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Aula 01 Matemática e suas Tecnologias p/ ENEM 2016 Professores: Arthur Lima, Hugo Lima ������������� � ������ ���� ��������� ������������������ ���������� � ������������� �������� ��!"� � � ��������� ���� ��������������������������������� ��� ������������������������������������������������������� AULA 01: Operações em conjuntos numéricos SUMÁRIO PÁGINA 1. Teoria 01 2. Resolução de exercícios 45 3. Questões apresentadas na aula 87 4. Gabarito 103 Olá! Nesta primeira aula aprenderemos alguns tópicos de matemática básica que você certamente já estudou em algum momento da vida, mas talvez não se lembre mais! São tópicos sempre presentes no edital do ENEM, e que também servem de base para o entendimento e a resolução de diversas questões sobre assuntos mais complexos. Caso você avalie que já conhece suficientemente bem esses assuntos, fique à vontade para passar mais rapidamente ou mesmo “pular” essa aula, ou então dedicar algum tempo apenas aos exercícios resolvidos ao longo da mesma. Tenha uma excelente aula. Permaneço à disposição no fórum, ok? 1. TEORIA Chamamos de conjuntos numéricos as principais classificações dos números conhecidos. Nos próximos tópicos conheceremos os principais conjuntos, suas propriedades e suas operações. 1.1 NÚMEROS NATURAIS Os números naturais têm esse nome por serem aqueles mais intuitivos, de “contagem natural”. Isto é, são aqueles construídos com os 04178253905 ������������� � ������ ���� ��������� ������������������ ���������� � ������������� �������� ��!"� � � ��������� ���� ��������������������������������� ��� ������������������������������������������������������� algarismos de 0 a 9. O símbolo desse conjunto é a letra N, e podemos escrever os seus elementos entre chaves: N = {0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9, 10, 11, 12, 13, 14, 15, 16, 17, 18, 19, 20, 21, 22…} As reticências indicam que este conjunto não tem fim, ou seja, existem infinitos números naturais. Apesar de incluído neste conjunto, o zero não é um número natural propriamente dito (pois não é um número de “contagem natural”). Por isso, utiliza-se o símbolo N* para designar os números naturais positivos, isto é, excluindo o zero. Veja: N* = {1, 2, 3, 4…} Relembre alguns conceitos básicos relacionados aos números naturais: a) Sucessor: é o próximo número natural. Isto é, o sucessor de 2 é 3, e o sucessor de 21 é 22. E o sucessor do número “n” é o número “n+1”. b) Antecessor: é o número natural anterior. Isto é, o antecessor de 2 é 1, e o antecessor de 21 é 20. E o antecessor do número “n” é o número “n-1”. Observe que o número natural zero não possui antecessor, pois é o primeiro número desse conjunto. c) Números consecutivos: são números em sequência. Assim, {2,3,4} são números consecutivos, porém {2,5,4} não são. E veja que podemos representar por {n-1, n e n+1} uma sequência de três números consecutivos. 04178253905 ������������� � ������ ���� ��������� ������������������ ���������� � ������������� �������� ��!"� � � ��������� ���� ��������������������������������� ��� ������������������������������������������������������� d) Números naturais pares: {0, 2, 4...}. Número par é aquele que, ao ser dividido por 2, não deixa resto. Por isso o zero também é par. e) Números naturais ímpares: {1, 3, 5...}. Ao serem divididos por 2, deixam resto 1. Sobre pares e ímpares, vale a pena perceber que: - a soma ou subtração de dois números pares tem resultado par. Ex.: 12 + 6 = 18; 12 – 6 = 6. - a soma ou subtração de dois números ímpares tem resultado par. Ex.: 13 + 5 = 18; 13 – 5 = 8. - a soma ou subtração de um número par com outro ímpar tem resultado ímpar. Ex.: 12 + 5 = 17; 12 – 5 = 7. - a multiplicação de números pares tem resultado par: 4 x 6 = 24. - a multiplicação de números ímpares tem resultado ímpar: 3 x 5 = 15. - a multiplicação de um número par por um número ímpar tem resultado par: 2 x 3 = 6. Veja essas regrinhas resumidas na tabela abaixo: Operação 2 números pares 2 números ímpares Par e ímpar Soma / subtração Par Par Ímpar Multiplicação Par Ímpar Par Para a divisão não temos uma regra equivalente. Repare, por exemplo, que a divisão entre dois números pares pode ter resultado par ou ímpar: 16 / 4 = 4 e 20 / 4 = 5. 1.2 NÚMEROS INTEIROS 04178253905 ������������� � ������ ���� ��������� ������������������ ���������� � ������������� �������� ��!"� � � ��������� ���� ��������������������������������� ��� ������������������������������������������������������� Os números inteiros são os números naturais e seus respectivos opostos (negativos). Isto é, Z = {... -11, -10, -9, -8, -7, -6, -5, -4, -3, -2, -1, 0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9, 10, 11...} Observe que todos os números Naturais são também Inteiros, mas nem todos os números inteiros são naturais. Assim, podemos dizer que o conjunto de números naturais está contido no conjunto de números inteiros, isto é, N Z, ou ainda que N é um subconjunto de Z. O diagrama abaixo explicita esta relação entre N e Z: Dentro deste conjunto, podemos destacar alguns subconjuntos de números. Vejam que os nomes dos subconjuntos são autoexplicativos: a) Números Inteiros não negativos: Z+ = {0,1,2,3...}. Veja que são os números naturais. b) Números Inteiros não positivos: Z- = {… -3, -2, -1, 0}. Veja que o zero também faz parte deste conjunto, assim como também fez parte do anterior, pois ele não é positivo nem negativo. c) Números inteiros negativos: Z*- = {… -3, -2, -1}. O zero não faz parte. 04178253905 ������������� � ������ ���� ��������� ������������������ ���������� � ������������� �������� ��!"� � � ��������� ���� ��������������������������������� ��� ������������������������������������������������������� d) Números inteiros positivos: Z*+= {1, 2, 3...}. Novamente, o zero não faz parte. e) Números inteiros não nulos: Z* = {..., -3, -2, -1, 1, 2, 3, ...}. Note que neste caso basta excluir o zero. 1.3 NÚMEROS RACIONAIS Os números racionais são aqueles que podem ser representados na forma da divisão de dois números inteiros. Isto é, são aqueles números que podem ser escritos na forma (A dividido por B), onde A e B são números inteiros. Exemplos: é Racional, pois é a divisão do número inteiro 5 pelo número inteiro 4. é Racional, pois é a divisão do número inteiro -15 pelo número inteiro 9, ou a divisão de 15 por -9. 73 e -195 são Racionais, pois são a divisão dos números 73 e -195 pelo número 1. Observe este último exemplo. Já tínhamos visto que qualquer número natural é também inteiro. E agora vemos que todo número inteiro é também racional! Isto porque qualquer número inteiro é o resultado da divisão dele mesmo por 1, podendo ser representado na forma (A dividido por 1, onde A é um número inteiro qualquer). Veja se este novo diagrama, contendo os números Naturais, Inteiros e Racionais, faz sentido para você: 04178253905 ������������� � ������ ���� ��������� ������������������ ���������� � ������������� �������� ��!"� � � ��������� ���� ��������������������������������� ��� ������������������������������������������������������� O zero também faz parte dos Números Racionais (pode ser escrito na forma , concorda?). Porém, quando escrevemos um número racional na forma , o denominador (isto é, o número B) nunca é zero. Isto porque a divisão de umnúmero por zero é impossível (exceto 0 0 , cujo valor é indeterminado). No conjunto dos Números Racionais, temos basicamente 3 tipos de números: a) Frações. Ex.: , , etc. b) Números decimais com número finito de casas. Ex.: 1,25 Veja que este número decimal tem escrita finita, isto é, um número definido de casas após a vírgula (são duas casas decimais). Por isso, ele também poderia ser escrito na forma . Neste caso, poderíamos representá-lo como , ou mesmo simplificá-lo para . c) Dízimas periódicas. Ex.: 0,33333... ou simplesmente (a barra indica que o algarismo 3 repete-se indefinidamente). As dízimas periódicas são consideradas racionais porque também podem ser escritas na forma . O número deste exemplo poderia ser escrito na forma . Outro exemplo de dízima periódica é: 1,352525252... ou . 04178253905 ������������� � ������ ���� ��������� ������������������ ���������� � ������������� �������� ��!"� � � ��������� ���� ��������������������������������� ��� ������������������������������������������������������� Antes de prosseguirmos, vejamos como obter as frações que dão origem a dízimas periódicas. Divida 1 por 3 e você obterá 0,333... , ou simplesmente 0,3 . Assim, dizemos que a “fração geratriz” da dízima 0,3 é igual a 1 3 . Existem métodos que nos permitem, a partir de uma dízima periódica, chegar até a fração que deu origem a ela. Em alguns casos, a parte que se repete já começa logo após a vírgula. Isto é o caso em: 0,333... 0,353535... 