Trabalho de Calculo Numerico metodos numericos

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FUNDAÇÃO EDSON QUEIROZ
UNIVERSIDADE DE FORTALEZA
CENTRO DE CIÊNCIAS TECNOLÓGICAS
DISCIPLINA: CÁLCULO NUMÉRICO
EQUAÇÕES ALGÉBRICAS E EQUAÇÕES LINEARES
EXERCÍCIOS COM APLICAÇÕES PRÁTICAS
Fortaleza
2017
ALESSANDRA SANTOS FERREIRA
EDILANE RODRIGUES VERAS
NAYARA PAIVA VIEIRA
EQUAÇÕES ALGÉBRICAS E EQUAÇÕES LINEARES
EXERCÍCIOS COM APLICAÇÕES PRÁTICAS
O trabalho mostra equações de algébricas e de sistemas lineares resolvidas através de métodos numéricos
Prof. Osvaldo Fernandes Carvalho Neto
Fortaleza
2017
Sumário
Introdução........................................................................................................04
Equações algébricas e transcendentes.............................................................04
Métodos Numéricos para cáculo de raízes reais simples.............................04
Método da bissecção...........................................................................
Método das cordas...........................................................................
Método Newton-Raphson
Métodos Numéricos para cálculo de equações lineares...............................06
Método Gauss-Jacobi.......................................................................
Método Gauss-Seidel.......................................................................
Aplicação dos métodos em questões práticas – resolução por método computacional (Microsoft Excel) ............................................................................................07
Conclusão.........................................................................................................11
Referências.......................................................................................................11
Introdução
Método numérico é um conjunto de procedimentos utilizados para transformar um modelo matemático em um problema numérico ou em um conjunto de procedimentos usados para resolver um problema numérico. Na escolha do método mais eficiente deve ser considerado aspectos como precisão desejada pelos resultados, capacidade do método em conduzir aos resultados desejados, e também o esforço computacional despendido.
EQUAÇÕES ALGÉBRICAS E TRANSCENDENTES – Métodos numéricos para raízes reais
Uma equação polinomial, algébrica ou traanscendente é representada por f(x)=0, onde f é uma função não linerar a uma variável que pode ser uma função polinomial, algébrica ou transcendental. Entende-se por função transcendental aquela que envolve funções como sen x, eˣ, ln x etc. as soluções das equações polinomiais são denomindas raízes da equação ou zeros da função f, e podem ser reais ou complexas, e ter um número finito ou infinito de raízes métodos numéricos utilizados nesse trabalho foram os seguintes:
Métodos Numéricos para cáculo de raízes reais simples
Método da Bissecção
Dada uma função f(x) contínua no intervalo [a,b] onde existe uma raiz única, é possível determinar tal raiz subdividindo sucessivas vezes o intervalo que a contém pelo ponto médio de a e b.
	
se f(a)f(b) < 0 então existe pelo menos um ponto x = x entre a e b que é zero de f(x)
Divide-se ao meio o intervalo [a, b] sucessivamente até que (b-a) < e
Cada novo xk = (ak + bk)/2 será o novo ak+1 ou bk+1 de modo a manter válido o teorema acima
 Método das Cordas
Segue os mesmos procedimentos do método da bissecção, porém a forma de calcular Xi é diferente. 
	
A derivada segunda do método, f”(x), deve ter sinal constante no intervalo;
O intervalo [a,b] não é dividido ao meio, mas sim em partes proporcionais a razão –f(a) / f(b)
Apenas um dos valores do intervalo é atualizado, gerando uma sequencia de de intervalos [a,xi] (ou[b,xi]) xi são aproximações da raíz da equação
Método Newton-Raphson
O Método de Newton-Raphson consiste em, dada uma aproximação inicial p0 da solução, gerar a sequˆencia {pk }∞ k=0 dada por
Métodos Numéricos para cálculo de equações lineares
Método de Gauss-Jacob
Então, isola-se cada uma das equações ordenadamente, uma das incógnitas.
Critério de Convergência:
Condições de parada
Método de Gauss-Seidel
Derivado do método de Gauss-Jacobi, este método utiliza a cada iteração os valores já prontos na própria iteração, para tentar assegurar convergência mais rápida, ou seja,
Critério de Convergência:
Aplicação dos métodos em questões práticas – resolução por método computacional (Microsoft Excel)
Exemplo 1:
A concentração, c, de uma bactéria poluente em um lago é descrita por:		
	c = 70 x e^-1,5t + 2,5 x e^-0,075t			
							
