curso 11188 aula 07 v2

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Aula 07
Matemática e suas Tecnologias p/ ENEM 2016
Professores: Arthur Lima, Hugo Lima
MATEMÁTICA E SUAS TECNOLOGIAS P/ ENEM 
TEORIA E EXERCÍCIOS COMENTADOS 
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AULA 07: Funções exponenciais e logarítmicas 
 
SUMÁRIO PÁGINA 
1. Teoria 02 
2. Resolução de exercícios 08 
3. Questões apresentadas na aula 37 
4. Gabarito 49 
 
 
Olá! 
Nesta sétima aula aprenderemos os tópicos relacionados a funções 
exponenciais e funções logarítmicas. Tenha uma excelente aula. 
Permaneço à disposição e deixo abaixo meus contatos: 
 
 
E-mail: ProfessorArthurLima@hotmail.com 
Facebook: www.facebook.com/ProfArthurLima 
Ah, e não deixe de me seguir no aplicativo Periscope, onde 
transmito vídeos gratuitos ao vivo com dicas adicionais para seu estudo: 
www.periscope.tv/arthurrrl, ou simplesmente busque @ARTHURRRL no 
aplicativo. 
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1. TEORIA 
1.1.FUNÇÕES EXPONENCIAIS 
 De maneira geral, dizemos que funções do tipo f(x) = ax são 
funções exponenciais. A função f(x) = 2x é um exemplo de função 
exponencial. Repare que, neste caso, a variável x encontra-se no 
expoente. 
Numa função exponencial do tipo f(x) = ax �� R� FRHILFLHQWH� ³D´�
precisa ser maior do que zero, e também diferente de 1 (afinal 1 elevado 
a qualquer número é sempre igual a 1). 
 Você verá que todos os valores de f(x) serão positivos. Assim, a 
função exponencial tem domínio no conjunto dos números reais (R) e 
contradomínio no conjunto dos números reais positivos (isto é, o zero não 
está incluso). Ou seja, temos uma função do tipo f: R Æ R+*. 
 Se a > 1, a função é crescente. Já se 0 < a < 1, a função é 
decrescente. A título de exemplo, veja como são os gráficos de f(x) = 2x 
(crescente) e de g(x) = 0,5x (decrescente): 
 
 
 Repare que g(x) = 0,5x aproxima-se bastante do eixo horizontal à 
medida que o valor de x cresce (para a direita), entretanto esta função 
nunca toca o eixo horizontal. Da mesma forma, f(x) = 2x aproxima-se 
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bastante do eixo horizontal à medida que o valor de x decresce (para a 
esquerda), mas esta função também nunca toca o eixo horizontal. 
 Um caso especial da função exponencial é aquele onde o coeficiente 
D�p�R�IDPRVR�³Q~PHUR�GH�(XOHU´��UHSUHVHQWDGR�SHOD�OHWUD�³H´��H�FXMR�YDORU�
é um número irracional: e = 2,718281... Trata-se da função f(x) = ex 
que, como veremos ao estudar as funções logarítmicas, é o inverso da 
função g(x) = lnx. 
Esta função f(x) = ex é crescente, dado que e > 1: 
 
 
1.2 FUNÇÕES LOGARÍTMICAS 
 Antes de conhecermos as funções logarítmicas, penso ser 
interessante relembrar o conceito de logaritmo e suas principais 
propriedades. 
Sabemos que 32 = 9. Portanto, o número ao qual 3 precisa ser 
elevado para atingir o valor 9 é o número 2. É exatamente isto que o 
logaritmo expressa. Ou seja, o logaritmo de 9 na base 3 é 2: log39 = 2. 
Grave esta relação: 
32 = 9 œ log39 = 2 
 
 De maneira equivalente, podemos dizer que: 
24 = 16 œ log216 = 4 
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 Na expressão logaE� � F�� FKDPDPRV� R� Q~PHUR� ³D´� GH� EDVH� GR�
logaritmo. Veja que o resultado do logaritmo (c) é justamente o expoente 
DR�TXDO�GHYH�VHU�HOHYDGD�D�EDVH�³D´�SDUD�DWLQJLU�R�YDORU�E�� 
 
