curso 11188 aula 05 v2

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Aula 05
Matemática e suas Tecnologias p/ ENEM 2016
Professores: Arthur Lima, Hugo Lima
MATEMÁTICA E SUAS TECNOLOGIAS P/ ENEM 
TEORIA E EXERCÍCIOS COMENTADOS 
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AULA 05: Gráficos e Funções; Funções algébricas do 1º e do 2º 
graus, relações de dependência entre grandezas 
 
SUMÁRIO PÁGINA 
1. Teoria 02 
2. Resolução de exercícios 41 
3. Questões apresentadas na aula 106 
4. Gabarito 142 
 
 
Olá! 
Nesta quinta aula aprenderemos os tópicos relacionados a gráficos e 
funções, funções algébricas do 1º e do 2º graus e relações de 
dependência entre grandezas. Tenha uma excelente aula. Permaneço à 
disposição e deixo abaixo meus contatos: 
 
E-mail: ProfessorArthurLima@hotmail.com 
Facebook: www.facebook.com/ProfArthurLima 
Ah, e não deixe de me seguir no aplicativo Periscope, onde 
transmito vídeos gratuitos ao vivo com dicas adicionais para seu estudo: 
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1. TEORIA 
1.1 INTRODUÇÃO 
Para começarmos o nosso estudo, vamos conhecer alguns conceitos 
básicos: 
 
- População: é o conjunto de todas as entidades sob estudo. Possui pelo 
menos uma característica em comum que permite delimitar os seus 
integrantes. Ex.: População dos moradores de Brasília; população dos 
alunos da escola A; população dos animais de estimação do meu bairro; 
 
- Censo: quando efetuamos o censo de uma população, analisamos todos 
os indivíduos que compõem aquela população. Por exemplo: podemos 
contar um por um os moradores de Brasília, ou todos os alunos da escola 
A, ou todos os animais de estimação de meu bairro. Normalmente o 
nosso interesse não é simplesmente contá-los, mas sim verificar um 
determinado atributo, ou característica que esses indivíduos possuem. 
Exemplificando, pode ser que queiramos saber, de todos os moradores de 
Brasília, quantos são Homens, ou quantos tem mais de 1,80m de altura, 
ou quantos ganham mais que R$1.000,00 por mês. 
 
- Amostra: em muitos casos é inviável, custoso ou desnecessário, 
observar um por um dos membros de uma determinada população. Se 
queremos saber qual o percentual de homens na população de Brasília, 
podemos analisar um subconjunto daquela população, isto é, uma 
amostra. Se a amostra for suficientemente grande (e bem escolhida, de 
acordo com o que veremos nesta aula), é possível que o percentual de 
homens da amostra seja muito parecido com o que seria obtido se 
analisássemos toda a população. 
 
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- Variável: é um atributo ou característica (ex: sexo, altura, salário etc.) 
dos elementos de uma população que pretendemos avaliar. 
 
- Observação: trata-se do valor que a variável assume para um 
determinado membro da população. Ex.: a observação da variável SEXO 
referente a João, membro da população brasiliense, tem valor 
³0DVFXOLQR´�� 
 
Uma variável pode ser classificada em: 
 
o qualitativa, quando não assume valores numéricos, podendo 
ser dividida em categorias. Ex.: o sexo dos moradores de 
Brasília é uma variável qualitativa, pois pode ser dividido nas 
categorias Masculino ou Feminino. Se o objetivo fosse 
verificar quantos moradores já tiveram dengue, teríamos 
outra variável qualitativa, dividida nas categorias SIM e NÃO. 
 
o quantitativa, quando puder assumir diversos valores 
numéricos. Ex.: a altura dos moradores é uma variável 
quantitativa: 1,80m; 1,55m; 1,20m; 2,10m etc. O mesmo 
ocorre com os salários desses moradores. As variáveis 
quantitativas podem ser ainda divididas em: 
 
ƒ contínuas: quando não é possível separar o valor de 
uma variável em relação ao próximo valor que ela possa 
assumir. Ex.: a variável Altura é contínua. Se alguém 
tem exatamente 1,80m, qual o valor de altura 
imediatamente seguinte? 1,81m? Errado, pois é possível 
que alguém tenha, por exemplo, 1,80000001m. Ou 
1,80000000001m. É impossível saber qual o valor que 
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vem logo após (ou antes de) 1,80m, ou seja, essa 
variável é contínua. 
 
ƒ discretas: quando podemos saber o valor que vem 
imediatamente após (ou antes de) outro. Ex.: se nos 
dissessem que só é possível medir as pessoas até a 
segunda casa decimal, então a variável Altura torna-se 
discreta. Isso porque sabemos que o próximo valor de 
altura é 1,81m, e o valor anterior é 1,79m. 
 
1.2. TABELAS 
 As tabelas e gráficos são ferramentas importantes para descrever 
um conjunto de dados e extrair informações relevantes a partir deles. 
Vamos começar tratando das tabelas. 
 Para descrever um conjunto de dados, um recurso muito utilizado 
VmR�WDEHODV�FRPR�HVVD�DEDL[R��UHIHUHQWH�j�REVHUYDomR�GD�YDULiYHO�³6H[R�
GRV�PRUDGRUHV�GH�%UDVtOLD´� 
Valor da variável Frequências (Fi) 
Masculino 23 
Feminino 27 
 
 Note que na coluna da esquerda colocamos as categorias de valores 
que a variável pode assumir, e na coluna da direita colocamos o número 
de Frequências, isto é, o número de observações relativas a cada um dos 
valores. Note que foi analisada uma amostra de 50 pessoas, das quais 23 
eram homens e 27 mulheres. Estes são os valores de frequências 
absolutas. Podemos ainda representar as frequências relativas 
(percentuais): sabemos que 23 em 50 são 46%, e 27 em 50 são 54%. 
Portanto, teríamos: 
Valor da variável Frequências relativas (Fi) 
Masculino 46% 
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Feminino 54% 
 
 Se essa amostra foi bem escolhida, ela nos dá uma boa estimativa 
de como é distribuída a população brasiliense: cerca de 46% são homens 
e 54% mulheres. Quanto maior a amostra (e mais bem escolhida), mais 
nos aproximaremos dos percentuais que seriam obtidos na análise de 
toda a população. 
 Note que a frequência relativa é dada por Fi / n, onde Fi é o 
número de frequências de determinado valor da variável, e n é o número 
total de observações. 
 Agora, veja a tabela abaixo, referente a observações da variável 
Altura dos moradores de Brasília: 
 
Valor da variável Frequências (Fi) 
1,50m 15 
1,51m 5 
1,53m 4 
1,57m 2 
1,60m 10 
1,63m 8 
1,65m 1 
1,71m 20 
1,73m 10 
1,75m 3 
1,83m 2 
 
 Quando temos uma variável como esta, que pode assumir um 
grande número de valores distiQWRV�� p� LQWHUHVVDQWH� ³UHVXPLU´� RV� GDGRV��
criando intervalos de valores para a variável (que chamaremos de 
classes). Veja um exemplo: 
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Classe Frequências (Fi) 
1,50| ± 1,60 26 
1,60| ± 1,70 19 
1,70|± 1,80 33 
1,80| ± 1,90 2 
 
 O símbolo | significa que o valor que se encontra ao seu lado está 
incluído na classe. Por exemplo, 1,50| - 1,60 nos indica que as pessoas 
com altura igual a 1,50 são contadas entre as que fazem parte dessa 
classe, porém as pessoas com exatamente 1,60 não são contabilizadas. 
 Assim, tHPRV�DV�VHJXLQWHV�IRUPDV�GH�FULDU�DV�FODVVHV��RQGH�³OL´�p�R�
OLPLWH�LQIHULRU�GD�FODVVH��PHQRU�YDORU��H[���������H�³/L´�p�R�OLPLWH�VXSHULRU�
(o maior valor, ex.: 1,60): 
- li| ± Li : limite inferior incluído na classe 
- li ± |Li : limite superior incluído na classe 
- li| ± |Li : limite inferior e superior incluídos na classe 
- li ± Li : limite inferior e superior excluídos da classe 
 
Veja abaixo novamente a última tabela, agora com a coluna 
Frequências absolutas acumuladas à direita: 
Classe Frequências (Fi) Frequências absolutas 
acumuladas (Fac) 
1,50| ± 1,60 26 26 
1,60| ± 1,70 19 45 
1,70| ± 1,80 33 78 
1,80| ± 1,90 2 80 
 
A coluna da direita exprime o número de indivíduos que se encontram 
naquela classe ou abaixo dela. Isto é, o número acumulado de 
frequências do valor mais baixo da amostra (1,50m) até o limite superior 
daquela classe. Veja que, para obter o número 45, bastou somar 19 (da 
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classe 1,60| - 1,70) com 26 (da classe 1,50| - 1,60). Isto é, podemos 
dizer que 45 pessoas possuem altura inferior a 1,70m (limite superior da 
última classe). Analogamente, 78 pessoas possuem altura inferior a 
1,80m. 
De posse das frequências absolutas acumuladas, podemos calcular as 
frequências relativas acumuladas, que nada mais é que o percentual de 
indivíduos cujo valor da variável (altura) é inferior a um determinado 
limite. Veja isso na coluna da direita da tabela abaixo: 
 
Classe Frequências 
(Fi) 
Frequências 
absolutas 
acumuladas (Fac) 
Frequências 
relativas 
acumuladas (Frc) 
1,50| ± 1,60 26 26 32,50% 
1,60| ± 1,70 19 45 56,25% 
1,70| ± 1,80 33 78 97,50% 
1,80| ± 1,90 2 80 100% 
 
 Portanto, podemos concluir que 32,50% dos indivíduos observados 
possuem menos de 1,60m. Já 56,25% possuem menos de 1,70m, e 
97,50% tem menos de 1,80. Por fim, todos os indivíduos (100%) tem 
altura inferior a 1,90m, já que o maior valor observado foi 1,83m. 
 Note que, para calcular o valor das frequências relativas 
acumuladas (Frc), bastou dividir o valor das frequências absolutas 
acumuladas (Fac) por n, que é o total de observações (n = 80 neste 
exemplo). 
 
