AV2 CALC III

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1.
		Indique qual é a solução geral correta para a solução da equação diferencial: xdx+ydy=0
		
	
	
	
	
	-x² + y²=C
	
	 
	x²+y²=C
	
	
	x-y=C
	
	 
	x + y=C
	
	
	x²- y²=C
	
	
	
		2.
		Considere a equação  :
 Ld2Qdt2+RdQdt+Q=2-t3
Podemos afirmar que sua ordem e o seu grau são, respectivamente:
		
	
	
	
	
	2 e 2
	
	 
	1 e 0
	
	
	3 e 2
	
	
	2 e 3
	
	 
	2 e 1
	
	
	
		3.
		Indique qual é a solução da equação diferencial:
xdx+ydy=xy(xdy-ydx)
		
	
	
	
	
	C(1 - x²) = 1
	
	 
	seny²=C(1-x²)
	
	 
	1+y²=C(1-x²)
 
	
	
	1+y=C(1-x²)
	
	
	1+y²=C(lnx-x²)
	
	
	
		4.
		Seja y = C1e-2t + C2e-3t  a solução geral da EDO  y" + 5y´ + 6y = 0.  Marque a alternativa que indica a solução do problema de valor inicial (PVI) considerando y(0) = 2 e y(0)=3.
		
	
	
	
	
	y = 8e-2t + 7e-3t
	
	 
	y = 9e-2t - e-3t
	
	
	y = 3e-2t - 4e-3t
	
	 
	y = 9e-2t - 7e-3t
	
	
	y = e-2t - e-3t
	
	
	
		5.
		Considere a equação d3ydx3+y2=x. Podemos afirmar que sua ordem e o seu grau são respectivamente:
		
	
	
	
	 
	3 e 1
	
	
	1 e 2
	
	
	2 e 3
	
	 
	3 e 0
	
	
	3 e 2
	
	
	
		6.
		Considere a equação x2y+xy'=x3. Podemos afirmar que sua ordem e seu grau são respectivamente:
		
	
	
	
	 
	1 e 1
	
	
	2 e 1
	
	 
	2 e 3
	
	
	1 e 2
	
	
	3 e 2
	
	
	
		7.
		Marque a alternativa que indica a solução geral da equação  diferencial de variáveis separáveis dx + e3x dy.
		
	
	
	
	
	y = e-2x + k
	
	
	y = (e-2x/3) + k
	
	
	y = (e3x/2) + k
	
	
	y = e-3x + K
	
	 
	y = (e-3x/3) + k
	
	
	
		8.
		Qual a única resposta correta como solução da ED :  dydx=yx+1 ?
		
	
	
	
	 
	lny=ln|x 1|
	
	
	lny=ln|1-x |
	
	 
	lny=ln|x+1|
	
	
	lny=ln|x -1|
	
	
	lny=ln|x|
	
		1.
		Resolva a equação diferencial dada abaixo por separação de variáveis. 
xy´=4y
	
	
	
	
	 
	y=cx
	
	
	y=cx3
	
	 
	y=cx4
	
	
	y=cx-3
	
	
	y=cx2
	
	
	
		2.
		"As equações diferenciais começaram com o estudo de cálculo por Isaac Newton (1642-1727) e Gottfried Wilheim Leibnitz (1646-1716), no século XVII."Boyce e Di Prima.
Com relação às equações diferenciais é SOMENTE correto afirmar que
(I) Chama-se equação diferencial toda equação em que figura pelo menos uma derivada ou diferencial da função incógnita.
(II) Chama-se ordem de uma equação diferencial a ordem da derivada de mais alta ordem da função incógnita que figura na equação. 
(III) Chama-se grau de uma equação diferencial o maior expoente da derivada de mais alta ordem da função incógnita que figura na equação.
	
	
	
	
	 
	(I), (II) e (III)
	
	
	(I) e (II)
	
	 
	(I)
	
	
	(II)
	
	
	(III)
	
	
	
		3.
		Uma função f(x,y) é dita homogênea com grau de homogeneidade k quando f(tx,ty)=tkf(x,y)
Verifique se a função f(x,y)=x2+y2 é homogênea e,  se for, qual é o grau e indique a única resposta correta.
	
	
	
	
	 
	Homogênea de grau 4.
	
	 
	Homogênea de grau 2.
	
	
	Não é homogênea.
	
	
	Homogênea de grau 1.
	
	
	Homogênea de grau 3.
	