De modo bastante resumido, as propriedades mais importantes dos 
logaritmos são: 
a) 
logbaa b . Exemplo: 175log5 17 
b) log .logna ab n b . Exemplo: 25 5log 12 2.log 12 
c) log ( . ) log loga a ab c b c � . Exemplo: 2 2 2log (3.4) log 3 log 4 � 
d) log ( / ) log loga a ab c b c � . Exemplo: 2 2 2log (3 / 4) log 3 log 4 � 
e) 
loglog
log
c
a
c
bb
a
 . Exemplo: 52
5
log 10log 10
log 2
 
 
 Para exercitar as propriedades do logaritmo, resolva a questão a 
seguir: 
 
1. EXERCÍCIO DE FIXAÇÃO) Encontre o valor de X na expressão 
abaixo: 
logX = log 5 + log2 5 + log2 
RESOLUÇÃO: 
 Se logX = log 5 + log2 5 + log2, então podemos dizer também 
que: 
 
log log 5 log2 5 log210 10X � � 
 
 Lembrando das propriedades das potências, temos que: 
log log 5 log2 5 log210 10 10 10X u u 
 
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 E lembrando da propriedade dos logaritmos de que log
b
aa b , 
temos: 
5 2 5 2X u u 
20X 
Resposta: 20 
 Obs.: na resolução acima utilizamos a propriedade a) dos 
logaritmos. Veja uma segunda forma de resolver (e mais rápida), com 
base na propriedade c) que estudamos: 
logX = log 5 + log2 5 + log2 
logX = log( 5 ×2 5 ×2) 
logX = log(20) 
X = 20 
 
A função f(x) = log5(x) é um exemplo de função logarítmica. Veja 
que nela a variável x encontra-se dentro do operador logaritmo. De 
maneira mais genérica, dizemos que as funções do tipo f(x) = loga(x) são 
funções logarítmicas. Assim como nas exponenciais, o coeficiente a 
precisa ser positivo (a > 0) e diferente de 1. 
 Aqui há uma inversão: o domínio é formado apenas pelos números 
reais positivos (pois não há logaritmo de número negativo) e o 
contradomínio é o conjunto dos números reais. Ou seja, temos f: R+* Æ 
R. 
Para exercitar, vamos calcular o domínio da função f(x) = log2(3x ± 
1). Veja que é preciso que 3x ± 1 seja positivo, ou seja: 
3x ± 1 > 0 
x > 1/3 
 
 Assim, o domínio é D = {x R | x > 1/3}. 
 
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 Se a > 1, a função é crescente. Já se 0 < a < 1, a função é 
decrescente. A título de exemplo, veja os gráficos de f(x) = log2x e de 
g(x) = log0,5x: 
 
 
 
 Observe ainda a relação entre os gráficos da função logarítmica 
crescente f(x) = log2x e da função exponencial crescente g(x) = 2x: 
 
 
 Repare que estes gráficos são simétricos em relação à reta 
SRQWLOKDGD��TXH�p�FRQKHFLGD�FRPR�³ELVVHWUL]�GRV�TXDGUDQWHV� tPSDUHV´��e�
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FRPR�VH�HVWD�OLQKD�IXQFLRQDVVH�FRPR�XP�³HVSHOKR´�HQWUH�DV�GXDV�IXQo}HV��
de modo que uma reflete a outra. 
 