0,215215215... Em outros casos, existem alguns números entre a vírgula e o início da repetição. Veja esses números sublinhados nas dízimas abaixo: 0,1333... 0,04353535... 0,327215215215... Vamos começar trabalhando com os casos onde a repetição começa logo após a vírgula, para, em seguida, estender o método aos casos onde existem números entre a vírgula e o início da repetição. � Casos onde a repetição começa logo após a vírgula: Vamos trabalhar com a dízima 0,333... . Chamemos de X a fração que dá origem a esta dízima. Ou seja, (1) X = 0,333... Como a repetição é formada por um único número (3), se multiplicarmos esta dízima por 10 conseguimos passar, para o outro lado da vírgula, o primeiro número da repetição: 04178253905 ������������� � ������ ���� ��������� ������������������ ���������� � ������������� �������� ��!"� � � ��������� ���� ��������������������������������� ��� ������������������������������������������������������� 10X = 10 x 0,333... = 3,333... 10X = 3,333... A igualdade acima pode ser reescrita da seguinte forma: 10X = 3 + 0,333... (2) Subtraindo a expressão (1) da expressão (2), teremos o resultado abaixo. (trabalharemos com sistemas de equações na Aula 04) 10X – X = 3 + 0,333... – 0,333... As duas dízimas à direita da igualdade acima possuem infinitas casas decimais idênticas e, portanto, se anulam com a subtração. Portanto, temos como resultado: 9X = 3 3 1 9 3 X = = Assim, descobrimos que a fração geratriz da dízima 0,333... é 1 3 X = . Vejamos um segundo exemplo: vamos buscar a fração geratriz da dízima 0,216216216... . Repare que temos a repetição de 216, e não há nenhuma casa separando a vírgula e o início da repetição. Chamando de X a fração geratriz da dízima, temos: X = 0,216216216... Para passar a primeira repetição (216) para a esquerda da vírgula, precisamos multiplicar X por 1000: 1000X = 216,216216216... Efetuando a subtração 1000X – X podemos obter a fração geratriz: 1000X – X = 216,216216216... – 0,216216216... 04178253905 ������������� � ������ ���� ��������� ������������������ ���������� � ������������� �������� ��!"� � � ��������� ���� ��������������������������������� ��� ����������������������������������������������������� � 999X = 216 216 24 999 111 X = = Assim, a geratriz de 0,216 é a fração 24 111 . � Casos onde existem números entre a vírgula e o início da repetição: Vejamos como obter a fração geratriz da dízima 1,327215215215... . Veja que, neste caso, temos a repetição do termo 215. Entre a vírgula e o início da repetição temos 3 números (327). Deste modo, chamando de X a fração geratriz, temos: X = 1,327215215215... Multiplicando X por 1000 conseguimos deixar, à direita da vírgula, apenas os termos que se repetem: 1000X = 1327,215215215... E multiplicando X por 1000000 conseguimos passar a primeira repetição “215” para o lado esquerdo da vírgula: 1000000X = 1327215,215215215... Assim, podemos efetuar a seguinte subtração: 1000000X – 1000X = 1327215,215215215... - 1327,215215215... 999000X = 1327215 – 1327 999000X = 1325888 1325888 999000 X = Temos, portanto, a fração geratriz da dízima 1,327215215215... . Poderíamos ainda simplificá-la, se quiséssemos. 04178253905 ������������� � ������ ���� ��������� ������������������ ���������� � ������������� �������� ��!"� � � ��������� ���� ��������������������������������� ��� ������������������������������������������������������ � 1.3.1 OPERAÇÕES COM NÚMEROS RACIONAIS As quatro operações básicas que podemos efetuar com estes números são: adição, subtração, multiplicação e divisão. Vejamos em detalhes cada uma delas. a) Adição: A adição de dois números é dada pela soma destes dois números. Isto é, a adição de 15 e 6 é: 15 + 6 = 21 Você se lembra do método para se efetuar a soma de dois números? Vamos exercitar efetuando a soma 728 + 46. Primeiramente, você deve posicionar estes números um abaixo do outro, alinhados pela direita (casa das unidades): 728 +46 A seguir devemos começar a efetuar a soma pela direita. Somando 8 + 6 obtemos 14. Com isto, devemos colocar o algarismo das unidades (4) no resultado e transportar o algarismo das dezenas (1) para a próxima soma: 1 728 +46 4 Agora, devemos somar os dois próximos números (2 + 4), e adicionar também o número que veio da soma anterior (1). Assim, obtemos 7. Devemos colocar este número no resultado: 728 04178253905 ������������� � ������ ���� ��������� ������������������ ���������� � ������������� �������� ��!"� � � ��������� ���� ��������������������������������� ��� �������������������������������������������������������� +46 74 Temos ainda o algarismo 7 na casa das centenas do número 728. Como o segundo número (46) não possui casa das unidades, podemos simplesmente levar este 7 para o resultado, obtendo: 728 +46 774 Chegamos ao nosso resultado final. Antes de conhecermos a próxima operação, vejamos as principais propriedades da operação de adição. - propriedade comutativa: dizemos que a adição de números racionais possui a propriedade comutativa, pois a ordem dos números não altera a soma. Isto é, 728 + 46 é igual a 46 + 728. - propriedade associativa: ao adicionar 3 ou mais números racionais, podemos primeiramente somar 2 deles, e a seguir somar o outro, em qualquer ordem, que obteremos o mesmo resultado. Logo, esta propriedade está presente na adição. Ex.: 2 + 5 + 7 = (2 + 5) + 7 = 2 + (5 + 7) = 14. - elemento neutro: dizemos que o zero é o elemento neutro da adição, pois qualquer número somado a zero é iguala ele mesmo. Ex.: 2 + 0 = 2; 45 + 0 = 45. - propriedade do fechamento: esta propriedade nos diz que a soma de dois números racionais SEMPRE gera outro número racional. Ex: a soma dos números racionais 2 e 5 gera o número racional 7 (2 + 5 = 7). 04178253905 ������������� � ������ ���� ��������� ������������������ ���������� � ������������� �������� ��!"� � � ��������� ���� ��������������������������������� ��� �������������������������������������������������������� b) Subtração: efetuar a subtração de dois números significa diminuir, de um deles, o valor do outro. Isto é, subtrair 5 de 9 significa retirar 5 unidades de 9, restando 4 unidades: 9 – 5 = 4 Acompanhe a subtração abaixo para relembrar o método para a subtração de números racionais (veja que, por simplicidade, estamos usando números inteiros nos exemplos, que não deixam de ser também racionais... mais adiante trabalharemos essas operações em números com casas decimais). Vamos efetuar a operação 365 – 97: 365 - 97 Observe que o primeiro passo é posicionar um número embaixo do outro, alinhando as casas das unidades. Começamos a efetuar a subtração a partir da casa das unidades. Como 5 é menor do que 7, não podemos subtrair 5 – 7. Devemos, portanto, “pegar” uma unidade da casa das dezenas de 365. Levando este valor para a casa das unidades, temos 10 unidades, que somadas a 5 chegam a 15 unidades. Agora sim podemos subtrair 15 – 7 = 8, e anotar este resultado: 365 - 97 8 Devemos agora subtrair as casas das dezenas. Devemos subtrair 5 – 9, e não 6 – 9, pois já utilizamos uma unidade na primeira subtração acima. Como 5 é menor que 9, devemos novamente “pegar” uma unidade da casa das centenas de 365, e somar ao 5. Assim, teremos 15 – 9 = 6. Vamos anotar este resultado: 04178253905 ������������� � ������ ���� ��������� ������������������ ���������� � ������������� �������� ��!"� � � ��������� ���� ��������������������������������� ��� �������������������������������������������������������� 365 - 97 68 Agora devemos subtrair a casa das centenas. Veja que não temos mais um 3 na casa das centenas de 365, e sim 2, pois já usamos uma unidade na operação anterior. Como 97 não tem casa das centenas, basta levarmos este 2 para o resultado: 365 - 97 268 E se quiséssemos efetuar a subtração 97 – 365? Neste caso, como 97 é menor que 365, devemos: - subtrair o menor número do maior, isto é, efetuar a operação 365 – 97; - colocar o sinal negativo (-) no resultado. Desta forma, 97 – 365 = -268. Vejamos as principais propriedades da operação de subtração. - propriedade comutativa: dizemos que a subtração de números racionais NÃO possui a propriedade comutativa, pois a ordem dos números ALTERA o resultado. Como vimos acima, 365 – 97 = 268, já 97 – 365 = -268. - propriedade associativa: a subtração NÃO possui essa propriedade, pois (A – B) – C pode ser diferente de (C – B) – A. Exemplificando: (365 – 97) – 268 = 0, que é um resultado diferente do obtido em (268 – 97) – 365 = –194. Veja que trocamos a posição do 365 coma do 268 e o resultado se alterou. 04178253905 ������������� � ������ ���� ��������� ������������������ ���������� � ������������� �������� ��!"