1.3. GRÁFICOS 
O tipo de gráfico mais comum é aquele formado por dois eixos: um 
eixo horizontal (abscissas) e um eixo vertical (ordenadas): 
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 2�SRQWR�GH�FUX]DPHQWR�HQWUH�RV�GRLV�HL[RV��PDUFDGR�SHOD�OHWUD�³2´�
no gráfico acima, é a chamada Origem. Ela divide os valores positivos dos 
valores negativos. Assim, no eixo das abscissas, os valores positivos 
encontram-se à direita da origem, estando os negativos à sua esquerda. 
Já no eixo das ordenadas, os valores positivos encontram-se acima, e os 
negativos abaixo da Origem. 
 (VWH� WLSR� GH� JUiILFR� SHUPLWH� UHODFLRQDU� GXDV� ³JUDQGH]DV´��
representando cada uma delas em um dos eixos. Exemplificando, 
podemos utilizar este gráfico para representar a relação entre a idade de 
um bebê e o seu tamaQKR� HVSHUDGR�� 6mR� DV� FRQKHFLGDV� ³FXUYDV� GH�
FUHVFLPHQWR´�GH�EHErV��9HMD�XP�H[HPSOR�DEDL[R� 
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Para analisar este gráfico, siga os seguintes passos: 
1 ± veja as informações fornecidas no título do gráfico: neste caso, 
estamos diante de curvas de crescimento de meninas, do nascimento até 
RV���DQRV�GH� LGDGH��H�FDGD�FXUYD� UHSUHVHQWD�XP�³SHUFHQWLO´� �YHUHPRV�R�
que isto significa adiante). 
2 ± identifique quais grandezas se encontram em cada eixo: neste caso, o 
eixo das abscissas nos mostra a Idade do bebê, e o eixo das ordenadas 
nos mostra o comprimento esperado; 
3 ± identifique a unidade de medida utilizada para representar cada 
grandeza: neste caso, a idade é fornecida em meses completos e anos, já 
o comprimento é fornecido em centímetros (cm). 
4 ± avalie o formato das curvas descritas no gráfico: o formato das curvas 
nos mostra a relação de dependência entre as duas variáveis que 
compõem o gráfico. Neste exemplo, observe que cada curva começa mais 
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verticalizada (à esquerda) e vai se inclinando à medida que caminhamos 
para a direita, aproximando-se do sentido horizontal. Isto significa que 
nos primeiros meses o bebê cresce mais rapidamente, e com o passar do 
tempo este ritmo se reduz, isto é, o ganho de altura é menor entre um 
mês e outro. 
 2�WHUPR�³SHUFHQWLO´�p�XPD�PHGLGD�HVWDWtVWLFD��Somente para facilitar 
a sua análise, vejamos o que ele significa neste caso concreto. Repare na 
curvD� LQIHULRU��PDUFDGD�SRU�³S�´��RX�³SHUFHQWLO-�´�� ,VWR�VLJQLILFD�TXH����
das crianças se encontram abaixo daquela curva. Para entender melhor, 
QRWH�TXH�D�DEVFLVVD� ³��DQRV´� FRUUHVSRQGH�j�RUGHQDGD� ³��FP´�QD� FXUYD�
p3: 
 
 
Isto significa que apenas 3% das meninas têm 88cm ou menos aos 
3 anos de idade. Em outras palavras, cerca de 97% das meninas têm 
mais de 88cm aos 3 anos de idade!! Ou seja, se uma menina de 3 anos 
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de idade tiver apenas 80cm, provavelmente o pediatra fará um 
acompanhamento mais atencioso do seu crescimento. 
$LQGD� QHVWH� JUiILFR�� DYDOLH� DJRUD� D� FXUYD� S���� RX� ³SHUFHQWLO-��´��
Abaixo desta curva estão 97% das meninas. Repare que, para 3 anos 
completos, a ordenada correspondente é de aproximadamente 103cm: 
 
 
 Ou seja, apenas 3% das meninas com esta idade possuem mais de 
103cm de altura. Caso uma menina esteja acima desta faixa, talvez ela 
também requeira um acompanhamento diferenciado por parte do 
pediatra. 
 
1.3.1. INFOGRÁFICOS 
 Para conhecer melhor os infográficos, veja este abaixo, que 
compara diversas informações de dois blocos econômicos (Mercosul e 
União Européia): 
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Note que esta figura permite que você, de maneira muito rápida e 
simples, efetue diversas comparações entre os dois blocos econômicos. 
Por exemplo, você pode notar que a população da União Européia é cerca 
de duas vezes a população do Mercosul (453,6 milhões vs. 223,4 
milhões), apesar de estar concentrada em uma área bem menor (3 
milhões de km2 vs. 11,9 milhões de km2). Você pode ainda fazer algumas 
UHODo}HV��FULDU�DOJXQV�³tQGLFHV´�TXH�WH�DX[LOLHP�D�HQWHQGHU�DV�LQIRUPDo}HV�do gráfico. Ao dividir o PIB de cada bloco econômico pela sua respectiva 
população, você pode ter uma ideia da quantidade média de riqueza 
gerada por cada habitante. Note que: 
MERCOSUL: PIB / habitantes = 2.717,99 dólares 
UNIÃO EUROPÉIA: PIB / habitantes = 24.029,98 dólares 
 
Observe que o PIB por habitante, ou PIB per capita da União 
Européia é cerca de 9 vezes maior que o do Mercosul! 
O termo infográfico vem do inglês informational graphics e o seu 
uso revolucionou o layout das páginas dos jornais, revistas e sites. Os 
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infográficos são formas de representar informações técnicas que devem 
ser sobretudo atrativas e transmitidas ao leitor em pouco tempo e 
espaço. Um bom infográfico, além de ser bem produzido, deve responder 
às tradicionais perguntas do leitor. 
Cada vez mais utilizada pelos veículos de comunicação para criar o 
aspecto visual da informação, a infografia envolve um conceito moderno, 
em que se aliam imagem e texto para oferecer ao leitor a melhor 
percepção do assunto tratado. Uma grande vantagem dos infográficos é 
economizar tempo gasto pelo leitor com a leitura de textos enormes, 
propiciando uma verdadeira economia narrativa. 
 As questões sobre este assunto podem cobrar essas características 
teóricas dos infográficos que citei acima. Outras questões poderão 
apresentar infográficos como o nosso exemplo, e solicitar que você 
interprete informações, como fizemos ao avaliar o PIB per capita de cada 
bloco econômico e, com isso, conseguir ter uma boa ideia da diferença de 
riqueza entre os dois blocos. 
 Para finalizar, veja um outro exemplo de infográfico, que informa 
quais pessoas são obrigadas a entregar a declaração de Imposto de 
Renda em 2013: 
 
 
 
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1.3.2 GRÁFICOS DE SETORES 
 Os gráficos de setores são também conhecidos como gráficos 
FLUFXODUHV�RX�³JUiILFRV�GH�SL]]D´�� Para uma determinada variável, este 
JUiILFR� DSUHVHQWD� VHWRUHV� FLUFXODUHV� �³IDWLDV� GD� SL]]D´�� TXH� VmR�
proporcionais à importância relativa de cada valor observado para a 
variável. Para ilustrar, veja que o infográfico abaixo apresenta um gráfico 
GH�VHWRUHV�GD�YDULiYHO�³VH[R´�dos habitantes do nosso País: 
 
 
 
 Note que temos no Brasil mais de 97 milhões de mulheres, 
enquanto os homens somam cerca de 93,4 milhões apenas. Repare ainda 
no outro gráfico de setores (à direita), que apresenta a distribuição da 
população segundo as faixas de idade. Veja que 24,1% da população tem 
de 0 a 14 anos; e 7,4% tem mais de 65 anos. Perceba ainda que o gráfico 
de setores soEUH� ³VH[R´�DSUHVHQWD�DV� IUHTXrQFLDV�DEVROXWDV��HQTXDQWR�R�
JUiILFR�VREUH�³LGDGH´�DSUHVHQWD�DV�IUHTXrQFLDV�UHODWLYDV����� 
 