 Da mesma forma, veja a relação entre os gráficos da função 
logarítmica decrescente f(x) = log0,5x e da função exponencial 
decrescente g(x) = 0,5x: 
 
 Mais uma vez os gráficos também são simétricos em relação à 
bissetriz dos quadrantes ímpares. É por isso que dizemos que as funções 
logarítmica e exponencial são inversas entre si. 
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2. RESOLUÇÃO DE EXERCÍCIOS 
 
Trabalharemos agora alguns exercícios de fixação, quatro do ENEM 
e também questões de outros vestibulares. O assunto desta aula não é 
um assunto muito cobrado pelo ENEM, mas pode cair! Lembre-se: é 
muito importante que você execute os cálculos à mão, pois é assim que 
você deverá fazer na hora da prova. Além disso, é com a prática que 
vamos ficar cada vez melhores. 
 
 
 
2. EXERCÍCIO DE FIXAÇÃO) Diga se a função abaixo é uma função 
exponencial: 
f(x) = (-2)x 
RESOLUÇÃO: 
Sabemos que uma função exponencial é do tipo f(x) = ax, onde a deve 
ser um número positivo (a>0) e diferente de 1. Na função do enunciado 
WHPRV�XP�Q~PHUR�QHJDWLYR�QD�EDVH��SRVLomR�³D´��e, portanto, não é uma 
exponencial. 
RESPOSTA: Sim 
 
3. EXERCÍCIO DE FIXAÇÃO) Calcule f(8) na função abaixo: 
f(x) = 2. Log6(3x/4) 
RESOLUÇÃO: 
 Para obter f(8), basta substituir x por 8: 
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f(x) = 2. Log6(3x/4) 
f(8) = 2. Log6(3.8/4) 
f(8) = 2. Log6(24/4) 
f(8) = 2. Log6(6) = 2 
RESPOSTA: 2 
 
4. EXERCÍCIO DE FIXAÇÃO) Calcule o valor de y na expressão abaixo 
para x = 3. 
y = 500 ڄ 2x 
RESOLUÇÃO: 
 Com x = 3, temos: 
y = 500 . 23 
y = 500 . 8 
y = 4000 
RESPOSTA: 4000 
 
5. EXERCÍCIO DE FIXAÇÃO) Encontre o valor de x na função abaixo 
para y = 640. 
y = 10 . 2x 
RESOLUÇÃO: 
Sendo y = 640, temos: 
y = 10 . 2x 
640 = 10 . 2x 
64 = 2x 
26 = 2x 
 Portanto, x = 6. 
RESPOSTA: 6 
 
6. EXERCÍCIO DE FIXAÇÃO) Sendo x a variável e r e NJ duas 
constantes, encontre a relação entre r e NJ�QD�LJXDOGDGH�DEDL[R: 
eNJ[ = (1+r)x 
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RESOLUÇÃO: 
Como temos variáveis nos expoentes, devemos lembrar de utilizar 
logaritmos para resolver. Podemos igualar os logaritmos neperianos (ln) 
de ambos os lados, e em seguida utilizar as propriedades básicas dos 
logaritmos: 
ln (eNJx) = ln(1+r)x 
NJx.ln (e) = x.ln(1+r) 
NJx.1 = x.ln(1+r) 
NJx = x.ln(1+r) 
NJ� �OQ���U� 
eNJ = 1 + r 
eNJ ± 1 = r 
RESPOSTA: eNJ ± 1 = r 
 
7. EXERCÍCIO DE FIXAÇÃO) Sabendo que f(5) = 
1
2
 para a função f(x) 
= logb x, descubra qual a base b do logaritmo dessa função. 
RESOLUÇÃO: 
f(x) = logb x 
f(5) = logb 5 
1/2 = logb 5 
b1/2 = 5 
5b 
b = 25 
RESPOSTA: 25 
 
8. EXERCÍCIO DE FIXAÇÃO) Reescreva a função abaixo em função da 
variável y: 
y = 10x+3 - 7 
RESOLUÇÃO: 
 Temos: 
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y = 10x+3 ± 7 
y + 7 = 10x+3 
log (y + 7) = log 10x+3 
log (y + 7) = (x + 3) . log 10 
log (y + 7) = (x + 3) . 1 
log (y + 7) = x + 3 
log (y + 7) ± 3 = x 
 
