Estatística descritiva I

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Curso de Ciências Contábeis – Monitoria – FAESA – 
CURSO DE CIÊNCIAS CONTÁBEIS
ESTATÍSTICA DESCRITIVA
MONITOR: Renato Pimentel Codeco
 ESTATÍSTICA DESCRITIVA
1 – Quantitativos – Variáveis que representam quantidades, contagem ou medida. Ex.: Notas de alunos de uma sala de aula, estatura dos jogadores de um time. Dividem-se em:
	
Discretos – Representam números inteiros e não admitem a inserção de um outro elemento entre dois elementos seguidos. Ex.: Quantidade de carros que têm multas em 2000
Contínuos – Representam qual quer valor em um intervalo contínuo. Ex.: Peso médio da turma de uma escola ( 61,5 Kg), toneladas de minério de ferro exportados em 1999 pelo C.S.T. (7.500,5 TN.)
2 – Qualitativos – Variáveis que determinam algum atributo em comum e podem ser separados em diferentes categorias que se distingue por alguma característica não-numérica. 
3 – População – Conhecido também como Universo Estatístico é considerado um todo, nome que se da a todos os entes portadores de, pelo menos, uma característica comum.
4 – Amostra – É uma parte do Universo Estatístico que é coletada para ser analisada em uma pesquisa.
5 – Amostragem – É a forma escolhida para coletar a Amostra. Ela pode ser dividida em :
Casual ou aleatória que seria equivalente a um sorteio lotérico.
Proporcional ou estratificada, esta convém que o sorteio de elementos da amostra leve em considerações as possíveis diferenças entre os membros da mesma população. Ex.: A estatura de uma sala de aula que tenha 25 mulheres e 15, a amostra terá que ser proporcional ao numero de mulheres e homens, devido à diferença de altura entre os dois sexos.
Sistemática, são quando os elementos já se acham ordenados, não há necessidade de construir um sistema de referência. Ex.: prontuários médicos de um hospital, as linhas de produção.
6 – Tabelas – São uma das formas de sintetizar os valore que uma ou mais variáveis assumam, para que tenhamos uma visão global desta variação.
 
7 – Composição de uma tabela: 
PRODUÇÃO DE CAFÉ
BRASIL – 1978 –82
	ANOS
	PRODUÇÃO (1000 T) 
	1978
1979
1980
1981
1982
	2535
2666
2122
3750
2007
Fonte: IBGE
8 – Índices – Tratam-se de medidas de grandezas diferentes, tais como: densidade demográfica (a medida de habitantes em uma determinada área), taxa de natalidade e taxa de óbito. Ex.: uma cidade tem uma população de 15.957.600 habitantes e uma área de 586.624 Km², 292.036 nascimentos e 99.281 mortos Qual a sua densidade demográfica, a sua taxa de natalidade e a sua taxa de óbitos?
	a) Densidade demográfica – basta dividir a área pela população, temos: 
					
