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MATEMATICA PARA O ENEM 2

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Aula 01
Matemática e suas Tecnologias p/ ENEM 2016
Professores: Arthur Lima, Hugo Lima
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AULA 01: Operações em conjuntos numéricos 
 
SUMÁRIO PÁGINA 
1. Teoria 01 
2. Resolução de exercícios 45 
3. Questões apresentadas na aula 87 
4. Gabarito 103 
 
Olá! 
 
Nesta primeira aula aprenderemos alguns tópicos de matemática 
básica que você certamente já estudou em algum momento da vida, mas 
talvez não se lembre mais! São tópicos sempre presentes no edital do 
ENEM, e que também servem de base para o entendimento e a resolução 
de diversas questões sobre assuntos mais complexos. Caso você avalie 
que já conhece suficientemente bem esses assuntos, fique à vontade para 
passar mais rapidamente ou mesmo “pular” essa aula, ou então dedicar 
algum tempo apenas aos exercícios resolvidos ao longo da mesma. 
Tenha uma excelente aula. Permaneço à disposição no fórum, ok? 
 
1. TEORIA 
 Chamamos de conjuntos numéricos as principais classificações dos 
números conhecidos. Nos próximos tópicos conheceremos os principais 
conjuntos, suas propriedades e suas operações. 
 
1.1 NÚMEROS NATURAIS 
 Os números naturais têm esse nome por serem aqueles mais 
intuitivos, de “contagem natural”. Isto é, são aqueles construídos com os 
04178253905
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algarismos de 0 a 9. O símbolo desse conjunto é a letra N, e podemos 
escrever os seus elementos entre chaves: 
N = {0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9, 10, 11, 12, 13, 14, 15, 16, 17, 
18, 19, 20, 21, 22…} 
 
As reticências indicam que este conjunto não tem fim, ou seja, 
existem infinitos números naturais. 
 Apesar de incluído neste conjunto, o zero não é um número natural 
propriamente dito (pois não é um número de “contagem natural”). Por 
isso, utiliza-se o símbolo N* para designar os números naturais positivos, 
isto é, excluindo o zero. Veja: 
N* = {1, 2, 3, 4…} 
 
 Relembre alguns conceitos básicos relacionados aos números 
naturais: 
 
a) Sucessor: é o próximo número natural. Isto é, o sucessor de 2 é 3, 
e o sucessor de 21 é 22. E o sucessor do número “n” é o número 
“n+1”. 
 
b) Antecessor: é o número natural anterior. Isto é, o antecessor de 2 
é 1, e o antecessor de 21 é 20. E o antecessor do número “n” é o 
número “n-1”. Observe que o número natural zero não possui 
antecessor, pois é o primeiro número desse conjunto. 
 
c) Números consecutivos: são números em sequência. Assim, 
{2,3,4} são números consecutivos, porém {2,5,4} não são. E veja 
que podemos representar por {n-1, n e n+1} uma sequência de 
três números consecutivos. 
 
04178253905
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d) Números naturais pares: {0, 2, 4...}. Número par é aquele que, ao 
ser dividido por 2, não deixa resto. Por isso o zero também é par. 
 
e) Números naturais ímpares: {1, 3, 5...}. Ao serem divididos por 2, 
deixam resto 1. 
 
Sobre pares e ímpares, vale a pena perceber que: 
- a soma ou subtração de dois números pares tem resultado par. Ex.: 
12 + 6 = 18; 12 – 6 = 6. 
- a soma ou subtração de dois números ímpares tem resultado par. Ex.: 
13 + 5 = 18; 13 – 5 = 8. 
- a soma ou subtração de um número par com outro ímpar tem resultado 
ímpar. Ex.: 12 + 5 = 17; 12 – 5 = 7. 
- a multiplicação de números pares tem resultado par: 4 x 6 = 24. 
- a multiplicação de números ímpares tem resultado ímpar: 3 x 5 = 15. 
- a multiplicação de um número par por um número ímpar tem resultado 
par: 2 x 3 = 6. 
 
 Veja essas regrinhas resumidas na tabela abaixo: 
Operação 2 números pares 2 números 
ímpares 
Par e ímpar 
Soma / 
subtração 
Par Par Ímpar 
Multiplicação Par Ímpar Par 
 
 Para a divisão não temos uma regra equivalente. Repare, por 
exemplo, que a divisão entre dois números pares pode ter resultado par 
ou ímpar: 16 / 4 = 4 e 20 / 4 = 5. 
 
1.2 NÚMEROS INTEIROS 
04178253905
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 Os números inteiros são os números naturais e seus respectivos 
opostos (negativos). Isto é, 
Z = {... -11, -10, -9, -8, -7, -6, -5, -4, -3, -2, -1, 0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 
8, 9, 10, 11...} 
 
Observe que todos os números Naturais são também Inteiros, mas 
nem todos os números inteiros são naturais. Assim, podemos dizer que o 
conjunto de números naturais está contido no conjunto de números 
inteiros, isto é, N Z, ou ainda que N é um subconjunto de Z. O diagrama 
abaixo explicita esta relação entre N e Z: 
 
 
 Dentro deste conjunto, podemos destacar alguns subconjuntos de 
números. Vejam que os nomes dos subconjuntos são autoexplicativos: 
 
a) Números Inteiros não negativos: Z+ = {0,1,2,3...}. Veja que são os 
números naturais. 
 
b) Números Inteiros não positivos: Z- = {… -3, -2, -1, 0}. Veja que o 
zero também faz parte deste conjunto, assim como também fez parte do 
anterior, pois ele não é positivo nem negativo. 
 
c) Números inteiros negativos: Z*- = {… -3, -2, -1}. O zero não faz 
parte. 
 
04178253905
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d) Números inteiros positivos: Z*+= {1, 2, 3...}. Novamente, o zero não 
faz parte. 
 
e) Números inteiros não nulos: Z* = {..., -3, -2, -1, 1, 2, 3, ...}. Note 
que neste caso basta excluir o zero. 
 
1.3 NÚMEROS RACIONAIS 
 Os números racionais são aqueles que podem ser representados na 
forma da divisão de dois números inteiros. Isto é, são aqueles números 
que podem ser escritos na forma (A dividido por B), onde A e B são 
números inteiros. Exemplos: 
 
 é Racional, pois é a divisão do número inteiro 5 pelo número 
inteiro 4. 
 
 é Racional, pois é a divisão do número inteiro -15 pelo número 
inteiro 9, ou a divisão de 15 por -9. 
 
73 e -195 são Racionais, pois são a divisão dos números 73 e -195 
pelo número 1. 
 
 Observe este último exemplo. Já tínhamos visto que qualquer 
número natural é também inteiro. E agora vemos que todo número inteiro 
é também racional! Isto porque qualquer número inteiro é o resultado da 
divisão dele mesmo por 1, podendo ser representado na forma (A 
dividido por 1, onde A é um número inteiro qualquer). Veja se este novo 
diagrama, contendo os números Naturais, Inteiros e Racionais, faz 
sentido para você: 
04178253905
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 O zero também faz parte dos Números Racionais (pode ser escrito 
na forma , concorda?). Porém, quando escrevemos um número racional 
na forma , o denominador (isto é, o número B) nunca é zero. Isto porque 
a divisão de umnúmero por zero é impossível (exceto 
0
0
, cujo valor é 
indeterminado). 
 No conjunto dos Números Racionais, temos basicamente 3 tipos de 
números: 
 
a) Frações. Ex.: , , etc. 
 
b) Números decimais com número finito de casas. Ex.: 1,25 
 Veja que este número decimal tem escrita finita, isto é, um 
número definido de casas após a vírgula (são duas casas decimais). 
Por isso, ele também poderia ser escrito na forma . Neste caso, 
poderíamos representá-lo como , ou mesmo simplificá-lo para . 
 
c) Dízimas periódicas. Ex.: 0,33333... ou simplesmente (a barra 
indica que o algarismo 3 repete-se indefinidamente). 
As dízimas periódicas são consideradas racionais porque 
também podem ser escritas na forma . O número deste exemplo 
poderia ser escrito na forma . Outro exemplo de dízima periódica 
é: 1,352525252... ou . 
04178253905
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 Antes de prosseguirmos, vejamos como obter as frações que dão 
origem a dízimas periódicas. Divida 1 por 3 e você obterá 0,333... , ou 
simplesmente 0,3 . Assim, dizemos que a “fração geratriz” da dízima 0,3 é 
igual a 
1
3
. Existem métodos que nos permitem, a partir de uma dízima 
periódica, chegar até a fração que deu origem a ela. 
 Em alguns casos, a parte que se repete já começa logo após a 
vírgula. Isto é o caso em: 
0,333... 
0,353535... 
0,215215215... 
 
 Em outros casos, existem alguns números entre a vírgula e o início 
da repetição. Veja esses números sublinhados nas dízimas abaixo: 
0,1333... 
0,04353535... 
0,327215215215... 
 
 Vamos começar trabalhando com os casos onde a repetição começa 
logo após a vírgula, para, em seguida, estender o método aos casos onde 
existem números entre a vírgula e o início da repetição. 
 
� Casos onde a repetição começa logo após a vírgula: 
Vamos trabalhar com a dízima 0,333... . Chamemos de X a fração 
que dá origem a esta dízima. Ou seja, 
(1) X = 0,333... 
 
 Como a repetição é formada por um único número (3), se 
multiplicarmos esta dízima por 10 conseguimos passar, para o outro lado 
da vírgula, o primeiro número da repetição: 
04178253905
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10X = 10 x 0,333... = 3,333... 
10X = 3,333... 
 
 A igualdade acima pode ser reescrita da seguinte forma: 
 10X = 3 + 0,333... (2) 
 
Subtraindo a expressão (1) da expressão (2), teremos o resultado 
abaixo. (trabalharemos com sistemas de equações na Aula 04) 
10X – X = 3 + 0,333... – 0,333... 
 
