. Assim quando dissermos ”quanto mais”, orientaremos a seta para cima. Quando dissermos
”quanto menos”, orientaremos a seta para baixo.
RAZÃO, PROPORÇÃO, REGRA DE TRÊS E PORCENTAGEM
Reprodução proibida. A
rt. 184 do Código Penal e Lei 9.610 de 19 de fevereiro de 1998.
I
12
Exemplo 13: Um monomotor percorre certa distaˆncia voando com velocidade igual a 300 km/h, durante
6 horas; outro avia˜o percorrera´ a mesma distaˆncia, com a velocidade igual a 360 km/h. De quanto tempo
o segundo avia˜o precisara´?
Note que: se a velocidade aumentar, o tempo de percurso diminui, mostrando que o problema e´ de
grandezas inversamente proporcionais.
Resoluc¸a˜o:
300 · 6 = 360 · T
1800 = 360 · T
T = 5 h
Exemplo 14: Um automo´vel percorre 300 km em 5 horas. Mantendo a mesma velocidade, que distaˆncia
percorrera´ em 7 horas?
Note que: se o tempo aumenta, a distaˆncia tambe´m aumenta (esta˜o em velocidade constante), mostrando
que o problema e´ de grandezas diretamente proporcionais.
23
Regra de Três e Proporção
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13
Resoluc¸a˜o:
300 · 7 = 5 · D
2100 = 5 · D
D = 420 Km
PORCENTAGEM
A porcentagem e´ o nome dado a toda frac¸a˜o cujo denominador e´ 100. Sabemos que
3
100
representa que
dividimos o inteiro em 100 partes iguais e tomamos 3 dessa parte, sendo assim, podemos representar
3
100
por 3%, razo˜es em que o denominador e´ 100 tambe´m chamado de raza˜o centesimal ou porcentual. Por
cento e´ uma expressa˜o representada pelo s´ımbolo %, que significa cente´simos, a porcentagem e´ utilizada
em diversas a´reas como no mercado financeiro, na Engenharia, na Matema´tica, na Geografia ou ate´ mesmo
na Administrac¸a˜o entre outras.
7% =
7
100
= 0, 07 - 2, 9% =
2, 9
100
= 0, 029
Para calcular problemas que envolvem a porcentagem, utilizamos a Regra de Treˆs Simples com grandezas
diretamente proporcionais, pore´m e´ poss´ıvel utilizar outras te´cnicas de resoluc¸a˜o.
Exemplo 15: Em uma cesta ha´ 60 laranjas das quais 20% esta˜o estragadas. Quantas sa˜o as laranjas
estragadas? (aplicando a regra de treˆs)
Laranjas Taxa percentual
60 100%
x 20%
100 · x = 20 · 60
100 · x = 1200
x =
1200
100
x = 12 laranjas esta˜o estragadas
Podemos resolver o mesmo exemplo utilizando a fo´rmula:
p =
c · i
100
Onde:
c = capital ou principal neste caso as 60 laranjas
p = porcentagem neste caso x
i = taxa neste caso 20%
RAZÃO, PROPORÇÃO, REGRA DE TRÊS E PORCENTAGEM
Reprodução proibida. A
rt. 184 do Código Penal e Lei 9.610 de 19 de fevereiro de 1998.
I
14
p =
60 · 20
100
=
1200
100
= 12
Exemplo 16: Numa loja de esportes, a camisa do meu time, que custava R$ 25,00, passou a custar R$
27,00. Qual foi a porcentagem de aumento?
Resoluc¸a˜o: 27 - 25 = 2
Temos um aumento de R$ 2,00 em R$ 25,00, sabemos que o percentual e´ uma frac¸a˜o cujo denominador
e´ 100 enta˜o:
2
25
=
8
100
= 8%, o aumento foi de 8%
Exemplos 17: Uma camisa sofreu um aumento de R$ 30,00 para R$ 32,40. Qual foi o percentual de
aumento?
Note que houve um aumento de R$ 2,40 sobre o prec¸o antigo, R$ 30,00, basta traduzir para a linguagem
matema´tica:
2, 40
30, 00
= 0, 08 =
8
100
= 8%
Outros exemplos que envolvem porcentagem:
a) Calcular 35% de 90
35
100
· 90 = 31, 5
b) Calcular 25% de 80%
25
100
· 80
100
=
20
100
= 20%
c) Calcule (10%)2.
10
100
= 0, 1. Logo, (0, 1)2 = 0, 01 · 100 = 1%
d) Se um trabalhador recebe um corte de 20% no seu sala´rio, ele so´ vai readquirir o original se tiver um
aumento de quantos por cento?
Resoluc¸a˜o: supondo que esse trabalhador ganhe R$1000,00, enta˜o,
1000 · 20
100
= 200, logo, tera´ um des-
conto de R$200,00 e passara´ a receber apenas R$ 800,00. Recebendo esse sala´rio ele so´ ira´ readquirir o
sala´rio original se ganhar um aumento de 25%, observe:
80 · 25
100
= 200.
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Porcentagem
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16
CONSIDERAC¸O˜ES FINAIS
Ao planejar esta unidade, focamos em possibilitar maneiras de aprofundar os conhecimentos de regra de
treˆs, grandezas diretamente e inversamente proporcionais, principalmente, os conceitos de porcentagem,
tornando o aprendizado mais significativo, facilitando a sua compreensa˜o para os assuntos que sera˜o
abordados posteriormente.
Nesta unidade, percebemos que os assuntos abordados, raza˜o, proporc¸a˜o e, principalmente a porcentagem
sa˜o aplicadas em diversos momentos de nosso cotidiano e em diversas a´reas de conhecimento. A proposta
desta unidade e´ dar subs´ıdios a voceˆ para ampliar seu conhecimento matema´tico de acordo com a sua
experieˆncia e o seu cotidiano, possibilitando inovar as aplicac¸o˜es e adequa´-las a cada necessidade.
Temos certeza que, para estudar os assuntos propostos nesta unidade, na˜o foi poss´ıvel fazeˆ-lo somente com
a leitura, foi preciso la´pis, borracha e papel a` ma˜o e uma boa pitada de dedicac¸a˜o. E´ assim que se estuda
matema´tica: exercitando, processo que o(a) leva a levantar du´vidas que podem e devem ser esclarecidas,
posteriormente, pela equipe de suporte de seu curso.
15
Cuidado! E´ comum aparecer situac¸o˜es em que ha´ um desconto e, na sequeˆncia, um acre´scimo da
mesma taxa. Isso e´ pegadinha! O prec¸o na˜o volta ao normal!
Se o prec¸o inicial for R$200, por exemplo, um desconto de 20% sobre esse prec¸o corresponderia a
R$40 e derrubaria o prec¸o para R$160. Um acre´scimo de 20% sobre esse prec¸o vai resultar em R$32
e aumentaria o prec¸o para R$192.
Mesmo que voceˆ tivesse dado o aumento primeiro e depois o desconto, chegaria aos mesmos valores.
RAZÃO, PROPORÇÃO, REGRA DE TRÊS E PORCENTAGEM
Reprodução proibida. A
rt. 184 do Código Penal e Lei 9.610 de 19 de fevereiro de 1998.
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ATIVIDADES DE ESTUDOS
1. Em uma urna, ha´ 40 bolas das quais 30% sa˜o verdes. Quantas sa˜o as bolas verdes?
2. 20% de uma certa quantia corresponde a R$ 25,00. Qual e´ essa quantia?