� � � ��������� ���� ��������������������������������� ��� �������������������������������������������������������� - elemento neutro: o zero é o elemento neutro da subtração, pois, ao subtrair zero de qualquer número, este número permanecerá inalterado. Ex.: 2 – 0 = 2. - propriedade do fechamento: a subtração de números racionais possui essa propriedade, pois a subtração de dois números racionais SEMPRE gera outro número racional. - elemento oposto: para todo número racional A, existe também o seu oposto, com sinal contrário, isto é, -A. Exemplos de números opostos: 5 e -5, 29 e -29 etc. Também podemos dizer que o elemento oposto de A é aquele número que, somado a A, resulta em zero: A + (-A) = 0 c) Multiplicação: a multiplicação nada mais é que uma repetição de adições. Por exemplo, a multiplicação 15 x 3 é igual à soma do número 15 três vezes (15 + 15 + 15), ou à soma do número 3 quinze vezes (3 + 3 + 3 + ... + 3). Vejamos como efetuar uma multiplicação: 57 x 13 Novamente alinhamos os números pela direita. Começamos multiplicando os números das unidades: 3 x 7 = 21. Deixamos o algarismo das unidades (1) no resultado, e levamos o algarismo das dezenas (2) para a próxima operação: 2 57 x 13 1 04178253905 ������������� � ������ ���� ��������� ������������������ ���������� � ������������� �������� ��!"� � � ��������� ���� ��������������������������������� ��� �������������������������������������������������������� Agora devemos multiplicar o algarismo das unidades do segundo número (3) pelo algarismo das dezenas do primeiro número: 3 x 5 = 15. Antes de colocar este valor no resultado, devemos adicionar o 2 que veio da operação anterior: 15 + 2 = 17. Assim, temos: 57 x 13 171 Agora devemos multiplicar o algarismo das dezenas do segundo número (1) pelo algarismo das unidades do primeiro número (7): 1 x 7 = 7. Devemos levar este número para o resultado, entretanto devemos colocá-lo logo abaixo do algarismo das dezenas do segundo número (1). Veja: 57 x 13 171 7 A seguir, devemos multiplicar o algarismo das dezenas do segundo número (1) pelo algarismo das dezenas do primeiro número (5): 1 x 5 = 5. Assim, temos: 57 x 13 171 57 Por fim, devemos somar as duas linhas de resultado, obtendo: 57 x 13 171 570 04178253905 ������������� � ������ ���� ��������� ������������������ ���������� � ������������� �������� ��!"� � � ��������� ���� ��������������������������������� ��� �������������������������������������������������������� 741 Veja que antes de efetuar a soma, colocamos um zero à direita do 57, transformando-o em 570. Fazemos isto porque este resultado (57) surgiu da multiplicação do algarismo das dezenas do multiplicador (13). Se fosse do algarismo das centenas do multiplicador, colocaríamos 2 zeros, e assim por diante. É importante relembrar as regras de sinais na multiplicação de números. Você deve se lembrar que: - a multiplicação de números de mesmo sinal tem resultado positivo. Ex.: 5 x 5 = 25, e (-5)x(-5) = 25. - a multiplicação de números de sinais diferentes tem resultado negativo. Ex.: 5x(-5) = -25. Portanto, se tivéssemos multiplicado (-57) x 13, ou então 57 x (-3), deveríamos obter -741. E se tivéssemos multiplicado (-57) x (-13) deveríamos obter 741. Vejamos as principais propriedades da operação de multiplicação: - propriedade comutativa: a multiplicação possui essa propriedade, pois A x B é igual a B x A, isto é, a ordem não altera o resultado (ex.: 3 x 5 = 5 x 3 = 15). - propriedade associativa: a multiplicação possui essa propriedade, pois (A x B) x C é igual a (C x B) x A, que é igual a (A x C) x B etc. Ex.: (2 x 3) x 4 = 2 x (3 x 4) = (4 x 3) x 2 = 24. - elemento neutro: a unidade (1) é o elemento neutro da multiplicação, pois ao multiplicar 1 por qualquer número, este número permanecerá inalterado. Ex.: 5 x 1 = 5. 04178253905 ������������� � ������ ���� ��������� ������������������ ���������� � ������������� �������� ��!"� � � ������������� ��������������������������������� ��� �������������������������������������������������������� - propriedade do fechamento: a multiplicação possui essa propriedade, pois a multiplicação de números racionais SEMPRE gera um número racional (ex.: 5 x 7 = 35, que é racional). - propriedade distributiva: apenas a multiplicação possui essa propriedade. Esta propriedade nos permite dizer que: Ax(B+C) = (AxB) + (AxC) Exemplificando: 5x(3+7) = 5x(10) = 50 ou, usando a propriedade: 5x(3+7) = 5x3 + 5x7 = 15+35 = 50 d) Divisão: quando dividimos A por B, queremos repartir a quantidade A em partes de mesmo valor, sendo um total de B partes. Ex.: Ao dividirmos 10 por 2, queremos dividir 10 em 2 partes de mesmo valor. No caso, 10 2 5÷ = . Vamos relembrar como efetuar divisões com o caso abaixo, onde dividimos 715 por 18: 715 |18 Neste caso, chamamos o 715 de dividendo (número a ser dividido) e o 18 de divisor (número que está dividindo o 715). Como o divisor possui 2 casas (18), devemos tentar dividir as primeiras duas casas da esquerda do dividendo (71). Veja que 18x4 = 72 (que já é mais que 71). Já 18x3 = 54. Assim, temos: 715 |18 3 04178253905 ������������� � ������ ���� ��������� ������������������ ���������� � ������������� �������� ��!"� � � ��������� ���� ��������������������������������� ��� �������������������������������������������������������� Devemos multiplicar 3 por 18 e anotar o resultado abaixo de 71, e a seguir efetuar a subtração: 715 |18 -54 3 17 Agora devemos “pegar” o próximo algarismo do dividendo (5): 715 |18 -54 3 175 Dividindo 175 por 18, temos o resultado 9. Devemos anotar o 9 no resultado, à direita, e anotar o resultado da multiplicação 9 x 18 abaixo do 175, para efetuarmos a subtração: 715 |18 -54 39 175 -162 13 Agora temos o número 13, que é inferior ao divisor (18). Portanto, encerramos a divisão. Obtivemos o quociente (resultado) 39 e o resto igual a 13. Dizemos que esta divisão não foi exata, pois ela deixou um resto. Observe que o dividendo (715) é igual à multiplicação do divisor (18) pelo quociente (39), adicionada do resto (13). Isto é: 715 = 18 x 39 + 13 Como regra, podemos dizer que: 04178253905 ������������� � ������ ���� ��������� ������������������ ���������� � ������������� �������� ��!"� � � ��������� ���� ��������������������������������� ��� ������������������������������������������������������ � Dividendo = Divisor x Quociente + Resto As regras de sinais na divisão de números racionais são as mesmas da multiplicação: - a divisão de números de mesmo sinal tem resultado positivo. - a divisão de números de sinais diferentes tem resultado negativo. Portanto, se tivéssemos dividido (-10) por 2, ou então 10 por (-2), deveríamos obter -5. E se tivéssemos dividido (-10) por (-2) deveríamos obter 5. Vejamos as principais propriedades da operação de divisão: - propriedade comutativa: a divisão NÃO possui essa propriedade, pois A / B pode ser diferente de B / A. Ex.: 2 / 5 = 0,4; e 5 / 2 = 2,5. - propriedade associativa: a divisão NÃO possui essa propriedade, pois (A / B) / C pode ser diferente de (C / B) / A. Ex.: (2/5)/3 é diferente de (3/5)/2. 2 3( ) ( ) 5 5 3 2 ≠ - elemento neutro: a unidade (1) é o elemento neutro da divisão, pois ao dividir qualquer número por 1, o resultado será o próprio número. Ex.: 5 / 1 = 5. - propriedade do fechamento: a divisão possui essa propriedade, pois a divisão de números racionais SEMPRE gera um número racional (ex.: 2 / 100 = 0,02; que é racional). 04178253905 ������������� � ������ ���� ��������� ������������������ ���������� � ������������� �������� ��!"� � � ��������� ���� ��������������������������������� ��� ������������������������������������������������������ � Para sedimentar seus conhecimentos, segue uma tabela-resumo sobre as propriedades das operações com números racionais: Elem. Neutro Comut. Assoc. Fecham. Distributiva Adição zero Sim Sim Sim Não: ( ) ( ) ( )A B C A B A C+ + ≠ + + + Multipli- cação 1 Sim Sim Sim Sim: ( ) ( ) ( )A B C A B A C× + ≠ × + × Subtra- ção zero Não Não Sim Não: ( ) ( ) ( )A B C A B A C− + ≠ − + − Divisão 1 Não Não Sim Não: ( ) ( ) ( )A B C A B A C÷ + ≠ ÷ + ÷ 1.3.2 OPERAÇÕES COM FRAÇÕES Ao trabalhar com números racionais, recorrentemente estaremos lidando com frações, que nada mais são que operações de divisão. Escrever 2 5 é equivalente a escrever 2 5÷ . Neste caso, o número 2 é o numerador, ou seja, o número que vem na parte superior da fração. Já o número 5 é o denominador, ou seja, o número que vem na parte inferior da fração. As frações estão constantemente presentes na resolução de exercícios, motivo pelo qual é essencial lembrar como efetuamos cada operação com elas: soma, subtração, multiplicação e divisão. a) Para somar ou subtrair frações, é preciso antes escrevê-las com o mesmo denominador, isto é, com um denominador comum. Este denominador é, simplesmente, um múltiplo comum entre os 04178253905 ������������� � ������ ���� ��������� ������������������ ���������� � ������������� �������� ��!"