 As duas dízimas à direita da igualdade acima possuem infinitas 
casas decimais idênticas e, portanto, se anulam com a subtração. 
Portanto, temos como resultado: 
9X = 3 
3 1
9 3
X = = 
 Assim, descobrimos que a fração geratriz da dízima 0,333... é 
1
3
X = . 
 Vejamos um segundo exemplo: vamos buscar a fração geratriz da 
dízima 0,216216216... . Repare que temos a repetição de 216, e não há 
nenhuma casa separando a vírgula e o início da repetição. Chamando de 
X a fração geratriz da dízima, temos: 
X = 0,216216216... 
 
 Para passar a primeira repetição (216) para a esquerda da vírgula, 
precisamos multiplicar X por 1000: 
1000X = 216,216216216... 
 
 Efetuando a subtração 1000X – X podemos obter a fração geratriz: 
1000X – X = 216,216216216... – 0,216216216... 
04178253905
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999X = 216 
216 24
999 111
X = = 
 
 Assim, a geratriz de 0,216 é a fração 24
111
. 
 
� Casos onde existem números entre a vírgula e o início da 
repetição: 
Vejamos como obter a fração geratriz da dízima 1,327215215215... 
. Veja que, neste caso, temos a repetição do termo 215. Entre a vírgula e 
o início da repetição temos 3 números (327). Deste modo, chamando de 
X a fração geratriz, temos: 
X = 1,327215215215... 
 
 Multiplicando X por 1000 conseguimos deixar, à direita da vírgula, 
apenas os termos que se repetem: 
1000X = 1327,215215215... 
 
 E multiplicando X por 1000000 conseguimos passar a primeira 
repetição “215” para o lado esquerdo da vírgula: 
1000000X = 1327215,215215215... 
 
 Assim, podemos efetuar a seguinte subtração: 
1000000X – 1000X = 1327215,215215215... - 1327,215215215... 
999000X = 1327215 – 1327 
999000X = 1325888 
1325888
999000
X = 
 Temos, portanto, a fração geratriz da dízima 1,327215215215... . 
Poderíamos ainda simplificá-la, se quiséssemos. 
04178253905
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1.3.1 OPERAÇÕES COM NÚMEROS RACIONAIS 
 As quatro operações básicas que podemos efetuar com estes 
números são: adição, subtração, multiplicação e divisão. Vejamos em 
detalhes cada uma delas. 
 
a) Adição: 
 A adição de dois números é dada pela soma destes dois números. 
Isto é, a adição de 15 e 6 é: 
15 + 6 = 21 
 
 Você se lembra do método para se efetuar a soma de dois 
números? Vamos exercitar efetuando a soma 728 + 46. Primeiramente, 
você deve posicionar estes números um abaixo do outro, alinhados pela 
direita (casa das unidades): 
 
 728 
 +46 
 
 A seguir devemos começar a efetuar a soma pela direita. Somando 
8 + 6 obtemos 14. Com isto, devemos colocar o algarismo das unidades 
(4) no resultado e transportar o algarismo das dezenas (1) para a 
próxima soma: 
 1 
 728 
 +46 
 4 
 Agora, devemos somar os dois próximos números (2 + 4), e 
adicionar também o número que veio da soma anterior (1). Assim, 
obtemos 7. Devemos colocar este número no resultado: 
 728 
04178253905
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 +46 
 74 
 
 Temos ainda o algarismo 7 na casa das centenas do número 728. 
Como o segundo número (46) não possui casa das unidades, podemos 
simplesmente levar este 7 para o resultado, obtendo: 
 728 
 +46 
 774 
 
 Chegamos ao nosso resultado final. Antes de conhecermos a 
próxima operação, vejamos as principais propriedades da operação de 
adição. 
 
- propriedade comutativa: dizemos que a adição de números racionais 
possui a propriedade comutativa, pois a ordem dos números não altera a 
soma. Isto é, 728 + 46 é igual a 46 + 728. 
 
- propriedade associativa: ao adicionar 3 ou mais números racionais, 
podemos primeiramente somar 2 deles, e a seguir somar o outro, em 
qualquer ordem, que obteremos o mesmo resultado. Logo, esta 
propriedade está presente na adição. Ex.: 
2 + 5 + 7 = (2 + 5) + 7 = 2 + (5 + 7) = 14. 
 
- elemento neutro: dizemos que o zero é o elemento neutro da adição, 
pois qualquer número somado a zero é iguala ele mesmo. Ex.: 2 + 0 = 
2; 45 + 0 = 45. 
 
- propriedade do fechamento: esta propriedade nos diz que a soma de 
dois números racionais SEMPRE gera outro número racional. Ex: a soma 
dos números racionais 2 e 5 gera o número racional 7 (2 + 5 = 7). 
04178253905
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b) Subtração: efetuar a subtração de dois números significa diminuir, de 
um deles, o valor do outro. Isto é, subtrair 5 de 9 significa retirar 5 
unidades de 9, restando 4 unidades: 
9 – 5 = 4 
 
 Acompanhe a subtração abaixo para relembrar o método para a 
subtração de números racionais (veja que, por simplicidade, estamos 
usando números inteiros nos exemplos, que não deixam de ser também 
racionais... mais adiante trabalharemos essas operações em números 
com casas decimais). Vamos efetuar a operação 365 – 97: 
 
365 
- 97 
 
 Observe que o primeiro passo é posicionar um número embaixo do 
outro, alinhando as casas das unidades. Começamos a efetuar a 
subtração a partir da casa das unidades. Como 5 é menor do que 7, não 
podemos subtrair 5 – 7. Devemos, portanto, “pegar” uma unidade da 
casa das dezenas de 365. Levando este valor para a casa das unidades, 
temos 10 unidades, que somadas a 5 chegam a 15 unidades. Agora sim 
podemos subtrair 15 – 7 = 8, e anotar este resultado: 
365 
- 97 
 8 
 
 Devemos agora subtrair as casas das dezenas. Devemos subtrair 5 
– 9, e não 6 – 9, pois já utilizamos uma unidade na primeira subtração 
acima. Como 5 é menor que 9, devemos novamente “pegar” uma unidade 
da casa das centenas de 365, e somar ao 5. Assim, teremos 15 – 9 = 6. 
Vamos anotar este resultado: 
04178253905
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365 
- 97 
 68 
 
 Agora devemos subtrair a casa das centenas. Veja que não temos 
mais um 3 na casa das centenas de 365, e sim 2, pois já usamos uma 
unidade na operação anterior. Como 97 não tem casa das centenas, basta 
levarmos este 2 para o resultado: 
365 
- 97 
268 
 
 E se quiséssemos efetuar a subtração 97 – 365? Neste caso, como 
97 é menor que 365, devemos: 
- subtrair o menor número do maior, isto é, efetuar a operação 365 – 97; 
- colocar o sinal negativo (-) no resultado. 
 
 Desta forma, 97 – 365 = -268. Vejamos as principais propriedades 
da operação de subtração. 
 
- propriedade comutativa: dizemos que a subtração de números racionais 
NÃO possui a propriedade comutativa, pois a ordem dos números ALTERA 
o resultado. Como vimos acima, 365 – 97 = 268, já 97 – 365 = -268. 
 
- propriedade associativa: a subtração NÃO possui essa propriedade, pois 
(A – B) – C pode ser diferente de (C – B) – A. Exemplificando: (365 – 97) 
– 268 = 0, que é um resultado diferente do obtido em (268 – 97) – 365 = 
–194. Veja que trocamos a posição do 365 coma do 268 e o resultado se 
alterou. 
 
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- elemento neutro: o zero é o elemento neutro da subtração, pois, ao 
subtrair zero de qualquer número, este número permanecerá inalterado. 
Ex.: 2 – 0 = 2. 
 
- propriedade do fechamento: a subtração de números racionais possui 
essa propriedade, pois a subtração de dois números racionais SEMPRE 
gera outro número racional. 
 
- elemento oposto: para todo número racional A, existe também o seu 
oposto, com sinal contrário, isto é, -A. Exemplos de números opostos: 5 e 
-5, 29 e -29 etc. Também podemos dizer que o elemento oposto de A é 
aquele número que, somado a A, resulta em zero: 
A + (-A) = 0 
 
c) Multiplicação: a multiplicação nada mais é que uma repetição de 
adições. Por exemplo, a multiplicação 15 x 3 é igual à soma do número 
15 três vezes (15 + 15 + 15), ou à soma do número 3 quinze vezes (3 + 
3 + 3 + ... + 3). Vejamos como efetuar uma multiplicação: 
 57 
x 13 
 
 Novamente alinhamos os números pela direita. Começamos 
multiplicando os números das unidades: 3 x 7 = 21. Deixamos o 
algarismo das unidades (1) no resultado, e levamos o algarismo das 
dezenas (2) para a próxima operação: 
 
 2 
 57 
x 13 
 1 
 
04178253905
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����	���������
������������������	����������	�
�������������
�������� ��!"�
�
�
���������	
����
���������������������������������	
���
��������������������������������������������������������
 Agora devemos multiplicar o algarismo das unidades do segundo 
número (3) pelo algarismo das dezenas do primeiro número: 3 x 5 = 15. 
Antes de colocar este valor no resultado, devemos adicionar o 2 que veio 
da operação anterior: 15 + 2 = 17. Assim, temos: 
 
 57 
x 13 
 171 
 
 Agora devemos multiplicar o algarismo das dezenas do segundo 
número (1) pelo algarismo das unidades do primeiro número (7): 1 x 7 = 
7. Devemos levar este número para o resultado, entretanto devemos 
colocá-lo logo abaixo do algarismo das dezenas do segundo número (1). 
Veja: 
 57 
x 13 
 171 
 7 
 A seguir, devemos multiplicar o algarismo das dezenas do segundo 
número (1) pelo algarismo das dezenas do primeiro número (5): 1 x 5 = 
5. Assim, temos: 
 57 
x 13 
 171 
 57 
 
 Por fim, devemos somar as duas linhas de resultado, obtendo: 
 57 
x 13 
 171 
 570 
04178253905
�������������	
�	������
����	���������
������������������	����������	�
�������������
�������� ��!"�
�
�
���������	
����
���������������������������������	
���
��������������������������������������������������������
 741 
 
Veja que antes de efetuar a soma, colocamos um zero à direita do 
57, transformando-o em 570. Fazemos isto porque este resultado (57) 
surgiu da multiplicação do algarismo das dezenas do multiplicador (13). 
Se fosse do algarismo das centenas do multiplicador, colocaríamos 2 
zeros, e assim por diante. 
É importante relembrar as regras de sinais na multiplicação de 
números. Você deve se lembrar que: 
- a multiplicação de números de mesmo sinal tem resultado positivo. 
Ex.: 5 x 5 = 25, e (-5)x(-5) = 25. 
- a multiplicação de números de sinais diferentes tem resultado negativo. 
Ex.: 5x(-5) = -25. 
 