	
	
		4.
		Resolva a equação diferencial    exdydx=2x  por separação de variáveis.
	
	
	
	
	 
	y=-2e-x(x+1)+C
	
	
	y=12ex(x+1)+C
	
	
	y=e-x(x-1)+C
	
	 
	y=e-x(x+1)+C
	
	
	y=-12e-x(x-1)+C
	
	
	
		5.
		Resolva a equação diferencial abaixo por separação de variáveis.
dx+e3xdy=0
	
	
	
	
	 
	y=13e3x+C
	
	 
	y=13e-3x+C
	
	
	y=e3x+C
	
	
	y=12e3x+C
	
	
	y=ex+C
	
	
		1.
		Verifique se a equação diferencial (2x-y+1)dx-(x+3y-2)dx=0 é exata.
		
	
	
	
	
	(δMδy)=(δNδx)=0
	
	
	(δMδy)=(δNδx)= 1
	
	
	(δMδx)=(δNδy)=-1
	
	
	(δMδy)=(δNδx)=-2
	
	 
	(δMδy)=(δNδx)=-1
	
	
	
		2.
		Um dos métodos de solução de uma EDLH é chamado de Método de Redução de Ordem, no qual é dada uma solução, por exemplo y1 e calcula-se a outra solução y2, pela fórmula abaixo:
 y2=y1∫e-∫(Pdx)y12dx
Assim, dada a solução y1 =cos(4x), indique a única solução correta de y2 para a equação y''-4y=0 de acordo com as respostas abaixo:
		
	
	
	
	
	sen-1(4x)
	
	 
	tg(4x)
	
	
	cos-1(4x)
	
	
	sec(4x)
	
	 
	sen(4x)
	
	
	
		3.
		Verifique se a equação (2x-1) dx + (3y+7) dy = 0 é exata.
		
	
	
	
	 
	É exata, pois (δMδy)=(δNδx)=0
	
	
	É exata, pois (δMδx)=(δNδy)=7
	
	 
	É exata, pois (δMδx)=(δNδy)=4
	
	
	É exata, pois (δMδy)=(δNδx)=5x
	
	
	É exata, pois (δMδx)=(δNδy)=0
	
	
	
		4.
		A equação diferencial y2dx+(xy+1)dy=0 não é exata. Marque a alternativa que indica o fator integrante que torna a equação exata.
		
	
	
	
	 
	λ=-1y2
	
	
	λ=y
	
	 
	λ=-1y
	
	
	λ=-2x
	
	
	λ=-1x
	
	
	
		5.
		Resolva a equação diferencial 2xydx+(x2-1)dy=0
		
	
	
	
	
	x2- 1=C
	
	
	x2y-2y=C
	
	
	x2y +y=C
	
	
	x3y +y=C
	
	 
	x2y-y=C
	
	
	
		6.
		A equação diferencial (x2-y2)dx+2xydy=0 não é exata. Marque a alternativa que indica o fator integrante que torna a equação exata.
		
	
	
	
	
	λ=4y2
	
	
	λ=1y2
	
	 
	λ=-1x2
	
	
	λ=2x2
	
	 
	λ=1x2
	
	
	
		7.
		Resolva a equação diferencial exata (2x-y+1)dx-(x+3y-2)dx=0.
		
	
	
	
	 
	2xy-3y2+4y+2x2 =C
	
	
	-2y-3y2+4y+2x2+2x=C
	
	
	2y-3y2+4y+2x2 =C
	
	 
	-2xy-3y2+4y+2x2+2x=C
	
	
	-2xy-3y2 -4xy+2x2+2x=C
	
		1.
		Identifique o valor de t entre os pontos do intervalo [-π,π], onde as funções { t,sent, cost} são linearmente dependentes.
 
	
	
	
	
	 
	π3
	
	
	π 
	
	
	π4
	
	 
	0
	
	
	-π
	
	
	
		2.
		Marque a alternativa que indica a solução geral da equação y'' +2y'+8y=0.
	
	
	
	
	
	y=e-t[C1sen(7t)+C2cos(7t)]
	
	
	y=et[C1sen(7t)+C2cos(7t)]
	
	 
	y=e-t[C1sen(7t)]
	
	 
	y=e-t[C1sen(7t)+C2cos(7t)]
	
	
	y=e-t[C1cos(7t)]
	
	
	
		3.
		Marque a alternativa que indica a solução da equação y" + 2y' + y = 0.
	
	
	
	
	
	y = C1et + C2e-5t
	
	 
	y = C1e-t + C2e-t
	
	
	y = C1e-t + C2
	
	
	y = C1e-t + C2et
	
	
	y = C1e-3t + C2e-2t
	
	
	