� � � ��������� ���� ��������������������������������� ��� �������������������������������������������������������� denominadores das frações originais. Falaremos sobre múltiplos adiante, de modo que aqui veremos apenas o básico. Vamos entender isto com o exemplo abaixo: 1 3 6 8 + Veja que o número 24 é um múltiplo de 6 (pois 6x4 = 24) e de 8 (pois 8x3 = 24). Para trocar o denominador da fração 1 6 para 24, é preciso multiplicar o denominador 6 por 4. Assim, também devemos multiplicar o numerador 1 por 4, para manter a fração. Portanto, 1 4 6 24 = . Já para trocar o denominador da fração 3 8 para 24, é preciso multiplicar o denominador 8 por 3. Assim, também devemos multiplicar o numerador 3 por 3, para manter a fração. Portanto, 3 9 8 24 = . Agora sim podemos efetuar a soma: 1 3 4 9 4 9 13 6 8 24 24 24 24 + + = + = = b) Para multiplicar frações, basta multiplicar o numerador de uma pelo numerador da outra, e o denominador de uma pelo denominador da outra. Veja nosso exemplo: 1 3 1 3 3 6 8 6 8 48 × × = = × c) Para dividir frações, basta multiplicar a primeira pelo INVERSO da segunda. Veja isso em nosso exemplo: 04178253905 ������������� � ������ ���� ��������� ������������������ ���������� � ������������� �������� ��!"� � � ��������� ���� ��������������������������������� ��� �������������������������������������������������������� 1 1 3 1 8 86 3 6 8 6 3 18 8 = ÷ = × = Ao trabalhar com frações, normalmente podemos substituir a expressão “de” pela multiplicação. Veja como: - quanto é um terço de 1000? Ora, simplesmente 1 1000 3 × ! - e quanto é dois sétimos de 25? A resposta é 2 25 7 × . - quanto vale um quarto da soma do número de homens (700) e de mulheres (600) presentes em um evento? Simplesmente 1 (700 600) 4 × + . - por fim, quanto vale 5/9 da diferença entre os números X e Y? Aqui, a resposta é dada pela expressão 5 ( ) 9 X Y× − . Certifique-se de que você entendeu isso. Usaremos bastante disso ao longo dos exercícios desta e de outras aulas!1.3.3 OPERAÇÕES COM NÚMEROS DECIMAIS Os números decimais são, em regra, aqueles que resultam da divisão não-exata de dois números inteiros. São os números que possuem “casas após a vírgula”. A manipulação deles é essencial para a resolução de diversas questões, motivo pelo qual você precisa saber somá-los, subtraí-los, multiplicá-los, dividi-los, elevá-los a potências e extrair raízes dos mesmos. Vejamos cada uma dessas operações em detalhes. 04178253905 ������������� � ������ ���� ��������� ������������������ ���������� � ������������� �������� ��!"� � � ��������� ���� ��������������������������������� ��� �������������������������������������������������������� a) Adição de números decimais: A adição de dois números decimais segue a mesma lógica da adição comum. Isto é: - os números devem ser posicionados um embaixo do outro, com a vírgula logo abaixo da vírgula do outro, e as casas correspondentes uma embaixo da outra; - as casas correspondentes devem ser somadas, começando da direita para a esquerda; - à medida que forem sendo formadas dezenas, estas devem ser transferidas para a próxima adição (das casas logo à esquerda). Vamos aplicar estes passos na adição de 13,47 e 2,9. Colocando os números um embaixo do outro, com a vírgula uma embaixo da outra, temos todas as casas correspondentes em uma mesma vertical: 13,47 + 2,9 Veja que a casa das unidades do primeiro número (3) está logo acima da casa das unidades do segundo número (2). A primeira casa decimal do primeiro número (4) está logo acima da primeira casa decimal do segundo (1). E assim por diante. Como não há casa decimal abaixo do 7, podemos considerá-la igual a 0. Agora, basta começar a somar as casas correspondentes, começando pelas da direita, anotando o resultado. Quando houver a formação de dezenas (ex.: 4 + 9 = 13), a dezena (1) deve ser transferida para a próxima operação (3 + 2). Com isso, temos: 13,47 + 2,9 16,37 04178253905 ������������� � ������ ���� ��������� ������������������ ���������� � ������������� �������� ��!"� � � ��������� ���� ��������������������������������� ��� �������������������������������������������������������� b) Subtração de números decimais: Aqui também devemos posicionar os números um abaixo do outro, com a vírgula do primeiro na mesma vertical da vírgula do segundo número. A seguir devemos subtrair as casas correspondentes, da direita para a esquerda. Vejamos: 13,47 - 2,9 10,57 Repare, neste exemplo, que no momento de efetuar a subtração 4 – 9 foi preciso pegar uma unidade da casa à esquerda do 4 (no caso, o 3) e “transformá-la” em uma dezena, somando-a ao 4. Assim, subtraímos 14 – 9, obtendo o resultado 5. A seguir, ao invés de subtrair 3 – 2, tivemos que subtrair 2 – 2 pois uma unidade do “3” já havia sido utilizada. c) Multiplicação de números decimais: Aqui aplicamos o mesmo procedimento da multiplicação comum, com duas observações: - devemos posicionar os números assim como fizemos na adição e na subtração, isto é, com a vírgula de um logo abaixo da vírgula do outro. - o número de casas decimais do resultado será igual à soma do número de casas decimais dos dois números sendo multiplicados. Assim você saberá posicionar a vírgula. Vejamos o nosso exemplo: 13,47 x 2,9 12123 + 26940 39,063 04178253905 ������������� � ������ ���� ��������� ������������������ ���������� � ������������� �������� ��!"� � � ��������� ���� ��������������������������������� ��� �������������������������������������������������������� Repare que a primeira linha abaixo do 2,9 refere-se à multiplicação de 13,47 por 9. Já a segunda linha refere-se à multiplicação de 13,47 por 2. Na linha do resultado da multiplicação de 2 por 13,47 há um 0 à direita porque o 2 está uma casa decimal à frente do 9. Efetuando a soma das duas linhas, obtém-se 39063. E, lembrando que existem 3 casas decimais nos números sendo multiplicados (duas em 13,47 e uma em 2,9), devemos ter 3 casas decimais no resultado, o que leva ao número 39,063. d) Divisão de números decimais: Para efetuar a divisão de números decimais, devemos inicialmente multiplicar ambos os números (divisor e dividendo) por uma potência de 10 (10, 100, 1000, 10000 etc.) de modo a retirar todas as casas decimais presentes. Após isso, é só efetuar a operação normalmente. Para exemplificar, vamos dividir 3,5 por 0,25. Observe que o número que possui mais casas decimais é o divisor (0,25), possuindo 2 casas decimais. Assim, devemos multiplicar ambos os números por 100, de modo a retirar ambas as casas decimais: 3,5 x 100 = 350 0,25 x 100 = 25 Agora, basta efetuar a divisão de 350 por 25, que você sabe fazer, tendo como resultado o número 14. 1.3.4 REPRESENTAÇÃO NA RETA Veja abaixo a reta numérica, onde podemos representar todos os números racionais. As setas nas extremidades denotam que a reta cresce infinitamente para ambos os lados: 04178253905 ������������� � ������ ���� ��������� ������������������ ���������� � ������������� �������� ��!"� � � ��������� ���� ��������������������������������� ��� �������������������������������������������������������� É possível localizar a posição exata de um número racional na reta numérica, ainda que ele seja fracionário. Por exemplo, vamos localizar o número 3 4 , ou 0,75 (na forma decimal). Na reta numérica, basta dividirmos o espaço entre 0 e 1 em quatro partes, e colocar o número 3 4 ao final da terceira delas: Ainda observando a reta numérica acima, observe que a distância do 0 até o 1 é a mesma distância do 0 até o -1. Essa distância mede “1 unidade”. Da mesma forma, a distância de 0 a 2 é a mesma distância de 0 a -2. Aqui a distância é de “2 unidades”. Chamamos de módulo de um número a distância entre esse número e o zero. Utilizamos o símbolo |A| para representar o módulo do número A. Assim, como vimos acima, podemos dizer que: |1| = 1 |-1| = 1 |2| = |-2| = 2 04178253905 ������������� � ������ ���� ��������� ������������������ ���������� � ������������� �������� ��!"� � � ��������� ���� ��������������������������������� ��� �������������������������������������������������������� Repare que, se o número A é positivo (como no caso do 2), o módulo é ele mesmo. Se o número A é negativo (como no caso do -2), o módulo é o seu oposto (isto é, -(-2) = 2). De maneira mais formal, podemos dizer que: , se A 0| | , se A<0 A A A ≥ = − 1.4 NÚMEROS IRRACIONAIS Os Números Irracionais são aqueles que, ao contrário dos Racionais, não podem ser obtidos da divisão de dois inteiros, ou seja, não podem ser escritos na forma (onde A e B são números inteiros). Isto porque esses números são formados por uma sequência infinita de algarismos. Exemplo: na obtenção da raiz quadrada do algarismo 2, nos deparamos com um número irracional: (as reticências indicam que este número é composto por infinitos algarismos) Da mesma forma, o conhecido número (“pi”), muito utilizado na trigonometria, possui infinitas casas decimais que não se repetem como em uma dízima periódica, o que faz dele um número irracional: Antes de avançarmos, deixo uma observação a respeito da representação dos números irracionais na reta numérica: - não é possível localizar diretamente um número irracional na retanumérica. Isto porque esses números têm infinitas casas decimais que 04178253905 ������������� � ������ ���� ��������� ������������������ ���������� � ������������� �������� ��!"