RESPOSTA: x = log (y + 7) ± 3 
 
9. EXERCÍCIO DE FIXAÇÃO) Reescreva a função abaixo em função da 
variável y: 
y = 53x 
RESOLUÇÃO: 
Tirando o logaritmo de base 5 dos dois lados, ficamos com: 
log5 (y) = log5 (53x) 
log5 (y) = 3x.log5 (5) 
log5 (y) = 3x.1 
log5 (y) = 3x 
(1/3) . log5 (y) = x 
log5 (y1/3) = x 
� �35log y = x 
RESPOSTA: x = � �35log y 
 
10. EXERCÍCIO DE FIXAÇÃO) Encontre a expressão que dá o valor de x 
a partir da igualdade abaixo: 
6 25
2
x
 
RESOLUÇÃO: 
 
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Temos: 
6 25
2
x
 
6x = 2 . 25 
(2.3)x = 2.25 
log(2.3)x = log(2.25) 
x. log(2.3) = log(2.25) 
x. (log2 + log3) = log2 + log25 
 
Vamos tentar substituir o log25 por outros mais usuais. Vamos 
WHQWDU�³IRUoDU´�DSDUHFHU�DOJXP�ORJDULWPR�FRQKHFLGR��8PD�SRVVLELOLGDGH�p�
lembrar que 25 = 100 / 4. Assim, 
x. (log2 + log3) = log2 + log(100/4) 
x. (log2 + log3) = log2 + (log100 - log4) 
x. (log2 + log3) = log2 + (log102 ± log22) 
x. (log2 + log3) = log2 + (2.log10 ± 2.log2) 
x. (log2 + log3) = log2 + 2.1 ± 2.log2 
x. (log2 + log3) = 2 ± log2 
x = (2 ± log2) / (log2 + log3) 
 
RESPOSTA: x = (2 ± log2) / (log2 + log3) 
 
11. EXERCÍCIO DE FIXAÇÃO) Calcule f(0) na função abaixo: 
f(x) = 20 + 15log125(x + 5) 
RESOLUÇÃO: 
 Para obter f(0), basta substituir x por 0. Assim, 
f(x) = 20 + 15 x log125(x + 5) 
f(0) = 20 + 15 x log125(0 + 5) 
f(0) = 20 + 15 x log125(5) 
 
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 Repare que 53 = 125, ou seja, 1/335 125 125 . Sabendo disso, 
temos: 
f(0) = 20 + 15 x log125(1251/3) 
f(0) = 20 + 15 x (1/3) x log125(125) 
f(0) = 20 + 15 x (1/3) x 1 
f(0) = 20 + 5 = 25 
RESPOSTA: 25 
 
12. EXERCÍCIO DE FIXAÇÃO) Encontre o valor de x de forma que a 
imagem da função abaixo seja 243. 
f(x) = 3x+3 
RESOLUÇÃO: 
 Sabemos que o conjunto imagem nos mostra os valores que f(x) 
assume para cada valor que x possa assumir, ou seja, para cada valor do 
domínio. 
 Pelas regras de fatoração, sabemos que 243 = 3 x 3 x 3 x 3 x 3 = 
35. Substituindo na função, para que a imagem seja 243, temos: 
243 = 3x+3 
35 = 3x+3 
5 = x + 3 
x = 2 
RESPOSTA: 2 
 
Texto para a questão 13 
 A população mundial está ficando mais velha, os índices de natalidade 
diminuíram e a expectativa de vida aumentou. No gráfico seguinte, são 
apresentados dados obtidos por pesquisa realizada pela Organização das 
Nações Unidas (ONU), a respeito da quantidade de pessoas com 60 anos 
ou mais em todo o mundo. Os números da coluna da direita representam 
as faixas percentuais. Por exemplo, em 1950 havia 95 milhões de pessoas 
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com 60 anos ou mais nos países desenvolvidos, número entre 10% e 
15% da população total nos países desenvolvidos. 
 