 15.957.600 área . = 27,20 habitantes/Km² 
 586.624 população
Coeficiente de natalidade – dividi-se os nascidos pela população e multiplica 
 por 100, para termos a taxa :
 292.036 nascidos = 0,018 x 100 = 1,8% 
população 18,00‰ 
Coeficiente de óbito – dividi-se os óbitos pela população e multiplica-se por cem para adquirir a taxa.
 99.281 óbitos = 0,006 x 100 = 0,6%
população 6,00‰
9 – Tabela de distribuição de freqüências
	Veremos agora as orientações básicas para construção de uma tabela de distribuição de freqüência quando os dados são contínuos. Iremos seguir os seguintes passos:
Determinar o Intervalo (Amplitude Total) = (At) dos dados. Para isso basta considerar a diferença do maior pelo menor dado.
Maior índice = At 
Menor índice
Determinar o Número de Classes = (K) : Para esse item basta extrair a raiz quadrada de (N) (que é o número de dados da amostra). Normalmente tomar o valor de K entre 5 e 15.
√N ≈ K
Calcular a Amplitude das Classes = (H) dividindo o Intervalo (At) pelo Número das Classes (K), fazendo o arredondamento (para cima) conveniente.
At = H
	 K
Certifica-se de que o Número de Classes (K) vezes a Amplitude das Classes (H), é maior que o Intervalo (At), para evitar que os valores extremos sejam excluídos.
K x H > At
Ex.: Tomando os dados da relação de notas de 50 alunos abaixo, construir a tabela de distribuição de freqüência. Obs.* os dados constantes da tabela abaixo são de origem contínua.
84	68	33	52	47	73	68	61	73	77
74	71	81	91	65	55	57	35	85	88
59	80	41	50	53	65	76	85	73	60
67	41	78	56	94	35	45	55	64	74
65	94	66	48	39	69	89	98	42	54
1º. – At = O maior – O menor, assim: 98 – 33 = 65
2º. – K ≈ √N, assim, se N = 50 então √50 ≈ 7
3º. – H = At/K, assim, 65/7 ≈ 10
4º. – Se K x H > At, assim: 7 x 10 = 70
9.1 - TABELA DE DISTRIBUIÇÃO DE FREQÜÊNCIA PARA DADOS CONTÍNUOS
	K
	At (notas)
	fi n.º de alunos
	Fi
	fri
	Fri 
	Xi
	fci
	
	
	
	
	
	
	1
2
3
4
5
6
7
Total
	30|-----40
40|-----50
50|-----60
60|-----70
70|-----80
80|-----90
90|-----100
	4
6
9
11
9
7
4
50
	4
10
19
30
39
46
50
	0.08
0.12
0.18
0.22
0.18
0.14
0.08
1.00
	0.08
0.20
0.38
0.60
0.78
0.92
1.00
	35
45
55
65
75
85
95
	3.50
6.25
8.75
10.00
9.00
6.75
3.75
	
	
	
	
	
	
FONTE: Fictícia
Obs.* As laterais do gráfico devem ser abertas, nunca esquecer de informar a fonte dos dados, na coluna At, as seqüências vêm seguidas do símbolo ( a|-----b ), isto significa que o intervalo esta fechado em a e aberto em b.
5º. – Freqüência Simples (fi) é o número de componentes que ira ocupar cada Classe.
6º. – Freqüência Acumulada (Fi) é a Freqüência Simples acumulada a cada Classe.
7º. – Freqüência Relativa (fri) é o percentual de cada Classe.
8º. – Freqüência Relativa Acumulada (Fri) é a Freqüência Relativa a cada acumulado a 
 cada Classe. 
9.º - Ponto Médio de Classe (Xi) é o ponto central que representa cada Classe e utilizado para apurar o gráfico denominado Polígono de Freqüência.
10.º - Freqüência Calculada (fci) é freqüência calculada através de uma fórmula ( fci = fi-1 + 2fi + fi+1) utilizada para expor o gráfico denominado Curva de Freqüência.
 4
Gráficos – É uma forma de apresentar os dados cujo objetivo é produzir uma impressão mais rápida e viva do fenômeno em estudo.
Histograma – É um gráfico diretamente relacionado a uma tabela de distribuição de freqüência tendo como dados as variáveis os intervalos das classes (K) e a Freqüência Simples (fi).
Ex.: 
Polígono de Freqüência, é um gráfico diretamente relacionado com o Ponto Médio de Classe
Ex.:
Curva de Freqüência, é um gráfico diretamente relacionado à Freqüência Calculada que é encontrada através da fórmula já citada ( fci = fi-1 + 2fi + fi+1). Tomando a tabela anterior teremos:						4
fi1 = 4		f12 = 6		fi3 = 9		fi4 = 11	
fi5 = 9		fi6 = 7		fi7 = 4
Aplicamos as fórmulas para cada fi
a) fc1 = 0+8+6 = 3,50		b) fc2 = 4+12+9 = 6,25	c) fc3 = 6+18+11 = 8,75
 4			 4				 4
	
	d) fc4 = 9+22+9 = 10		e) fc5 = 11+18+7 = 9		f) fc6 = 9+14+7 = 6,75
		 4				 4				 4
	
	g) fc7 = 7+8+0 = 3,75
		 4
Teremos o seguinte gráfico da Curva de Freqüência:
		