 
 
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1.3.3 GRÁFICOS ESTATÍSTICOS 
 O Histograma é um gráfico de barras que representa, no seu eixo 
horizontal, as classes de valores que uma variável pode assumir, e em 
seu eixo vertical os valores das frequências de cada classe. Para 
exemplificar, vamos utilizar os dados da tabela abaixo, que já usamos 
anteriormente: 
 
Classe Frequências 
(Fi) 
Frequências 
absolutas 
acumuladas (Fac) 
Frequências 
relativas 
acumuladas (Frc) 
1,50| ± 1,60 26 26 32,50% 
1,60| ± 1,70 19 45 56,25% 
1,70| ± 1,80 33 78 97,50% 
1,80| ± 1,90 2 80 100% 
 
 O histograma das frequências de cada classe seria assim: 
 
 Note que, de fato, temos 26 frequências na classe 1,50| - 1,60; 19 
na classe 1,60| - 1,70; e assim sucessivamente. Podemos traçar ainda o 
gráfico das frequências absolutas acumuladas, que normalmente é 
representado por uma linha como esta abaixo: 
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 Este gráfico de frequências acumuladas acima, onde ligamos os 
pontos extremos (limites superiores) das classes de valores, é conhecido 
como ogiva. Chamamos a figura formada no gráfico de polígono de 
frequências. 
Note que no gráfico de frequências acumuladas colocamos apenas o 
limite superior de cada classe de dados. 
9HMD�� SRU� H[HPSOR�� TXH� R� SRQWR� ³$´� QR� JUiILFR� QRV� LQGLFD� TXH� ���
frequências ocorrem abaixo de 1,80m. Finalmente, veja o gráfico das 
frequências relativas acumuladas: 
 
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Aqui, o ponto A nos indica que 97,50% das frequências são iguais 
ou inferiores a 1,80m. 
 Observe agora o seguinte Histograma, relativo à observação das 
idades dos moradores de um determinado bairro: 
 
 Note que esse gráfico possui um pico na classe de 30 a 40 anos, e à 
medida que as classes se afastam desta (para a esquerda ou para a 
direita), a quantidade de frequências é igual, dando um aspecto de 
simetria (ex.: temos 15 frequências tanto no intervalo 20 - |30 como no 
intervalo 40 - |50). 
 Podemos ter também histogramas assimétricos. Neste abaixo, 
temos uma assimetria à direita (assimetria positiva), pois temos o pico 
em 10-20 anos e os dados se estendem para a direita (sentido positivo), 
assumindo valores de até 70 anos. 
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 Já o histograma abaixo apresenta um caso de assimetria à esquerda 
(negativa), onde os dados se estendem para a esquerda (sentido 
negativo): 
 
 
1.4. SÉRIES 
 Observe o gráfico abaixo. Ele apresenta a evolução do produto 
interno bruto (PIB) brasileiro de 1962 a 2014, medido em dólares: 
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Fonte: http://www.wikipedia.org 
 Estamos diante de uma série cronológica. Por quê? Porque temos 
dados dispostos de acordo com uma distribuição temporal. Essas séries 
cronológicas também são chamadas de séries históricas, séries temporais, 
séries evolutivas ou marchas. 
 No gráfico abaixo temos um outro tipo de série. Repare: 
 
 
Fonte: http://novosite.fepese.org.br/ 
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 No eixo vertical temos diversos estados brasileiros, e no eixo 
horizontal temos o valor do PIB daquele estado no ano de 2010. Neste 
caso, veja que não estamos diante de uma série cronológica. Os dados 
(PIB) estão distribuídos de maneira geográfica (por estado).Assim, 
dizemos que esta é uma série geográfica, também conhecida como série 
de localização. 
 Podemos ainda ter séries específicas ou categóricas, onde os dados 
estão distribuídos de acordo com determinadas categorias. Por exemplo, 
no gráfico abaixo temos uma série com a distribuição do teto salarial de 
diversos cargos públicos federais: 
 
 
Fonte: www.servidor.gov.br 
 
 Existem ainda as séries conjugadas ou mistas, que possuem este 
nome por se tratar da mistura de dois tipos acima. Por exemplo, podemos 
ter uma série geográfica-temporal, onde representamos a evolução do 
PIB de cada estado brasileiro ao longo dos anos. 
 Note que os gráficos acima são produzidos a partir de informações 
presentes em tabelas, que são as séries propriamente ditas. Por exemplo, 
no caso do último gráfico, ele é derivado da seguinte série: 
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Cargo Teto salarial (R$)
Analista do BACEN 21.391,10R$ 
Auditor Fiscal do Trabalho 22.516,88R$ 
Advogado da União 22.516,94R$ 
Oficial de Inteligência (ABIN) 21.300,28R$ 
Analista da CVM 21.391,10R$ 
Agente da Polícia Federal 13.756,93R$ 
Policial Rodoviário Federal 12.206,09R$ 
Analista da ANVISA 17.661,47R$ 
Teto salarial dos servidores públicos federais 
brasileiros em Março/2015
Fonte: www.servidor.gov.br 
 
Veja que esta série (ou tabela) é formada pelas seguintes partes: 
- título�� ³7HWR� VDODULDO� GRV� VHUYLGRUHV� S~EOLFRV� IHGHUDLV� EUDVLOHLURV� HP�
0DUoR�����´�� 9HMD� TXH� R� WtWXOR� GHYH� FRQWHU� DV� LQIRUPDo}HV� QHFHVViULDV�
para que a tabela seja compreendida, que são: o fenômeno observado 
�RX�³IDWR´��TXH�QHVWH�FDVR�p�R�WHWR�VDODULDO���R�HVSDoR�JHRJUiILFR��%UDVLO��H�
a época (março de 2015). 
- corpo: trata-se do conjunto de dados propriamente ditos, ou seja, os 
cargos e suas respectivas remunerações. Nele temos o cabeçalho, que é a 
OLQKD�TXH�LQGLFD�R�FRQWH~GR�GDV�FROXQDV�GH�GDGRV��QHVWH�FDVR��³&DUJR´�H�
³7HWR�VDODULDO´��� 
- rodapé: esta parte é utilizada para a apresentação da fonte dos dados 
que compõem a tabela (no caso, o site www.servidor.gov.br). 
 Podemos ainda ter outros elementos, como notas (informações 
gerais destinadas a esclarecer o conteúdo da tabela), colunas indicadoras 
(que explicitam o conteúdo de cada linha), chamadas (informações 
específicas para esclarecer um ou alguns dados da tabela). Em um artigo 
científico ou mesmo em textos jornalísticos, é comum que a tabela possua 
um número que a identifique. Ainda, vale a pena você saber que 
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FKDPDPRV� GH� ³FpOXOD´� FDGD� SRVLomR� HVSHFtILFD� �GHVLJQDGD� SHOD� OLQKD� H�
coluna) na tabela. 
 Veja que nas séries cronológicas o tempo é variável, enquanto o 
fenômeno observado (fato) é fixo, bem como o espaço geográfico. Nas 
séries geográficas, a localização é variável, enquanto o tempo e o fato são 
fixos. Nas séries categóricas, quem varia é o fato, enquanto o tempo e o 
local são fixos. Todas essas séries são consideradas simples, pois nelas 
apenas um elemento (ou fator) é que varia, permanecendo os demais 
fixos. 
 Nas séries mistas ou conjugadas, mais de um fator pode variar. 
Veja o exemplo fictício abaixo: 
Estado 2010 2014
São Paulo 20.000R$ 22.000R$ 
Distrito Federal 25.000R$ 27.000R$ 
Rio de Janeiro 18.000R$ 21.000R$ 
Goiás 14.000R$ 17.000R$ 
PIB per capita dos estados brasileiros 2010-2014, 
em reais
Fonte: dados fictícios 
 Aqui temos uma distribuição geográfico-temporal. Veja que tanto o 
local (estado brasileiro) como o tempo (ano) variam, mas o fato (PIB 
estadual) permanece fixo. 
 