� � � ��������� ���� ��������������������������������� ��� �������������������������������������������������������� não se repetem, não sendo possível escrevê-los na forma A B e usar o mesmo método que vimos para localizar os números racionais. Obs.: existem formas indiretas para a localização desses números na reta com boa precisão. Ex.: sabemos que a diagonal de um quadrado de lados iguais a 1 mede exatamente 2 , que é um número irracional. Portanto, basta desenhar esse quadrado, pegar a sua diagonal e utilizá-la para medir, na reta numérica, a distância entre a origem (zero) e a posição onde deve estar o número 2 . 1.5 NÚMEROS REAIS O conjunto dos Números Reais é formado pela união dos números Racionais e Irracionais. Desta forma, podemos dizer que: (O conjunto dos Números Naturais está contido no dos Inteiros, que está contido no dos Racionais, que está contido no dos Reais) E, além disso, (O conjunto dos Números Irracionais está contido no dos Números Reais) Complementando o diagrama que desenhamos nos tópicos acima, agora temos: 04178253905 ������������� � ������ ���� ��������� ������������������ ���������� � ������������� �������� ��!"� � � ��������� ���� ��������������������������������� ��� ������������������������������������������������������ � No diagrama acima, Q/R significa que aquele subconjunto pertence aos Números Racionais e Reais, e I/R significa que aquele subconjunto pertence aos Números Irracionais e Reais. 1.5.1 OPERAÇÕES COM NÚMEROS REAIS As propriedades das operações com números reais são as mesmas já vistas para os racionais. 1.5.2 REPRESENTAÇÃO DOS NÚMEROS REAIS NA RETA Dado que os números reais são formados por 2 subconjuntos (racionais e irracionais), sabemos que alguns números reais podem ser posicionados precisamente na reta numérica (os racionais) e outros não podem ser localizados exatamente (os irracionais). 1.6 POTÊNCIAS Observe o exemplo abaixo: 35 5 5 5 125= × × = (lê-se: “cinco elevado à terceira potência é igual a cinco vezes cinco vezes cinco”) Pelo exemplo dado, você pode perceber que elevar um número X a uma determinada potência “n” é simplesmente multiplicar X por ele mesmo, “n” vezes. Outro exemplo, para não deixar dúvida: 42 2 2 2 2 16= × × × = (“dois elevado à quarta potência é igual ao dois multiplicado por ele mesmo 4 vezes”) Resumindo, quando tratamos sobre potências temos sempre uma base (número X) elevada a um expoente (“n”). Entendido o conceito básico, 04178253905 ������������� � ������ ���� ��������� ������������������ ���������� � ������������� �������� ��!"� � � ��������� ���� ��������������������������������� ��� ������������������������������������������������������ � podemos analisar algumas propriedades das potências. Essas propriedades facilitarão bastante o manuseio de equações que envolvam potências: a) Qualquer número elevado a zero é igual a 1. Trata-se de uma convenção, isto é, uma definição. Assim, podemos dizer que: 0 0 0 5 1 ( 25) 1 0,3 1 = − = = b) Zero elevado a qualquer número é igual a zero. Isso é bem lógico, pois zero elevado a “n” significa zero multiplicado por ele mesmo, “n” vezes. Ex.: 30 0 0 0 0= × × = c) Multiplicação de potências de mesma base (X): A questão aqui é como multiplicar 2 34 4× . Normalmente você faria assim: × = × × × × = 2 34 4 (4 4) (4 4 4) 1024 Veja que basta somar os expoentes (“n”), uma vez que as duas potências têm a mesma base 4: + × = = = 2 3 2 3 54 4 4 4 1024 d) Divisão de potências de mesma base (X): Como você faria a divisão 5 3 4 4 ? Provavelmente seria assim: 5 3 4 4 4 4 4 4 4 4 16 4 4 4 4 × × × × = = × = × × 04178253905 ������������� � ������ ���� ��������� ������������������ ���������� � ������������� �������� ��!"� � � ��������� ���� ��������������������������������� ��� �������������������������������������������������������� Entretanto, observe que basta subtrair os expoentes (“n”), pois o numerador e denominador da divisão tem a base 4. Veja: 5 5 3 2 3 4 4 4 16 4 − = = = Analogamente, observe que 33 1 4 4 − = . Isto porque: 0 0 3 3 3 3 1 4 4 4 4 4 − −= = = O que vimos acima nos permitirá levar uma potência do numerador para o denominador de uma divisão, ou vice-versa, simplesmente trocando o sinal da potência. Exemplificando, vamos resolver a expressão 3 54 4− × . Temos duas formas: � Usar a propriedade de multiplicação de potências de mesma base, somando os expoentes: 3 5 ( 3) 5 24 4 4 4 16− − +× = = = � Usar a propriedade que acabamos de ver, levando 34− para o denominador e, a seguir, fazendo a divisão de potências de mesma base: 5 3 5 5 3 2 3 44 4 4 4 16 4 − − × = = = = e) Potência de potência: A questão agora é resolver 2 3(2 ) . Você poderia inicialmente elevar 2 à segunda potência (isto é, ao quadrado), e a seguir elevar o resultado à terceira potência (ao cubo): 2 3 3(2 ) (4) 64= = 04178253905 ������������� � ������ ���� ��������� ������������������ ���������� � ������������� �������� ��!"� � � ��������� ���� ��������������������������������� ��� �������������������������������������������������������� Entretanto, veja que basta você elevar 2 ao resultado da multiplicação entre os dois expoentes: 2 3 2 3 6(2 ) 2 2 64×= = = f) Raiz de potência: Quando estudarmos radiciação (próximo tópico), veremos que trata-se de uma operação inversa à potenciação. Assim, obter a raiz quadrada de um número é equivalente a elevá-lo a 1 2 , obter a raiz cúbica é equivalente a elevá-lo a 1 3 , e assim por diante. Visto isso, vamos obter o valor de: 62 . Veja que poderíamos fazer simplesmente assim: 62 2 2 2 2 2 2 64 8= × × × × × = = Entretanto, como obter a raiz quadrada é igual a elevar a 1 2 , podemos fazer: ( ) 11 66 6 3222 2 2 2 8 × = = = = Note que utilizamos a propriedade anterior (potência de potência) para resolver este caso. g) Potência de produto: Se tivermos que resolver uma expressão como 2(2 3)× , podemos fazer de algumas formas: � 2 2(2 3) (6) 36× = = � 2(2 3) (2 3) (2 3) 36× = × × × = � 2 2 2(2 3) 2 3 4 9 36× = × = × = 04178253905 ������������� � ������ ���� ��������� ������������������ ���������� � ������������� �������� ��!"� � � ��������� ���� ��������������������������������� ��� �������������������������������������������������������� Veja a última forma. Ela nos diz que um produto A B× elevado à uma potência “n” é igual ao produto das potências nA e nB . h) Potência de base 10: Quando a base da potência for 10 e o expoente for um número natural “n”, fica bem fácil resolver. O resultado será formado pelo número 1 seguido de “n” zeros: 3 6 10 1000 10 1000000 = = Da mesma forma, se o expoente for um número inteiro negativo, basta usar as propriedades que vimos acima. Veja exemplos: 3 3 6 6 1 110 0,001 10 1000 1 110 0,000001 10 1000000 − − = = = = = = i) Potência de base negativa: Quando a base da potência é um número negativo, devemos analisar qual será o sinal do resultado. Por ex.: 3(-2) = 8 ou -8 ? Para isso, fica aqui uma regra:se o expoente for par, o resultado é positivo. Se o expoente for ímpar, o resultado será negativo. Neste caso, como 3 é ímpar, o resultado correto é -8. Você pode visualizar isso melhor fazendo a conta em etapas: 3(-2) = (-2) (-2) (-2) (4) (-2) 8× × = × = − Veja um exemplo com expoente par: 4(-2) = (-2) (-2) (-2) (-2) (4) (4) 16× × × = × = j) Fração elevada a um expoente: 04178253905 ������������� � ������ ���� ��������� ������������������ ���������� � ������������� �������� ��!"� � � ��������� ���� ��������������������������������� ��� �������������������������������������������������������� Uma fração elevada a um expoente é igual a outra fração onde numerador e denominador estão elevados àquele expoente. Veja: 3 3 3 2 2 3 3 = Isto pode ser visto fazendo a conta em etapas: 3 3 3 2 2 2 2 2 2 2 2 8 3 3 3 3 3 3 3 3 27 × × = × × = = = × × Vejamos agora algumas potências que são muito utilizadas nas provas do ENEM. Primeiramente, vamos ver as potências de 2 até a décima. 20=1 21=2 22=4 23=8 24=16 25=32 26=64 27=128 28=256 29=512 210=1024 Agora vamos ver até a terceira potência dos números superiores a 2 e inferiores a 10. 30=1 31=3 32=9 33=27 40=1 41=4 42=16 43=64 50=1 51=5 52=25 53=125 60=1 61=6 62=36 63=216 70=1 71=7 72=49 73=343 04178253905 ������������� � ������ ���� ��������� ������������������ ���������� � ������������� �������� ��!"