 
13. ENEM - 2009) Suponha que o modelo exponencial y = 363e0,03x, em 
que x = 0 corresponde ao ano 2000, x = 1 corresponde ao ano 2001, e 
assim sucessivamente, e que y é a população em milhões de habitantes 
no ano x, seja usado para estimar essa população com 60 anos ou mais 
de idade nos países em desenvolvimento entre 2010 e 2050. Desse 
modo, considerando e0,3 = 1,35, estima-se que a população com 60 anos 
ou mais estará, em 2030, entre 
A) 490 e 510 milhões. 
B) 550 e 620 milhões. 
C) 780 e 800 milhões. 
D) 810 e 860 milhões. 
E) 870 e 910 milhões. 
RESOLUÇÃO: 
 Veja que x = 0 corresponde ao ano 2000, x = 1 corresponde ao ano 
2001, e assim sucessivamente. Logo, o ano 2030 corresponde a x = 30. 
Substituindo esse valor na função que dá a população, temos: 
y = 363e0,03x 
y = 363e0,03(30) 
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y = 363e0,9 
y = 363e0,3+0,3+0,3 
y = 363e0,3e0,3e0,3 
y = 363(1,35)(1,35)(1,35) 
y = 893 milhões 
Resposta: E 
 
14. ENEM - 2013) Em setembro de 1987, Goiânia foi palco do maior 
acidente radioativo ocorrido no Brasil, quando uma amostra de césio-137, 
removida de um aparelho de radioterapia abandonado, foi manipulada 
inadvertidamente por parte da população. A meia-vida de um material 
radioativo é o tempo necessário para que a massa desse material se 
reduza à metade. A meia-vida do césio-137 é 30 anos e a quantidade 
restante de massa de um material radioativo, após t anos, é calculada 
pela expressão � � � � · 2,7 ktM t A , onde A é a massa inicial e k é uma 
constante negativa. 
Considere 0,3 como aproximação para log102. Qual o tempo necessário, 
em anos, para que uma quantidade de massa do césio-137 se reduza a 
10% da quantidade inicial? 
A) 27 
B) 36 
C) 50 
D) 54 
E) 100 
RESOLUÇÃO: 
Utilizaremos nessa questão as seguintes propriedades: 
log ( / ) log loga a ab c b c � 
log .logna ab n b 
 
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Primeiramente, vamos encontrar o valor da constante k. A meia-
vida do césio-137 é de 30 anos. Logo, para M(t) = A/2 (correspondente à 
massa após decorrido o período de uma meia-vida) temos: 
� � � � · 2,7 ktM t A 
A/2 = A (2,7)30k 
1/2 = 2,730k 
log (1/2) = log 2,730k 
log 1 ± log 2 = 30k log 2,7 
-0,3 = 30k log 2,7 
k = -0,01 / (log 2,7) 
 
A partir de uma massa inicial A, queremos saber quanto tempo leva 
para chegarmos à massa M(t) = 10% A. Substituindo na fórmula, temos: 
M(t) = A(2,7)kt 
10% A = A(2,7)kt 
0,1=2,7kt 
log(0,1)=log(2,7kt) 
log(10-1)=log(2,7kt) 
-log(10)=kt.log(2,7) 
-1= t.log(2,7)[-0,01 / (log 2,7)] 
-1 = t (-0,01) 
t = 100 anos 
Resposta: E 
 
15. ENEM ± 2015) Um engenheiro projetou um automóvel cujos vidros 
das portas dianteiras foram desenhados de forma que suas bordas 
superiores fosse representadas pela curva de equação y = log (x), 
conforme a figura. 
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A forma do vidro foi concebida de modo que o eixo x sempre divida ao 
meio a altura h do vidro e a base do vidro seja paralela ao eixo x. 
Obedecendo a essas condições, o engenheiro determinou uma expressão 
que fornece a altura h do vidro em função da medida n de sua base, em 
metros. 
A expressão algébrica que determina a altura do vidro é 
 