1.5 FUNÇÕES 
 Observe os dois conjuntos abaixo: 
 
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 Veja que as setas servem para associar um elemento do conjunto A 
a um elemento do conjunto B. Vendo todas as setas, temos uma relação 
entre os conjuntos A e B. Observe que podemos ter inúmeras relações 
entre esses dois conjuntos. Observe também que: existem elementos de 
A que estão ligados a mais de um elemento de B; existem elementos de A 
que não estão ligados a nenhum elemento de B; existem dois elementos 
de A ligados ao mesmo elemento de B. 
Existe uma relação em especial envolvendo esses dois conjuntos, 
onde cada elemento de A está ligado a um único elemento de B. Veja um 
exemplo abaixo: 
 
 
É isso que chamamos de função. Ou seja, uma função é uma 
relação entre elementos de dois conjuntos, que liga cada elemento de um 
conjunto a um único elemento do outro conjunto. Note que o fato dos 
elementos 2 e 3 do conjunto A estarem ligados ao mesmo elemento de B 
(5) não faz com que a relação deixe de ser considerada uma função. O 
que importa é que cada elemento de A está ligado a apenas 1 elemento 
de B. 
Já o primeiro exemplo que vimos não era uma função por dois 
motivos: 
- haviam elementos de A que não estavam ligados a nenhum elemento de 
B (4 e 6); 
- havia um elemento de A ligado a mais de um elemento de B (5). 
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 Voltando a falar do exemplo de função apresentado no desenho 
acima, você precisa saber identificar os seguintes conjuntos: 
- Domínio da função (D): é o conjunto onde a função é definida, ou seja, 
contém todos os elementos que serão ligados a elementos de outros 
conjuntos. Trata-se, neste exemplo, do conjunto A, afinal todos seus 
elementos são ligados a elementos do conjunto B; 
- Contradomínio da função (CD): é o conjunto onde se encontram todos 
os elementos que poderão ser ligados aos elementos do Domínio. Neste 
caso, trata-se do conjunto B; 
- Imagem da função (I): é formado apenas pelos valores do 
Contradomínio efetivamente ligados a algum elemento do Domínio. Veja, 
por exemplo, que os elementos 4 e 6 do conjunto B não estão ligados a 
nenhum termo do conjunto A. Portanto, eles fazem parte do 
Contradomínio, porém não fazem parte do conjunto Imagem. 
 Vamos olhar agora para o conjunto Imagem, isto é, os termos do 
FRQMXQWR� %� TXH� HVWmR� VHQGR� ³XVDGRV´� SHOD� IXQomR�� ,VVR� nos permitirá 
conhecer as classificações das funções: 
a) Função Injetora: se cada elemento do conjunto Imagem estiver 
ligado a um único elemento do Domínio, a função é chamada 
injetora. Ex.: 
 
 
Neste exemplo, o conjunto imagem é I = {1, 2, 3, 4, 5, 7}. Veja 
que o 6 não faz parte da Imagem, apesar de ser parte do Contradomínio 
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(B). E cada elemento da Imagem está ligado a apenas um elemento do 
Domínio, que é o conjunto A. Por isso, a função é Injetora. 
 
b) Função Sobrejetora: se não sobrarem elementos do Contradomínio 
que não fazem parte do conjunto Imagem, temos uma função 
sobrejetora.Em outras palavras, trata-se dos casos onde 
Contradomínio = Imagem. Ex.: 
 
 Percebeu que todos os elementos do conjunto B (Contradomínio) 
estão sendo utilizados pela função (ou seja, este é o próprio conjunto 
Imagem)? Logo, a função é Sobrejetora. 
 
c) Função Bijetora: se as duas coisas acima acontecerem ao mesmo 
tempo, isto é, a função for injetora e sobrejetora ao mesmo tempo, 
a função é dita bijetora. Ex.: 
 
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 Notou que cada elemento da Imagem está ligado a um único 
elemento do Domínio (conj. A)? E que a Imagem é igual ao próprio 
Contradomínio (conj. B)? Portanto, essa função é Bijetora. 
Qual a importância dessa classificação? Ela nos permite saber se é 
SRVVtYHO�³LQYHUWHU�R�VHQWLGR´�da função. As funções bijetoras são as únicas 
TXH� VHPSUH� SHUPLWHP� LQYHUWHU�� RX� VHMD�� Vy� HODV� WHP� XPD� ³IXQomR�
LQYHUVD´� A função inversa pode ser visualizada simplesmente trocando o 
sentido das setas, isto é, ligando cada elemento do conjunto B a um único 
elemento de A. 
Agora que já vimos os conceitos básicos, vamos introduzir as 
notações matemáticas. Para cada elemento x do Domínio, a função f 
OHYDUi�D�XP�HOHPHQWR�GR�FRQWUDGRPtQLR��TXH�GHQRWDUHPRV�SRU�I�[���OHLD�³I�
GH�[´��RX�³IXQomR�GH�[´��� �$R�GHILQLU�XPD� função, geralmente definimos 
quem é o domínio (D) e quem é o contradomínio (CD) através da notação 
f:DÆCD. Na função que vimos acima, tínhamos uma f:AÆB, ou seja, uma 
função com Domínio no conjunto A e Contradomínio no conjunto B. Na 
maioria dos exercícios de concurso você terá o:f N N (domínio e 
contradomínio iguais ao conjunto dos números naturais), o:f Z Z 
(inteiros) ou o:f R R (domínio e contradomínio iguais ao conjunto dos 
números reais). 
Ao representar uma função graficamente, colocamos no eixo 
horizontal os valores que o Domínio pode assumir, isto é, os valores de x; 
e no eixo vertical os valores que a Imagem pode assumir, ou seja, os 
valores de f(x), que também podemos chamar simplesmente de y: 
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Exemplificando, vamos representar a função o:f R Ronde f(x) = 
2x. R , no caso, é o conjunto dos números reais. Portanto, a função f(x) 
tem como Domínio todos os números reais, e também os tem como 
Contradomínio. Se x for igual a 3, por exemplo, f(x) será f(3) = 2x3 = 6. 
Portanto, teremos o ponto P (3, 6), que podemos localizar no gráfico. 
Antes, porém, vamos calcular a função para outros valores de x. Veja a 
tabela abaixo: 
 
Valor de x Valor de f(x) = 2x Ponto (x, f(x)) 
0 0 (0, 0) 
1 2 (1, 2) 
-1 -2 (-1, -2) 
-2 -4 (-2, -4) 
 
Vamos representar os pontos acima no gráfico. Veja: 
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Observe que os pontos marcados formam uma reta. Para cada 
número real x, teremos um número real dado por f(x) de forma que o 
ponto (x, f(x)) pertencerá à reta desenhada acima. 
 
1.5.1 FUNÇÕES INVERSAS 
 Vamos trabalhar com a função que vimos acima, isto é, f(x) = 2x. 
Veja que essa função leva um valor x ao valor f(x), que no caso é igual a 
2x. Veja isso no diagrama abaixo: 
 
 A função inversa fará o caminho contrário, isto é, levará os 
elementos do conjunto da direita de volta aos elementos do conjunto da 
esquerda. O caso acima é bem intuitivo: uma vez que f(x)=2x, isto é, os 
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elementos da direita são o dobro daqueles da esquerda, a função inversa 
será aquela que divide os elementos do conjunto da direita por 2. 
Simbolizando a função inversa por 1( )f x� , fica claro que neste caso 
1( )
2
x
f x� . Note, por exemplo, que 1 11(11) 5,5
2
f � . 
 Se você tiver a função f(x) qualquer, e quiser obter a função 
inversa, basta: 
1. Substituir f(x) por x 
2. Substituir x por 1( )f x� 
3. Rearranjar os termos, isolando 1( )f x� . 
Para exemplificar, imagine ( ) 5
3
x
f x � . Executando os dois primeiros 
passos acima, temos: 
1
( ) 5
3
( )
5
3
x
f x
f x
x
�
 �
 �
 
 
 Agora vamos executar o último passo, isolando 1( )f x� : 
1
1
1
1
( )
5
3
( )
5
3
3( 5) ( )
( ) 3( 5)
f x
x
f x
x
x f x
f x x
�
�
�
�
 �
� 
� 
 �
 
 
 Portanto, a função inversa de ( ) 5
3
x
f x � é 1( ) 3( 5)f x x� � . Para ficar 
mais claro, observe que f(6) = 7, e que 1(7) 6f � . 
 Note que: 
- o conjunto imagem da função f(x) será o domínio da função inversa; 
- o domínio da função f(x) será a imagem da função inversa; 
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 Para finalizar, lembre-se: apenas as funções bijetoras admitem uma 
função inversa. 
 
1.5.2 FUNÇÕES COMPOSTAS 
Veja as duas funções abaixo: 
( ) 5f x x � 
e 
( ) 1
2
x
g x � 
 Você já sabe calcular, por exemplo, f(4) e g(4). Neste caso, f(4) =9 
e g(4)=1. O que seria, então, f(g(4))? Para responder, primeiramente 
precisamos calcular o que está dentro dos parênteses, isto é, g(4), 
obtendo o resultado 1. Este resultado é que será substituído na expressão 
da função f. Assim, f(g(4)) = f(1) = 1 + 5 = 6. 
A função f(g(x)) é uma função composta. Trata-se de uma função 
formada por outras duas. Assim, dado um valor de x, é preciso primeiro 
calcular o valor de g(x) para, a seguir, substituir esse valor na função f, 
obtendo o resultado final. Ao invés de sempre efetuar esses dois passos, 
é possível descobrir uma expressão que já dê direto o valor de f(g(x)). 
Veja que basta substituir x por g(x) na expressão da função f: 
( ) 5
( ( )) ( ) 5
f x x
f g x g x
 �
 � 
 
 Como ( ) 1
2
x
g x � , podemos substituir o g(x) que se encontra no 
lado direito da expressão acima. Veja o que obtemos: 
( ( )) ( ) 5
( ( )) 1 5
2
( ( )) 4
2
f g x g x
x
f g x
x
f g x
 �
§ · � �¨ ¸© ¹
 �
 