 Portanto, se tivéssemos multiplicado (-57) x 13, ou então 57 x (-3), 
deveríamos obter -741. E se tivéssemos multiplicado (-57) x (-13) 
deveríamos obter 741. 
 
Vejamos as principais propriedades da operação de multiplicação: 
 
- propriedade comutativa: a multiplicação possui essa propriedade, pois A 
x B é igual a B x A, isto é, a ordem não altera o resultado (ex.: 3 x 5 = 5 
x 3 = 15). 
 
- propriedade associativa: a multiplicação possui essa propriedade, pois 
(A x B) x C é igual a (C x B) x A, que é igual a (A x C) x B etc. Ex.: (2 x 
3) x 4 = 2 x (3 x 4) = (4 x 3) x 2 = 24. 
 
- elemento neutro: a unidade (1) é o elemento neutro da multiplicação, 
pois ao multiplicar 1 por qualquer número, este número permanecerá 
inalterado. Ex.: 5 x 1 = 5. 
04178253905
�������������	
�	������
����	���������
������������������	����������	�
�������������
�������� ��!"�
�
�
�������������
���������������������������������	
���
��������������������������������������������������������
 
- propriedade do fechamento: a multiplicação possui essa propriedade, 
pois a multiplicação de números racionais SEMPRE gera um número 
racional (ex.: 5 x 7 = 35, que é racional). 
 
- propriedade distributiva: apenas a multiplicação possui essa 
propriedade. Esta propriedade nos permite dizer que: 
Ax(B+C) = (AxB) + (AxC) 
 
Exemplificando: 
5x(3+7) = 5x(10) = 50 
ou, usando a propriedade: 
5x(3+7) = 5x3 + 5x7 = 15+35 = 50 
 
d) Divisão: quando dividimos A por B, queremos repartir a quantidade A 
em partes de mesmo valor, sendo um total de B partes. Ex.: Ao 
dividirmos 10 por 2, queremos dividir 10 em 2 partes de mesmo valor. No 
caso, 10 2 5÷ = . Vamos relembrar como efetuar divisões com o caso 
abaixo, onde dividimos 715 por 18: 
715 |18 
 
 Neste caso, chamamos o 715 de dividendo (número a ser dividido) 
e o 18 de divisor (número que está dividindo o 715). Como o divisor 
possui 2 casas (18), devemos tentar dividir as primeiras duas casas da 
esquerda do dividendo (71). Veja que 18x4 = 72 (que já é mais que 71). 
Já 18x3 = 54. Assim, temos: 
 
715 |18 
 3 
 
04178253905
�������������	
�	������
����	���������
������������������	����������	�
�������������
�������� ��!"�
�
�
���������	
����
���������������������������������	
���
��������������������������������������������������������
 Devemos multiplicar 3 por 18 e anotar o resultado abaixo de 71, e a 
seguir efetuar a subtração: 
715 |18 
 -54 3 
 17 
 
 
 Agora devemos “pegar” o próximo algarismo do dividendo (5): 
715 |18 
 -54 3 
 175 
 
 Dividindo 175 por 18, temos o resultado 9. Devemos anotar o 9 no 
resultado, à direita, e anotar o resultado da multiplicação 9 x 18 abaixo 
do 175, para efetuarmos a subtração: 
715 |18 
 -54 39 
 175 
 -162 
 13 
 
 Agora temos o número 13, que é inferior ao divisor (18). Portanto, 
encerramos a divisão. Obtivemos o quociente (resultado) 39 e o resto 
igual a 13. Dizemos que esta divisão não foi exata, pois ela deixou um 
resto. 
 
 Observe que o dividendo (715) é igual à multiplicação do divisor 
(18) pelo quociente (39), adicionada do resto (13). Isto é: 
715 = 18 x 39 + 13 
 
 Como regra, podemos dizer que: 
04178253905
�������������	
�	������
����	���������
������������������	����������	�
�������������
�������� ��!"�
�
�
���������	
����
���������������������������������	
���
������������������������������������������������������	�
Dividendo = Divisor x Quociente + Resto 
 
As regras de sinais na divisão de números racionais são as mesmas 
da multiplicação: 
- a divisão de números de mesmo sinal tem resultado positivo. 
- a divisão de números de sinais diferentes tem resultado negativo. 
 
 Portanto, se tivéssemos dividido (-10) por 2, ou então 10 por (-2), 
deveríamos obter -5. E se tivéssemos dividido (-10) por (-2) deveríamos 
obter 5. 
 
Vejamos as principais propriedades da operação de divisão: 
 
- propriedade comutativa: a divisão NÃO possui essa propriedade, pois A 
/ B pode ser diferente de B / A. Ex.: 2 / 5 = 0,4; e 5 / 2 = 2,5. 
 
- propriedade associativa: a divisão NÃO possui essa propriedade, pois (A 
/ B) / C pode ser diferente de (C / B) / A. Ex.: (2/5)/3 é diferente de 
(3/5)/2. 
 
2 3( ) ( )
5 5
3 2
≠ 
 
- elemento neutro: a unidade (1) é o elemento neutro da divisão, pois ao 
dividir qualquer número por 1, o resultado será o próprio número. Ex.: 
5 / 1 = 5. 
 
- propriedade do fechamento: a divisão possui essa propriedade, pois a 
divisão de números racionais SEMPRE gera um número racional (ex.: 
2 / 100 = 0,02; que é racional). 
04178253905
�������������	
�	������
����	���������
������������������	����������	�
�������������
�������� ��!"�
�
�
���������	
����
���������������������������������	
���
������������������������������������������������������
�
 
Para sedimentar seus conhecimentos, segue uma tabela-resumo 
sobre as propriedades das operações com números racionais: 
 
Elem. 
Neutro 
Comut. Assoc. Fecham. 
Distributiva 
Adição zero Sim Sim Sim 
Não: 
( ) ( ) ( )A B C A B A C+ + ≠ + + +
 
Multipli-
cação 
1 Sim Sim Sim 
Sim: 
( ) ( ) ( )A B C A B A C× + ≠ × + ×
 
Subtra-
ção 
zero Não Não 
Sim 
 
Não: 
( ) ( ) ( )A B C A B A C− + ≠ − + −
 
Divisão 1 Não Não Sim 
Não: 
( ) ( ) ( )A B C A B A C÷ + ≠ ÷ + ÷
 
 
1.3.2 OPERAÇÕES COM FRAÇÕES 
Ao trabalhar com números racionais, recorrentemente estaremos 
lidando com frações, que nada mais são que operações de divisão. 
Escrever 
2
5 é equivalente a escrever 2 5÷ . Neste caso, o número 2 é o 
numerador, ou seja, o número que vem na parte superior da fração. Já o 
número 5 é o denominador, ou seja, o número que vem na parte inferior 
da fração. As frações estão constantemente presentes na resolução de 
exercícios, motivo pelo qual é essencial lembrar como efetuamos cada 
operação com elas: soma, subtração, multiplicação e divisão. 
 
a) Para somar ou subtrair frações, é preciso antes escrevê-las com o 
mesmo denominador, isto é, com um denominador comum. Este 
denominador é, simplesmente, um múltiplo comum entre os 
04178253905
�������������	
�	������
����	���������
������������������	����������	�
�������������
�������� ��!"�
�
�
���������	
����
���������������������������������	
���
��������������������������������������������������������
denominadores das frações originais. Falaremos sobre múltiplos adiante, 
de modo que aqui veremos apenas o básico. Vamos entender isto com o 
exemplo abaixo: 
1 3
6 8
+ 
 
 Veja que o número 24 é um múltiplo de 6 (pois 6x4 = 24) e de 8 
(pois 8x3 = 24). 
 Para trocar o denominador da fração 
1
6
 para 24, é preciso 
multiplicar o denominador 6 por 4. Assim, também devemos multiplicar o 
numerador 1 por 4, para manter a fração. Portanto, 
1 4
6 24
= . 
Já para trocar o denominador da fração 
3
8
 para 24, é preciso 
multiplicar o denominador 8 por 3. Assim, também devemos multiplicar o 
numerador 3 por 3, para manter a fração. Portanto, 
3 9
8 24
= . 
Agora sim podemos efetuar a soma: 
1 3 4 9 4 9 13
6 8 24 24 24 24
+
+ = + = = 
 
b) Para multiplicar frações, basta multiplicar o numerador de uma pelo 
numerador da outra, e o denominador de uma pelo denominador da 
outra. Veja nosso exemplo: 
1 3 1 3 3
6 8 6 8 48
×
× = =
×
 
 
c) Para dividir frações, basta multiplicar a primeira pelo INVERSO da 
segunda. Veja isso em nosso exemplo: 
04178253905
�������������	
�	������
����	���������
������������������	����������	�
�������������
�������� ��!"�
�
�
���������	
����
���������������������������������	
���
��������������������������������������������������������
1
1 3 1 8 86
3 6 8 6 3 18
8
= ÷ = × = 
 