� � � ��������� ���� ��������������������������������� ��� �������������������������������������������������������� 80=1 81=8 82=64 83=512 90=1 91=9 92=81 93=729 Grande parte das potências apresentadas acima você vai acabar decorando com a prática. Quanto às outras, você pode descobri-las simplesmente voltando à definição de potenciação e multiplicando o número por ele mesmo quantas vezes forem necessárias. Repare que não mostramos acima as potências de 10. Isso se deve ao fato de que existe um método muito simples para descobrir qualquer potência de 10. Vamos supor que você queira calcular 108. Para isso, temos: 108=10 x 10 x 10 x 10 x 10 x 10 x 10 x 10 Tendo em vista que multiplicar por 10 é adicionar um ZERO ao final do número temos: 108=100000000 108=100.000.000 ou cem milhões Dito de outra forma, para obter as potências de 10 basta colocar uma quantidade de ZEROS igual expoente desejado ao lado do algarismo 1. Voltando ao exemplo anterior, veja que para obter 108 colocamos 8 algarismos ZERO ao lado do algarismo 1, formando 100.000.000. 1.7 RAÍZES Como já disse acima, a radiciação é uma operação inversa à potenciação. Quando dizemos que a raiz quadrada de 9 é 3, isso significa que 3 elevado ao quadrado será igual a 9. Isto é: 29 3 3 9= ⇔ = 04178253905 ������������� � ������ ���� ��������� ������������������ ���������� � ������������� �������� ��!"� � � ��������� ���� ��������������������������������� ��� �������������������������������������������������������� A operação de radiciação pode ser escrita usando-se o símbolo n ou elevando o número em questão ao expoente 1 n . Veja alguns exemplos: 1 3 327 27 3= = , pois 33 27= 1 2 216 16 4= = , pois 24 16= Veja que, quando se trata de raiz quadrada, podemos usar o símbolo 2 ou simplesmente . As principais propriedades da radiciação são: a) Qualquer raiz de zero é igual a zero: Isto é, 0 0n = . Isto porque zero elevado a qualquer número também resulta em zero. b) Qualquer raiz de 1 é igual a 1: Ou seja, 1 1n = . Isto porque 1 elevado a qualquer número também resulta em 1. c) a b a bx x= Essa é uma propriedade muito importante. Exemplificando, 6 3 6 234 4 4 16= = = . d) Raiz “n” de produto é igual ao produto das raízes “n”: Isto é, a raiz “n” de A x B é igual a raiz “n” de A x raiz “n” de B: n n nA B A B× = × Veja que essa propriedade só vale se ambas as raízes tiverem o mesmo radical “n”. Ilustrando, temos que: 25 16 25 16 5 4 20× = × = × = 04178253905 ������������� � ������ ���� ��������� ������������������ ���������� � ������������� �������� ��!"� � � ��������� ���� ��������������������������������� ��� �������������������������������������������������������� e) Raiz da divisão é igual à divisão das raízes: A raiz de A/B é igual à raiz de A dividida pela raiz de B: n n n A A B B = Veja esse exemplo: 25 25 5 16 416 = = f) Raiz de raiz: Por essa propriedade, temos que n m n mA A×= . Exemplificando: 3 3 2 62 2 2×= = Isso pode ser visto usando-se as propriedades de potência: 1 1 1 11 1 333 62 3 62 22 2 2 2 2 2 × = = = = = Existem raízes exatas e raízes não exatas. Por exemplo, a raiz quadrada de 25 é igual a 5, pois 52 = 25. Da mesma forma, a raiz quadrada de 169 é 13, pois 132 = 169. Chamamos de “quadrados perfeitos” os números que possuem raiz quadrada exata. Para facilitar os seus cálculos, é interessante que você guardar alguns deles. Veja na lista abaixo: 04178253905 ������������� � ������ ���� ��������� ������������������ ���������� � ������������� �������� ��!"� � � ��������� ���� ��������������������������������� ��� �������������������������������������������������������� QUADRADOS PERFEITOS: 1, 4, 9, 16, 25, 36, 49, 64, 81, 100, 121, 144, 169, 196, 225, 256, 289, 324, 361, 400, 900, 1600, 2500... Os números que possuem raiz cúbica exata são conhecidos como “cubos perfeitos”. Alguns exemplos podem ser vistos abaixo: CUBOS PERFEITOS: 27, 64, 125, ... Em alguns exercícios pode ser que você precise calcular a raiz quadrada de números que não possuem raiz exata. Neste caso, é interessante que você saiba com chegar a um valor aproximado da raiz. Por exemplo, suponha que você precise calcular a raiz quadrada de 5. Você pode começar observando que 5 está entre dois quadrados perfeitos: 4 e 9. Portanto, como 4 = 22 e 9 = 32, vemos que a raiz quadrada de 5 deve estar entre 2 e 3. Vamos testar 2,5. Note que 2,52 = 2,5 x 2,5 = 6,25. Este número é maior do que 5. Portanto, a raiz de 5 deve ser menor do que 2,5, ou melhor, ela está entre 2 e 2,5. Podemos testar agora 2,3: 2,32 = 5,29. Veja que já estamos mais próximos de 5, mas ainda estamos acima. A raiz de 5 está entre 2 e 2,3. Podemos testar 2,2. Veja que 2,22 = 4,84. Agora chegamos em um valor menor que 5. Isso sugere que a raiz de 5 é um número entre 2,2 e 2,3. Testando 2,25, temos 2,252 = 5,06. Note que chegamos muito próximos de 5. Esta já é uma boa aproximação para os cálculos que você precisar fazer em uma questão, ou seja, a raiz quadrada de 5 é aproximadamente igual a 2,25. Chamamos este método simples de “tentativa e erro”, justamente porque vamos testando valores. Para exercitar melhor, vamos trabalhar mais um exemplo. Suponha que precisamos calcular a raiz quadrada de 130. Sabemos que 102=100. Vejamos quanto é 112 = 11 x 11 = 121. Ainda não chegamos ao 130. Vamos tentar 122=12 x 12 = 144. Sabendo que 112=121 e 122=144 temos que a raiz de 130 está entre 11 e 12. Vamos tentar 11,52 = 132,25. Passou um pouquinho! Vamos tentar 04178253905 ������������� � ������ ���� ��������� ������������������ ���������� � ������������� �������� ��!"� � � ��������� ���� ��������������������������������� ��� ������������������������������������������������������ � 11,42 = 129,96. Pronto, está aí uma ótima aproximação para a raizquadrada de 130. 1.8 NOTAÇÃO CIENTÍFICA A notação científica é uma maneira de escrever números de forma a facilitar a compreensão da sua ordem de grandeza, utilizando-se para isso das potências de 10. A ordem de grandeza de um número é justamente a potência de 10 mais próxima a ele. Assim, vejamos um exemplo: Vamos escrever o número 415813109 em notação científica. Iniciamos colocando pontos a cada três casas, da unidade para a esquerda, a fim de facilitar a identificação das potências de 10 (por exemplo: milhares, milhões, etc). Temos: 415.813.109 Estamos diante de um número que apresenta centenas de milhões. Como fazer para representá-lo em notação científica? Basta escrevê-lo como sendo um número vezes a potência de 10 correspondente, da seguinte forma: 4,15813109 x 108 Veja que a vírgula que estava à direita do algarismo 9 (note: 415.813.109,00) andou 8 casas para a esquerda. A cada casa que a vírgula anda para a esquerda, uma unidade é adicionada no expoente da potência de 10, de forma a preservar o número original. Assim, de maneira mais formal, podemos definir que escrever um número em notação científica é escrevê-lo na seguinte forma: m x 10e, em que “e” é o expoente da potência de 10 (o qual está relacionado com 04178253905 ������������� � ������ ���� ��������� ������������������ ���������� � ������������� �������� ��!"� � � ��������� ���� ��������������������������������� ��� ������������������������������������������������������ � a ordem de grandeza) e o “m” é a mantissa. A mantissa deve seguir uma regra: seu valor em módulo deve estar entre 1 e 10. Vejamos o porquê: • Caso tivéssemos uma mantissa inferior a 1, por exemplo: 0,65 x 105, este número não estaria em notação científica. Para estar, deveríamos fazer a seguinte alteração utilizando- nos das propriedades da potenciação: 0,65 x 105 = 0,65 x 101 x 104 = 6,5 x 104 • Caso tivéssemos uma mantissa superior a 10, por exemplo: 650 x 102, este número não estaria em notificação científica. Para estar, deveríamos fazer a seguinte alteração utilizando- nos, mais uma vez, das propriedades da potenciação: 650 x 102 = 6,5 x 102 x 102 = 6,5 x 10(2+2)= 6,5 x 104 1.9 EXPRESSÕES NÚMERICAS Uma expressão numérica é uma sequência de números dispostos de acordo com sinais matemáticos, que indicam as operações a serem efetuadas. Veja um exemplo: { }( 25 2) (9 3) 7 4 + × − − ÷ = A resolução desse tipo de expressão é muito simples, desde que você se lembre das seguintes regras: 1. Primeiro resolver o que está dentro dos parênteses, depois o que está entre colchetes, e a seguir o que está entre chaves. 04178253905 ������������� � ������ ���� ��������� ������������������ ���������� � ������������� �������� ��!"� � � ��������� ���� ��������������������������������� ��� �������������������������������������������������������� 2. Primeiro resolver operações de radiciação ou potenciação, a seguir multiplicação ou divisão, e a seguir resolver operações de soma ou subtração. Utilizando o nosso exemplo, veja que devemos inicialmente resolver as duas operações que se encontram entre parênteses. Dentro desses parênteses, veja que há uma operação de radiciação ( 25 ), que é a primeira a ser resolvida: [ ]{ }(5 2) (9 3) 7 4+ × − − ÷ = A seguir, resolvemos as demais operações dentro dos parênteses, obtendo: [ ]{ }7 6 7 4× − ÷ = Agora devemos resolver a multiplicação dentro dos colchetes: { }42 7 4− ÷ = Em seguida resolvemos a subtração dentro das chaves: 35 4÷ = Por fim, resolvemos a divisão que se encontrava fora das chaves, obtendo: 35 4 8,75÷ = Vale a pena lembrar aqui que uma fração é uma operação de divisão como outra qualquer, e se houver uma fração em sua expressão numérica, basta resolvê-la no momento que você resolveria aquela operação de divisão. 