P3 2da cham Cal II 2014 2

Prévia do material em texto

_____________________________________________
INSTITUTO DE CIÊNCIAS EXATAS
DEPARTAMENTO DE MATEMÁTICA
1)
2)
3)
4)
5)
Nota
2
a
Chamada da 3
a
Prova de Ca´lculo II - MAT156
18 de Dezembro de 2014
Nome: Matr´ıcula: Turma:
IMPORTANTE: Justificar de forma clara e organizada cada afirmac¸a˜o.
1a Questa˜o: Seja a func¸a˜o f(x, y) =


3x2y2
x4 + y4
se (x, y) 6= (0, 0)
0 se (x, y) = (0, 0)
(a) (15 pontos) Determine
∂f
∂x
(0, 0) e
∂f
∂y
(0, 0).
(b) (15 pontos) f e´ diferencia´vel em (0, 0)? Justifique.
2a Questa˜o: (10 pontos) Determine a equac¸a˜o do plano tangente a` superf´ıcie z =
1√
x2 + y2
no
ponto P
(
1, 1,
√
2
2
)
.
3a Questa˜o: (10 pontos) Sejam f(u, v) = 7uv − u, u = ln(−7x2 + 4xy) e v = 3− x
4xy − y5 . Calcule
∂f
∂x
e
∂f
∂y
.
4a Questa˜o: (15 pontos) Utilize o me´todo dos multiplicadores de Lagrange para determinar o
ponto (x, y) pertencente a curva x2+2y2 = 4, tal que o produto xy de suas coordenadas seja o maior
poss´ıvel.
5a Questa˜o: Seja a func¸a˜o f(x, y) = 2x4 + y2 − x2 − 2y.
(a) (20 pontos) Determine os pontos cr´ıticos da func¸a˜o f e classifique-os.
(b) (15 pontos) Determine os pontos de ma´ximo e mı´nimo absolutos de f na regia˜o
R = {(x, y) ∈ R2 : −1 ≤ x ≤ 0 e 0 ≤ y ≤ 2}
.
1