 
Ao trabalhar com frações, normalmente podemos substituir a 
expressão “de” pela multiplicação. Veja como: 
- quanto é um terço de 1000? Ora, simplesmente 
1 1000
3
× ! 
- e quanto é dois sétimos de 25? A resposta é 
2 25
7
× . 
- quanto vale um quarto da soma do número de homens (700) e de 
mulheres (600) presentes em um evento? Simplesmente 
1 (700 600)
4
× + . 
- por fim, quanto vale 5/9 da diferença entre os números X e Y? Aqui, a 
resposta é dada pela expressão 
5 ( )
9
X Y× − . 
 Certifique-se de que você entendeu isso. Usaremos bastante disso 
ao longo dos exercícios desta e de outras aulas!1.3.3 OPERAÇÕES COM NÚMEROS DECIMAIS 
 Os números decimais são, em regra, aqueles que resultam da 
divisão não-exata de dois números inteiros. São os números que possuem 
“casas após a vírgula”. A manipulação deles é essencial para a resolução 
de diversas questões, motivo pelo qual você precisa saber somá-los, 
subtraí-los, multiplicá-los, dividi-los, elevá-los a potências e extrair raízes 
dos mesmos. Vejamos cada uma dessas operações em detalhes. 
 
04178253905
�������������	
�	������
����	���������
������������������	����������	�
�������������
�������� ��!"�
�
�
���������	
����
���������������������������������	
���
��������������������������������������������������������
a) Adição de números decimais: 
 A adição de dois números decimais segue a mesma lógica da adição 
comum. Isto é: 
- os números devem ser posicionados um embaixo do outro, com a 
vírgula logo abaixo da vírgula do outro, e as casas correspondentes uma 
embaixo da outra; 
- as casas correspondentes devem ser somadas, começando da direita 
para a esquerda; 
- à medida que forem sendo formadas dezenas, estas devem ser 
transferidas para a próxima adição (das casas logo à esquerda). 
 Vamos aplicar estes passos na adição de 13,47 e 2,9. Colocando os 
números um embaixo do outro, com a vírgula uma embaixo da outra, 
temos todas as casas correspondentes em uma mesma vertical: 
 
 13,47 
+ 2,9 
 
 Veja que a casa das unidades do primeiro número (3) está logo 
acima da casa das unidades do segundo número (2). A primeira casa 
decimal do primeiro número (4) está logo acima da primeira casa decimal 
do segundo (1). E assim por diante. Como não há casa decimal abaixo do 
7, podemos considerá-la igual a 0. Agora, basta começar a somar as 
casas correspondentes, começando pelas da direita, anotando o 
resultado. Quando houver a formação de dezenas (ex.: 4 + 9 = 13), a 
dezena (1) deve ser transferida para a próxima operação (3 + 2). Com 
isso, temos: 
 13,47 
+ 2,9 
 16,37 
 
 
04178253905
�������������	
�	������
����	���������
������������������	����������	�
�������������
�������� ��!"�
�
�
���������	
����
���������������������������������	
���
��������������������������������������������������������
b) Subtração de números decimais: 
 Aqui também devemos posicionar os números um abaixo do outro, 
com a vírgula do primeiro na mesma vertical da vírgula do segundo 
número. A seguir devemos subtrair as casas correspondentes, da direita 
para a esquerda. Vejamos: 
 
 13,47 
- 2,9 
 10,57 
 Repare, neste exemplo, que no momento de efetuar a subtração 4 
– 9 foi preciso pegar uma unidade da casa à esquerda do 4 (no caso, o 3) 
e “transformá-la” em uma dezena, somando-a ao 4. Assim, subtraímos 14 
– 9, obtendo o resultado 5. A seguir, ao invés de subtrair 3 – 2, tivemos 
que subtrair 2 – 2 pois uma unidade do “3” já havia sido utilizada. 
 
c) Multiplicação de números decimais: 
 Aqui aplicamos o mesmo procedimento da multiplicação comum, 
com duas observações: 
- devemos posicionar os números assim como fizemos na adição e na 
subtração, isto é, com a vírgula de um logo abaixo da vírgula do outro. 
- o número de casas decimais do resultado será igual à soma do número 
de casas decimais dos dois números sendo multiplicados. Assim você 
saberá posicionar a vírgula. 
 Vejamos o nosso exemplo: 
 
 13,47 
x 2,9 
 12123 
+ 26940 
 39,063 
 
04178253905
�������������	
�	������
����	���������
������������������	����������	�
�������������
�������� ��!"�
�
�
���������	
����
���������������������������������	
���
��������������������������������������������������������
Repare que a primeira linha abaixo do 2,9 refere-se à multiplicação 
de 13,47 por 9. Já a segunda linha refere-se à multiplicação de 13,47 por 
2. 
Na linha do resultado da multiplicação de 2 por 13,47 há um 0 à 
direita porque o 2 está uma casa decimal à frente do 9. Efetuando a soma 
das duas linhas, obtém-se 39063. E, lembrando que existem 3 casas 
decimais nos números sendo multiplicados (duas em 13,47 e uma em 
2,9), devemos ter 3 casas decimais no resultado, o que leva ao número 
39,063. 
 
d) Divisão de números decimais: 
 Para efetuar a divisão de números decimais, devemos inicialmente 
multiplicar ambos os números (divisor e dividendo) por uma potência de 
10 (10, 100, 1000, 10000 etc.) de modo a retirar todas as casas decimais 
presentes. Após isso, é só efetuar a operação normalmente. 
 Para exemplificar, vamos dividir 3,5 por 0,25. Observe que o 
número que possui mais casas decimais é o divisor (0,25), possuindo 2 
casas decimais. Assim, devemos multiplicar ambos os números por 100, 
de modo a retirar ambas as casas decimais: 
 
3,5 x 100 = 350 
0,25 x 100 = 25 
 
 Agora, basta efetuar a divisão de 350 por 25, que você sabe fazer, 
tendo como resultado o número 14. 
 
1.3.4 REPRESENTAÇÃO NA RETA 
 Veja abaixo a reta numérica, onde podemos representar todos os 
números racionais. As setas nas extremidades denotam que a reta cresce 
infinitamente para ambos os lados: 
04178253905
�������������	
�	������
����	���������
������������������	����������	�
�������������
�������� ��!"�
�
�
���������	
����
���������������������������������	
���
��������������������������������������������������������
 
 
 É possível localizar a posição exata de um número racional na reta 
numérica, ainda que ele seja fracionário. Por exemplo, vamos localizar o 
número 
3
4
, ou 0,75 (na forma decimal). Na reta numérica, basta 
dividirmos o espaço entre 0 e 1 em quatro partes, e colocar o número 
3
4
ao final da terceira delas: 
 
 
 Ainda observando a reta numérica acima, observe que a distância 
do 0 até o 1 é a mesma distância do 0 até o -1. Essa distância mede “1 
unidade”. Da mesma forma, a distância de 0 a 2 é a mesma distância de 
0 a -2. Aqui a distância é de “2 unidades”. 
 
 
 
Chamamos de módulo de um número a distância entre esse número 
e o zero. Utilizamos o símbolo |A| para representar o módulo do número 
A. Assim, como vimos acima, podemos dizer que: 
|1| = 1 
|-1| = 1 
|2| = |-2| = 2 
 
04178253905
�������������	
�	������
����	���������
������������������	����������	�
�������������
�������� ��!"�
�
�
���������	
����
���������������������������������	
���
��������������������������������������������������������
 Repare que, se o número A é positivo (como no caso do 2), o 
módulo é ele mesmo. Se o número A é negativo (como no caso do -2), o 
módulo é o seu oposto (isto é, -(-2) = 2). De maneira mais formal, 
podemos dizer que: 
, se A 0| |
, se A<0
A
A
A
≥
= 
−
 
 
1.4 NÚMEROS IRRACIONAIS 
 Os Números Irracionais são aqueles que, ao contrário dos 
Racionais, não podem ser obtidos da divisão de dois inteiros, ou seja, não 
podem ser escritos na forma (onde A e B são números inteiros). Isto 
porque esses números são formados por uma sequência infinita de 
algarismos. 
Exemplo: na obtenção da raiz quadrada do algarismo 2, nos 
deparamos com um número irracional: 
 
(as reticências indicam que este número é composto por infinitos 
algarismos) 
 
Da mesma forma, o conhecido número (“pi”), muito utilizado na 
trigonometria, possui infinitas casas decimais que não se repetem como 
em uma dízima periódica, o que faz dele um número irracional: 
 
 
Antes de avançarmos, deixo uma observação a respeito da 
representação dos números irracionais na reta numérica: 
- não é possível localizar diretamente um número irracional na retanumérica. Isto porque esses números têm infinitas casas decimais que 
04178253905
�������������	
�	������
����	���������
������������������	����������	�
�������������
�������� ��!"�
�
�
���������	
����
���������������������������������	
���
��������������������������������������������������������
não se repetem, não sendo possível escrevê-los na forma 
A
B
e usar o 
mesmo método que vimos para localizar os números racionais. 
Obs.: existem formas indiretas para a localização desses números na reta 
com boa precisão. Ex.: sabemos que a diagonal de um quadrado de lados 
iguais a 1 mede exatamente 2 , que é um número irracional. Portanto, 
basta desenhar esse quadrado, pegar a sua diagonal e utilizá-la para 
medir, na reta numérica, a distância entre a origem (zero) e a posição 
onde deve estar o número 2 . 
 