A precisão utilizada será de 0,001 para estimar o tempo t em segundos, para que essa concentração seja reduzida para 9
							
Solução: O problema consiste em determinar o tempo, t, para o qual		
							
	c = 70 x e^-1,5t + 2,5 x e^-0,075t = 9			
Para isso, deve ser resolvida a equação f(t)			
							
	f(t) = 70 x e^-1,5t + 2,5 x e^-0,075t -9 = 0			
							
A figura abaixo representa o gráfico da função que dá origem a equação acima.
Como pode-se perceber, há uma única raiz situada no intervalo (1,5;2) segundos.
Obs: Nas planilhas, chamaremos o tempo, t, de x.
Tabela 1. Método da Bissecção
	i
	a
	f(a)
	b
	f(b)
	x
	f(x)
	ERRO
	Verificação
	0
	1,50000
	0,61194
	2,00000
	-3,36314
	1,75000
	-1,73672
	-
	-
	1
	1,50000
	0,61194
	1,75000
	-1,73672
	1,62500
	-0,67032
	0,12500
	CONTINUA
	2
	1,50000
	0,61194
	1,62500
	-0,67032
	1,56250
	-0,05876
	0,06250
	CONTINUA
	3
	1,50000
	0,61194
	1,56250
	-0,05876
	1,53125
	0,26885
	0,03125
	CONTINUA
	4
	1,53125
	0,26885
	1,56250
	-0,05876
	1,54688
	0,10315
	0,01563
	CONTINUA
	5
	1,54688
	0,10315
	1,56250
	-0,05876
	1,55469
	0,02173
	0,00781
	CONTINUA
	6
	1,55469
	0,02173
	1,56250
	-0,05876
	1,55859
	-0,01863
	0,00391
	CONTINUA
	7
	1,55469
	0,02173
	1,55859
	-0,01863
	1,55664
	0,00152
	0,00195
	CONTINUA
	8
	1,55664
	0,00152
	1,55859
	-0,01863
	1,55762
	-0,00856
	0,00098
	CONTINUA
	9
	1,55664
	0,00152
	1,55762
	-0,00856
	1,55713
	-0,00352
	0,00049
	CONTINUA
	10
	1,55664
	0,00152
	1,55713
	-0,00352
	1,55688
	-0,00100
	0,00024
	CONTINUA
	11
	1,55664
	0,00152
	1,55688
	-0,00100
	1,55676
	0,00026
	0,00012
	CONTINUA
	12
	1,55676
	0,00026
	1,55688
	-0,00100
	1,55682
	-0,00037
	0,00006
	PARA
	TEMPO (s)
	1,556793213
Tabela 2. Método das Cordas
	i
	a
	f(a)
	b
	f(b)
	x
	f(x)
	ERRO
	Verificação
	0
	1,50000
	0,61194
	2,00000
	-3,36314
	1,57697
	-0,20543
	-
	-
	1
	1,50000
	0,61194
	1,57697
	-0,20543
	1,55763
	-0,00866
	0,01935
	CONTINUA
	2
	1,50000
	0,61194
	1,55763
	-0,00866
	1,55682
	-0,00036
	0,00080
	CONTINUA
	3
	1,50000
	0,61194
	1,55682
	-0,00036
	1,55679
	-0,00001
	0,00003
	PARA
	4
	1,50000
	0,61194
	1,55679
	-0,00001
	1,55679
	0,00000
	0,00000
	PARA
	5
	1,50000
	0,61194
	1,55679
	0,00000
	1,55679
	0,00000
	0,00000
	PARA
	6
	1,50000
	0,61194
	1,55679
	0,00000
	1,55679
	0,00000
	0,00000
	PARA
	7
	1,50000
	0,61194
	1,55679
	0,00000
	1,55679
	0,00000
	0,00000
	PARA
	8
	1,50000
	0,61194
	1,55679
	0,00000
	1,55679
	0,00000
	0,00000
	PARA
	9
	1,50000
	0,61194
	1,55679
	0,00000
	1,55679
	0,00000
	0,00000
	PARA
	10
	1,50000
	0,61194
	1,55679
	0,00000
	1,55679
	0,00000
	0,00000
	PARA
	11
	1,50000
	0,61194
	1,55679
	0,00000
	1,55679
	0,00000
	0,00000
	PARA
	12
	1,50000
	0,61194
	1,55679
	0,00000
	1,55679
	0,00000
	0,00000
	PARA
	TEMPO (s)
	1,556787994
Tabela 3. Método de Newton-Raphson
	i
	x
	f(x)
	f'(x)
	ERRO
	Verificação
	0
	1,500000
	0,611939
	-11,675642
	-
	-
	1
	1,552412
	0,045354-10,815447