 
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 Portanto, a expressão acima já dá o resultado da aplicação da 
função g, seguida da aplicação da função f. Veja que 
4
( (4)) 4 6
2
f g � , 
como calculamos acima. 
Outra forma de simbolizar f(g(x)) é ( )f g x . Vamos aproveitar as 
funções f(x) e g(x) acima para calcular g(f(x)): 
( ) 1
2
( )
( ( )) 1
2
( 5)
( ( )) 1
2
3
( ( ))
2
x
g x
f x
g f x
x
g f x
x
g f x
 �
 �
� �
� 
 
 
 Observe que as expressões de f(g(x)) e g(f(x)) são bem diferentes. 
Muito cuidado com isso! Aqui, a ordem importa! 
 É possível ainda calcular a função composta ( )f f x , ou f(f(x)). Basta 
substituir o x, na expressãoda função f, por f(x). Veja abaixo: 
( ) 5
( ) ( ) 5
( ) ( 5) 5
( ) 10
f x x
f f x f x
f f x x
f f x x
 �
 �
 � �
 �
 
 
 Vamos finalizar calculando g(g(x)), isto é, ( )g g x : 
( ) 1
2
( )
( ) 1
2
1
2
( ) 1
2
3
( )
4 2
x
g x
g x
g g x
x
g g x
x
g g x
 �
 �
§ ·�¨ ¸© ¹ �
 �
 
 
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1.5.3 FUNÇÕES LINEARES (1º GRAU) 
 Veja novamente o gráfico que desenhamos para a função f(x) = 2x: 
 
Calculamos diversos pontos para só então traçar o gráfico e 
perceber que se tratava de uma reta. Entretanto, sem desenhar os 
pontos, você já poderia saber que esta função teria, como gráfico, uma 
reta. Isto porque a função f(x) = 2x é uma função do tipo f(x) = ax + b, 
que chamaremos de função de primeiro grau, onde a = 2 e b = 0. 
Grave isso: as funções de primeiro grau têm como gráfico uma reta. 
1HVWDV�IXQo}HV��R�FRHILFLHQWH�³D´�p�FKDPDGR�GH�coeficiente angular, pois 
ele dá a inclinação da reta. Se a > 0, a reta será crescente (como a que 
vimos acima), e se a < 0 a reta será decrescente. Já o coefLFLHQWH�³E´�p�
chamado coeficiente linear, e ele indica em que ponto a reta cruza o eixo 
das ordenadas (eixo y, ou eixo f(x)). Veja que na função f(x) = 2x, o 
termo b é igual a zero. Portanto, a função cruza o eixo Y na posição y = 
0. 
Para fixar o conhecimento: a função f(x) = -3x + 5 é uma função de 
primeiro grau (pois o maior expoente de x é 1), onde o coeficiente 
angular é a = -3 e o coeficiente linear é b = 5. Portanto, seu gráfico é 
uma reta decrescente (a < 0), que cruza o eixo y na posição y = 5 (pois 
este é o valor de b). 
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Muitas vezes o exercício pode solicitar o ponto onde a função cruza 
o eixo horizontal. Veja este ponto, em destaque no gráfico abaixo: 
 
 Observe que, neste ponto, f(x) = 0. Portanto, para encontrar o 
valor de x, basta igualar a função a 0: 
ax + b = 0 
 Veja que temos uma equação de primeiro grau. Já sabemos que a 
raiz será 
b
x
a
� . Ou seja, a função f(x) cruza o eixo x no ponto P ( b
a
�
, 0). 
 
1.5.4 FUNÇÕES DE 2º GRAU 
 As funções de segundo grau são aquelas do tipo 2( )f x ax bx c � � . 
Aqui usaremos os conceitos aprendidos para equações de segundo grau. 
Primeiramente, é bom você saber que as funções de segundo grau 
têm um gráfico na forma de parábola. Veja um exemplo: 
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Neste exemplo, dizemos que a parábola tem concavidade para 
cima. Note ainda que a curva cruza o eixo x em dois pontos, marcados no 
gráfico. Estas são as raízes da função, ou seja, os pontos onde f(x) = 0. 
Para calcular estas raízes, basta igualar a função a zero e usar a fórmula 
de Báskara para resolver: 
2 0ax bx c� � 
 
 Além disso, veja que a curva cruza o eixo vertical (f(x)) em um 
ponto, que é dado pelo coeficiente c (que é o único que não multiplica x). 
 Saiba ainda que o coeficiente a nunca pode ser zero, pois se isso 
ocorrer, restará apenas f(x) = bx + c, e não mais teremos uma parábola, 
e sim uma reta. O sinal do coeficiente a determina se a concavidade será 
para cima ou para baixo. Isto é, se a > 0, a concavidade será para cima, 
como na figura acima. E se a < 0, a concavidade será para baixo, como 
você vê na figura a seguir: 
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Observe que até agora vimos exemplos de funções de segundo grau 
que cruzavam o eixo X em 2 pontos, que chamamos de raízes. Você deve 
estar lembrado que, ao estudar as equações de segundo grau, vimos que 
é possível que as mesmas tenham 2 raízes reais (quando 0' ! ); mas 
também pode ocorrer de não ter nenhuma raíz real (se 0' � ). Neste 
caso, a parábola não cruzará o eixo X. Veja um exemplo: 
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Ainda, você lembra que se 0' a função tem 2 raízes reais 
idênticas. Ou seja, ela apenas toca o eixo X, em um único ponto. Observe 
esse exemplo abaixo: 
 
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 Vamos fazer uma breve digressão, voltando ao tema Domínio, 
Contradomínio e Imagem, para fixar esses conceitos. Veja o gráfico 
acima. Note que todos os valores de x são usados (para qualquer número 
real x, teremos um valor de f(x)). Portanto, o domínio da função é o 
conjunto dos números reais. E veja que o contradomínio é o conjunto dos 
números reais também, pois, a princípio, a função f(x) pode assumir 
qualquer valor real. Entretanto, note que o gráfico da função apenas toca 
o eixo x e volta a subir, de forma que nenhum valor f(x) negativo é 
usado. Portanto, o conjunto Imagem (valores que a função efetivamente 
assume) é formado pelos números reais não negativos, isto é, maiores ou 
iguais a zero. Usando notações matemáticas, dizemos que temos uma 
função o:f R R , cuja imagem é o conjunto  t{ | 0}I x R x �OHLD�� ³[�
SHUWHQFHQWH�DRV�5HDLV��WDO�TXH�[�p�PDLRU�RX�LJXDO�D�]HUR´�� 
 As parábolas com concavidade para cima possuem um ponto onde 
f(x) atinge o seu valor mínimo. Já as parábolas com concavidade para 
baixo possuem um ponto onde f(x) atinge o seu valor máximo. Veja no 
desenho abaixo: 
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 Veja que a curva em azul é uma função de segundo grau com a>0, 
ou seja, com concavidade para cima. Neste caso, a função tem um ponto 
mínimo, identificado pelas coordenadas X mínima (Xmín.) e Y mínima 
(f(x)mín.). Já a curva em preto é uma função de segundo grau com a<0, 
tendo concavidade para baixo. Assim, a função tem um ponto máximo 
representado pelas coordenadas X máxima (Xmáx.) e Y máxima 
(f(x)máx.). 
 Esse ponto de máximo ou mínimo da função de segundo grau é 
chamado de Vértice. É fácil obter as coordenadas dele. Basta saber que: 
2vértice
b
x
a
� 
 
. A fórmula acima permite calcular o valor da coordenada X no 
vértice. Uma vez calculado o valor de da coordenada X, basta substituí-la 
na função e calcular ( )vérticef x , que será o valor máximo ou mínimo da 
função, dependendo do caso. 
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Vamos rever os conceitos mencionados acima analisandoa função 
2 3 2( ) xf x x � � . Vemos que a = 1, b = -3 e c = 2. Como a > 0, então o 
gráfico da função tem concavidade para cima. Calculando o valor de 
2 4b ac' � , vemos que 1' , que é positivo, portanto a função tem 2 
raízes reais, cruzando o eixo x em 2 pontos. Calculando essas raízes 
através da fórmula de Báskara, obtemos: 
1
2
1
2
x
x
 
 
 
 Como a concavidade é para cima, a função terá um ponto mínimo. 
A coordenada X deste ponto será: 
( 3) 3
2 2 1 2
vértice
b
x
a
� � � u 
 
 O valor mínimo da função será dado por: 
2
2
3 2
3 3 3
( ) 3 2
2 2 2
3 1
( ) 2
2 4
( )
9 9
4 2
x
f
f
f x x � �
§ · § · � u �¨ ¸ ¨ ¸© ¹ © ¹
 � � �
 
 
 
 Portanto, podemos fazer um esboço do gráfico desta função da 
seguinte forma: 
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2. RESOLUÇÃO DE EXERCÍCIOS 
 Trabalharemos agora alguns exercícios do ENEM de anos anteriores. 
Lembre-se: é muito importante que você execute os cálculos à mão, pois 
é assim que você deverá fazer na hora da prova. Além disso, é com a 
prática que vamos ficar cada vez melhores. 
 