1.5 NÚMEROS REAIS 
 O conjunto dos Números Reais é formado pela união dos números 
Racionais e Irracionais. Desta forma, podemos dizer que: 
 
(O conjunto dos Números Naturais está contido no dos Inteiros, que está 
contido no dos Racionais, que está contido no dos Reais) 
 
E, além disso, 
 
(O conjunto dos Números Irracionais está contido no dos Números Reais) 
 
 Complementando o diagrama que desenhamos nos tópicos acima, 
agora temos: 
 
04178253905
�������������	
�	������
����	���������
������������������	����������	�
�������������
�������� ��!"�
�
�
���������	
����
���������������������������������	
���
������������������������������������������������������	�
 
 No diagrama acima, Q/R significa que aquele subconjunto pertence 
aos Números Racionais e Reais, e I/R significa que aquele subconjunto 
pertence aos Números Irracionais e Reais. 
 
1.5.1 OPERAÇÕES COM NÚMEROS REAIS 
 As propriedades das operações com números reais são as mesmas 
já vistas para os racionais. 
 
1.5.2 REPRESENTAÇÃO DOS NÚMEROS REAIS NA RETA 
 Dado que os números reais são formados por 2 subconjuntos 
(racionais e irracionais), sabemos que alguns números reais podem ser 
posicionados precisamente na reta numérica (os racionais) e outros não 
podem ser localizados exatamente (os irracionais). 
 
1.6 POTÊNCIAS 
Observe o exemplo abaixo: 
35 5 5 5 125= × × = 
(lê-se: “cinco elevado à terceira potência é igual a cinco vezes cinco vezes 
cinco”) 
 
 Pelo exemplo dado, você pode perceber que elevar um número X a 
uma determinada potência “n” é simplesmente multiplicar X por ele 
mesmo, “n” vezes. Outro exemplo, para não deixar dúvida: 
42 2 2 2 2 16= × × × = 
(“dois elevado à quarta potência é igual ao dois multiplicado por ele mesmo 4 
vezes”) 
 
Resumindo, quando tratamos sobre potências temos sempre uma base 
(número X) elevada a um expoente (“n”). Entendido o conceito básico, 
04178253905
�������������	
�	������
����	���������
������������������	����������	�
�������������
�������� ��!"�
�
�
���������	
����
���������������������������������	
���
������������������������������������������������������
�
podemos analisar algumas propriedades das potências. Essas 
propriedades facilitarão bastante o manuseio de equações que envolvam 
potências: 
a) Qualquer número elevado a zero é igual a 1. 
Trata-se de uma convenção, isto é, uma definição. Assim, podemos 
dizer que: 
0
0
0
5 1
( 25) 1
0,3 1
=
− =
=
 
 
b) Zero elevado a qualquer número é igual a zero. 
Isso é bem lógico, pois zero elevado a “n” significa zero multiplicado 
por ele mesmo, “n” vezes. Ex.: 
30 0 0 0 0= × × = 
 
c) Multiplicação de potências de mesma base (X): 
A questão aqui é como multiplicar 2 34 4× . Normalmente você faria 
assim: 
× = × × × × =
2 34 4 (4 4) (4 4 4) 1024 
 
Veja que basta somar os expoentes (“n”), uma vez que as duas 
potências têm a mesma base 4: 
+
× = = =
2 3 2 3 54 4 4 4 1024 
 
d) Divisão de potências de mesma base (X): 
Como você faria a divisão 
5
3
4
4
? Provavelmente seria assim: 
5
3
4 4 4 4 4 4 4 4 16
4 4 4 4
× × × ×
= = × =
× ×
 
 
04178253905
�������������	
�	������
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������������������	����������	�
�������������
�������� ��!"�
�
�
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����
���������������������������������	
���
��������������������������������������������������������
Entretanto, observe que basta subtrair os expoentes (“n”), pois o 
numerador e denominador da divisão tem a base 4. Veja: 
5
5 3 2
3
4 4 4 16
4
−
= = = 
 
 Analogamente, observe que 33
1 4
4
−
= . Isto porque: 
0
0 3 3
3 3
1 4 4 4
4 4
− −= = = 
 
 O que vimos acima nos permitirá levar uma potência do numerador 
para o denominador de uma divisão, ou vice-versa, simplesmente 
trocando o sinal da potência. Exemplificando, vamos resolver a expressão 
3 54 4− × . Temos duas formas: 
� Usar a propriedade de multiplicação de potências de mesma base, 
somando os expoentes: 
3 5 ( 3) 5 24 4 4 4 16− − +× = = = 
 
� Usar a propriedade que acabamos de ver, levando 34− para o 
denominador e, a seguir, fazendo a divisão de potências de mesma 
base: 
5
3 5 5 3 2
3
44 4 4 4 16
4
− −
× = = = = 
 
e) Potência de potência: 
A questão agora é resolver 2 3(2 ) . Você poderia inicialmente elevar 2 
à segunda potência (isto é, ao quadrado), e a seguir elevar o resultado à 
terceira potência (ao cubo): 
2 3 3(2 ) (4) 64= = 
 
04178253905
�������������	
�	������
����	���������
������������������	����������	�
�������������
�������� ��!"�
�
�
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����
���������������������������������	
���
��������������������������������������������������������
Entretanto, veja que basta você elevar 2 ao resultado da 
multiplicação entre os dois expoentes: 
2 3 2 3 6(2 ) 2 2 64×= = = 
 
f) Raiz de potência: 
 Quando estudarmos radiciação (próximo tópico), veremos que 
trata-se de uma operação inversa à potenciação. Assim, obter a raiz 
quadrada de um número é equivalente a elevá-lo a 
1
2
, obter a raiz cúbica 
é equivalente a elevá-lo a 
1
3
, e assim por diante. 
 Visto isso, vamos obter o valor de: 62 . Veja que poderíamos fazer 
simplesmente assim: 
62 2 2 2 2 2 2 64 8= × × × × × = = 
 
 Entretanto, como obter a raiz quadrada é igual a elevar a 
1
2
, 
podemos fazer: 
( )
11 66 6 3222 2 2 2 8
×
= = = = 
 
 Note que utilizamos a propriedade anterior (potência de potência) 
para resolver este caso. 
 
g) Potência de produto: 
Se tivermos que resolver uma expressão como 2(2 3)× , podemos 
fazer de algumas formas: 
� 
2 2(2 3) (6) 36× = = 
� 
2(2 3) (2 3) (2 3) 36× = × × × = 
� 
2 2 2(2 3) 2 3 4 9 36× = × = × = 
04178253905
�������������	
�	������
����	���������
������������������	����������	�
�������������
�������� ��!"�
�
�
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����
���������������������������������	
���
��������������������������������������������������������
Veja a última forma. Ela nos diz que um produto A B× elevado à 
uma potência “n” é igual ao produto das potências nA e nB . 
 
h) Potência de base 10: 
Quando a base da potência for 10 e o expoente for um número 
natural “n”, fica bem fácil resolver. O resultado será formado pelo número 
1 seguido de “n” zeros: 
3
6
10 1000
10 1000000
=
=
 
 
 Da mesma forma, se o expoente for um número inteiro negativo, 
basta usar as propriedades que vimos acima. Veja exemplos: 
3
3
6
6
1 110 0,001
10 1000
1 110 0,000001
10 1000000
−
−
= = =
= = =
 
 
i) Potência de base negativa: 
Quando a base da potência é um número negativo, devemos 
analisar qual será o sinal do resultado. Por ex.: 3(-2) = 8 ou -8 ? 
Para isso, fica aqui uma regra:se o expoente for par, o resultado é 
positivo. Se o expoente for ímpar, o resultado será negativo. Neste caso, 
como 3 é ímpar, o resultado correto é -8. Você pode visualizar isso 
melhor fazendo a conta em etapas: 
3(-2) = (-2) (-2) (-2) (4) (-2) 8× × = × = − 
 
 Veja um exemplo com expoente par: 
4(-2) = (-2) (-2) (-2) (-2) (4) (4) 16× × × = × = 
 
j) Fração elevada a um expoente: 
04178253905
�������������	
�	������
����	���������
������������������	����������	�
�������������
�������� ��!"�
�
�
���������	
����
���������������������������������	
���
��������������������������������������������������������
Uma fração elevada a um expoente é igual a outra fração onde 
numerador e denominador estão elevados àquele expoente. Veja: 
3 3
3
2 2
3 3
 
= 
 
 
 
 Isto pode ser visto fazendo a conta em etapas: 
3 3
3
2 2 2 2 2 2 2 2 8
3 3 3 3 3 3 3 3 27
× × 
= × × = = =  × × 
 
 
Vejamos agora algumas potências que são muito utilizadas nas 
provas do ENEM. Primeiramente, vamos ver as potências de 2 até a 
décima. 
20=1 
21=2 
22=4 
23=8 
24=16 
25=32 
26=64 
27=128 
28=256 
29=512 
210=1024 
 
Agora vamos ver até a terceira potência dos números superiores a 2 
e inferiores a 10. 
30=1 31=3 32=9 33=27 
40=1 41=4 42=16 43=64 
50=1 51=5 52=25 53=125 
60=1 61=6 62=36 63=216 
70=1 71=7 72=49 73=343 
04178253905
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�	������
����	���������
������������������	����������	�
�������������
�������� ��!"�
�
�
���������	
����
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���
��������������������������������������������������������
80=1 81=8 82=64 83=512 
90=1 91=9 92=81 93=729 
 
Grande parte das potências apresentadas acima você vai acabar 
decorando com a prática. Quanto às outras, você pode descobri-las 
simplesmente voltando à definição de potenciação e multiplicando o 
número por ele mesmo quantas vezes forem necessárias. 
Repare que não mostramos acima as potências de 10. Isso se deve 
ao fato de que existe um método muito simples para descobrir qualquer 
potência de 10. Vamos supor que você queira calcular 108. Para isso, 
temos: 
108=10 x 10 x 10 x 10 x 10 x 10 x 10 x 10 
 
Tendo em vista que multiplicar por 10 é adicionar um ZERO ao final 
do número temos: 
108=100000000 
108=100.000.000 ou cem milhões 
 
Dito de outra forma, para obter as potências de 10 basta colocar 
uma quantidade de ZEROS igual expoente desejado ao lado do algarismo 
1. Voltando ao exemplo anterior, veja que para obter 108 colocamos 8 
algarismos ZERO ao lado do algarismo 1, formando 100.000.000. 
 