(A) 
(B) 
(C) 
(D) 
(E) 
RESOLUÇÃO: 
 Reveja a Figura abaixo com algumas marcações importantes: 
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 Sabemos que a equação da curva é dada por y = log(x). O que 
vamos fazer é relacionar os valores n e h com a equação dessa curva. 
Veja que os pontos extremos da curva (em vermelho) são de nosso 
conhecimento. As coordenadas do ponto mais à esquerda são (x;-h/2). Já 
para o outro ponto temos as seguintes coordenadas: (x+n;h/2). 
Substituindo as coordenadas do primeiro ponto na curva y = log(x) 
temos: 
-h/2 = log x 
Substituindo as coordenadas do segundo ponto na curva y = log(x) 
temos: 
h/2 = log (x+n) 
 
 Somando as duas equações anteriores temos: 
-h/2 + h/2 = log x + log (x+n) 
0 = log x + log (x+n) 
 
 Usando a propriedade log ( . ) log loga a ab c b c � temos: 
log x + log (x+n) = log(x(x+n)) = 0 
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log (x2+nx) = 0 
 
 Sabemos que para um log ser zero é necessário que estejamos 
fazendo o log do número 1, visto que 100 = 1. Assim: 
x2+nx = 1 
x2+nx ± 1 = 0 
 
 Aplicando Báskara temos: 
2
2
4(1)( 1)
2(1)
4
2
n n
x
n n
x
� r � � 
� r � 
 
 
Repare na Figura que o gráfico está todo à esquerda do eixo y, ou 
seja, a curva apresenta apenas valores positivos para x. Assim, ficamos 
apenas com: 
2 4
2
n n
x
� � � 
 
 
Substituindo o valor de x encontrado em função de n na equação do 
ponto mais à direita no gráfico, temos: 
2
2
log( )
2
42 log
2
42log
2
h
x n
n nh n
n nh
 �
§ ·§ ·� � �¨ ¸ �¨ ¸¨ ¸¨ ¸© ¹© ¹
§ ·� � ¨ ¸¨ ¸© ¹ 
Resposta: E 
 
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16. ENEM - 2011) A Escala e Magnitude de Momento (abreviada como 
MMS e denotada como MW), introduzida em 1979 por Thomas Haks e 
Hiroo Kanamori, substituiu a Escala de Richter para medir a magnitude 
dos terremotos em termos de energia liberada. Menos conhecida pelo 
público, a MMS é, no entanto, a escala usada para estimar as magnitudes 
de todos os grandes terremotos da atualidade. Assim como a escala 
Richter, a MMS é uma escala logarítmica. 
MW e M0 se relacionam pela fórmula: 
� �10 02� ±����� � �3WM log M � 
onde M0 é o momento sísmico (usualmente estimado a partir dos 
registros de movimento da superfície, através dos sismogramas), cuja 
unidade é o dinaڄcm. O terremoto de Kobe, acontecido no dia 17 de 
janeiro de 1995, foi um dos terremotos que causaram maior impacto no 
Japão e na comunidade científica internacional. Teve magnitude MW = 
7,3. 
U.S. GEOLOGICAL SURVEY. Historic Earthquakes. 
Disponível em: http://earthquake.usgs.gov. Acesso em: 1 maio 2010 
(adaptado). 
Mostrando que é possível determinar a medida por meio de 
conhecimentos matemáticos, qual foi o momento sísmico M0 do terremoto 
de Kobe (em dinaڄcm)? 
A) 
5,1010� 
B) 
0,7310� 
C) 
12,0010
 
D) 
21,6510 
E) 
27,0010 
RESOLUÇÃO: 
 Basta substituir os valores na fórmula. O enunciado nos disse que 
MW = 7,3. Logo: 
� �10 02� ±����� � �3WM log M � 
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7,3 = -10,7 + (2/3) log M0 
18 = (2/3) log M0 
18 (3/2) = log M0 
27 = log M0 
M0=1027 
Resposta: E 
 