9.2 - TABELA DE DISTRIBUIÇÃO DE FREQÜÊNCIA PARA DADOS DISCRETOS
Tomaremos o seguinte exemplo; um dado é jogado 50 vezes em uma mesa, os resultados são os seguintes :
6	5	2	6	4	3	6	2	6	5
1	6	3	3	5	1	3	6	3	4
5	4	3	1	3	5	4	4	2	6
2	2	5	2	5	1	3	6	5	1
5	6	2	4	6	1	5	2	4	3
	Assim ficaria a sua tabela de distribuição de freqüência: 
	Resultados (classes)
	Número de Vezes (fi)
	Fri
	1
	6
	0,12
	2
	8
	0,16
	3
	9
	0,18
	4
5
6
	7
10
10
50
	0,14
0,20
0,20
1,00
FONTE: Fictícia
	E assim ficaria seu Histograma:
Obs. * Por se tratar de uma tabela de dados discretos as barras são separadas, já na tabela de dados contínuos as barras são unidas continuamente.
10 – Somatória – Esta é o símbolo SIGMA ( ∑ ), ele serve para representar a somatória de vários números constante em uma tabela;
 j
Ex.: ∑ xi onde: j = número correspondente das células a serem somadas e
 i=1 i = célula inicial da somatória 
 
 3
vejamos: se ∑ 2.i, teremos: 2x1 + 2x2 + 2x3 = 2+4+6 = 12
 i=1
 5
ou se : ∑ xi, teremos: (x.1) + (x.2) + (x.3) + (x.4) + (x.5)
	i=1
11 – Compactação de Tabelas: tomaremos a tabela abaixo para esclarecermos os passos seguintes; (Xij) 3x4 onde;
	X 	= A tabela
	i 	= Linha na tabela
	j 	= Coluna na tabela
3	= Quantidade de linhas
= Quantidade de colunas
De posse destas informações sabemos, que a tabela contém 3 linhas e 4 colunas, considerando que (X) = 2i-3j, teremos:
X1.1	=	2x1-3x1 = 2-3 = -1
X2.1 	=	2x2-3x1 = 4-3 = 1	
X3.1	=	2x3-3x1 = 6-3 = 3
X1.2	=	2x1-3x2 = 2-6 = -5
X2.2	=	2x2-3x2 = 4-6 = -2
X3.2	=	2x3-3x2 = 6-6 = 0
X1.3	=	2x1-3x3 = 2-9 = -6
X2.3	=	2x2-3x3 = 4-9 = -5
X3.3	=	2x3-3x3 = 6-9 = -3
X1.4	=	2x1-3x4 = 2-12 = -10
X2.4	=	2x2-3x4 = 4-12 = -8
X3.4	=	2x3-3x4 = 6-12 = -6
Assim podemos saber a somatória de qualquer parte da tabela usando a fórmula já dada.
Ex.: 4
ou se : ∑ X2i, teremos: (X.2.2) + (X.2.3) + (X.2.4) agora é só substituir pelos valores das 
i=2		 células correspondentes
se na tabela:	X2.2 = -2
		X2.3 = -5
		X2.4 = -8 então –2+(-5)+(-8) = -15
 
12 – Medidas Estatísticas, são classificadas em Média, Mediana e Moda. 
 _
Media (X): tomaremos os números a seguir, 8 – 2 – 7 – 6 – 5 – 6 – 7 – 7 – 9 – 10 para sabermos a Média dos mesmos daremos os seguintes passos:
1º Coloca-los em ordem crescente : 2 – 5 – 6 – 6 – 7 – 7 – 7 – 8 – 9 – 10
	Representando a seqüência pela expressão x1,x2........xn usaremos a seguinte 
 _
fórmula: X = ∑ xi
 n
2º Efetuar a soma de todos os elementos da seqüência e dividir pela quantidade de elementos da mesma: 67 = 6,7
 10
Mediana (separatriz (Me): é o elemento que representa o meio da seqüência. Tomando a mesma seqüência, encontraremos a Mediana com a seguinte fórmula): 
Me = n e n + 1 quando a amostra for par e 
 2 2
Me = n + 1 quando a amostra for ímpar
 2
Moda (Mo): trata-se do elemento que aparece mais vezes na amostra. A seqüência pode ser intitulada de Amodal, quando, nela nenhum elemento se repetir. 
	