 
1. ENEM - 2008) O gráfico abaixo mostra a área desmatada da 
Amazônia, em km2, a cada ano, no período de 1988 a 2008. 
 
As informações do gráfico indicam que: 
A) o maior desmatamento ocorreu em 2004. 
B) a área desmatada foi menor em 1997 que em 2007. 
C) a área desmatada a cada ano manteve-se constante entre 1998 e 
2001. 
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D) a área desmatada por ano foi maior entre 1994 e 1995 que entre 1997 
e 1998. 
E) o total de área desmatada em 1992, 1993 e 1994 é maior que 60.000 
km2. 
RESOLUÇÃO: 
 A Figura abaixo nos ajudará a interpretar o gráfico. 
 
 
 É possível ver que o maior desmatamento ocorreu no ano de 95, 
tornando falsa a alternativa A. Também nota-se que a área desmatada 
em 97 foi superior à área desmatada em 2007, o que torna falsa a 
alternativa B. 
 Veja a região circulada de vermelho na Figura. Ela mostra os 
valores de área desmatada entre os anos de 98 e 2001. Veja que esses 
valores oscilaram, o que torna falsa a alternativa C. 
 Repare agora na Figura abaixo: 
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 A alternativa D nos diz que a área desmatada por ano foi maior 
entre 1994 e 1995 que entre 1997 e 1998. Veja que essa informação é 
verdadeira. Observando as linhas vermelhas é possível perceber que 
entre 94 e 95 tivemos um valor de área desmatada superior ao valor 
obtido entre 97 e 98. 
Já o total de área desmatada em 1992, 1993 e 1994 não pode ser 
maior que 60.000 km2. Veja as linhas azuis na última Figura. Os anos de 
92 a 94 tiveram valores de áreas desmatadas bem inferiores a 20.000 
km2, o que torna impossível que juntos os três anos superem os 60.000 
km2. 
Resposta: D 
 
2. ENEM - 2008) O gráfico a seguir ilustra a evolução do consumo de 
eletricidade no Brasil, em GWh, em quatro setores de consumo, no 
período de 1975 a 2005. 
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A racionalização do uso da eletricidade faz parte dos programas oficiais do 
governo brasileiro desde 1980. No entanto, houve um período crítico, 
FRQKHFLGR�FRPR�³DSDJmR´��TXH�H[LJLX�PXGDQoDV�de hábitos da população 
brasileira e resultou na maior, mais rápida e significativa economia de 
energia. De acordo com o gráfico, conclui-VH�TXH�R�³DSDJmR´�RFRUUHX�QR�
biênio 
A) 1998-1999. 
B) 1999-2000. 
C) 2000-2001. 
D) 2001-2002. 
E) 2002-2003. 
RESOLUÇÃO: 
 2�³DSDJmR´��FRQIRUPH�R�HQXQFLDGR��exigiu mudanças de hábitos da 
população brasileira e resultou na maior, mais rápida e significativa 
economia de energia. Ou seja, no período do apagão, o consumo de todos 
os setores caiu drasticamente. Repare na Figura abaixo: 
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 As linhas em vermelho mostram o período em que houve queda no 
consumo de eletricidade no Brasil. Logo, esse período se refere ao 
apagão. Podemos dizer que ele ocorreu entre 2000 e 2001. 
Resposta: C 
 
3. ENEM - 2008) No gráfico a seguir, estão especificados a produção 
brasileira de café, em toneladas; a área plantada, em hectares (ha); e o 
rendimento médio do plantio, em kg/ha, no período de 2001 a 2008. 
 
A análise dos dados mostrados no gráfico revela que 
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A) a produção em 2003 foi superior a 2.100.000 toneladas de grãos. 
B) a produção brasileira foi crescente ao longo de todo o período 
observado. 
C) a área plantada decresceu a cada ano no período de 2001 a 2008. 
D) os aumentos na produção correspondem a aumentos no rendimento 
médio do plantio. 
E) a área plantada em 2007 foi maior que a de 2001. 
RESOLUÇÃO: 
 A primeira coisa que você deve fazer em questões desse tipo é 
olhar a legenda do gráfico. Não há como entender o gráfico sem entender 
a sua legenda. Repare que ela diz que as barras cinzas representam a 
produção em toneladas, a linha com círculos pretos representa a área 
plantada e a linha com triângulos representa o rendimento médio. 
 
 
 
Veja a linha vermelha na Figura acima. Ela mostra que a produção 
em 2003 foi igual a 2.000.000 toneladas de grãos, o que torna falsa a 
alternativa A. 
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Veja agora as linhas azuis na Figura. Elas mostram que a área 
plantada em 2007 foi menor que a de 2001, o que torna a alternativa E 
falsa. 
A produção brasileira, representada pelas barras cinzas se alternam 
em valores que em um ano se elevam, no próximo diminuem, no seguinte 
voltam a se elevar e assim sucessivamente. O mesmo fenômeno se 
observa no gráfico do rendimento médio. Logo, podemos dizer que os 
aumentos produção correspondem a aumentos no rendimento médio do 
plantio. Logo a letra D está correta. 
Pelo mesmo motivo a letra B está errada pois ela nega o fato de 
que os valores de produção se alternaram em mais altos e mais baixos 
dizendo que eles foram crescentes ao longo de todo o período observado, 
o que não é verdade. 
Aletra C diz que a área plantada decresceu a cada ano no período 
de 2001 a 2008. No entanto, isso não é verdade. Repare no gráfico de 
linhas com círculos pretos, que representa a área plantada. Essa grandeza 
sofre um pequeno aumento entre os anos de 2002 e 2003, o que invalida 
a alternativa. 
Resposta: D 
 
4. ENEM - 2008) 
 
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Se a tendência de rendimento observada no gráfico, no período de 2001 a 
2008, for mantida nos próximos anos, então o rendimento médio do 
plantio do café, em 2012, será aproximadamente de 
A) 500 kg/ha. 
B) 750 kg/ha. 
C) 850 kg/ha. 
D) 950 kg/ha. 
E) 1.250 kg/ha. 
RESOLUÇÃO: 
 Apesar das oscilações ocorridas entre 2001 e 2008, a tendência 
entre esses extremos foi de crescimento para o rendimento médio. Veja 
que saímos de patamares inferiores a 1000 kg/ha em 2001 e chegamos a 
patamares superiores a 1000 kg/ha em 2008. Logo, seguindo esta 
tendência de crescimento, as alternativas de A até D ficam eliminadas, 
visto que representam patamares de rendimento médio inferiores a 1000 
kg/ha. A única resposta que condiz com a tendência de crescimento que 
observamos é a que está no patamar superior a 1000 kg/ha, ou seja, a 
letra E. 
Resposta: E 
 
5. ENEM - 2008) Uma pesquisa da ONU estima que, já em 2008, pela 
primeira vez na história das civilizações, a maioria das pessoas viverá na 
zona urbana. O gráfico a seguir mostra o crescimento da população 
urbana desde 1950, quando essa população era de 700 milhões de 
pessoas, e apresenta uma previsão para 2030, baseada em crescimento 
linear no período de 2008 a 2030. 
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De acordo com o gráfico, a população urbana mundial em 2020 
corresponderá, aproximadamente, a quantos bilhões de pessoas? 
A) 4,00. 
B) 4,10. 
C) 4,15. 
D) 4,25. 
E) 4,50. 
RESOLUÇÃO: 
 O enunciado disse que temos um crescimento linear no período de 
2008 a 2030. Utilizando os dados do gráfico vamos encontrar a função de 
primeiro grau que define essa reta. Sabemos que a função de primeiro 
grau é do tipo f(x) = ax + b. 
 Veja no gráfico que no ano de 2010, a população é de 3,5 bilhões 
de pessoas, ou seja, para x = 2010, f(x=2010) = 3,5 = a(2010) + b. 
Já no ano de 2030, a população é de 5 bilhões de pessoas, ou seja, 
para x = 2030, f(x=2030) = 5 = a(2030) + b. Assim, ficamos com o 
seguinte sistema de equações: 
3,5 = a(2010) + b 
5 = a(2030) + b 
 
Subtraindo a primeira equação da segunda, temos: 
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1,5 = 20a 
a = 1,5/20 = 0,075 
 
Substituindo em alguma das equações iniciais temos: 
5 = a(2030) + b 
5 = 0,075(2030) + b 
5 = 152,25 + b 
b = -147,25 
 
 Logo, f(x) = 0,075x -147,25. Assim, em x = 2020 teremos: 
f(x=2020) = 0,075(2020) -147,25 
f(x=2020) = 4,25 
 