1.7 RAÍZES 
Como já disse acima, a radiciação é uma operação inversa à 
potenciação. Quando dizemos que a raiz quadrada de 9 é 3, isso significa 
que 3 elevado ao quadrado será igual a 9. Isto é: 
29 3 3 9= ⇔ = 
 
04178253905
�������������	
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����	���������
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�������������
�������� ��!"�
�
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����
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���
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 A operação de radiciação pode ser escrita usando-se o símbolo n 
ou elevando o número em questão ao expoente 
1
n
. Veja alguns 
exemplos: 
1
3 327 27 3= = , pois 33 27= 
1
2 216 16 4= = , pois 24 16= 
 
 Veja que, quando se trata de raiz quadrada, podemos usar o 
símbolo 2 ou simplesmente . 
 
As principais propriedades da radiciação são: 
a) Qualquer raiz de zero é igual a zero: 
Isto é, 0 0n = . Isto porque zero elevado a qualquer número também 
resulta em zero. 
 
b) Qualquer raiz de 1 é igual a 1: 
Ou seja, 1 1n = . Isto porque 1 elevado a qualquer número também 
resulta em 1. 
 
c) 
a
b a bx x= 
Essa é uma propriedade muito importante. Exemplificando, 
6
3 6 234 4 4 16= = = . 
 
d) Raiz “n” de produto é igual ao produto das raízes “n”: 
Isto é, a raiz “n” de A x B é igual a raiz “n” de A x raiz “n” de B: 
n n nA B A B× = × 
Veja que essa propriedade só vale se ambas as raízes tiverem o 
mesmo radical “n”. Ilustrando, temos que: 
25 16 25 16 5 4 20× = × = × = 
04178253905
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������������������	����������	�
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�������� ��!"�
�
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���������	
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���
��������������������������������������������������������
 
e) Raiz da divisão é igual à divisão das raízes: 
A raiz de A/B é igual à raiz de A dividida pela raiz de B: 
n
n
n
A A
B B
= 
 
Veja esse exemplo: 
25 25 5
16 416
= = 
 
f) Raiz de raiz: 
Por essa propriedade, temos que n m n mA A×= . Exemplificando: 
3 3 2 62 2 2×= = 
 
 Isso pode ser visto usando-se as propriedades de potência: 
1
1 1 11 1 333 62 3 62 22 2 2 2 2 2
× 
= = = = 
 
= 
 
 
 
 Existem raízes exatas e raízes não exatas. Por exemplo, a raiz 
quadrada de 25 é igual a 5, pois 52 = 25. Da mesma forma, a raiz 
quadrada de 169 é 13, pois 132 = 169. Chamamos de “quadrados 
perfeitos” os números que possuem raiz quadrada exata. Para facilitar os 
seus cálculos, é interessante que você guardar alguns deles. Veja na lista 
abaixo: 
 
04178253905
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������������������	����������	�
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�������� ��!"�
�
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����
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���
��������������������������������������������������������
QUADRADOS PERFEITOS: 1, 4, 9, 16, 25, 36, 49, 64, 81, 100, 121, 144, 
169, 196, 225, 256, 289, 324, 361, 400, 900, 1600, 2500... 
 
Os números que possuem raiz cúbica exata são conhecidos como 
“cubos perfeitos”. Alguns exemplos podem ser vistos abaixo: 
CUBOS PERFEITOS: 27, 64, 125, ... 
 
Em alguns exercícios pode ser que você precise calcular a raiz 
quadrada de números que não possuem raiz exata. Neste caso, é 
interessante que você saiba com chegar a um valor aproximado da raiz. 
Por exemplo, suponha que você precise calcular a raiz quadrada de 5. 
Você pode começar observando que 5 está entre dois quadrados 
perfeitos: 4 e 9. Portanto, como 4 = 22 e 9 = 32, vemos que a raiz 
quadrada de 5 deve estar entre 2 e 3. Vamos testar 2,5. Note que 2,52 = 
2,5 x 2,5 = 6,25. Este número é maior do que 5. Portanto, a raiz de 5 
deve ser menor do que 2,5, ou melhor, ela está entre 2 e 2,5. Podemos 
testar agora 2,3: 2,32 = 5,29. Veja que já estamos mais próximos de 5, 
mas ainda estamos acima. A raiz de 5 está entre 2 e 2,3. Podemos testar 
2,2. Veja que 2,22 = 4,84. Agora chegamos em um valor menor que 5. 
Isso sugere que a raiz de 5 é um número entre 2,2 e 2,3. Testando 2,25, 
temos 2,252 = 5,06. Note que chegamos muito próximos de 5. Esta já é 
uma boa aproximação para os cálculos que você precisar fazer em uma 
questão, ou seja, a raiz quadrada de 5 é aproximadamente igual a 2,25. 
 
Chamamos este método simples de “tentativa e erro”, justamente 
porque vamos testando valores. Para exercitar melhor, vamos trabalhar 
mais um exemplo. Suponha que precisamos calcular a raiz quadrada de 
130. Sabemos que 102=100. Vejamos quanto é 112 = 11 x 11 = 121. 
Ainda não chegamos ao 130. Vamos tentar 122=12 x 12 = 144. Sabendo 
que 112=121 e 122=144 temos que a raiz de 130 está entre 11 e 12. 
Vamos tentar 11,52 = 132,25. Passou um pouquinho! Vamos tentar 
04178253905
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11,42 = 129,96. Pronto, está aí uma ótima aproximação para a raizquadrada de 130. 
 
1.8 NOTAÇÃO CIENTÍFICA 
 A notação científica é uma maneira de escrever números de forma a 
facilitar a compreensão da sua ordem de grandeza, utilizando-se para isso 
das potências de 10. A ordem de grandeza de um número é justamente a 
potência de 10 mais próxima a ele. Assim, vejamos um exemplo: 
 Vamos escrever o número 415813109 em notação científica. 
Iniciamos colocando pontos a cada três casas, da unidade para a 
esquerda, a fim de facilitar a identificação das potências de 10 (por 
exemplo: milhares, milhões, etc). Temos: 
415.813.109 
 
 Estamos diante de um número que apresenta centenas de milhões. 
Como fazer para representá-lo em notação científica? Basta escrevê-lo 
como sendo um número vezes a potência de 10 correspondente, da 
seguinte forma: 
4,15813109 x 108 
 
 Veja que a vírgula que estava à direita do algarismo 9 (note: 
415.813.109,00) andou 8 casas para a esquerda. 
 
 
A cada casa que a vírgula anda para a esquerda, uma unidade é 
adicionada no expoente da potência de 10, de forma a preservar o 
número original. 
Assim, de maneira mais formal, podemos definir que escrever um 
número em notação científica é escrevê-lo na seguinte forma: m x 10e, 
em que “e” é o expoente da potência de 10 (o qual está relacionado com 
04178253905
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a ordem de grandeza) e o “m” é a mantissa. A mantissa deve seguir uma 
regra: seu valor em módulo deve estar entre 1 e 10. Vejamos o porquê: 
• Caso tivéssemos uma mantissa inferior a 1, por exemplo: 
0,65 x 105, este número não estaria em notação científica. 
Para estar, deveríamos fazer a seguinte alteração utilizando-
nos das propriedades da potenciação: 
0,65 x 105 = 
0,65 x 101 x 104 = 
6,5 x 104 
 
• Caso tivéssemos uma mantissa superior a 10, por exemplo: 
650 x 102, este número não estaria em notificação científica. 
Para estar, deveríamos fazer a seguinte alteração utilizando-
nos, mais uma vez, das propriedades da potenciação: 
650 x 102 = 
6,5 x 102 x 102 = 
6,5 x 10(2+2)= 
6,5 x 104 
 
1.9 EXPRESSÕES NÚMERICAS 
 Uma expressão numérica é uma sequência de números dispostos de 
acordo com sinais matemáticos, que indicam as operações a serem 
efetuadas. Veja um exemplo: 
{ }( 25 2) (9 3) 7 4 + × − − ÷ =  
 
 A resolução desse tipo de expressão é muito simples, desde que 
você se lembre das seguintes regras: 
1. Primeiro resolver o que está dentro dos parênteses, depois o que está 
entre colchetes, e a seguir o que está entre chaves. 
04178253905
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2. Primeiro resolver operações de radiciação ou potenciação, a seguir 
multiplicação ou divisão, e a seguir resolver operações de soma ou 
subtração. 
 Utilizando o nosso exemplo, veja que devemos inicialmente resolver 
as duas operações que se encontram entre parênteses. Dentro desses 
parênteses, veja que há uma operação de radiciação ( 25 ), que é a 
primeira a ser resolvida: 
[ ]{ }(5 2) (9 3) 7 4+ × − − ÷ = 
 
 A seguir, resolvemos as demais operações dentro dos parênteses, 
obtendo: 
[ ]{ }7 6 7 4× − ÷ = 
 
 Agora devemos resolver a multiplicação dentro dos colchetes: 
{ }42 7 4− ÷ = 
 
 Em seguida resolvemos a subtração dentro das chaves: 
35 4÷ = 
 
 Por fim, resolvemos a divisão que se encontrava fora das chaves, 
obtendo: 
35 4 8,75÷ = 
 
Vale a pena lembrar aqui que uma fração é uma operação de 
divisão como outra qualquer, e se houver uma fração em sua expressão 
numérica, basta resolvê-la no momento que você resolveria aquela 
operação de divisão. 
 