	0,052412
	CONTINUA
	2
	1,556605
	0,001889
	-10,749461
	0,004193
	CONTINUA
	3
	1,556781
	0,000073
	-10,746705
	0,000176
	CONTINUA
	4
	1,556788
	0,000003
	-10,746598
	0,000007
	PARA
	5
	1,556788
	0,000000
	-10,746594
	0,000000
	PARA
	TEMPO (s)
	1,556787924
Resultado:
O resultado aproximado encontrado foi 1,556787924 s.
Esse resultado foi pelo método Newton-Raphson, considerado o método que obtém o resultado mais aproximado para x.
Exemplo 2. 
Considere o seguinte sistema de equações para determinar as concentrações C1, C2 e C3 (g/m3) numa série de 3 reatores como função da quantidade de massa à entrada de cada reator (termo independente do sistema em g):
Analise as condições suficientes de convergência.
|17| > |-2| + |-3|
|21| > |-5| + |-2|
|22| > |-5| + |-5|
Aplique os métodos de Gauss-Jacob e Gauss-Seidel ao sistema, considerando como aproximação inicial o ponto (34, 19, 13) e ε1 = 0.0025. Apresente até a sexta interação.
Tabela 4. Método G-J
	i
	C1
	C2
	C3
	ERRO x
	ERRO y
	ERRO z
	Verificação
	0
	34
	19
	13
	-
	-
	-
	-
	1
	33,941176
	18,857143
	13,409091
	0,058824
	0,142857
	0,409091
	CONTINUA
	2
	33,996562
	18,882098
	13,363254
	0,055386
	0,024955
	0,045837
	CONTINUA
	3
	33,991409
	18,890920
	13,381514
	0,005153
	0,008822
	0,018259
	CONTINUA
	4
	33,995669
	18,891432
	13,382348
	0,004260
	0,000512
	0,000834
	CONTINUA
	5
	33,995877
	18,892526
	13,383432
	0,000207
	0,001094
	0,001085
	PARE
	6
	33,996197
	18,892679
	13,383728
	0,000320
	0,000153
	0,000296
	PARE
	SOLUÇÃO APROXIMADA
	X=
	33,99587688
	Y=
	18,89252584
	Z=
	13,38343218
Tabela 5. Método G-S
	i
	C1
	C2
	C3
	ERRO x
	ERRO y
	ERRO z
	Verificação
	0
	34
	19
	13
	-
	-
	-
	-
	1
	33,941176
	18,843137
	13,360071
	0,058824
	0,156863
	0,360071
	CONTINUA
	2
	33,986264
	18,888165
	13,380552
	0,045088
	0,045028
	0,020481
	CONTINUA
	3
	33,995176
	18,892237
	13,383503
	0,008912
	0,004072
	0,002951
	CONTINUA
	4
	33,996175
	18,892756
	13,383848
	0,001000
	0,000519
	0,000345
	PARE
	5
	33,996297
	18,892818
	13,383890
	0,000122
	0,000062
	0,000042
	PARE
	6
	33,996312
	18,892826
	13,383895
	0,000015
	0,000007
	0,000005
	PARE
	SOLUÇÃO APROXIMADA
	X=
	33,99617549
	Y=
	18,89275635
	Z=
	13,38384814
conclusão
No exemplo 1, a raíz foi encontrada em diefrentes métodos. Indicamos o método de Newton-Raphson como o mais eficiente, pois com ele obtivemos uma solução mais precisa, e sem muitas interações.
No exemplo 2, percebemos que embora houvesse quase a mesma quantidade de interações nos dois métodos, definimos como o melhor método o de Gauss-Seidel, pois através dele encontramos mais rápido a solução.
REFERÊNCIAS
SPERANDIO, P et al. Cálculo Numérico. 2. Ed. São Paulo: Pearson, 2014.
FRANCO, N.B. Cálculo Numérico. São Paulo: Pearson , 2006
MONTEIRO, M.T. Métodos Numéricos: exercícios resolvidos aplicados à Engenharia e outras Ciências. 2012. Universidade de Mihho.