3. Numa cidade de 5000 habitantes, 1200 sa˜o mulheres. Determine a taxa percentual de mulheres.
4. Ma´rio, que ganhava R$ 800,00, teve um aumento de sala´rio e passou a ganhar R$ 920,00. Calcule
o porcentual desse aumento.
5. Um computador e´ vendido a` vista por R$ 2700,00 ou em 18 parcelas de R$ 204,00. Quantos por
cento pagara´ a mais quem comprar a prazo?
6. E´ correto afirmar que (30%)2 equivale a 9%?
7. Com 20kg de farinha sa˜o produzidos 800 pa˜es. Quantos pa˜es iguais aos primeiros sera˜o produzidos
com 10kg de farinha?
8. Um carro com velocidade me´dia de 70km/h demora 6 horas para ir de uma cidade a outra. Para
percorrer o mesmo trajeto em 4 horas, qual seria a velocidade me´dia desenvolvida?
9. Mil folhas de certo papel pesam 4kg. Quanto pesara˜o 600 folhas do mesmo tipo de papel (usaremos
pesar no sentido de ter massa por se tratar de linguagem coloquial).
10. A prefeitura de Caˆndido Mota resolveu colocar postes para iluminac¸a˜o de uma rua. Se colocar os
postes distantes um do outro 25 m, sera˜o necessa´rios 80 postes. Se a distaˆncia for de 40m, quantos
postes sera˜o necessa´rios?
27 
U
N
ID
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E II
Professora Esp. Antoneli da Silva Ramos
Professor Esp. Fernando Marcussi
NOTAÇÃO CIENTÍFICA, 
OPERAÇÕES COM FRAÇÕES
E 
OPERAÇÃO COM NÚMEROS 
DECIMAIS
Objetivos de Aprendizagem
 ■ Compreender os conceitos relacionados à Notação Científica.
 ■ Entender as Potências de Base 10.
 ■ Identificar e escrever números escritos em Notação Científica.
 ■ Exercitar habilidades básicas de operar números fracionários.
 ■ Identificar Frações Equivalentes.
 ■ Dominar as 4 operações fundamentais: Adição, Multiplicação, 
Subtração, Divisão no conjunto dos números racionais (decimais e 
fracionários).
 ■ Saber manipular Número Misto.
 ■ Saber resolver Expressões Numéricas, desde as mais simples, até as 
mais elaboradas.
Plano de Estudo
A seguir, apresentam-se os tópicos que você estudará nesta unidade:
 ■ Notação Científica
 ■ Operações com Frações
 ■ Operações com Números Decimais
 ■ Expressões Numéricas
19
INTRODUC¸A˜O
Nesta unidade, iniciaremos a abordagem dos conteu´dos com notac¸a˜o cient´ıfica, na sequeˆncia operac¸o˜es
com frac¸o˜es e finalizaremos com operac¸o˜es com nu´meros decimais. Apesar de serem temas simples, sa˜o
conteu´dos onde a grande maioria das pessoas sentem dificuldades e muitos na˜o conseguem atingir os
resultados esperados, provavelmente, porque o bloqueio esta´ na maneira como esses conteu´dos foram
introduzidos no ensino fundamental.
Ao abordar a notac¸a˜o cient´ıfica, o foco esta´ nas poteˆncias de base dez e no trabalho com radicais, valo-
rizando nossos estudos, apresentaremos diversas possibilidades de aplicac¸a˜o e de utilizac¸a˜o de forma de
escrita nume´rica.
Nosso primeiro contato com as frac¸o˜es acontece nas se´ries iniciais do ensino fundamental, entre o 3o e
4o ano. E´ o momento em que descobrimos que a forma fraciona´ria representa uma determinada parte
de um inteiro ou de uma qualidade, assim, a intenc¸a˜o e´ mostrar ao aluno a necessidade de representar
partes de um intervalo ou de uma quantidade, assim, a intenc¸a˜o e´ mostrar ao aluno, a necessidade de
representar partes de um inteiro, proporcionando um estudo das frac¸o˜es, estabelecendo relac¸o˜es com o
dia a dia dos alunos, atrave´s de situac¸o˜es diversificadas de utilizac¸a˜o de frac¸o˜es, pois e´ comprovado que o
aluno apresenta mais dificuldade com os nu´meros fraciona´rios que com os nu´meros naturais.
Finalizaremos esta unidade com as operac¸o˜es que envolvem os nu´meros decimais, partindo do princ´ıpio de
que voceˆ conhece e ja´ obteve um contato com o conjunto dos nu´meros, daremos uma atenc¸a˜o especial aos
nu´meros decimais, pois voceˆ precisa interiorizar uma cadeia de relac¸o˜es e estruturas do valor de posic¸a˜o,
destacando a ampla utilizac¸a˜o desses nu´meros no dia a dia inclusive destacando a sua relac¸a˜o com os
nu´meros fraciona´rios.
31
Introdução
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20
NOTAC¸A˜O CIENTI´FICA
Notac¸a˜o cient´ıfica e´ uma forma diferente de representar nu´meros reais, muito utilizada em ca´lculos que
envolvem nu´meros muito pequenos ou nu´meros muito grandes, evitando esquecer-se de algum zero, esta
notac¸a˜o e´ muito utilizada em Qu´ımica e F´ısica.
POTEˆNCIA DE BASE 10:
Ela e´ representada por: a× 10k, ou seja, 1 ≤ a ≤ 10; k ∈ z, sendo assim, sempre que multiplicamos qual-
quer nu´mero inteiro por 10, acrescentamos um zero a` direita desse nu´mero para obtermos o resultado,
independentemente da quantidade de algarismos que forma esse nu´mero.
Exemplo 1:
a) 5 · 102 = 500 e) 7.000.000.000 = 7× 109.
b) 5 · 10−1 = 0, 5 f) 3, 12 · 101 = 31, 2.
c) 15 · 10−2 = 15 · 0, 01 = 0, 15 g) 4, 589 · 102 = 458, 9.
d) 1, 3 · 103 = 1300 h) 0, 0343 · 103 = 34, 3.
NOTE QUE:
Para que o nu´mero 7.000.000.000 se transformasse em notac¸a˜o cient´ıfica, foi necessa´rio “andar” com a
v´ırgula 9 casas a` esquerda (o expoente e´ 9), atente-se que o expoente e´ positivo.
Note tambe´m que 2×10−4 = 0, 0002, para que o nu´mero 0,0002 se transformasse em notac¸a˜o cient´ıfica,
foi necessa´rio “andar” com a v´ırgula 4 casas a` direita (o expoente e´ -4), atente-se que o expoente e´
negativo.
O processo e´ bem simples, posicionamos a v´ırgula de forma que o nu´mero fique entre 1 e 10. Contamos
o nu´mero de casas que a v´ırgula se deslocou para a esquerda ou para a direita, esse sera´ o expoente
da base 10.
20
NOTAC¸A˜O CIENTI´FICA
Notac¸a˜o cient´ıfica e´ uma forma diferente de representar nu´meros reais, muito utilizada em ca´lculos que
envolvem nu´meros muito pequenos ou nu´meros muito grandes, evitando esquecer-se de algum zero, esta
notac¸a˜o e´ muito utilizada em Qu´ımica e F´ısica.