		4.
		Marque a alternativa que indica a solução da equação y" + 4y = 0.
	
	
	
	
	 
	y = C1cos3t + C2sen3t
	
	
	y = C1cos4t + C2sen4t
	
	
	y = C1cost + C2sent
	
	
	y = C1cos6t + C2sen2t
	
	 
	y = C1cos2t + C2sen2t
	
	
	
		1.
		Identifique no intervalo[ - π,π] onde as funções {t,t2, t3} são  lineramente dependentes.
	
	
	
	
	
	t= π3
	
	
	t= π
	
	 
	t=0
	
	
	t=-π2
	
	
	t=-π
	
	
	
		2.
		O Wronskiano de 3ª ordem  é o resultado do determinante de uma matriz 3x3, cuja primeira linha é formada por funções, a segunda linha pelas primeiras derivadas dessas funções e a terceira linha pelas segundas derivadas daquelas funções.
O Wronskiano é utilizado para calcular se um conjunto de funções deriváveis são linearmente dependentes ou independentes.Caso o Wronskiano vseja igual a zero em algum ponto do intervalo, as funções são ditas linearmente dependentes nesse ponto.
Identifique, entre os pontos do intervalo[-π,π] apresentados, onde as funções t,sent,cost são linearmente dependentes.
	
	
	
	
	
	t=π4
	
	
	t=π3
	
	
	t=π2
	
	 
	t=0
	
	
	t=π
	
	
	
		3.
		Indique qual a resposta correta para  a solução geral de uma EDL não homogênea  a saber:
dydx+y =senx
	
	
	
	
	 
	C1e-x  -  C2e4x -  2ex
	
	
	 
 C1e^(-x)- C2e4x  + 2senx
 
	
	
	2e-x - 4cos(4x)+2ex
	
	
	C1ex  -  C2e4x + 2ex
	
	 
	C1e-x  +  12(senx-cosx)
	
	
	
		4.
		Indique qual a resposta correta para  a solução geral de uma EDL não homogênea  a saber:
dydx+y =senx
	
	
	
	
	 
	C1e-x  +  12(senx-cosx)
	
	
	2e-x - 4cos(4x)+2ex
	
	 
	C1e-x  -  C2e4x -  2ex
	
	
	 
 C1e^-x- C2e4x  + 2senx
 
	
	
	C1ex  -  C2e4x + 2ex
	
	
	
		1.
		Seja F(s)=1s3-24s5 transformada de f(t).
Podemos afirma que f(t) é:
	
	
	
	
	 
	f(t)=(12)t2-t4
	
	 
	f(t)=13t3-t44
	
	
	f(t)=(3t)+5t5
	
	
	f(t)=1t3-4!t5
	
	
	f(t)=(13!)+14!
	
	
	
		2.
		Aplicando a transformada de Laplace na função y = 4sen4t, obtemos:
	
	
	
	
	 
	4ss²+16
	
	 
	16s²+16
	
	
	4s²+16
	
	
	4s²+4
	
	
	ss²+16
	
	
	
		3.
		
	
	
	
	
	 
	f(t) = 5e3t + 7e-2t
	
	
	f(t) = -3e2t + 2e-t
	
	
	f(t) = 5e2t + e-t
	
	
	f(t) = et + 7e-t
	
	 
	f(t) = 2e-t - e-2t
	
	
	
		4.
		Assinale a única resposta correta para f(t) se F(s)=2s-3+3s-2. 
	
	
	
	
	
	3e2t
	
	
	-2e3t+3e2t
	
	
	2e3t -3e2t
	
	
	et-2
	
	 
	2e3t+3e2t
	
	
	
		5.
		Aplicando o Teorema do Deslocamento(ou Translação), calcule a Transformada de Laplace de te4t e  indique qual a resposta correta.
	
	
	
	
	 
	1(s-4)2
	
	
	1(s +4)2
	
	
	- 1(s +4)2
	
	
	1(s2-4)2
	
	
	- 1(s-4)2
	
	
	
		6.
		Seja f(t)=t2e-2t
Podemos afirmar que F(s) Transformada de Laplace de f(t) é:
	
	
	
	
	 
	F(s)=2(s+2)3
	
	
	F(s)=2(s+2)2
	
	 
	F(s)=3(s-2)2
	
	
	F(s)=2(s+2)2
	
	
	F(s)=2(s-2)3
	
	
	
		7.
		Indique a única resposta correta da Transformada de Laplace da função degrau unitário:
f(t)={1se  t≥00se  t<0
 
	
	
	
	
	 
	s
	
	
	s-2s,s>0
	
	
	s-2s-1,s>1
	
	
	s-1s-2,s>2
	
	 
	1s,s>0
	
	
	
		8.
		Aplicando o Teorema do Deslocamento(ou Translação), calcule a Transformada de Laplace de te4t e  indique qual a resposta correta.
	