 Assim, em 2020 a população será de 4,25 bilhões de pessoas. 
Resposta: D 
 
6. ENEM - 2007) Aumento de produtividade - Nos últimos 60 anos, 
verificou-se grande aumento da produtividade agrícola nos Estados 
Unidos da América (EUA). Isso se deveu a diversos fatores, tais como 
expansão do uso de fertilizantes e pesticidas, biotecnologia e maquinário 
especializado. O gráfico abaixo apresenta dados referentes à agricultura 
desse país, no período compreendido entre 1948 e 2004. 
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A respeito da agricultura estadunidense no período de 1948 a 2004, 
observa-se que 
A) o aumento da produtividade foi acompanhado da redução de mais de 
70% dos custos de mão-de-obra. 
B) o valor mínimo dos custos de material ocorreu entre as décadas de 70 
e 80. 
C) a produtividade total da agricultura dos EUA apresentou crescimento 
superior a 200%. 
D) a taxa de crescimento das despesas de capital manteve-se constante 
entre as décadas de 70 e 90. 
E) o aumento da produtividade foi diretamente proporcional à redução 
das despesas de capital. 
RESOLUÇÃO: 
 Este gráfico apresenta os anos no eixo das abcissas e a 
SRUFHQWDJHP�QR�HL[R�GDV�RUGHQDGDV��5HSDUH�QR�JUiILFR�FKDPDGR�³FXVWRV�
de mão-de-REUD´�� (VVD� JUDQGH]D em 1948 começou em 0% e com o 
passar do tempo sofreu uma redução de praticamente 75% até 2004. 
Logo, a letra A está correta. 
 O valor mínimo dos custos de material ocorreu em 1948, no início 
do período coberto pelo gráfico. Assim, a letra B é falsa. 
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 A produtividade total da agricultura dos EUA não chega a 
apresentar crescimento superior a 200%. Veja que em 2004 a 
produtividade total chega ao patamar de crescimento de 175%. Assim, a 
letra C está errada. 
 Em nenhum momento a taxa de crescimento das despesas de 
capital manteve-se constante. Veja que essa grandeza variou ao longo de 
todos os anos. A letra D está errada. 
 Até houve um período em que a produtividade total e as despesas 
de capital cresceram ao mesmo tempo. No entanto, esse crescimento não 
foi proporcional. Além disso, a partir da década de 80 percebe-se uma 
tendência de queda das taxas de despesas de capital, movimento inverso 
ao que ocorre na produtividade total. Logo, a alternativa E está incorreta. 
Resposta: A 
 
7. ENEM - 2006) Os gráficos 1 e 2 a seguir mostram, em milhões de 
reais, o total do valor das vendas que uma empresa realizou em cada 
mês, nos anos de 2004 e 2005. 
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Como mostra o gráfico 1, durante o ano de 2004, houve, em cada mês, 
crescimento das vendas em relação ao mês anterior. A diretoria dessa 
empresa, porém, considerou muito lento o ritmo de crescimento naquele 
ano. Por isso, estabeleceu como meta mensal para o ano de 2005 o 
crescimento das vendas em ritmo mais acelerado que o de 2004. Pela 
análise do gráfico 2, conclui-se que a meta para 2005 foi atingida em 
A) janeiro, fevereiro e outubro. 
B) fevereiro, março e junho. 
C) março, maio e agosto. 
D) abril, agosto e novembro. 
E) julho, setembro e dezembro. 
RESOLUÇÃO: 
 1HVVH� FDVR� YDPRV� SUHFLVDU� FRPSDUDU� ³D� ROKR� QX´� D� LQFOLQDomR� GR�
gráfico 2 com a inclinação do gráfico 1. Naqueles meses em que a 
inclinação do gráfico 2 for maior do que a respectiva inclinação do gráfico 
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1, estamos diante de meses em que a meta de que as vendas de 2005cresçam em ritmo mais acelerado que as de 2004 foi atingida. 
 Uma maneira de ver isso é utilizando o quadriculado contido no 
gráfico. Podemos ver que em alguns meses o gráfico 2 ³VREH´�PDLV�GHQWUR�
GR� PHVPR� ³TXDGUDGLQKR´� TXDQGR� FRPSDUDGR� FRP� R� PHVPR� PrV� GR�
gráfico 1. 
 A seguir sobrepusemos os dois gráficos apenas para ficar mais fácil 
identificar os meses em que o crescimento do gráfico 2 (azul) superou o 
do gráfico 1 (vermelho). 
 
 
 
 Perceba que durante os meses em amarelo (abril, agosto e 
novembro) o crescimento das vendas em 2005 foi superior ao de 2004. 
Resposta: D 
 
8. ENEM - 2006) O gráfico abaixo foi extraído de matéria publicada no 
caderno Economia & Negócios do jornal O Estado de S. Paulo, em 
11/6/2006. 
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É um título adequado para a matéria jornalística em que esse gráfico foi 
apresentado: 
A) Brasil: inflação acumulada em 12 meses menor que a dos EUA 
B) Inflação do terceiro mundo supera pela sétima vez a do primeiro 
mundo 
C) Inflação brasileira estável no período de 2001 a 2006 
D) Queda no índice de preços ao consumidor no período 2001-2005 
E) EUA: ataques terroristas causam hiperinflação 
RESOLUÇÃO: 
 Perceba que na maior parte do gráfico a inflação acumulada do 
Brasil é superior à dos EUA, exceto pelo final do gráfico, no qual a inflação 
do Brasil se torna menor que a dos EUA. Logo, a letra A está correta. 
 A letra B está errada, visto que ao longo de 6 anos a inflação do 
Brasil foi superior à dos EUA, mas o gráfico indica que no ano de 2007, se 
mantida a tendência, a inflação do Brasil deve ser inferior à dos EUA. 
 A letra C está errada, visto que a inflação brasileira oscilou durante 
todo o período. 
 A letra D está errada, visto que houve alta no índice de preços ao 
consumidor no período 2001-2005. 
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 A letra E está errada, visto que os ataques terroristas aconteceram 
em 2001 e a inflação de 2002 se mostrou abaixo da do ano anterior. 
Resposta: A 
 
9. ENEM - 2006) A poluição ambiental tornou-se grave problema a ser 
enfrentado pelo mundo contemporâneo. No gráfico seguinte, alguns 
países estão agrupados de acordo com as respectivas emissões médias 
anuais de CO2 per capita. 
 
Considerando as características dos países citados, bem como as 
emissões médias anuais de CO2 per capita indicadas no gráfico, assinale 
a opção correta. 
A) O índice de emissão de CO2 per capita dos países da União Européia se 
equipara ao de alguns países emergentes. 
B) A China lança, em média, mais CO2 per capita na atmosfera que os 
EUA. 
C) A soma das emissões de CO2 per capita de Brasil, Índia e Indonésia é 
maior que o total lançado pelos EUA. 
D) A emissão de CO2 é tanto maior quanto menos desenvolvido é o país. 
E) A média de lançamento de CO2 em regiões e países desenvolvidos é 
superior a 15 toneladas por pessoa ao ano. 
RESOLUÇÃO: 
 A alternativa A nos diz que o índice de emissão de CO2 per capita 
dos países da União Européia se equipara ao de alguns países 
emergentes, o que está correto. Veja no gráfico que a União Européia se 
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encontra ao lado de países como China e México, considerados países 
emergentes. 
 A letra B está incorreta pois é claro no gráfico que a média de 
emissão de CO2 dos EUA é superior à da China. 
 As emissões de CO2 lançadas pelos EUA são mais de 3 vezes a 
média das emissões de Brasil, Índia e Indonésia, tornando a alternativa C 
falsa. 
 A emissão de CO2 é tanto maior quanto mais desenvolvido é o país. 
Letra D errada. 
 A alternativa E, que nos diz que a média de lançamento de CO2 em 
regiões e países desenvolvidos é superior a 15 toneladas por pessoa ao 
ano não é verdadeira visto que há países desenvolvidos que emitem bem 
menos CO2, caso de Japão e Canadá. 
Resposta: A 
 
10. ENEM - 2005) Moradores de três cidades, aqui chamadas de X, Y e 
Z, foram indagados quanto aos tipos de poluição que mais afligiam as 
suas áreas urbanas. Nos gráficos abaixo estão representadas as 
porcentagens de reclamações sobre cada tipo de poluição ambiental. 
 
Considerando a queixa principal dos cidadãos de cada cidade, a primeira 
medida de combate à poluição em cada uma delas seria, 
respectivamente: 
 
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RESOLUÇÃO: 
 Com 34%, a maior parcela de poluição da cidade X são os desejos 
tóxicos. Aqui, a primeira medida de combate à poluição seria o controle 
de despejo industrial. O manejamento de lixo seria uma medida para o 
WLSR� GH� SROXLomR� ³/L[R´�� -i� R� FRQWUROH� GH� HPLVVmR� GH� JDVHV� VHULD� XPD�
PHGLGD�SDUD�R�WLSR�GH�SROXLomR�³3ROXLomR�GR�DU´��� 
 Com 40%, a maior parcela de poluição da cidade Y é o Lixo. A 
medida para seu combate é o manejamento de lixo. 
 Com 36%, a maior parcela de poluição da cidade Z é o Esgoto 
aberto. A medida para seu combate é Esgotamento sanitário. 
Resposta: E 
 
11. ENEM - 2004) As Olimpíadas são uma oportunidade para o 
congraçamento de um grande número de países, sem discriminação 
política ou racial, ainda que seus resultados possam refletir características 
culturais, socioeconômicas e étnicas. Em 2000, nos Jogos Olímpicos de 
Sydney, o total de 300 medalhas de ouro conquistadas apresentou a 
seguinte distribuição entre os 196 países participantes como mostra o 
gráfico. 
 