13 – Medidas de Dispersão : 
Amplitude ou intervalo (I) : é a diferença entre o maior e o menor termo de uma população
Ex.: Dados as notas de duas turmas
A =	 8 – 7 – 6 – 6 – 9 – 4 – 8 – 6 – 7 – 9 
B = 	10 – 9 – 8 – 1 – 2 – 7 – 10 – 9 – 5 – 9 
_
Xa = 70/10 = 7
_
Xb = 70/10 = 7 – a média das duas turmas é a mesma,
Ia = 9 – 5 = 5
Ib = 10 – 1 = 9 porém, a amplitude é diferente.
											 _
Desvio Médio Absoluto (Dm): é a distancia do ponto médio (Xi) em relação à média (X) em uma tabela de freqüência (em classes – K) ou à distância de cada dado da amostra (i) até a média, quando a amostra é analisada fora de uma tabela de freqüência. 
	 			 _
O desvio (di) é encontrado pela fórmula ( Xi – X e a partir dele iremos encontra o Desvio Médio Absoluto (Dm)
	A				 B
d1 = 8 – 7 = 1		d1 = 10 – 7 = 3
d2 = 7 – 7 = 0		d2 = 9 – 7 = 2
d3 = 6 – 7 = -1		d3 = 8 – 7 = 1
d4 = 6 – 7 = -1 		d4 = 1 – 7 = -6
d5 = 9 – 7 = 2 		d5 = 2 – 7 = -5
d6 = 4 – 7 = -3 		d6 = 7 – 7 = 0
d7 = 8 – 7 = 1		d7 = 10 – 7 = 3
d8 = 6 – 7 = -1		d8 = 9 – 7 = 2
d9 = 7 – 7 = 0		d9 = 5 – 7 = -2
d10 = 9 – 7 = 2		d10 = 9 – 7 = 2
Obs• A somatória dos Desvios Médios será sempre 0 (zero)
	Sabemos que na matemática os números positivos tanto quanto os negativos têm o seu valor absoluto, ou seja, apenas um valor que representa ambos.
Ex.: - 2 ou +2 ( o valor absoluto é | 2 |
 
Em posse dessa informação, veremos que o Desvio Médio Absoluto, será a somatória dos valores absolutos dos desvios (pontos médios menos as médias) dividido pelo número de membros da amostra:
		 _	
Dada pela fórmula : Dm = ∑ |di| ou ∑ |Xi - X|
			 n		n
Ex.:
Dma = 12 = 1,2 Dmb = 26
10
Variância (S²): é encontrado pela somatória dos desvios (di) elevados ao quadrado dividido pelo número de membros da amostra:
Dada pela fórmula : S² = ∑ di²
 		 n
Ex. : 
di.a			di.b							
 1² = 1			3² = 9
 0² = 0			2² = 4
-1² = 1			1² = 1			di.a = 22 = 2,2
-1² = 1 		 -6² = 36		 10	
 2² = 4		 -5² = 25 
-3² = 9			0² = 0			di.b = 96 = 9,6
 1² = 1			3² = 9			 10	
-1² = 1			2² = 4
 0² = 0		 -	2² = 4
 2² = 4			2² = 4
96
Desvio Padrão: é a medida de dispersão dos dados para a média
Dada pela fórmula seguinte:
	 ∑ (di)²
 	 n
	