	
	
	
	
	1(s +4)2
	
	 
	- 1(s +4)2
	
	
	- 1(s-4)2
	
	 
	1(s-4)2
	
	
	1(s2-4)2
	
	
		1.
		Seja f(t)=et+7 indique qual é a resposta correta de sua Transformada de Laplace.
		
	
	
	
	
	e7s
	
	
	e7s²
	
	 
	se7
	
	
	e7
	
	 
	e7s-1
	
	
	Resolva a equação diferencial homogênea
 
                                                      dy/dx = ( y + x) / x
		
	
	
	
	 
	ln(x3) + c
	
	 
	ln(x) + c
	
	
	ln(x) + xc
	
	
	2ln(x) + x3c
	
	
	2ln(x) + c
	
	
		1.
		Seja a função
 f(x)=x2cos(x)
Podemos afirmar que f é uma função:
	
	
	
	
	 
	Dependendo dos valores de x f pode ser par ou impar.
	
	
	é par e impar simultâneamente
	
	
	Impar
	
	
	nem é par, nem impar
	
	 
	Par
	
	
	
		2.
		Dada  função F(t) = 2t2 - 3t +4.  Use a transformada de Laplace para determinar F(s)
	
	
	
	
	
	12s + 2/s - 3/s2
	
	
	4s2 - 3s + 4
	
	
	3s2 -2s + 4
	
	 
	4/s3 -  3/s2 + 4s-1
	
	
	4/s -3/s2 + 4/s3
	
	
	
		1.
		Seja a função:   f(x)=x  xε[-π,π]<x<pi`<x<pi`.<x<pi`.<x<pi`<x<pi`<x<pi`<x<x<pi`<="" p=""></x<pi`<x<pi`.<x<pi`.<x<pi`<x<pi`<x<pi`<x
Na série de Fourier chega-se a an=(1π)∫-ππxcos(nx)dx .
Podemos afirmar que o valor de an é :
 
		
	
	
	
	 
	0
	
	
	nsennπ
	
	
	nπ
	
	
	nπ
	
	
	(2n)sen(nπ)
CALCULO III
	
	Diversos são os sistemas cujo comportamento é descrito por equações diferenciais ordinárias. Desta forma, é importante que se estude a resolução destas equações.
Com relação à resolução de equações diferenciais é SOMENTE correto afirmar que
(I) Resolver uma equação diferencial significa determinar todas as funções que verificam a equação, isto é, que a transformem numa identidade.
(II) Chama-se solução da equação diferencial F(x,y´,y´´,y´´,...,yn)=0 toda função , definida em um intervalo aberto (a,b), juntamente com suas derivadas sucessivas até a ordem n inclusive, tal que ao fazermos a substituição de y por na equação diferencial F(x,y´,y´´,y´´,...,yn)=0 , esta se converte em uma identidade com respeito a x no intervalo (a,b).
(III) Integrar uma equação diferencial significa determinar todas as funções que verificam a equação, isto é, que a transformem numa identidade.
 (Ref.: 201502648960)
		1 ponto
	
	
	
	
	(II)
	
	
	(I), (II) e (III)
	
	
	(I) e (II)
	
	
	(III)
	
	
	(I)
	
	
		2.
		A ordem de uma equação diferencial é a ordem da derivada de maior ordem que aparece na equação. Com relação às equações diferenciais de primeira ordem é SOMENTE correto afirmar que
(I) A forma geral das equações diferenciais de 1a ordem é F(x,y,y´)=0 .
(II) São equações de 1a ordem e 1o grau as equações da forma: dydx=F(x,y).
(III) São equações de 1a ordem e 1o grau as equações da forma M dx+ N dy=0 onde M=M(x,y) e N=N(x,y) são continuas no intervalo considerado.
 (Ref.: 201502648959)
		1 ponto
	
	
	
	
	(I), (II) e (III)
	
	
	(I) e (II)
	
	
	(I)
	
	
	(II)
	
	
	(III)
	