 
04178253905
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1.10 SISTEMA DE NUMERAÇÃO DECIMAL 
O sistema de numeração decimal é o que usamos no nosso dia-a-
dia. Ele tem como base o número 10. Ao utilizá-lo contamos de 10 em 10, 
formando grupos a cada 10 unidades, os quais convencionou-se chamar 
de dezenas, centenas, milhares e assim por diante. Nesse sistema, 
utilizamos os algarismos 0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8 e 9 para formar qualquer 
número. 
No sistema decimal, se temos um número como 5734, dizemos que 
o 4 é o algarismo das Unidades, o 3 é o algarismo das Dezenas, o 7 é o 
algarismo das centenas, e o 5 é o algarismo dos Milhares. Podemos 
reescrever este número em função das potências de 10. Para isso basta 
multiplicar o algarismo das unidades por 1, o das dezenas por 10, o das 
centenas por 100, o dos milhares por 1000, e assim por diante. 
Exemplificando: 
5734 = 5x1000 + 7x100 + 3x10 + 4x1 
ou 
5734 = 5000 + 700 + 30 + 4 
ou 
5734 = 5x103 + 7x102 + 3x101 + 4x100 
 
De maneira geral, se temos um número do tipo ABCD, onde cada 
letra representa uma casa decimal, podemos dizer que: 
ABCD = Ax1000 + Bx100 + Cx10 + D 
 
Vamos observar como aplicar esses conceitos na prática, 
trabalhando o seguinte problema: 
“Imagine que João é pai de Alberto. João tem XY anos de idade e Alberto 
tem YX anos, onde X e Y são algarismos do sistema decimal. Sabendo 
que a diferença de idade entre eles é de 27 anos, apresente um possível 
valor para a idade de João.” 
 
04178253905
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 Sendo XY e YX as idades, podemos dizer que: 
Idade de João – Idade de Alberto = 27 
XY – YX = 27 
(10X + Y) – (10Y + X) = 27 
10X + Y – 10Y – X = 27 
9X – 9Y = 27 
9X = 27 + 9Y 
X = 27/9 + 9Y/9 
X = 3 + Y 
 
 A partir desta última expressão, que relaciona X e Y, podemos 
encontrar possíveis soluções para o problema. Por exemplo, se Y for igual 
a 1, então X = 3 + Y = 3 + 1 = 4. Deste modo, a idade de João é XY = 
41, e a de Alberto é YX = 14. Note que, de fato, a diferença de idades é 
41 – 14 = 27. Portanto, esta é uma possível solução, mas não a única. 
Poderíamos ter Y = 2 e X = 3+2 = 5, por exemplo, ficando João com 52 
anos e Alberto com 25. E assim por diante... 
 
No entanto, nem todos os sistemas de numeração são decimais. Um 
sistema muito comum no meio digital é o sistema binário, que conta de 2 
em 2 (ou seja, base 2) e se utiliza apenas dos algarismos 0 e 1 para 
representar as quantidades. 
 
Suponha que queiramos transformar o número decimal 37 em 
binário. O primeiro passo é escrever esse número como a soma de 
potências de 2. Veja que 37 é igual a 32 + 4 + 1 que, por sua vez, são 
iguais a 2^5 + 2^2 + 2^0. Portanto, podemos dizer que: 
37 = 
32 + 4 + 1 = 
25 + 22 + 20 = 
1x25 + 0x24 + 0x23 + 1x22 + 0x21 + 1x20 
04178253905
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A partir dos números em negrito na última expressão, podemos 
escrever 37 em binário como 100101. 
 
Vamos agora transformar o número decimal 173 em binário. Para 
isso, vamos recorrer às potênciasde 2 que vimos anteriormente. 
Podemos dizer que 173 = 128 + 32 + 8 + 4 + 1. Assim, temos: 
173 = 
128 + 32 + 8 + 4 + 1 = 
27 + 25 + 23 + 22 + 20 = 
1x27 + 0x26 + 1x25 + 0x24+ 1x23 + 1x22 + 0x21 + 1x20 
A partir dos números em negrito na última expressão, podemos 
escrever 173 em binário como 10101101. 
 
Assim como o sistema de numeração binário, o sistema 
hexadecimal também é muito utilizado em computadores e 
processadores, ou seja, no mundo digital de uma maneira geral. Este 
sistema possui base 16, ou seja, nele agrupamos as quantidades de 16 
em 16. Para isso, ele se utiliza de seis letras que se somam aos 
algarismos já conhecidos por nós no sistema decimal para representar 
qualquer quantidade. São utilizados os seguintes símbolos: 0, 1, 2, 3, 4, 
5, 6, 7, 8, 9, A, B, C, D, E e F. 
 
 
 
 
 
 
 
04178253905
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2. RESOLUÇÃO DE EXERCÍCIOS 
 Inicialmente vamos trabalhar alguns exercícios de fixação do 
conteúdo aprendido até aqui, alguns deles bem simples. Posteriormente, 
trabalharemos algumas questões do ENEM de anos passados. Lembre-se: 
é muito importante que você execute os cálculos à mão, pois é assim que 
você deverá fazer na hora da prova. Além disso, é com a prática que 
vamos ficar cada vez melhores. 
 
1. EXERCÍCIO DE FIXAÇÃO) Resolva a seguinte expressão numérica: 
3 1
10 3, 2
+
 
RESOLUÇÃO: 
Estamos diante de uma soma de frações. Sabemos que para somar 
frações devemos antes encontrar um denominador comum. Uma forma 
simples de fazer isso é utilizar como denominador comum o produto dos 
dois denominadores presentes na fração. No nosso caso, o produto 
desses denominadores seria 
10 x 3,2 = 32 
 
Ou seja, 32 é um denominador comum entre 10 e 3,2. 
Outro detalhe importante de ser recordado é que a fração não muda 
se multiplicarmos o numerador e o denominador pelo mesmo número. 
Com isso em mente, vamos multiplicar tanto o numerador quanto o 
denominador da primeira fração por 3,2. Assim, obtemos: 
3 3 3,2 9,6
_
10 10 3, 2 32
primeira fração ×= = =
×
 
 
04178253905
�������������	
�	������
����	���������
������������������	����������	�
�������������
�������� ��!"�
�
�
���������	
����
���������������������������������	
���
��������������������������������������������������������
 Faremos o mesmo procedimento com a segunda fração, porém, 
multiplicaremos o numerador e o denominador por 10. 
1 1 10 10
_
3, 2 3, 2 10 32
segunda fração ×= = =
×
 
 
 Repare que agora obtemos tanto na primeira fração quanto na 
segunda o mesmo denominador (32), que é o denominador comum que 
nos dispusemos a utilizar anteriormente. Agora falta só finaliza a soma 
das frações: 
9,6 10
32 32
+
 
9,6 10
32
+
 
19,6
32 
 
2. EXERCÍCIO DE FIXAÇÃO) Encontre a fração geratriz da dízima: 
0,04353535... 
RESOLUÇÃO: 
 Chamemos de X a fração que dá origem a esta dízima. Ou seja, 
X = 0,04353535... 
 
 Como a repetição começa somente na terceira casa após a vírgula e 
a mesma é formada por dois números (35), se multiplicarmos esta dízima 
por 104 conseguimos passar, para o outro lado da vírgula, os primeiros 
números da repetição: 
104 X = 10000 X = 10000 x 0,04353535... 
 10000X = 435,3535... (1) 
 
04178253905
�������������	
�	������
����	���������
������������������	����������	�
�������������
�������� ��!"�
�
�
���������	
����
���������������������������������	
���
��������������������������������������������������������
Se multiplicarmos a dízima por 102 teremos: 
102 X = 100 X = 100 x 0,04353535... 
 100X = 4,3535... (2) 
 
Subtraindo a expressão (2) da expressão (1), teremos o resultado 
abaixo. 
10000X – 100X = 435,3535... – 4,3535... 
 
 As duas dízimas à direita da igualdade acima possuem infinitas 
casas decimais idênticas e, portanto, se anulam com a subtração. 
Portanto, temos como resultado: 
9900X = 431 
X = 431/9900 
 
 Assim, descobrimos que a fração geratriz da dízima 0,04353535... é 
431
9900
X =
. 
 
3. EXERCÍCIO DE FIXAÇÃO) Resolva a seguinte expressão numérica: 
2 4(4 2 3)
256
+ ⋅
 
RESOLUÇÃO: 
 Acompanhe abaixo o passo a passo da resolução. Primeiramente 
resolvemos a potenciação existente dentro dos parênteses: 
4(4 4 3)
256
+ ⋅
 
 Posteriormente, resolvemos a multiplicação presente dentro dos 
parênteses: 
04178253905
�������������	
�	������
����	���������
������������������	����������	�
�������������
�������� ��!"�
�
�
���������	
����
���������������������������������	
���
��������������������������������������������������������
4(4 12)
256
+
 
 Agora, fazemos a adição ainda dentro do parênteses. 
4(16)
256 
 O próximo passo é resolver a potenciação ou a raiz, ficando a nosso 
critério. Repare que tirar a raiz quadrada é o mesmo que elevar a 1/2. 
Assim, vamos simplificar o expoente da potenciação com a raiz. 
4
216
256 
Desta forma obtemos como expoente apenas o 2: 
216
256 
Resolvemos a potenciação e chegamos a uma fração que nos levará 
ao resultado da expressão: 
256
256 
O resultado da expressão é 1. 
 