POTEˆNCIA DE BASE 10:
Ela e´ representada por: a× 10k, ou seja, 1 ≤ a ≤ 10; k ∈ z, sendo assim, sempre que multiplicamos qual-
quer nu´mero inteiro por 10, acrescentamos um zero a` direita desse nu´mero para obtermos o resultado,
independentemente da quantidade de algarismos que forma esse nu´mero.
Exemplo 1:
a) 5 · 102 = 500 e) 7.000.000.000 = 7× 109.
b) 5 · 10−1 = 0, 5 f) 3, 12 · 101 = 31, 2.
c) 15 · 10−2 = 15 · 0, 01 = 0, 15 g) 4, 589 · 102 = 458, 9.
d) 1, 3 · 103 = 1300 h) 0, 0343 · 103 = 34, 3.
NOTE QUE:
Para que o nu´mero 7.000.000.000 se transformasse em notac¸a˜o cient´ıfica, foi necessa´rio “andar” com a
v´ırgula 9 casas a` esquerda (o expoente e´ 9), atente-se que o expoente e´ positivo.
Note tambe´m que 2×10−4 = 0, 0002, para que o nu´mero 0,0002 se transformasse em notac¸a˜o cient´ıfica,
foi necessa´rio “andar” com a v´ırgula 4 casas a` direita (o expoente e´ -4), atente-se que o expoente e´
negativo.
O processo e´ bem simples, posicionamos a v´ırgula de forma que o nu´mero fique entre 1 e 10. Contamos
o nu´mero de casas que a v´ırgula se deslocou para a esquerda ou para a direita, esse sera´ o expoente
da base 10.
NOTAÇÃO CIENTÍFICA, OPERAÇÕES COM FRAÇÕES E OPERAÇÃO COM NÚMEROS DECIMAIS
Reprodução proibida. A
rt. 184 do Código Penal e Lei 9.610 de 19 de fevereiro de 1998.
II
21
Exemplo 2: Utilizando o nu´mero 150.000.000 preciso transforma´-lo em notac¸a˜o cient´ıfica, observe:
150.000.000, mesmo oculta, o nu´mero possui o posicionamento da v´ırgula, para ser notac¸a˜o cient´ıfica o
nu´mero deve estar entre 1 e 10, enta˜o, posso posicionar a v´ırgula apo´s o 1,5 em seguida multiplico por
10 elevado ao nu´mero de casas que sobraram apo´s a v´ırgula, como a v´ırgula se deslocou para a esquerda
o expoente e´ positivo, resultando em 1, 5 · 108.
Exemplo 3: Transforme 414 · 521 em um nu´mero de notac¸a˜o cient´ıfica.
Resoluc¸a˜o: (22)14 · 521
221 · 521
(27 · 221) · 521
27 · (221 · 521)
27 · 1021
128 · 1021 = 1, 28 · 1023
Exemplo 4: Qual e´ o valor da expressa˜o 5100× 10−5 + 3× 10−4?
Resoluc¸a˜o: 5100× 10−5 = 510× 101 × 10−5
510× 10−4 + 3× 10−4
513× 10−4 = 513
104
=
513
10.000
= 0, 0513
OPERAC¸O˜ES COM FRAC¸O˜ES
Durante a sua jornada acadeˆmica, em algum momento, provavelmente voceˆ deve ter entrado em contato
com o estudo das frac¸o˜es, de onde surge, qual o significado de cada representac¸a˜o, enfim, neste nivela-
mento o nosso objetivo e´ que voceˆ saiba manipula´-las, tendo domı´nio ao realizar as operac¸o˜es com frac¸o˜es.
ADIC¸A˜O E SUBTRAC¸A˜O DE FRAC¸O˜ES:
E´ poss´ıvel calcular operac¸o˜es com o mesmo denominador e tambe´m com denominadores diferentes. Para
denominadores diferentes, basta procurar as frac¸o˜es equivalentes e encontrar o famoso M.M.C ( mı´nimo
mu´ltiplo comum),observe como adicionamos as frac¸o˜es considerando as classes de equivaleˆncia de um
nu´mero fraciona´rio.
33
Operações com Frações
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Exemplo 5:
1
2
+
3
5
note as classes de equivaleˆncia:
[
1
2
]
=
{
1
2
,
2
4
,
3
6
,
4
8
,
5
10
, ...
}
−→ Classe de equivaleˆncia de 1
2[
3
5
]
=
{
3
5
,
6
10
,
9
15
, ...
}
−→ Classe de equivaleˆncia de 3
5
Observe que 10 e´ um mu´ltiplo comum de 2 e 5, enta˜o:
1
2
+
3
5
=
5
10
+
6
10
=
11
10
Exemplo 6:
1
2
− 3
5
1
2
− 3
5
=
5
10
− 6
10
= − 1
10
Exemplo 7: Iniciou-se a colheita de milho na lavoura do Seu Joaquim,
1
2
foi colhida pela ma´quina de
Paulo,
3
10
foi colhida pela ma´quina de Jose´ e
1
5
pela ma´quina do Pedro. A colheita foi completamente
realizada?
Resoluc¸a˜o: Para resolver precisamos somar as frac¸o˜es, neste caso, precisamos encontrar a frac¸a˜o equi-
valente a
1
2
,
3
10
e
1
5
, atente-se que temos que encontrar o mesmo denominador, enta˜o, neste caso iremos
utilizar o M.M.C entre 2, 10 e 5 decompondo em um produto de primos.
2 = 21, 10 = 21 × 51 e 5 = 51
Logo M.M.C entre (2,5,10) = 2 × 5 = 10
Encontrando o denominador comum, basta reduzir as frac¸o˜es dadas:
Finalmente, adicione as frac¸o˜es com os denominadores iguais:
1
2
+
3
10
+
1
5
=
5
10
+
3
10
+
2
10
=
5 + 3 + 2
10
=
10
10
= 1
NOTAÇÃO CIENTÍFICA, OPERAÇÕES COM FRAÇÕES E OPERAÇÃO COM NÚMEROS DECIMAIS
Reprodução proibida. A
rt. 184 do Código Penal e Lei 9.610 de 19 de fevereiro de 1998.
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23
Conclui-se que as ma´quinas colheram toda a lavoura.
MULTIPLICAC¸A˜O DE FRAC¸O˜ES:
Ome´todo pra´tico para a multiplicac¸a˜o e´ o mais simples entre todos os me´todos: Multiplicamos Numerador
por Numerador e Denominador por Denominador.
Exemplo 8:
“Atenc¸a˜o na˜o esquec¸a do jogo de sinais”
DIVISA˜O DE FRAC¸O˜ES:
Na divisa˜o de frac¸o˜es multiplicamos a primeira frac¸a˜o pelo inverso da segunda (em outras palavras,
copiamos a primeira, invertemos a segunda e multiplicamos).
Exemplo 9:
a)
2
3
:
3
5
=
2
3
· 5
3
=
10
9
b)
2
3
:
(
−3
7
)
:
1
8
=
2
3
·
(
−7
3
)
· 8
1
=
2 · (−7) · 8
3 · 3 · 3 · 1 = −
105
24
Na˜o podemos esquecer os nu´meros mistos, que sa˜o expresso˜es que conteˆm nu´meros com uma quantidade
inteira e outra fraciona´ria, observe o exemplo:
5
1
4
( leˆ-se cinco inteiros e um quarto), ou seja, temos cinco unidades inteiras e mais
1
4
.