	
		3.
		"As equações diferenciais começaram com o estudo de cálculo por Isaac Newton (1642-1727) e Gottfried Wilheim Leibnitz (1646-1716), no século XVII."Boyce e Di Prima.
Com relação às equações diferenciais é SOMENTE correto afirmar que
(I) Chama-se equação diferencial toda equação em que figura pelo menos uma derivada ou diferencial da função incógnita.
(II) Chama-se ordem de uma equação diferencial a ordem da derivada de mais alta ordem da função incógnita que figura na equação. 
(III) Chama-se grau de uma equação diferencial o maior expoente da derivada de mais alta ordem da função incógnita que figura na equação.
 (Ref.: 201502648961)
		1 ponto
	
	
	
	
	(I) e (II)
	
	
	(III)
	
	
	(I)
	
	
	(I), (II) e (III)
	
	
	(II)
	
	
		4.
		Resolva a equação diferencial abaixo por separação de variáveis.
`dx+e^(3x)dy=0`
 (Ref.: 201502762870)
		1 ponto
	
	
	
	
	`y= e^(3x)+C`
	
	
	`y= e^(x)+C`
	
	
	`y=1/2 e^(3x)+C`
	
	
	`y=1/3 e^(3x)+C`
	
	
	`y=1/3 e^(-3x)+C`
	
	
		5.
		Seja a equação diferencial `2(dy)/(dx) + 3y = e^(-x)`. Qual dentre as opções abaixo não é uma solução da equação diferencial proposta, sabendo que `y = f(x)` ?  (Ref.: 201502592176)
		1 ponto
	
	
	
	
	`y = e^(-x)+2.e^(-3/2x)`
	
	
	`y = e^(-x)`
	
	
	`y = e^(-x) + e^(-3/2x)`
	
	
	`y = sqrt(e^x)`
	
	
	`y = e^(-x)+C.e^(-3/2x)`
	
	
		6.
		Dada a ED `x dy/dx = x^2 + 3y`; `x > 0`, indique qual é o único fator de integração correto:
 (Ref.: 201502691126)
		1 ponto
	
	
	
	
	`1/x^2`
	
	
	`1/x^3`
	
	
	` -  1/x^2`
	
	
	`x^3`
	
	
	`  -  1/x^3`7.
		Uma equação diferencial  `Mdx + Ndy = 0` é chamada de exata se:  (Ref.: 201502691196)
		1 ponto
	
	
	
	
	`δM/δy = 1/δx`
	
	
	`δM/δy = -  δN/δx`
	
	
	`δM/y = δN/x`
	
	
	`δM/δy` =` δN/δx`
	
	
	`1/δy = δN/δx`
	
	
		8.
		Resolva a equação diferencial de primeira ordem e informe qual a resposta correta:
`(1 + x² )dy  +  (1 + y2)dx  =  0`
 (Ref.: 201503119716)
		1 ponto
	
	
	
	
	`y²  = arctg(c(x + 2)²)`
	
	
	`arctg x +arctgy = c`
	
	
	`y² - 1 = c x²`
	
	
	`y - 1 = c(x + 2)
	
	
	`y²  + 1 =  c(x + 2)²`
	
	
		9.
		Dado um conjunto de funções  `{ f1 ,f2, ..., fn }` , considere o determinante de ordem n:
`W(f1 ,f2, ..., fn )` = `[[f1 ,f2, ..., fn],[f´1 ,f´2, ..., f´n],[ f´´1 ,f´´2, ..., f´´n],[...,...,...,... ],[f1^(n-1),f2 ^(n-1), ... ,fn^(n-1)]]`
Calcule o Wronskiano  formado pelas funções na primeira linha,pelas  primeiras derivadas dessas funções na segunda linha, e assim por diante, até a (n-1)-ésima derivadas das funções na n-ésima linha. Sejam as funções: `f(x)`= `e^(2x)`  ;
                             `g(x)`=`senx`     e     
                              `h(x)`= `x^2 + 3*x + 1
Determine o   Wronskiano  `W(f,g,h)` em `x`= `0`.
 (Ref.: 201503124847)
		1 ponto
	
	
	
	
	 -1     
	
	
	 1       
	
	
	 2      
	
	
	-2     
	
	
	 7
	
	
		10.
		Marque a alternativa que indica a solução do problema de valor inicial
 `dy/dx  = cosx` , y(0) = 2.
 (Ref.: 201503492725)
		1 ponto
	
	
	
	
	y = cosx
	
	
	y = secx + 2
	
	
	y = cosx + 2
	
	
	y = tgx + 2
	
	
	y = senx + 2