17. UFRGS ± VESTIBULAR ± 2012) O número log27 está entre: 
a) 0 e 1 
b) 1 e 2 
c) 2 e 3 
d) 3 e 4 
e) 4 e 5 
RESOLUÇÃO: 
 Vamos chamar o número log27 de x. Assim: 
x = log27 ĺ 2x = 7 
 
 Sabemos que 22 = 4 e 23 = 8. Como 2x = 7, então podemos afirmar 
que x está entre 2 e 3. 
RESPOSTA: C 
 
18. ESPM ± VESTIBULAR ± 2011/1) Sendo log 2 = a e log 3 = b, o 
valor do log9160 é igual a: 
a) 
4
2
a b�
 
 
b) 
4 1
2
a
b
�
 
 
c) 
2 3
2
a b�
 
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d) 
4 2b
a
�
 
 
e) 
1
3
a
b
�
 
RESOLUÇÃO: 
 Vamos chamar de x o valor pedido pelo enunciado. Ou seja, x = 
log9160, o que implica em dizer que 9x=160. Como 9 e 160 não têm 
fatores em comum, vamos aplicar log na base 10 dos dois lados: 
log 9x = log 160 
x log(3×3) = log(4×4×10) 
 
 Utilizando a propriedade log ( . ) log loga a ab c b c � dos dois lados temos: 
x (log3 + log3) = log4 + log4 + log10 
x (log3 + log3) = log(2×2) + log(2×2) + log10 
x (log3 + log3) = log2 + log2 + log2 + log2 + log10 
 
 Como sabemos que log 2 = a, log 3 = b e log 10 = 1, temos: 
x (2b) = 4a + 1 
x = (4a + 1)/2b 
RESPOSTA: B 
 
19. UFRGS ± VESTIBULAR ± 2015) Atribuindo para log 2 o valor 0,3, 
então o valor de 1000,3 é: 
a) 3 
b) 4 
c) 8 
d) 10 
e) 33 
RESOLUÇÃO: 
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 Vamos chamar 1000,3 de x. Logo x = 1000,3. Aplicando log dos dois 
lados temos: 
log x = log 1000,3 
log x = 0,3 log 100 
log x = 0,3 log 102 
log x = 0,3 × 2 
 
 Substituindo o 0,3 na equação acima por log 2, temos: 
log x = (log 2) × 2 
log x = log 22 
x = 22 = 4 
RESPOSTA: B 
 
20. FGV-SP ± VESTIBULAR ± 2014/2) Considere a seguinte tabela, 
em que ln(x) representa o logaritmo neperiano de x: 
 
x 1 2 3 4 5 
ln(x) 0 0,69 1,10 1,39 1,61 
 
 O valor de x que satisfaz a equação 6x = 10 é aproximadamente 
igual a: 
a) 1,26 
b) 1,28 
c) 1,30 
d) 1,32 
e) 1,34 
RESOLUÇÃO: 
6x = 10 
ln(6x) = ln10 
x.ln6 = ln10 
x.ln(2×3) = ln(2×5) 
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x(ln2 + ln3) = ln2 + ln5 
x(0,69 + 1,10) = 0,69 + 1,61 
1,79x = 2,3 
x = 1,28 
RESPOSTA: B 
 
21. ESPM ± VESTIBULAR ± 2014/1) Se log x + log x2 + log x3+ log x4 
= 20, o valor de x é: 
a) 10 
b) 0,1 
c) 100 
d) 0,01 
e) 1 
RESOLUÇÃO: 
log x + log x2 + log x3+ log x4 = 20 
log (x.x2.x3.x4) = 20 
log x10=20 
1020=x10 
(100)10=x10 
X=100 
RESPOSTA: C 
 