Logo: 5
1
4
= 5 +
1
4
=
20
4
+
1
4
=
21
4
OPERAC¸A˜O COM NU´MEROS DECIMAIS
O conceito de nu´meros decimais pode ser vinculado ao conceito de frac¸o˜es auxiliando no processo de
compreensa˜o do conteu´do.
ADIC¸A˜O E SUBTRAC¸A˜O DE DECIMAIS:
Nas operac¸o˜es que envolvem nu´meros decimais, precisamos calcular de acordo com sua casa decimal,
exemplos inteiros com inteiros, de´cimos com de´cimos, cente´simos com cente´simos assim sucessivamente.
35
Operação com Números Decimais
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Veja como podemos adicionar dois nu´meros decimais:
Note que os nu´meros foram representados em decimais fraciona´rios, o exerc´ıcio propoˆs uma operac¸a˜o
simples, uma adic¸a˜o de 0,5 + 0,7 resultando em 1,2, ou seja, um inteiro e dois de´cimos.
Armando a operac¸a˜o somente com os nu´meros decimais seria:
UNIDADES DE´CIMOS
0, 7
0, 5
1, 2
Exemplo 10: Calcule 12,8 + 1, 089 + 16 + 0,004 = 29,893
DEZENA UNIDADE DE´CIMOS CENTE´SIMOS MILE´SIMOS
1 2, 8
1, 0 8 9
1 6
0, 0 0 4
2 9, 8 9 3
NOTAÇÃO CIENTÍFICA, OPERAÇÕES COM FRAÇÕES E OPERAÇÃO COM NÚMEROS DECIMAIS
Reprodução proibida. A
rt. 184 do Código Penal e Lei 9.610 de 19 de fevereiro de 1998.
II
25
O segredo desse ca´lculo e´ usar a velha muleta da vovo´. Efetue a operac¸a˜o colocando sempre v´ırgula
embaixo de v´ırgula.
MULTIPLICAC¸A˜O DE NU´MEROS DECIMAIS:
Para multiplicar nu´meros fraciona´rios, e´ necessa´rio atentar-se que todo nu´mero decimal tambe´m e´ um
nu´mero fraciona´rio, exemplo: 3, 75 =
375
100
ou 11, 7 =
114
10
, observe que a quantidade de casas apo´s a
v´ırgula sera´ a quantidade de casas decimais que irei utilizar ”quantidade de zeros”.
Exemplo 11: Calcule 3, 17 · 11, 2
317
100
· 112
10
=
35504
1000
= 35, 504
Exemplo 12: As classes de uma escola esta˜o arrecadando alimentos para as festas juninas. Parte dos
mantimentos sera´ doada a instituic¸o˜es como creche e hospitais. A classe que conseguir mais mantimentos
recebera´ um preˆmio. A turma de Camila obteve 0,3 de 1,25 toneladas de alimentos. Isso e´ 0,3 de 1,25
toneladas ou:
0, 3× 1, 25 = 3
10
× 125
100
=
375
1000
= 0, 375 toneladas
Observe que, ao efetuar essa operac¸a˜o, multiplicamos de´cimos por cente´simos, resultando em mile´simos,
isso implica em treˆs casas decimais, enta˜o, para resolver essa operac¸a˜o, posso utilizar a velha ta´tica da
vovo´, armando a operac¸a˜o e apo´s a resoluc¸a˜o realizar a contagem das casas decimais e, so´ enta˜o, posicionar
a v´ırgula, observe:
0,3
× 1,25
0,375
DIVISA˜O DE NU´MEROS DECIMAIS:
Na divisa˜o os nu´meros decimais tambe´m sa˜o frac¸o˜es, exemplo:(
12, 155 : 4, 25 =
12155
1000
:
425
100
=
12155
1000
· 100
425
= 2, 86
)
.
Exemplo 13: Calcule 6,8 : 1,02
68
10
:
102
100
=
68
10
· 100
102
=
6800
1020
= 6, 666...
Exemplo 14: Quero dividir 12000 hectares de terra em lotes de 4,5 hectares. Quantos lotes obterei?
12000 :
45
10
= 12000 · 10
45
=
120000
45
= 2666, 66...
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Conclui-se que a divisa˜o entre dois nu´meros decimais segue uma sistematizac¸a˜o simples, basta com-
pletar com zeros ate´ que o nu´mero de casas decimais seja igual para ambos. A seguir, ignoraremos a
v´ırgula e realizaremos os ca´lculos como se trata´ssemos de nu´meros inteiros.
Atente-se que, quando assunto e´ multiplicac¸a˜o e divisa˜o, voceˆ devera´ realizar o jogo de sinais.
EXPRESSO˜ES NUME´RICAS
E´ poss´ıvel nos depararmos com situac¸o˜es que envolvam va´rias operac¸o˜es, e para atingir o resultado devemos
realizar va´rios ca´lculos. Essas situac¸o˜es sa˜o chamadas de expresso˜es.
Exemplo 15: Cla´udio e Jair foram a` doceria e compraram um pacote de balas por R$ 4,90 e treˆs caixas
de bombons por R$ 5,50. Dividiram a despesas igualmente. Quanto gastou cada um?
(4, 90 + 5, 50) : 2 =R$ 5, 20
As expresso˜es envolvem va´rias operac¸o˜es, va´rios s´ımbolos e va´rias formas de escrever os nu´meros, por esse
motivo devemos nos atentar a` ordem de prefereˆncia para a resoluc¸a˜o.
Exemplo 16:(
−6
3
+
5
4
)
:
(
1
8
+ 1, 6
)
=
(−24 + 15
12
)
:
(
1
8
+
16
10
)
=
(
− 9
12
)
:
(
5 + 64
40
)
=
(
− 9
12
)
:
(
69
40
)
=
(
− 9
12
)
·
(
40
69
)
=
(
−360
828
)
= −0, 434
26
Conclui-se que a divisa˜o entre dois nu´meros decimais segue uma sistematizac¸a˜o simples, basta com-
pletar com zeros ate´ que o nu´mero de casas decimais seja igual para ambos. A seguir, ignoraremos a
v´ırgula e realizaremos os ca´lculos como se trata´ssemos de nu´meros inteiros.
Atente-se que, quando assunto e´ multiplicac¸a˜o e divisa˜o, voceˆ devera´ realizar o jogo de sinais.
EXPRESSO˜ES NUME´RICAS
E´ poss´ıvel nos depararmos com situac¸o˜es que envolvam va´rias operac¸o˜es, e para
atingir o resultado devemos
realizar va´rios ca´lculos. Essas situac¸o˜es sa˜o chamadas de expresso˜es.
Exemplo 15: Cla´udio e Jair foram a` doceria e compraram um pacote de balas por R$ 4,90 e treˆs caixas
de bombons por R$ 5,50. Dividiram a despesas igualmente. Quanto gastou cada um?
(4, 90 + 5, 50) : 2 =R$ 5, 20
As expresso˜es envolvem va´rias operac¸o˜es, va´rios s´ımbolos e va´rias formas de escrever os nu´meros, por esse
motivo devemos nos atentar a` ordem de prefereˆncia para a resoluc¸a˜o.