04178253905 ������������� � ������ ���� ��������� ������������������ ���������� � ������������� �������� ��!"� � � ��������� ���� ��������������������������������� ��� �������������������������������������������������������� 1.10 SISTEMA DE NUMERAÇÃO DECIMAL O sistema de numeração decimal é o que usamos no nosso dia-a- dia. Ele tem como base o número 10. Ao utilizá-lo contamos de 10 em 10, formando grupos a cada 10 unidades, os quais convencionou-se chamar de dezenas, centenas, milhares e assim por diante. Nesse sistema, utilizamos os algarismos 0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8 e 9 para formar qualquer número. No sistema decimal, se temos um número como 5734, dizemos que o 4 é o algarismo das Unidades, o 3 é o algarismo das Dezenas, o 7 é o algarismo das centenas, e o 5 é o algarismo dos Milhares. Podemos reescrever este número em função das potências de 10. Para isso basta multiplicar o algarismo das unidades por 1, o das dezenas por 10, o das centenas por 100, o dos milhares por 1000, e assim por diante. Exemplificando: 5734 = 5x1000 + 7x100 + 3x10 + 4x1 ou 5734 = 5000 + 700 + 30 + 4 ou 5734 = 5x103 + 7x102 + 3x101 + 4x100 De maneira geral, se temos um número do tipo ABCD, onde cada letra representa uma casa decimal, podemos dizer que: ABCD = Ax1000 + Bx100 + Cx10 + D Vamos observar como aplicar esses conceitos na prática, trabalhando o seguinte problema: “Imagine que João é pai de Alberto. João tem XY anos de idade e Alberto tem YX anos, onde X e Y são algarismos do sistema decimal. Sabendo que a diferença de idade entre eles é de 27 anos, apresente um possível valor para a idade de João.” 04178253905 ������������� � ������ ���� ��������� ������������������ ���������� � ������������� �������� ��!"� � � ��������� ���� ��������������������������������� ��� �������������������������������������������������������� Sendo XY e YX as idades, podemos dizer que: Idade de João – Idade de Alberto = 27 XY – YX = 27 (10X + Y) – (10Y + X) = 27 10X + Y – 10Y – X = 27 9X – 9Y = 27 9X = 27 + 9Y X = 27/9 + 9Y/9 X = 3 + Y A partir desta última expressão, que relaciona X e Y, podemos encontrar possíveis soluções para o problema. Por exemplo, se Y for igual a 1, então X = 3 + Y = 3 + 1 = 4. Deste modo, a idade de João é XY = 41, e a de Alberto é YX = 14. Note que, de fato, a diferença de idades é 41 – 14 = 27. Portanto, esta é uma possível solução, mas não a única. Poderíamos ter Y = 2 e X = 3+2 = 5, por exemplo, ficando João com 52 anos e Alberto com 25. E assim por diante... No entanto, nem todos os sistemas de numeração são decimais. Um sistema muito comum no meio digital é o sistema binário, que conta de 2 em 2 (ou seja, base 2) e se utiliza apenas dos algarismos 0 e 1 para representar as quantidades. Suponha que queiramos transformar o número decimal 37 em binário. O primeiro passo é escrever esse número como a soma de potências de 2. Veja que 37 é igual a 32 + 4 + 1 que, por sua vez, são iguais a 2^5 + 2^2 + 2^0. Portanto, podemos dizer que: 37 = 32 + 4 + 1 = 25 + 22 + 20 = 1x25 + 0x24 + 0x23 + 1x22 + 0x21 + 1x20 04178253905 ������������� � ������ ���� ��������� ������������������ ���������� � ������������� �������� ��!"� � � ��������� ���� ��������������������������������� ��� �������������������������������������������������������� A partir dos números em negrito na última expressão, podemos escrever 37 em binário como 100101. Vamos agora transformar o número decimal 173 em binário. Para isso, vamos recorrer às potênciasde 2 que vimos anteriormente. Podemos dizer que 173 = 128 + 32 + 8 + 4 + 1. Assim, temos: 173 = 128 + 32 + 8 + 4 + 1 = 27 + 25 + 23 + 22 + 20 = 1x27 + 0x26 + 1x25 + 0x24+ 1x23 + 1x22 + 0x21 + 1x20 A partir dos números em negrito na última expressão, podemos escrever 173 em binário como 10101101. Assim como o sistema de numeração binário, o sistema hexadecimal também é muito utilizado em computadores e processadores, ou seja, no mundo digital de uma maneira geral. Este sistema possui base 16, ou seja, nele agrupamos as quantidades de 16 em 16. Para isso, ele se utiliza de seis letras que se somam aos algarismos já conhecidos por nós no sistema decimal para representar qualquer quantidade. São utilizados os seguintes símbolos: 0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9, A, B, C, D, E e F. 04178253905 ������������� � ������ ���� ��������� ������������������ ���������� � ������������� �������� ��!"� � � ��������� ���� ��������������������������������� ��� �������������������������������������������������������� 2. RESOLUÇÃO DE EXERCÍCIOS Inicialmente vamos trabalhar alguns exercícios de fixação do conteúdo aprendido até aqui, alguns deles bem simples. Posteriormente, trabalharemos algumas questões do ENEM de anos passados. Lembre-se: é muito importante que você execute os cálculos à mão, pois é assim que você deverá fazer na hora da prova. Além disso, é com a prática que vamos ficar cada vez melhores. 1. EXERCÍCIO DE FIXAÇÃO) Resolva a seguinte expressão numérica: 3 1 10 3, 2 + RESOLUÇÃO: Estamos diante de uma soma de frações. Sabemos que para somar frações devemos antes encontrar um denominador comum. Uma forma simples de fazer isso é utilizar como denominador comum o produto dos dois denominadores presentes na fração. No nosso caso, o produto desses denominadores seria 10 x 3,2 = 32 Ou seja, 32 é um denominador comum entre 10 e 3,2. Outro detalhe importante de ser recordado é que a fração não muda se multiplicarmos o numerador e o denominador pelo mesmo número. Com isso em mente, vamos multiplicar tanto o numerador quanto o denominador da primeira fração por 3,2. Assim, obtemos: 3 3 3,2 9,6 _ 10 10 3, 2 32 primeira fração ×= = = × 04178253905 ������������� � ������ ���� ��������� ������������������ ���������� � ������������� �������� ��!"� � � ��������� ���� ��������������������������������� ��� �������������������������������������������������������� Faremos o mesmo procedimento com a segunda fração, porém, multiplicaremos o numerador e o denominador por 10. 1 1 10 10 _ 3, 2 3, 2 10 32 segunda fração ×= = = × Repare que agora obtemos tanto na primeira fração quanto na segunda o mesmo denominador (32), que é o denominador comum que nos dispusemos a utilizar anteriormente. Agora falta só finaliza a soma das frações: 9,6 10 32 32 + 9,6 10 32 + 19,6 32 2. EXERCÍCIO DE FIXAÇÃO) Encontre a fração geratriz da dízima: 0,04353535... RESOLUÇÃO: Chamemos de X a fração que dá origem a esta dízima. Ou seja, X = 0,04353535... Como a repetição começa somente na terceira casa após a vírgula e a mesma é formada por dois números (35), se multiplicarmos esta dízima por 104 conseguimos passar, para o outro lado da vírgula, os primeiros números da repetição: 104 X = 10000 X = 10000 x 0,04353535... 10000X = 435,3535... (1) 04178253905 ������������� � ������ ���� ��������� ������������������ ���������� � ������������� �������� ��!"� � � ��������� ���� ��������������������������������� ��� �������������������������������������������������������� Se multiplicarmos a dízima por 102 teremos: 102 X = 100 X = 100 x 0,04353535... 100X = 4,3535... (2) Subtraindo a expressão (2) da expressão (1), teremos o resultado abaixo. 10000X – 100X = 435,3535... – 4,3535... As duas dízimas à direita da igualdade acima possuem infinitas casas decimais idênticas e, portanto, se anulam com a subtração. Portanto, temos como resultado: 9900X = 431 X = 431/9900 Assim, descobrimos que a fração geratriz da dízima 0,04353535... é 431 9900 X = . 3. EXERCÍCIO DE FIXAÇÃO) Resolva a seguinte expressão numérica: 2 4(4 2 3) 256 + ⋅ RESOLUÇÃO: Acompanhe abaixo o passo a passo da resolução. Primeiramente resolvemos a potenciação existente dentro dos parênteses: 4(4 4 3) 256 + ⋅ Posteriormente, resolvemos a multiplicação presente dentro dos parênteses: 04178253905 ������������� � ������ ���� ��������� ������������������ ���������� � ������������� �������� ��!"� � � ��������� ���� ��������������������������������� ��� �������������������������������������������������������� 4(4 12) 256 + Agora, fazemos a adição ainda dentro do parênteses. 4(16) 256 O próximo passo é resolver a potenciação ou a raiz, ficando a nosso critério. Repare que tirar a raiz quadrada é o mesmo que elevar a 1/2. Assim, vamos simplificar o expoente da potenciação com a raiz. 4 216 256 Desta forma obtemos como expoente apenas o 2: 216 256 Resolvemos a potenciação e chegamos a uma fração que nos levará ao resultado da expressão: 256 256 O resultado da expressão é 1. 