Exemplo:
	 22
 S.a = 	 10			= 
	 2,2
				=	1,48
	
	 96
 S.b = 	 10			= 
	 9,36		=	3,10
	
Coeficiente de Variação (CV): é a representação da dispersão dos dados em relação à média, em percentual
Dada pela fórmula: 
CV = S x 100
 X
Exemplo:
CV a = 1,48 = 21,14%
 7
CV b = 3,10 = 44,29%
 7
Fórmulas e siglas :
n		= Número de membros da amostra
At		= Amplitude total (é o maior termo menos o menor termo)
K		= Número de classes (≈ √n)
h		= Amplitude de classes (é a amplitude total dividida pelo número de). 
	 (Classes ·AT ÷ K)
fi	 	= Freqüência simples (Quantidade de membros de cada classe)
Fi		= Freqüência acumulada (Acumulo da freqüência simples)
fri		= Freqüência relativa (é o percentual que a freqüência simples representa). 
 (em relação à “n” · fi ÷ n)
Fri	= Freqüência relativa acumulada (è o acúmulo da freqüência relativa)
Xi	= Ponto médio (é o ponto que representa os membros de cada classe, a partir). 
 do ponto médio traça-se o polígono de freqüências
fci	= Freqüência calculada (fórmula dada para traçar-se à curva de freqüência):
	 fci – 1 + 2fi + fi + 1
_	 4
X	= Média (é a soma de todos membros da amostra dividido pelo número de). 
 membros que possui a amostra (∑ fi ÷ n
Mo	= Moda (è o termo que aparece mais vezes na amostra)
Me	= Mediana (é o termo que representa o meio da amostra · n ÷ 2 e n ÷ 2 + 1), 
 quando a amostra for par e n ÷ 2 + 1, quando a mostra for ímpar. 
I		= Amplitude ou intervalo (é o maior termo menos o menor termo)
di		= Desvio (é a diferença entre o ponto médio e a média · Xi – X).
 ou do membro da amostra e da média ( i – X
Dm		= Desvio médio absoluto (é a somatória do valor absoluto do desvio dividido). 
 pelo numero de membros da amostra ( ∑ |di| ÷ n
S²		= Variância (é a somatória do desvio ao quadrado dividido pelo número de). 
 membros da amostra ( ∑ di² ÷ n
S		= Desvio padrão ( é a raiz quadrada da variância ( √S²
CV		= Coeficiente de variação (é o percentual de dispersão em relação à média ·). 
 S ÷ X x 100
Exercício:
Os dados da amostra abaixo representam as idades de pessoas que possuem problemas cardíacos em uma cidade: 
75 17 24 35 36 20 53 35 44 62
50 17 18 20 26 29 32 55 33 56 
69 18 24 23 53 35 36 42 26 26
28 27 29 62 23 23 22 17 30 17
18 21 23 20 66 24 23 69 24 19
Pede-se:
* Identificar se os dados são contínuos ou discretos
* Tabela de Freqüência 
* Média, Moda e Mediana
* Amplitude
* Desvio Médio Absoluto
* Variância
* Desvio Padrão
* Coeficiente de Variação
* Histograma
* Polígono de Freqüência
* Curva de Freqüência
1º 
Os dados são contínuos
2º Tabela de freqüência 
n = 50
At = Maior – menor ( 75 – 17 = 58
K ≈ √n ( ≈ √50 ≈ 7
h = At/K = 58/7 = 8,3				 _
 (X) (di) (S²)
	i
	idades
	fi
	Fi
	fri
	Fri
	Xi
	fi . Xi
	 (Xi-X) 
	fi (di)²
	 fci
	
	1
	16|---25
	22
	22
	0,44
	0,44
	20,5
	451
	-13,5
	4.009,50
	13,50
	
	2
	16|---34
	10
	32
	0,20
	0,64
	29,5
	295
	-4,5
	202,50
	12
	
	3
	34|---43
	6
	38
	0,12
	0,76
	38,5
	231
	4,5
	121,50
	6
	
	4
	43|---52
	2
	40
	0,04
	0,80
	47,5
	95
	13,5
	364,50
	3,5
	
	5
	52|---61
	4
	44
	0,08
	0,88
	56,5
	226
	22,5
	2.025,50
	3,75
	
	6
	61|---70
	5
	49
	0,10
	0,98
	65,5
	327,5
	31,5
	4.961,25
	3,75
	
	7
	70|---79
	1
	50
	0,02
	1,00
	74,5
	74,5
	40,5
	1.640,25
	1,75
	
	
	