Exemplo 16:(
−6
3
+
5
4
)
:
(
1
8
+ 1, 6
)
=
(−24 + 15
12
)
:
(
1
8
+
16
10
)
=
(
− 9
12
)
:
(
5 + 64
40
)
=
(
− 9
12
)
:
(
69
40
)
=
(
− 9
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)
·
(
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=
(
−360
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)
= −0, 434
NOTAÇÃO CIENTÍFICA, OPERAÇÕES COM FRAÇÕES E OPERAÇÃO COM NÚMEROS DECIMAIS
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CONSIDERAC¸O˜ES FINAIS
Nesta unidade apresentamos a notac¸a˜o cient´ıfica, muito utilizada principalmente em disciplinas que envol-
vem Qu´ımica, F´ısica e linguagem computacional, raramente e´ explorada no ensino fundamental. Atrave´s
das atividades propostas, conclui-se que a notac¸a˜o cient´ıfica e´ muito significativa assim como as poteˆncias
e expoentes negativos.
Esta unidade proporcionou retomar conteu´do aplicado por volta do 7o ano do ensino fundamental, pois e´
nesse ponto de sua jornada acadeˆmica que, obrigatoriamente, de acordo com os PCNs, sa˜o introduzidas
as operac¸o˜es que envolvem nu´meros fraciona´rios e decimais, e´ nesse ponto que sa˜o ensinados conceitos
e nomenclatura, representac¸a˜o e igualdade, o resultado e´ que estas operac¸o˜es sa˜o bem simples de serem
resolvidas, basta respeitar as regras, visto que existem diversas maneiras de efetuar as operac¸o˜es tornando
os ca´lculos simples e o processo ra´pido e fa´cil de compreender.
O objetivo central e´ agilizar o ca´lculo com as operac¸o˜es matema´ticas ba´sicas que evolvem nu´meros decimais
e fraciona´rios positivos e relativos, visto que a ideia de frac¸a˜o e´ um dos temas que mais aparecem em
concursos e um dos temas de maior dificuldade em absorc¸a˜o por parte dos alunos. Estes, por acharem
o conteu´do desnecessa´rio e simples, na˜o assimilam e erram detalhes ba´sicos ao realizar as operac¸o˜es
matema´ticas.
Uma maneira de fixar os conteu´dos abordados e´ a resoluc¸a˜o de exerc´ıcios, enta˜o, vamos praticar as
atividades propostas nesta unidade.
Bons estudos!
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Considerações Finais
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ATIVIDADES DE ESTUDOS
1. Um lago, aproximadamente retangular, mede 210,3 m por 325,2 m. Qual e´ a a´rea em metros
quadrados?
2. Calcule a expressa˜o
(
2
3
− 1
6
)
:
(
3
5
)
3. Calcule:
a)
0, 32
0, 2
b)
6
5
1
2 +
1
3
4. Em uma escola 104 alunos sa˜o do sexo feminino. Se o
1
9
dos alunos sa˜o do sexo masculino, quantos
estudantes tem essa escola?
5. Ao realizar uma pesquisa para as eleic¸o˜es com os moradores de uma cidade do interior de Sa˜o Paulo,
constatou-se que
1
3
deve votar em Joa˜o Ruba˜o para prefeito e
3
5
devem votar em Lu´ıs Peixoto. Que
frac¸a˜o da populac¸a˜o na˜o votara´ em um desses dois candidatos?
6. Do dinheiro que possu´ıa, Maria gastou
1
3
com um ingresso de cinema. Do dinheiro que restou,
Maria gastou
1
4
comprando pipoca. Que frac¸a˜o do dinheiro total que Maria possu´ıa foi gasta com
a pipoca? Que frac¸a˜o do dinheiro sobrou depois desses gastos?
7. Em uma pesquisa cient´ıfica cada experieˆncia tem durac¸a˜o de 50 minutos, o intervalo de tempo de
duas experieˆncias seguidas, expresso em segundos, e´ de:
a) 3, 0× 102
b) 3, 0× 103
c) 3, 6× 103
d) 6, 0× 103
e) 7, 2× 103
8. A nossa gala´xia, a Via La´ctea, conte´m cerca de 400 bilho˜es de estrelas. Suponha que 0,05% dessas
estrelas possuam um sistema planeta´rio onde exista um planeta semelhante a` Terra. O nu´mero de
planetas semelhantes a` Terra, na Vı´a La´ctea, e´:
a) 2, 0× 104
b) 2, 0× 106
29
c) 2, 0× 108
d) 2, 0× 1011
e) 2, 0× 1012
9. Qual e´ a representac¸a˜o da frac¸a˜o
9
2
em nu´meros decimais?
10. Observe as frac¸o˜es e suas respectivas representac¸o˜es decimais:
I.
3
1000
= 0, 003
II.
2367
100
= 23, 67
III.
129
10000
= 0, 0129
IV.
267
10
= 2, 67
Utilizando as igualdades acima, escolha a alternativa correta.
a) I e II.
b) I e IV.
c) I, II e III.
d) I, II, III e IV.
41 
U
N
ID
A
D
E III
Professora Esp. Antoneli da Silva Ramos
Professor Esp. Fernando Marcussi
FUNÇÃO DO 1º E 2º GRAUS
Objetivos de Aprendizagem
 ■ Reconhecer e definir função.
 ■ Utilizar a linguagem das funções.
 ■ Construir gráficos de funções do 1º e 2º graus.
 ■ Construir, ler e interpretar gráficos de funções do 1º e 2º graus.
 ■ Identificar zeros e vértice de uma função do 2º grau.
Plano de Estudo
A seguir, apresentam-se os tópicos que você estudará nesta unidade:
 ■ Noção Intuitiva de Função
 ■ Função do 1º grau
 ■ Função do 2º grau ou função quadrática
31
INTRODUC¸A˜O
Nesta unidade de estudo, preparamos para voceˆ o estudo das func¸o˜es do 1o e 2o graus, conhecidas tambe´m
como func¸a˜o afim e func¸a˜o quadra´tica, respectivamente. A abordagem, por vezes, torna-se densa, pois
requer textos matema´ticos, contudo, exemplos sa˜o apresentados ao final de cada assunto com o objetivo
de se confirmar uma regra ou demonstrar uma verdade.
O conteu´do abordado se faz relevante, pois aprendeˆ-las permite que voceˆ compreenda como as func¸o˜es
descrevem o comportamento de situac¸o˜es do mundo ao nosso redor, por esse motivo reconhecer, definir e
caracterizar as func¸o˜es torna-se pertinente.
Nessa perspectiva, esperamos de voceˆ a dedicac¸a˜o de estudante de sempre, ale´m de ler minuciosamente
este material, assista a`s aulas dispon´ıveis no ambiente virtual de aprendizagem (AVA). Atente-se que o
processo de leitura de um texto matema´tico necessita de reflexa˜o para compreender o assunto abordado,
pois ler sem refletir e´ o mesmo que nada ler.
45
Introdução
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32
NOC¸A˜O INTUITIVA DE FUNC¸A˜O
Reconhecido como um dos mais importantes conceitos da Matema´tica, o conceito de func¸a˜o esta´ presente
nas relac¸o˜es entre duas grandezas varia´veis.
Exemplo 1: Considere a tabela que relaciona o nu´mero de litros de gasolina comprados e o prec¸o a pagar
por eles:
Nu´mero de Litros Prec¸o a pagar (R$)
1 2,30
2 4,60
3 6,90
...