4. EXERCÍCIO DE FIXAÇÃO) Coloque em ordem crescente os números racionais abaixo: 9; 3,5; 1/2; -3/4; -3; -0,5 RESOLUÇÃO: Para resolver este exercício nos utilizaremos da régua numérica, onde podemos representar todos os números racionais. As setas nas extremidades denotam que a reta cresce infinitamente para ambos os lados: 04178253905 ������������� � ������ ���� ��������� ������������������ ���������� � ������������� �������� ��!"� � � ��������� ���� ��������������������������������� ��� ������������������������������������������������������ � Vamos localizar a posição exata dos números fornecidos na reta numérica, ainda que algum deles seja fracionário. Por exemplo, vamos localizar o número - 3 4 , ou -0,75 (na forma decimal). Na reta numérica, basta dividirmos o espaço entre 0 e -11 em quatro partes, e colocar o número 3 4 ao final da terceira delas. Assim também fazemos com o -0,5. Dividimos o espaço entre 0 e -1 ao meio, onde o -0,5 estará localizado. Para o 1/2 não podia ser diferente. Dividimos o espaço entre o 0 e o 1 ao meio, onde o 1/2 estará localizado. Abaixo demos um zoom na régua para entender o que foi explicado agora. Dessa forma, temos que a ordem crescente dos números dados é: -3; -3/4; -0,5; 1/2; 3,5; 9 5. EXERCÍCIO DE FIXAÇÃO) Escolha dentre as opções abaixo aquela que melhor representa os conjuntos numéricos e sua hierarquia, sendo I/R os números irracionais reais, Q/R os racionais reais, Z o conjunto dos números inteiros e N os naturais. 04178253905 ������������� � ������ ���� ��������� ������������������ ���������� � ������������� �������� ��!"� � � ��������� ���� ��������������������������������� ��� ������������������������������������������������������ � (A) (B) 04178253905 ������������� � ������ ���� ��������� ������������������ ���������� � ������������� �������� ��!"� � � ��������� ���� ��������������������������������� ��� �������������������������������������������������������� (C) (D) 04178253905 ������������� � ������ ���� ��������� ���������������������������� � ������������� �������� ��!"� � � ��������� ���� ��������������������������������� ��� �������������������������������������������������������� (E) RESOLUÇÃO: Para resolver esta questão devemos nos lembrar que o conjunto dos Números Reais é formado pela união dos números Racionais (Q/R) e Irracionais (I/R), sendo que os racionais contém o conjunto dos inteiros (Z), e este por sua vez contém o conjunto dos naturais (N). Desta forma, podemos dizer que: (O conjunto dos Números Naturais está contido no dos Inteiros, que está contido no dos Racionais, que está contido no dos Reais) E, além disso, (O conjunto dos Números Irracionais está contido no dos Números Reais) Assim temos que o diagrama que representa isso corretamente é o da letra D. RESPOSTA: D 04178253905 ������������� � ������ ���� ��������� ������������������ ���������� � ������������� �������� ��!"� � � ��������� ���� ��������������������������������� ��� �������������������������������������������������������� 6. EXERCÍCIO DE FIXAÇÃO) Faça a multiplicação abaixo: 137,63 x 60,8 RESOLUÇÃO: Vamos utilizar o método que vimos na teoria para resolver essa questão. Colocamos primeiramente os números um abaixo do outro, com as vírgulas alinhadas. Começamos fazendo o produto do algarismo 8 por 137,63. Acima do 137,63 estão os números que “subiram” para se somar com o resultado da multiplicação do 8 pelo algarismo seguinte. Exemplificando: 8 x 3 = 24. Logo o “4” vai para a linha do resultado e o “2” sobe para se somar ao resultado de 8 x 6; e assim em diante. 3 6 5 2 137,63 x 60,8 110104 Agora vamos fazer o produto do algarismo 6 por 137,63 tomando o cuidado de adicionar dois zeros no resultado, visto que o 6 está duas casas à esquerda do 8 no número 60,8. Assim temos: 2 4 3 1 137,63 x 60,8 110104 8257800 Agora basta somar as duas linhas de resultado obtidas anteriormente. Como temos 3 casas decimais ao todo (duas no 137,63 e uma no 60,8), a vírgula anda 3 casas decimais para a esquerda no resultado. 110104 04178253905 ������������� � ������ ���� ��������� ������������������ ���������� � ������������� �������� ��!"� � � ��������� ���� ��������������������������������� ��� �������������������������������������������������������� + 8257800 8367,904 7. EXERCÍCIO DE FIXAÇÃO) Resolva a expressão abaixo: 2 3 0 7 15 10 + RESOLUÇÃO: Primeiramente vamos resolver as potenciações. Sabemos que 72 é 7 x 7 = 49. E sabemos que todo número elevado a zero é 1. Logo, temos: 3 49 15 1 + Sabemos que todo número dividido por 1 é igual a ele mesmo. Fazemos então a operação de adição obtendo: 3 64 1 3 64 Sabemos que a raiz quadrada de 64 é 8, visto que 8 x 8 = 64. Logo: 3 8 Como a raiz cúbica de 8 é 2, porque 2 x 2 x 2 = 8, temos como resultado final o número 2. 8. EXERCÍCIO DE FIXAÇÃO) Coloque o número abaixo em notação científica: 288263524 04178253905 ������������� � ������ ���� ��������� ������������������ ���������� � ������������� �������� ��!"� � � ��������� ���� ��������������������������������� ��� �������������������������������������������������������� RESOLUÇÃO: Começamos separando as casas de três em três, marcando os milhares, de forma a facilitar a compreensão do número. 288.263.524 Logo, temos um número da ordem de centenas de milhões. Sabemos que mil corresponde a 103. Um milhão é mil vezes mil, logo, um milhão é 103 x 103 = 106. Uma centena é 102. Logo, uma centena de milhão é 102 x 106 = 108. Logo, para colocar esse número em notação científica basta andar com a vírgula 8 casas para a esquerda e multiplicar por 108, da seguinte forma: 2,88263524 x 108 9. EXERCÍCIO DE FIXAÇÃO) A afirmação abaixo é verdadeira ou falsa? 6 é maior do que 2,75 Dados: 2 1, 4= e 3 1,7= RESOLUÇÃO: Para resolver essa questão podemos utilizar uma propriedade das raízes que vimos nessa aula: n n nA B A B× = × Assim, temos: 6 2 3 2 3= × = × Vamos utilizar as duas aproximações fornecidas pelo enunciado: 04178253905 ������������� � ������ ���� ��������� ������������������ ���������� � ������������� �������� ��!"� � � ��������� ���� ��������������������������������� ��� �������������������������������������������������������� 2 1, 4= 3 1,7= Com a prática vocês vão notar que essas duas aproximações são muito presentes nas provas. Em outros casos, perceberão que nem sempre poderemos nos utilizar das aproximações, mas isso veremos em outras situações ao longo do curso. Assim, temos: 2 3 1,4 1,7 2,38× = × = Ou seja, a afirmativa é ERRADA: 6 é menor do que 2,75. Outra forma de resolver o exercício seria por tentativa e erro para obter a raiz de 6, fazendo a multiplicação de um número por ele mesmo até chegar a 6. Sabemos que 22 = 4 e 32 = 9, logo, a raiz de 6 é um número entre 2 e 3. Vamos tentar o 2,5. Assim temos 2,52=6,25. Logo, a raiz de 6 é um número inferior a 2,5 e, portanto, também inferior a 2,75. Uma terceira forma de resolver essa questão parte do seguinte princípio, que é bem intuitivo: se um número A é maior que um número B, então A2 também é maior que B2. (veremos mais à frente em nosso curso que isto só vale para números positivos). Assim, ao invés de comparar os números originais, podemos comparar os seus quadrados. O quadrado da raiz de 6 é simplesmente 6. Já o quadrado de 2,75 é 2,752 = 2,75 x 2,75 = 7,56. Veja que o quadrado de 2,75 é maior do que 6, portanto 2,75 também é MAIOR que raiz de 6. 04178253905 ������������� � ������ ���� ��������� ������������������ ���������� � ������������� �������� ��!"� � � ��������� ���� ��������������������������������� ��� �������������������������������������������������������� 10. EXERCÍCIO DE FIXAÇÃO) Diga se a afirmação abaixo é verdadeira ou falsa: 41 42 42 42 42 ⋅ + ⋅ é um número inteiro RESOLUÇÃO: Para resolver esse exercício vamos utilizar a seguinte propriedade da multiplicação: Ax(B+C) = (AxB) + (AxC) No entanto, vamos usar essa propriedade “ao contrário”, da seguinte forma: (AxB) + (AxC)= Ax(B+C) A igualdade permanece, só que na passagem acima saímos de duas multiplicações em que o A estava presente e chegamos a apenas uma em que ele ficou em “evidência”. Chamamos isso justamente de colocar A em evidência. Façamos isso com o número 42 no numerador da expressão fornecida pelo exercício: 41 42 42 42(41 1)⋅ + = + Substituindo a igualdade acima na expressão inicial, temos: 41 42 42 42 42 ⋅ + = ⋅ 42(41 1) 42 42 + ⋅ 04178253905 ������������� � ������ ���� ��������� ������������������ ���������� � ������������� �������� ��!"� � � ��������� ���� ��������������������������������� ��� �������������������������������������������������������� Vejam que o 42 ficou em evidência. Agora podemos simplificar a expressão pois temos o 42 tanto no numerador quanto no denominador, da seguinte
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