	50
	
	1,00
	
	
	1.700
	
	13.324,50
	
	
	
	
	
	
	
	
	
	
	
	
	
	
3º Media, moda e mediana
 _
Media (X) = fi . Xi ( 1700 = 34
 n	 50
Moda (Mo) = 23
Mediana (Me) = n + 1 e n ( 26 e 27 ( 53/2 = 26.50
		 2	 2 
4º Amplitude ou intervalo (I) : 
 O > menos o < 
75 – 17 = 58
5º Desvio Médio Absoluto (Dm):
 
∑ |di| ÷ n ( 130.50 ÷ 50 = 2.61
6º Variância (S²) : 
∑ di² ÷ n ( 13.324,50 ÷ 50 = 266,49
7º Desvio Padrão (S) :
√S² ( √266,49 = 16,32
8º Coeficiente de Variação (CV) :
 _
S ÷ X 100 ( 16,32 ÷ 34 = 0,48 x 100 = 48%
9º Histograma (freqüência simples & classes)
10º Polígono de Freqüência: (freqüências & ponto médio)
 
11º Curva de Freqüências (freqüência calculada “fci” & ponto médio)
fci – 1 + 2fi + fi + 1
4
a) fc1 = 0+44+10= 13,50	b) fc2 = 22+20+6 = 12	c) fc3 = 10+12+2 = 6
 4			 4				 4
	
	d) fc4 = 6+4+4 = 3,5		e) fc5 = 2+8+5 = 3,75		f) fc6 = 4+10+1 = 3,75
		 4				 4				 4
	
	g) fc7 = 5+2+0 = 1,75
		 4
 
14 – Medidas Estatísticas para dados contínuos
	Os dados abaixo se referem às notas de uma determinada turma de 44 alunos:
	K
	Notas (xi)
	fi
	Fi
	1
	0 (------ 2
	5
	5
	2
	2 (------ 4
	8
	13
	3
	4 (------ 6
	14
	27
	4
	6 (------ 8
	10
	37
	5
	 8 (------ 10
	7
	44
	
	
	44
	
Cálculo da mediana (Me)
	Como já sabemos, o número de alunos é 44, logo, a mediana (que é o termo do meio da amostra) é o 22º termo e conforme a freqüência acumulada (Fi) a mediana encontra-se na 3ª classe:
	
3ª classe
 __1º__2º__3º__4º__5º__6º__7º__8º__9º__10º__11º__12º__13º__14º elementos
	Considerando que até 2ª classe há 13 elementos e a 3ª classe contém 14 elementos:
 teremos 13 termos das classes 1 e 2 e mais nove da classe 3 para chegarmos ao 22º elemento, então a mediana é o 9º elemento da 3ª classe.
	Considerando também que a amplitude de classes é 2 e que a menor nota da 3ª classe é 4; teremos a seguinte fórmula:
Limite inferior da classe = 4
O número que a mediana representa na sua classe = 9
Amplitude das classes = 2
O número de elementos da classe = 14
Me = 4 + 9 x 2
	 14
Me = 4 + 18
	 14
Me = 4 + 1,29
Me = 5,29
	
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Estatística Descritiva – Monitor – Renato Pimentel Codeco
_1049017155.xls
Gráfico1
		22
		10
		6
		2
		4
		5
		1
Tabela por idade
Plan1
		
		1		35 - 45		4		4				35 - 45		3.5
		2		45 - 55		6		10				45 - 55		6.25
		3		55 - 65		9		19				55 - 65		8.75
		4		65 - 75		11		30				65 - 75		10
		5		75 - 85		9		39				75 - 85		9
		6		85 - 95		7		46				85 - 95		6.75
		7		95 - 105		4						95 - 105		3.75
		
		
		
		
		
		
		
		
		
		
		
		
		
		
		
		
		
		
		
		
		
		
		
		
		
		
		
		
		