...
40 92,00
x 2, 30x
Observe que o prec¸o a pagar e´ dado em func¸a˜o do nu´mero de litros comprados, ou seja, o prec¸o a pagar
depende do nu´mero de litros comprados.
Prec¸o a pagar = R$ 2,30 vezes o nu´mero de litros comprados
Ou
P = 2, 30x −→ Lei da func¸a˜o ou fo´rmula matema´tica da func¸a˜o ou regra da func¸a˜o
Exemplo 2: Numa rodovia, um carro mante´m uma velocidade constante de 90km/h. Veja a tabela que
relaciona o tempo t (em horas) e a distaˆncia d (em quiloˆmetros):
Tempo (h) 0,5 1 1,5 2 3 4 T
Distaˆncia (km) 45 90 135 180 270 360 90t
Observe que a distaˆncia percorrida e´ dada em func¸a˜o do tempo, isto e´, a distaˆncia percorrida depende do
intervalo de tempo. Cada intervalo de tempo considerado corresponde a um u´nico valor para a distaˆncia
percorrida. Dizemos, enta˜o, que a distaˆncia percorrida
e´ func¸a˜o do tempo e escrevemos:
Distaˆncia = 90 · tempo
Varia´vel dependente ←− d = 90t −→ Varia´vel independente
FUNÇÃO DO 1º E 2º GRAUS
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rt. 184 do Código Penal e Lei 9.610 de 19 de fevereiro de 1998.
III
33
Grande parte das func¸o˜es que estudamos e´ determinada por fo´rmulas matema´ticas (regras ou leis). Como
visto anteriormente, a correspondeˆncia entre o nu´mero de litros de gasolina e o prec¸o a pagar expressa
por:
Prec¸o a pagar = 2,30 vezes o nu´mero de litros comprados
Em que o prec¸o de 1 litro e´ R$2,30. Essa func¸a˜o pode ser expressa pela fo´rmula matema´tica:
y = 2, 30x ou f(x) = 2, 30x
Veja outras func¸o˜es expressas por fo´rmulas matema´ticas:
• f : R→ R que a cada nu´mero real x associa o seu dobro → f(x) = 2x ou y = 2x
• f : R→ R que a cada nu´mero real x associa o seu cubo → f(x) = x3 ou y = x3
• f : R → R que a cada nu´mero real x associa o seu triplo somado com 1 → f(x) = 3x + 1 ou
y = 3x+ 1
• f : R→ R que a cada nu´mero real diferente de zero associa o seu inverso → f(x) = 1
x
ou y =
1
x
ou
y = x−1
Exemplo 3: Numa indu´stria, o custo operacional de uma mercadoria e´ composto de um custo fixo de
R$ 300,00 mais um custo varia´vel de R$ 0,50 por unidade fabricada. Portanto o custo operacional, que
representaremos por y, e´ dado em func¸a˜o do nu´mero de unidades fabricadas, que representaremos por x.
Vamos expressar, por meio de uma fo´rmula matema´tica, a lei dessa func¸a˜o.
Custo operacional = custo fixo + custo varia´vel =⇒ y = 300, 00 + 0, 50x
Enta˜o a fo´rmula matema´tica e´ f(x) = 300, 00 + 0, 50x ou y = 300, 00 + 0, 50x.
DOMI´NIO DE UMA FUNC¸A˜O REAL
Dada uma func¸a˜o f de A em B (f : A← B), o conjunto A chama-se domı´nio da func¸a˜o e o conjunto B,
contradomı´nio da func¸a˜o. Para cada x ∈ A, o elemento y ∈ B chama-se imagem de x pela func¸a˜o f ou
valor assumido pela func¸a˜o f para x ∈ A e o representamos por f(x) (leˆ-se: f de x). Assim y = f(x).
O conjunto de todos os y assim obtidos e´ chamado conjunto imagem da func¸a˜o f e e´ indicado por Im(f).
Assim uma func¸a˜o e´ composta por treˆs componentes: domı´nio, contradomı´nio e lei de correspondeˆn-
cia (Imagem). Quando e´ citada uma func¸a˜o f de A em B, ja´ ficam subentendidos o domı´nio (A) e o
contradomı´nio (B).
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Noção Intuitiva de Função
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Mas em alguns casos, e´ dada apenas a lei da func¸a˜o f, sem que A e B sejam citados. Nesses casos
consideramos o contradomı´nio B = R e o domı´nio A como ”maior”subconjunto de R (A ⊂ R) tal que a
lei dada defina uma func¸a˜o f : A→ R.
Veja nos exemplos a seguir a explicac¸a˜o do domı´nio em algumas func¸o˜es.
Exemplo 4: f(x) =
1
x
1
x
so´ e´ poss´ıvel em R se x �= 0 (na˜o existe divisa˜o por 0). Para cada x �= 0, o valor 1
x
sempre existe e e´
u´nico (o inverso de x). Logo, D(f) = R− 0 = R∗.
Exemplo 5: f(x) =
√
(3− x)√
(3− x) so´ e´ poss´ıvel em R se 3− x ≥ 0 (em R na˜o ha´ raiz quadrada de nu´mero negativo).
3− x ≥ 0⇒ −x ≥ −3⇒ x ≤ 3
Para cada x ≤ 3, f(x) existe e e´ u´nico, pois e´ a raiz quadrada de um nu´mero real maior ou igual a zero.
Portanto, D(f) = {x ∈ R | x ≤ 3}.
Exemplo 6: f(x) =
√
7− x√
x− 2
Neste caso, devemos ter:
7− x ≥ 0⇒ x ≤ 7
x− 2 > 0⇒ x > 2
Ou seja, x ∈ (2, 7]. Para cada x ∈ (2, 7], f(x) existe e e´ u´nico, pois e´ a divisa˜o de um nu´mero real positivo
ou nulo por outro positivo.
Logo D(f) = (2, 7]
FUNC¸A˜O DO 1o GRAU
Um representante comercial recebe, mensalmente, um sala´rio composto de duas partes: uma parte fixa,
no valor de R$ 1.500,00 e uma parte varia´vel, que corresponde a uma comissa˜o de 6% (0,06) sobre o total
das vendas que ele faz durante o meˆs. Nessas condic¸o˜es, podemos dizer que:
Sala´rio Mensal = 1500,00 + 0,06 · (Total das vendas do meˆs)
Observamos, enta˜o, que o sala´rio mensal desse vendedor e´ dado em func¸a˜o do total de vendas que ele faz
durante o meˆs, ou seja:
s(x) = 1500, 00 + 0, 06x ou s(x) = 0, 06x+ 1500, 00 ou y = 0, 06x+ 1500, 00
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em que x e´ o total das vendas do meˆs. Esse e´ um exemplo de func¸a˜o do 1o grau ou func¸a˜o afim.
Definic¸a˜o:
Uma func¸a˜o f : R→ R chama-se func¸a˜o afim ou func¸a˜o do 1o grau quando existem dois nu´meros reais
a e b tal que f(x) = ax+ b, para todo x ∈ R. Por exemplo:
• f(x) = 2x+ 1 (a = 2, b = 1)
• f(x) = −x+ 4 (a = -1, b = 4)
• f(x) = 1
3
x+ 5 (a = 13 ,b = 5)
• f(x) = 4x (a= 4, b = 0)
CASOS PARTICULARES DE UMA FUNC¸A˜O DO 1◦ GRAU
1) Func¸a˜o identidade:
f : R→ R definida por f(x) = x para todo x ∈ R. Neste caso, a = 1 e b = 0.