Esses resultados mostram que, na distribuição das medalhas de ouro em 
2000, 
(A) cada país participante conquistou pelo menos uma. 
(B) cerca de um terço foi conquistado por apenas três países. 
(C) os cinco países mais populosos obtiveram os melhores resultados. 
(D) os cinco países mais desenvolvidos obtiveram os melhores resultados. 
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(E) cerca de um quarto foi conquistado pelos Estados Unidos. 
RESOLUÇÃO: 
 Não necessariamente cada país participante das Olimpíadas 
conquistou pelo menos uma medalha. Alternativa A é falsa. 
 Das 300 medalhas, EUA, Rússia e China levaram 40 + 32 + 28 = 
100, que é exatamente 1/3 do total. Alternativa B correta. 
 O gráfico nada tem a ver com o quão populosos são os maiores 
países medalhistas. Alternativa C errada. 
 O gráfico nada tem a ver com o quão desenvolvidos são os maiores 
países medalhistas. Alternativa D errada. 
 Um quarto de 300 são 75 medalhas. Os EUA conquistaram bem 
menos que isso, totalizando 40 medalhas. Alternativa E errada. 
Resposta: B 
 
12. ENEM - 2004) O número de atletas nas Olimpíadas vem 
aumentando nos últimos anos, como mostra o gráfico. Mais de 10.000 
atletas participaram dos Jogos Olímpicos de Sydney, em 2000. 
 
Nas últimas cinco Olimpíadas, esse aumento ocorreudevido ao 
crescimento da participação de 
(A) homens e mulheres, na mesma proporção. 
(B) homens, pois a de mulheres vem diminuindo a cada Olimpíada. 
(C) homens, pois a de mulheres praticamente não se alterou. 
(D) mulheres, pois a de homens vem diminuindo a cada Olimpíada. 
(E) mulheres, pois a de homens praticamente não se alterou. 
RESOLUÇÃO: 
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 Perceba que nas últimas cinco Olimpíadas, de 1984 para frente, o 
número de homens (indicado no gráfico por um pontilhado contendo 
quadrados pretos) estabilizou entre 6000 e 7000 atletas. 
 No mesmo período, o número de mulheres (indicado no gráfico por 
um pontilhado contendo triângulos pretos) seguiu uma curva ascendente, 
aumento progressivamente a cada edição dos Jogos Mundiais sendo, 
portanto, responsável pelo aumento do número de atletas nas Olimpíadas 
nos últimos anos. 
Resposta: E 
 
13. ENEM - 2004) Para medir o perfil de um terreno, um mestre-de-
obras utilizou duas varas (VI e VII), iguais e igualmente graduadas em 
centímetros, às quais foi acoplada uma mangueira plástica transparente, 
parcialmente preenchida por água (figura ao lado). Ele fez 3 medições 
que permitiram levantar o perfil da linha que contém, em sequência, os 
pontos P1, P2, P3 e P4. Em cada medição, colocou as varas em dois 
diferentes pontos e anotou suas leituras na tabela a seguir. A figura 
representa a primeira medição entre P1 e P2. 
 
 
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RESOLUÇÃO: 
 Analisando a 1ª medição na tabela, veja que de P1 para P2 a 
diferença de leitura LI-LII é positiva, o que nos mostra, conforme a Figura, 
que o ponto P1 está abaixo de P2. Desta forma, ao ir de P1 para P2, o 
perfil do terreno é uma curva ascendente. 
 Já na 2ª medição da tabela, ao ir de P2 para P3 a diferença de 
leitura LI-LII é negativa, o que nos mostra que o ponto P3 está abaixo de 
P2, ou seja, ao ir de P2 para P3 o perfil do terreno é uma curva 
descendente. Isso já nos faz descartar as alternativas B e C, pois ambas 
mostram uma curva ascendente ao ir de P2 para P3. 
Podemos descartar também a alternativa D visto que a curva 
descendente existente no terreno entre os pontos P2 e P3 é suave, 
apresentando menor inclinação. Veja que a diferença de leitura LI-LII é, 
em módulo, inferior à diferença observada na 1ª medição (25 é menor 
que 75), o que nos leva a crer que a variação de altura existente entre P2 
e P3 é menor que a existente entre P1 e P2. 
 Já na 3ª medição da tabela, ao ir de P3 para P4 a diferença de leitura 
LI-LII é positiva, o que nos mostra que o ponto P3 está abaixo de P4, ou 
seja, ao ir de P3 para P4 o perfil do terreno é uma curva ascendente. 
Podemos descartar a alternativa E visto que a curva ascendente 
existente no terreno entre os pontos P3 e P4 deve ter inclinação menor que 
aquela existente entre os pontos P1 e P2. Veja que a diferença de leitura 
LI-LII na terceira medição é, em módulo, inferior à diferença observada na 
1ª medição (55 é menor que 75), o que nos leva a crer que a variação de 
altura existente entre P3 e P4 é menor que a existente entre P1 e P2, e não 
maior como mostra a letra E. 
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 Assim, nos resta apenas a letra A. 
Resposta: A 
 
14. ENEM - 2011) As frutas que antes se compravam por dúzias, hoje 
em dia, podem ser compradas por quilogramas, existindo também a 
variação dos preços de acordo com a época de produção. Considere que, 
independente da época ou variação de preço, certa fruta custa R$ 1,75 o 
quilograma. Dos gráficos a seguir, o que representa o preço m pago em 
reais pela compra de n quilogramas desse produto é 
 
 
 
 
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RESOLUÇÃO: 
 Imagine que compramos n = 1 kg dessa fruta. Como essa fruta 
custa R$ 1,75 o quilograma, então o valor pago m é de R$ 1,75. Agora 
imagine que não compramos nada dessa fruta, ou seja, n = 0. Dessa 
forma, o valor pago é também m = 0. Ou seja, o gráfico do preço m pago 
em reais pela compra de n quilogramas desse produto passa tanto pelo 
ponto (0;0) quanto pelo ponto (1;1,75). 
 Estamos aqui diante de uma equação de primeiro grau, cujo gráfico 
é uma reta, nesse caso obedecendo a seguinte relação m = f(n) = 1,75n, 
ou seja, o valor pago m é uma função da quantidade n em quilogramas 
do produto, de forma que m = 1,75 n. É uma reta que passa pela origem 
(0;0) e, portanto, tem coeficiente linear nulo. 
A única alternativa que retrata isso é a da letra E. 
Resposta: E 
 
15. ENEM - 2011) O termo agronegócio não se refere apenas à 
agricultura e à pecuária, pois as atividades ligadas a essa produção 
incluem fornecedores de equipamentos, serviços para a zona rural, 
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industrialização e comercialização dos produtos. O gráfico seguinte 
mostra a participação percentual do agronegócio no PIB brasileiro: 
 
Esse gráfico foi usado em uma palestra na qual o orador ressaltou uma 
queda da participação do agronegócio no PIB brasileiro e a posterior 
recuperação dessa participação, em termos percentuais. Segundo o 
gráfico, o período de queda ocorreu entre os anos de 
A) 1998 e 2001. 
B) 2001 e 2003. 
C) 2003 e 2006. 
D) 2003 e 2007. 
E) 2003 e 2008. 
RESOLUÇÃO: 
 Veja o trecho do gráfico em destaque abaixo: 
 
 Fica fácil identificar que o período de queda ocorreu entre 2003 e 
2006. 
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Resposta: C 
 
16. ENEM - 2011) Uma enquete, realizada em março de 2010, 
perguntava aos internautas se eles acreditavam que as atividades 
humanas provocam o aquecimento global. Eram três as alternativas 
possíveis e 279 internautas responderam à enquete, como mostra o 
gráfico. 
 
$QDOLVDQGR�RV�GDGRV�GR�JUiILFR��TXDQWRV�LQWHUQDXWDV�UHVSRQGHUDP�³1­2´�
à enquete? 
A) Menos de 23. 
B) Mais de 23 e menos de 25. 
C) Mais de 50 e menos de 75. 
D) Mais de 100 e menos de 190. 
E) Mais de 200. 
RESOLUÇÃO: 
 Pelo gráfico, 25% dos internautas respondeu NÃO. Logo, 25% x 279 
= 69,75 internautas responderam NÃO. Portanto, o número de 
internautas que responderam NÃO foi maior que 50 e menor que 75. 
Resposta: C 
 
17. ENEM - 2011) Uma empresa de telefonia fixa oferece dois planos 
aos seus clientes: no plano K, o cliente paga R$ 29,90 por 200 minutos 
mensais e R$ 0,20 por cada minuto excedente; no plano Z, paga R$ 
49,90 por 300 minutos mensais e R$ 0,10 por cada minuto excedente. O 
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