		
		
		
		
		
		
		
		
		
		
		
		
		
		
		
		
		
		
		
		
		
		
		
		
		
		
		
		
		
		
		
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		16 - 25		22
		25 - 34		10
		34 - 43		6
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NOTAS
CLASSES
HISTOGRAMA DE DADOS CONTÍNUOS
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CLASSES
POLÍGONO DE FREQUÊNCIA
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RESULTADOS
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HISTOGRAMA DE DADOS DISCRETOS
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Tabela por idade
		
		
_1049019488.xls
Gráfico4
		3.5
		6.25
		8.75
		10
		9
		6.75
		3.75
PONTOS MÉDIOS
FREQUÊNCIAS CALCULADAS
CURVA DE FREQUÊNCIA
Plan1
		
		1		30 - 40		4		4
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																35		3.5
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																55		8.75
																65		10
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		16 - 25		22
		25 - 34		10
		34 - 43		6
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Plan1
		4
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		11
		9
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NOTAS
FREQUÊNCIAS
HISTOGRAMA DE DADOS CONTÍNUOS
Plan2
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PONTOS MÉDIOS
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HISTOGRAMA DE DADOS DISCRETOS
		22
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Tabela por idade
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		4
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PONTOS MEDIOS
FREQUENCIAS SIMPLES
POLIGONO DE GREQUENCIAS
_1049086394.xls
Gráfico1
		22
		10
		6
		2
		4
		5
		1
Idades
Frequências simples
Histograma por idade
Plan1
		
		1		30 - 40		4		4
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		3		50 - 60		9		19
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																35		3.5
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		16 - 25		22
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		34 - 43		6
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		.38,5		6
		.47,5		3.5
		.56,5		3.75
		.65,5		3.75
		.74,5		1.75
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Plan1
		4
		6
		9
		11
		9
		7
		4
NOTAS
FREQUÊNCIAS
HISTOGRAMA DE DADOS CONTÍNUOS
Plan2
		3.5
		6.25
		8.75
		10
		9
		6.75
		3.75
PONTOS MÉDIOS
FREQUENCIAS SIMPLES
CURVA DE FREQUÊNCIA
Plan3
		
RESULTADOS
fi
HISTOGRAMA DE DADOS DISCRETOS
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PONTOS MEDIOS
FREQUENCIAS SIMPLES
POLIGONO DE GREQUENCIAS
		
Idades
Frequências simples
Histograma por idade
		
Pontos médios
Frequências simples
Polígono de frequências
		
Pontos médios
Frequencias calculadas
Cuva de frequência
		
		
_1049018048.xls
Gráfico7
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Pontos médios
Frequências simples
Polígono de frequências
Plan1
		
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Plan1
		4
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		9
		11
		9
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NOTAS
FREQUÊNCIAS
HISTOGRAMA DE DADOS CONTÍNUOS
Plan2
		3.5
		6.25
		8.75
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		9
		6.75
		3.75
PONTOS MÉDIOS
FREQUENCIAS SIMPLES
CURVA DE FREQUÊNCIA
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RESULTADOS
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HISTOGRAMA DE DADOS DISCRETOS
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PONTOS MEDIOS
FREQUENCIAS SIMPLES
POLIGONO DE GREQUENCIAS
		
Idades
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Histograma por idade
		
Pontos médios
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_1049019372.xls
Gráfico8
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		3.5
		3.75
		3.75
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Pontos médios
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Curva de frequência
Plan1
		
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Plan1
		4
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NOTAS
FREQUÊNCIAS
HISTOGRAMA DE DADOS CONTÍNUOS
Plan2
		3.5
		6.25
		8.75
		10
		9
		6.75
		3.75
PONTOS MÉDIOS
FREQUENCIAS SIMPLES
CURVA DE FREQUÊNCIA
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		6
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		10
RESULTADOS
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HISTOGRAMA DE DADOS DISCRETOS
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FREQUENCIAS SIMPLES
POLIGONO DE GREQUENCIAS
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Pontos médios
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Cuva de frequência
		