2) Func¸a˜o linear:
f : R→ R definida por f(x) = ax para todo x ∈ R. Neste caso, b = 0. Alguns exemplos:
• f(x) = −2x (a = -2)
• f(x) = 1
5
x (a = 15)
• f(x) = √3x (a = √3)
3) Func¸a˜o constante
f : R→ R definida por f(x) = b para todo x ∈ R. Neste caso, a = 0. Alguns exemplos:
• f(x) = 3
• f(x) = 3
4
x
• f(x) = √−2x
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em que x e´ o total das vendas do meˆs. Esse e´ um exemplo de func¸a˜o do 1o grau ou func¸a˜o afim.
Definic¸a˜o:
Uma func¸a˜o f : R→ R chama-se func¸a˜o afim ou func¸a˜o do 1o grau quando existem dois nu´meros reais
a e b tal que f(x) = ax+ b, para todo x ∈ R. Por exemplo:
• f(x) = 2x+ 1 (a = 2, b = 1)
• f(x) = −x+ 4 (a = -1, b = 4)
• f(x) = 1
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x+ 5 (a = 13 ,b = 5)
• f(x) = 4x (a= 4, b = 0)
CASOS PARTICULARES DE UMA FUNC¸A˜O DO 1◦ GRAU
1) Func¸a˜o identidade:
f : R→ R definida por f(x) = x para todo x ∈ R. Neste caso, a = 1 e b = 0.
2) Func¸a˜o linear:
f : R→ R definida por f(x) = ax para todo x ∈ R. Neste caso, b = 0. Alguns exemplos:
• f(x) = −2x (a = -2)
• f(x) = 1
5
x (a = 15)
• f(x) = √3x (a = √3)
3) Func¸a˜o constante
f : R→ R definida por f(x) = b para todo x ∈ R. Neste caso, a = 0. Alguns exemplos:
• f(x) = 3
• f(x) = 3
4
x
• f(x) = √−2x
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em que x e´ o total das vendas do meˆs. Esse e´ um exemplo de func¸a˜o do 1o grau ou func¸a˜o afim.
Definic¸a˜o:
Uma func¸a˜o f : R→ R chama-se func¸a˜o afim ou func¸a˜o do 1o grau quando existem dois nu´meros reais
a e b tal que f(x) = ax+ b, para todo x ∈ R. Por exemplo:
• f(x) = 2x+ 1 (a = 2, b = 1)
• f(x) = −x+ 4 (a = -1, b = 4)
• f(x) = 1
3
x+ 5 (a = 13 ,b = 5)
• f(x) = 4x (a= 4, b = 0)
CASOS PARTICULARES DE UMA FUNC¸A˜O DO 1◦ GRAU
1) Func¸a˜o identidade:
f : R→ R definida por f(x) = x para todo x ∈ R. Neste caso, a = 1 e b = 0.
2) Func¸a˜o linear:
f : R→ R definida por f(x) = ax para todo x ∈ R. Neste caso, b = 0. Alguns exemplos:
• f(x) = −2x (a = -2)
• f(x) = 1
5
x (a = 15)
• f(x) = √3x (a = √3)
3) Func¸a˜o constante
f : R→ R definida por f(x) = b para todo x ∈ R. Neste caso, a = 0. Alguns exemplos:
• f(x) = 3
• f(x) = 3
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• f(x) = √−2x
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4) Translac¸a˜o (da func¸a˜o identidade)
f : R→ R definida por f(x) = x+ b para todo x ∈ R e b �= 0. Neste caso, a = 1.
Alguns exemplos:
• f(x) = x+ 2
• f(x) = x+ 1
2
• f(x) = x− 3
VALOR DE UMA FUNC¸A˜O DO 1◦ GRAU
O valor de uma func¸a˜o do 1o grau ou func¸a˜o afim f(x) = ax+ b para x = x0 e´ dado por f(x0) = ax0 + b.
Por exemplo, na func¸a˜o afim f(x) = 5x+ 1, podemos determinar:
Exemplo 7:
• f(1) = 5 · 1 + 1 = 5 + 1 = 6. Logo, f(1) = 6.
• f(−3) = 5(−3) + 1 = −15 + 1 = −14. Logo, f(−3) = −14
• f(15) = 5(15) +
1 = 1 + 1 = 2. Logo, f(15) = 2.
• f(x+ h) = 5(x+ h) + 1 = 5x+ 5h+ 1
DETERMINAC¸A˜O DE UMA FUNC¸A˜O DE 1o GRAU VIA DOIS PONTOS DISTINTOS
Uma func¸a˜o de 1o grau ou afim f(x) = ax + b fica inteiramente determinada quando conhecemos dois
dos seus valores f(x1) e f(x2) para quaisquer x1 e x2 reais, com x1 �= x2. Ou seja, com esses dados
determinamos os valores de a e de b.
Por exemplo:
• Se f(2) = -2, enta˜o para x = 2 tem-se f(x) = -2, ou seja, -2 = 2a + b;
• Se f(1) = 1, enta˜o para x = 1 tem-se f(x) = 1, ou seja, 1 = a + b.
Determinamos os valores de a e b resolvendo o sistema de equac¸o˜es: 2a+ b = −2a+ b = 1 ⇒
 2a+ b = −2−2a− 2b = −2 ⇒ −b = −4⇒ b = 4
Como a+ b = 1, enta˜o: a+ 4 = 1⇒ a = −3
Logo, a func¸a˜o de 1o grau f(x) = ax+ b tal que f(2) = −2 e f(1) = 1 e´ dada por f(x) = −3x+ 4.
FUNÇÃO DO 1º E 2º GRAUS
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Generalizando esse processo, de modo geral, conhecendo y1 = f(x1) e y2 = f(x2) para x1 e x2 reais
quaisquer, com x1 �= x2, podemos explicitar os valores a e b da func¸a˜o f(x) = ax + b, determinando-a
completamente.
Assim: y1 = f(x1) = ax1 + by2 = f(x2) = ax2 + b
y2 − y1 = (ax2 + b)− (ax1 + b) = ax2 − ax1 = a(x2 − x1)⇒ a = y2 − y1
x2 − x1 , x1 �= x2
Substituindo esse valor de a em y1 = f(x1) = ax1 + b, obtemos o valor de b:
y1 =
(
y2 − y1
x2 − x1
)
· x1 + b⇒ y1(x2 − x1) = y2x1 − y1x1 + b(x2 − x1)
⇒ y1x2 − y1x1 − y2x1 + y1x1 = b(x2 − x1)⇒ b = y1x2 − y2x1
x2 − x1
GRA´FICO DA FUNC¸A˜O DO 1◦ GRAU OU AFIM (f(x) = ax+ b)
Vamos provar que o gra´fico de uma func¸a˜o afim f(x) = ax+ b e´ uma reta. Para isso basta que treˆs pontos
quaisquer do gra´fico sejam colineares, ou seja, estejam numa mesma reta:
Para que isso ocorra, e´ necessa´rio e suficiente que um dos treˆs nu´meros d(P1, P3), d(P2, P3) e d(P1, P3)
seja igual a` soma dos outros dois. Supomos x1 < x2 < x3 e mostramos enta˜o que:
d(P1, P3) = d(P1, P2) + d(P2, P3)
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Usando a fo´rmula da distaˆncia entre dois pontos, obtemos:
d(P1, P2) =
√
(x2 − x1)2 + [(ax2 + b)− (ax1 + b)]2) =
√
(x2 − x1)2 + (ax2 − ax1)2
=
√
(1(x2 − x1)2 + a2(x2 − x1)2 =
√
(1 + a2) + (x2 − x1)2) = (x2 − x1)
√
1 + a2
De modo ana´logo, observemos que:
d(P2, P3) = (x3 − x2)
√
1 + a2 e d(P1, P3) = (x3 − x1)
√
1 + a2
Portanto: d(P1, P2) + d(P2, P3) = (x2 − x1 + x3 − x2)
√
1 + a2 = (x3 − x1)
√
1 + a2 = d(P1, P3)
Ou seja, d(P1, P3) = d(P1, P2) + d(P2, P3).