4. EXERCÍCIO DE FIXAÇÃO) Coloque em ordem crescente os números 
racionais abaixo: 
9; 3,5; 1/2; -3/4; -3; -0,5 
RESOLUÇÃO: Para resolver este exercício nos utilizaremos da régua 
numérica, onde podemos representar todos os números racionais. As 
setas nas extremidades denotam que a reta cresce infinitamente para 
ambos os lados: 
 
04178253905
�������������	
�	������
����	���������
������������������	����������	�
�������������
�������� ��!"�
�
�
���������	
����
���������������������������������	
���
������������������������������������������������������	�
 
 Vamos localizar a posição exata dos números fornecidos na reta 
numérica, ainda que algum deles seja fracionário. 
Por exemplo, vamos localizar o número -
3
4
, ou -0,75 (na forma 
decimal). Na reta numérica, basta dividirmos o espaço entre 0 e -11 em 
quatro partes, e colocar o número 
3
4
ao final da terceira delas. Assim 
também fazemos com o -0,5. Dividimos o espaço entre 0 e -1 ao meio, 
onde o -0,5 estará localizado. Para o 1/2 não podia ser diferente. 
Dividimos o espaço entre o 0 e o 1 ao meio, onde o 1/2 estará localizado. 
Abaixo demos um zoom na régua para entender o que foi explicado 
agora. 
 
 Dessa forma, temos que a ordem crescente dos números dados é: 
-3; -3/4; -0,5; 1/2; 3,5; 9 
 
5. EXERCÍCIO DE FIXAÇÃO) Escolha dentre as opções abaixo aquela 
que melhor representa os conjuntos numéricos e sua hierarquia, sendo 
I/R os números irracionais reais, Q/R os racionais reais, Z o conjunto dos 
números inteiros e N os naturais. 
 
04178253905
�������������	
�	������
����	���������
������������������	����������	�
�������������
�������� ��!"�
�
�
���������	
����
���������������������������������	
���
������������������������������������������������������
�
 
(A) 
(B) 
04178253905
�������������	
�	������
����	���������
������������������	����������	�
�������������
�������� ��!"�
�
�
���������	
����
���������������������������������	
���
��������������������������������������������������������
(C) 
 
(D) 
04178253905
�������������	
�	������
����	���������
����������������������������	�
�������������
�������� ��!"�
�
�
���������	
����
���������������������������������	
���
��������������������������������������������������������
(E) 
RESOLUÇÃO: Para resolver esta questão devemos nos lembrar que o 
conjunto dos Números Reais é formado pela união dos números Racionais 
(Q/R) e Irracionais (I/R), sendo que os racionais contém o conjunto dos 
inteiros (Z), e este por sua vez contém o conjunto dos naturais (N). Desta 
forma, podemos dizer que: 
 
(O conjunto dos Números Naturais está contido no dos Inteiros, que está 
contido no dos Racionais, que está contido no dos Reais) 
 E, além disso, 
 
(O conjunto dos Números Irracionais está contido no dos Números Reais) 
 Assim temos que o diagrama que representa isso corretamente é o 
da letra D. 
RESPOSTA: D 
 
04178253905
�������������	
�	������
����	���������
������������������	����������	�
�������������
�������� ��!"�
�
�
���������	
����
���������������������������������	
���
��������������������������������������������������������
6. EXERCÍCIO DE FIXAÇÃO) Faça a multiplicação abaixo: 
137,63 x 60,8 
 
RESOLUÇÃO: Vamos utilizar o método que vimos na teoria para resolver 
essa questão. Colocamos primeiramente os números um abaixo do outro, 
com as vírgulas alinhadas. 
 Começamos fazendo o produto do algarismo 8 por 137,63. Acima 
do 137,63 estão os números que “subiram” para se somar com o 
resultado da multiplicação do 8 pelo algarismo seguinte. Exemplificando: 
8 x 3 = 24. Logo o “4” vai para a linha do resultado e o “2” sobe para se 
somar ao resultado de 8 x 6; e assim em diante. 
 3 6 5 2 
137,63 
 x 60,8 
 110104 
 
 Agora vamos fazer o produto do algarismo 6 por 137,63 tomando o 
cuidado de adicionar dois zeros no resultado, visto que o 6 está duas 
casas à esquerda do 8 no número 60,8. Assim temos: 
 2 4 3 1 
137,63 
 x 60,8 
 110104 
 8257800 
 Agora basta somar as duas linhas de resultado obtidas 
anteriormente. Como temos 3 casas decimais ao todo (duas no 137,63 e 
uma no 60,8), a vírgula anda 3 casas decimais para a esquerda no 
resultado. 
 110104 
04178253905
�������������	
�	������
����	���������
������������������	����������	�
�������������
�������� ��!"�
�
�
���������	
����
���������������������������������	
���
��������������������������������������������������������
 + 8257800 
 8367,904 
 
7. EXERCÍCIO DE FIXAÇÃO) Resolva a expressão abaixo: 
2
3
0
7 15
10
+
 
RESOLUÇÃO: Primeiramente vamos resolver as potenciações. Sabemos 
que 72 é 7 x 7 = 49. E sabemos que todo número elevado a zero é 1. 
Logo, temos: 
3
49 15
1
+
 
 
 Sabemos que todo número dividido por 1 é igual a ele mesmo. 
Fazemos então a operação de adição obtendo: 
3
64
1
 
3 64 
 Sabemos que a raiz quadrada de 64 é 8, visto que 8 x 8 = 64. 
Logo: 
3 8 
 Como a raiz cúbica de 8 é 2, porque 2 x 2 x 2 = 8, temos como 
resultado final o número 2. 
 
8. EXERCÍCIO DE FIXAÇÃO) Coloque o número abaixo em notação 
científica: 
288263524 
04178253905
�������������	
�	������
����	���������
������������������	����������	�
�������������
�������� ��!"�
�
�
���������	
����
���������������������������������	
���
��������������������������������������������������������
 
RESOLUÇÃO: Começamos separando as casas de três em três, marcando 
os milhares, de forma a facilitar a compreensão do número. 
288.263.524 
 
 Logo, temos um número da ordem de centenas de milhões. 
Sabemos que mil corresponde a 103. Um milhão é mil vezes mil, logo, um 
milhão é 103 x 103 = 106. 
 Uma centena é 102. Logo, uma centena de milhão é 102 x 106 = 108. 
 Logo, para colocar esse número em notação científica basta andar 
com a vírgula 8 casas para a esquerda e multiplicar por 108, da seguinte 
forma: 
2,88263524 x 108 
 
9. EXERCÍCIO DE FIXAÇÃO) A afirmação abaixo é verdadeira ou falsa? 
6 é maior do que 2,75 
Dados: 2 1, 4= e 3 1,7= 
 
RESOLUÇÃO: 
 Para resolver essa questão podemos utilizar uma propriedade das 
raízes que vimos nessa aula: 
n n nA B A B× = × 
 Assim, temos: 
6 2 3 2 3= × = ×
 
 Vamos utilizar as duas aproximações fornecidas pelo enunciado: 
04178253905
�������������	
�	������
����	���������
������������������	����������	�
�������������
�������� ��!"�
�
�
���������	
����
���������������������������������	
���
��������������������������������������������������������
2 1, 4=
 
3 1,7=
 
 
Com a prática vocês vão notar que essas duas aproximações são 
muito presentes nas provas. Em outros casos, perceberão que nem 
sempre poderemos nos utilizar das aproximações, mas isso veremos em 
outras situações ao longo do curso. Assim, temos: 
2 3 1,4 1,7 2,38× = × =
 
 
 Ou seja, a afirmativa é ERRADA: 6 é menor do que 2,75. 
 
 Outra forma de resolver o exercício seria por tentativa e erro para 
obter a raiz de 6, fazendo a multiplicação de um número por ele mesmo 
até chegar a 6. Sabemos que 22 = 4 e 32 = 9, logo, a raiz de 6 é um 
número entre 2 e 3. Vamos tentar o 2,5. Assim temos 2,52=6,25. Logo, a 
raiz de 6 é um número inferior a 2,5 e, portanto, também inferior a 2,75. 
 
 Uma terceira forma de resolver essa questão parte do seguinte 
princípio, que é bem intuitivo: se um número A é maior que um número 
B, então A2 também é maior que B2. (veremos mais à frente em nosso 
curso que isto só vale para números positivos). Assim, ao invés de 
comparar os números originais, podemos comparar os seus quadrados. O 
quadrado da raiz de 6 é simplesmente 6. Já o quadrado de 2,75 é 2,752 = 
2,75 x 2,75 = 7,56. Veja que o quadrado de 2,75 é maior do que 6, 
portanto 2,75 também é MAIOR que raiz de 6. 
 
04178253905
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�
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10. EXERCÍCIO DE FIXAÇÃO) Diga se a afirmação abaixo é verdadeira 
ou falsa: 
41 42 42
42 42
⋅ +
⋅ é um número inteiro 
 
RESOLUÇÃO: Para resolver esse exercício vamos utilizar a seguinte 
propriedade da multiplicação: 
Ax(B+C) = (AxB) + (AxC) 
 
No entanto, vamos usar essa propriedade “ao contrário”, da 
seguinte forma: 
(AxB) + (AxC)= Ax(B+C) 
 
A igualdade permanece, só que na passagem acima saímos de duas 
multiplicações em que o A estava presente e chegamos a apenas uma em 
que ele ficou em “evidência”. Chamamos isso justamente de colocar A em 
evidência. Façamos isso com o número 42 no numerador da expressão 
fornecida pelo exercício: 
41 42 42 42(41 1)⋅ + = +
 
 
Substituindo a igualdade acima na expressão inicial, temos: 
41 42 42
42 42
⋅ +
=
⋅ 
42(41 1)
42 42
+
⋅ 
 
04178253905
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�
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����
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���
��������������������������������������������������������
Vejam que o 42 ficou em evidência. Agora podemos simplificar a 
expressão pois temos o 42 tanto no numerador quanto no denominador, 
da seguinte

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