		
_1049017424.xls
Gráfico5
		22
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Idades
Frequências simples
Histograma por idade
Plan1
		
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		16 - 25		22
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Plan1
		4
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NOTAS
FREQUÊNCIAS
HISTOGRAMA DE DADOS CONTÍNUOS
Plan2
PONTOS MÉDIOS
FREQUENCIAS SIMPLES
CURVA DE FREQUÊNCIA
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RESULTADOS
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HISTOGRAMA DE DADOS DISCRETOS
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PONTOS MEDIOS
FREQUENCIAS SIMPLES
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Idades
Frequências simples
Histograma por idade
		
		
_1049016888.xls
Gráfico3
		4
		6
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		7
		4
NOTAS
FREQUÊNCIAS
HISTOGRAMA DE DADOS CONTÍNUOS
Plan1
		
		1		30 - 40		4		4				35 - 45		3.5
		2		40 - 50		6		10				45 - 55		6.25
		3		50 - 60		9		19				55 - 65		8.75
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		.25		0
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Plan1
		
NOTAS
FREQUÊNCIAS
HISTOGRAMA DE DADOS CONTÍNUOS
Plan2
		
PONTOS MÉDIOS
CURVA DE FREQUÊNCIA
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RESULTADOS
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HISTOGRAMA DE DADOS DISCRETOS
		
Tabela por idade
		
PONTOS MEDIOS
FREQUENCIAS SIMPLES
POLIGONO DE GREQUENCIAS
		
		
_1049017073.xls
Gráf1
		6
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RESULTADOS
frequencias simples
HISTOGRAMA DE DADOS DISCRETOS
Plan1
		
		1		35 - 45		4		4				35 - 45		3.5
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		4		65 - 75		11		30				65 - 75		10
		5		75 - 85		9		39				75 - 85		9
		6		85 - 95		7		46				85 - 95		6.75
		7		95 - 105		4						95 - 105		3.75
		
		
		
		
		
		
		
		
		
		
		
		
		
		
		
		
		
		
		
		
		
		
		
		
		
		
		
		
		
		
		
		
		
		
		
		
		
		
		
		
		
		
		
		
		
		
		
		
		
		
		
		
		
		
		
		
		
		
		
		
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HISTOGRAMA DE DADOS CONTÍNUOS
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RESULTADOS
fi
HISTOGRAMA DE DADOS DISCRETOS
		
		
_1049016773.xls
Gráfico2
		0
		4
		6
		9
		11
		9
		7
		4
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PONTOS MÉDIOS
FREQUENCIAS SIMPLES
POLIGONO DE FREQUÊNCIAS
Plan1
		
		1		30 - 40		4		4				35 - 45		3.5
		2		40 - 50		6		10				45 - 55		6.25
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		5		70 - 80		9		39				75 - 85		9
		6		80 - 90		7		46				85 - 95		6.75
		7		90 - 100		4						95 - 105		3.75
		
		
		
		
		
		
		
		
		
		
		
		
		
		
		
		
		
		.25		0
		.35		4
		.45		6
		.55		9
		.65		11
		.75		9
		.85		7
		.95		4
		.105		0
		
		
		
		
		
		
		
		
		
		
		
		
		
		
		
		
		
		
		
		
		
		
		
		
		
		
		
		
		
		
		
		
		
		
		.1		6
		.2		8
		.3		9
		.4		7
		.5		10
		.6		10
		
		
		
		
		
		
		
		
		
		
		
		
		
		16 - 25		22
		25 - 34		10
		34 - 43		6
		43 - 52		2
		52 - 61		4
		61 - 70		5
		70 - 79		1
Plan1
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		0
		0
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NOTAS
CLASSES
HISTOGRAMA DE DADOS CONTÍNUOS
Plan2
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		0
		0
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PONTOS MÉDIOS
CURVA DE FREQUÊNCIA
Plan3
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RESULTADOS
fi
HISTOGRAMA DE DADOS DISCRETOS
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Tabela por idade
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PONTOS MEDIOS
FREQUENCIAS SIMPLES
POLIGONO DE GREQUENCIAS