Logo, treˆs pontos quaisquer do gra´fico da func¸a˜o do 1o grau (ou afim) sa˜o colineares, o que significa que
o gra´fico e´ uma reta.
Geometricamente, b e´ a ordenada do ponto onde a reta, que e´ gra´fico da func¸a˜o f(x) = ax+ b, intersecta
o eixo Oy, pois para x = 0 temos f(0) = a · 0 + b = b.
O nu´mero a chama-se inclinac¸a˜o ou coeficiente angular dessa reta em relac¸a˜o ao eixo horizontal Ox.
FUNC¸A˜O DE 1o GRAU OU AFIM CRESCENTE E DECRESCENTE
Como ja´ abordado anteriormente, a func¸a˜o de 1o grau f(x) = ax+ b tem como representac¸a˜o gra´fica uma
reta, na˜o vertical, ou seja, na˜o paralela ao eixo y.
A ordenada do ponto onde a reta intercepta o eixo y e´ sempre b.
O nu´mero a chama-se taxa de variac¸a˜o ou taxa de crescimento da func¸a˜o. Quanto maior o valor absoluto
de a, mais a reta se afasta da posic¸a˜o horizontal.
Para a �= 0 existem duas possibilidades:
0
y
(0, b)
x
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III
39
a > 0, f e´ crescente a < 0, f e´ decrescente
Logo, f e´ crescente se a taxa de crescimento e´ positiva e decrescente se a taxa de crescimento e´
negativa.
Assim o que determina se a func¸a˜o afim ou de 1o grau f(x) = ax+b, com a �= 0, e´ crescente ou decrescente
e´ o sinal de a. Se a e´ positivo, ela e´ crescente; se a e´ negativo, ela e´ decrescente.
No caso de a = 0, o valor de f(x) permanece constante [f(x) = b] e o gra´fico de f e´ uma reta paralela ao
eixo x que passa por (0,b).
Exemplo 8: Consideremos a func¸a˜o f : R → R definida por f(x) = 5x − 3; sem construir o gra´fico,
vamos descobrir:
a) Qual e´ a figura do gra´fico de f.
O gra´fico de f e´ uma reta, pois f e´ func¸a˜o afim.
b) Em que ponto o gra´fico de f intercepta o eixo x.
Todo ponto do eixo x tem ordenada 0:
5x− 3 = 0⇒ 5x = 3⇒ x = 3
5
O gra´fico de f intercepta o eixo x em
(
3
5 , 0
)
.
c) Em que ponto o gra´fico de f intercepta o eixo y.
f(0) = 5 · 0− 3⇒ f(0) = −3 O gra´fico de f intercepta o eixo y em (0,-3).
d) Se f e´ a func¸a˜o crescente ou decrescente.
f e´ crescente, pois a = 5, isto e´, a > 0.
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FUNC¸A˜O DO 2o GRAU OU FUNC¸A˜O QUADRA´TICA
Os diretores de um centro esportivo desejam cercar uma quadra de basquete retangular e o espac¸o em
volta dela com tela de alambrado. Tendo recebido 200 metros de tela, os diretores desejam saber quais
devem ser as dimenso˜es do terreno a cercar com a tela para que a a´rea seja maior poss´ıvel, pois assim
haveria espac¸o para a torcida fora da quadra.
Podemos ilustrar o problema como o retaˆngulo ABCD, com dimenso˜es x por 100− x.
Observe que a a´rea do terreno a cercar e´ dada em func¸a˜o da medida x , ou seja:
f(x) = (100− x)x = 100x− x2 = −x2 + 100x (Lei da func¸a˜o)
Esse e´ um caso particular de func¸a˜o quadra´tica. A situac¸a˜o-problema que desencadeou essa func¸a˜o
quadra´tica sera´ resolvida adiante.
Definic¸a˜o:
Uma func¸a˜o f : R → R chama-se quadra´tica quando existem nu´meros reais a, b e c, com a �= 0, tal
que f(x) = ax2 + bx+ c para todo x ∈ R.
f : R→ R
x→ ax2 + bx+ c
Alguns exemplos:
• f(x) = −x2 + 100x, em que a = −1, b = 100 e c = 0.
• f(x) = 3x2 − 2x+ 1, em que a = 3, b = −2 e c = 1.
FUNÇÃO DO 1º E 2º GRAUS
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III
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ZEROS DA FUNC¸A˜O DO 2o GRAU OU QUADRA´TICA
O estudo da func¸a˜o quadra´tica tem sua origem na resoluc¸a˜o da equac¸a˜o do 2o grau, que recai em determinar
dois nu´meros conhecendo sua soma s e seu produto p.
Chamando de x um dos nu´meros, o outro sera´ s− x. Assim, p = x(s− x) ou p = sx− x2, ou ainda,
x2 − sx+ p = 0
Para encontrar x (e, portanto, s − x), basta resolver a equac¸a˜o do 2o grau x2 − sx + p = 0 , ou seja,
basta determinar os valores x para os quais a func¸a˜o quadra´tica f(x) = x2 − sx + p se anula. Esses sa˜o
chamados zeros da func¸a˜o quadra´tica ou ra´ızes da equac¸a˜o de 2o grau correspondente a f(x) = 0. Por
exemplo, os dois nu´meros cuja a soma e´ 7 e cujo produto e´ 12 sa˜o 3 e 4, que sa˜o ra´ızes da equac¸a˜o ou
zeros da equac¸a˜o quadra´tica ou do 2o grau:
f(x) = x2 − 7x+ 124
Voceˆ deve estar pensando, “e a fo´rmula de Bhaskara?” A fo´rmula de Bhaskara e´ usada para resolver
EQUAC¸O˜ES quadra´ticas de fo´rmula geral ax2+bx+c = 0, com coeficientes reais, com a �= 0, conteu´do
da pro´xima unidade.
A Fo´rmula de Bhaskara e´ uma homenagem ao matema´tico Bhaskara Akaria, considerado o mais
importante matema´tico indiano do se´culo XII.
41
ZEROS DA FUNC¸A˜O DO 2o GRAU OU QUADRA´TICA
O estudo da func¸a˜o quadra´tica tem sua origem na resoluc¸a˜o da equac¸a˜o do 2o grau, que recai em determinar
dois nu´meros conhecendo sua soma s e seu produto p.
Chamando de x um dos nu´meros, o outro sera´ s− x. Assim, p = x(s− x)