22. USF ± VESTIBULAR ± 2013/2 - adaptada) A massa de uma 
substância se decompõe exponencialmente segundo a lei m(t) = a.3(-t/2), 
em que a é uma constante, t indica o tempo, em horas, e m(t) indica a 
massa da substância, em gramas, no instante t. Sabe-se que para t = 4 
horas temos m(4) = 729 g. Determine a massa da substância no tempo t 
= 10 horas. 
a) 27 g 
b) 30 g 
c) 33 g 
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d) 60 g 
e) 81 g 
RESOLUÇÃO: 
 A partir de m(4) = 729 podemos descobrir o valor de a: 
m(t) = a.3(-t/2) 
m(4) = a.3(-4/2) 
729 = a.3(-2) 
729×32 = a 
 
 Vamos agora determinar a massa da substância no tempo t = 10 
horas: 
m(t) = a.3(-t/2) 
m(10) = 729×32×3(-10/2) 
m(10) = 729×32×3(-5) 
m(10) = 729×3(-3) 
m(10) = 729/27 
m(10) = 27 g 
RESPOSTA: A 
 
23. UFG ± VESTIBULAR ± 2013/1) Para a segurança da população, o 
lixo radioativo produzido pelo acidente com o césio-137, na cidade de 
Goiânia, foi revestido com paredes de concreto e chumbo. A intensidade 
da radiação I decai exponencialmente quando atravessa essas paredes, 
de acordo com a relação I(x) = I0.e-a.x, onde I0 é a intensidade que incide 
sobre a parede de espessura x e a é o coeficiente de atenuação, conforme 
esboçado no gráfico a seguir: 
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De acordo com essas informações, o valor do coeficiente de atenuação da 
parede que reveste o lixo é: 
Dados: 
ln e = 1 
ln 2 = 0,69 
ln 3 = 1,10 
ln 10 = 2,30 
a) 0,552 cm-1 
b) 0,825 cm-1 
c) 1,275 cm-1 
d) 1,533 cm-1 
e) 2,707 cm-1 
RESOLUÇÃO: 
 Repare que o gráfico apresenta no eixo y valores para I/I0. Veja que 
quando x = 0,4, temos I/I0 = 0,6. Substituindo na fórmula temos: 
I(x) = I0.e-a.x 
I(x)/I0 =e-a.x 
0,6 = e(-a.0,4) 
ln(0,6) = ln(e(-a.0,4)) 
ln(2×3÷10) = (-0,4a) ln e 
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ln 2 + ln 3 ± ln 10 = -0,4a 
0,69 + 1,10 - 2,30 = -0,4a 
-0,51 = -0,4a 
a = 0,51/0,4 = 1,275 cm-1 
RESPOSTA: C 
 
Texto para as questões 24 e 25 
Para certo modelo de computadores produzidos por uma empresa, o 
percentual dos processadores que apresentam falhas após T anos de uso 
é dado pela seguinte função: 
P(T) = 100(1 - 2-0,1T) 
 
24) UNICAMP ± VESTIBULAR ± 2011) Em quanto tempo 75% dos 
processadores de um lote desse modelo de computadores terão 
apresentado falhas? 
RESOLUÇÃO: 
75 = 100(1 - 2-0,1T) 
0,75 = 1 - 2-0,1T 
0,25 = 2-0,1T 
1/4 = 2-0,1T 
2-2 = 2-0,1T 
-2 = -0,1T 
T = 20 anos 
RESPOSTA: 20 
 
25) UNICAMP ± VESTIBULAR ± 2011) Os novos computadores dessa 
empresa vêm com um processador menos suscetível a falhas. Para o 
modelo mais recente, embora o percentual de processadores que 
apresentam falhas também seja dado por uma função da forma Q(T) = 
100(1 ± 2cT), o percentual de processadores defeituosos após 10 anos de 
uso equivale a 1/4 do valor observado, nesse mesmo período, para o 
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modelo antigo (ou seja, o valor obtido empregando-se a função P(T) 
acima). Determine, nesse caso, o valor da constante c. Se necessário, 
utilize log2(7) = 2,81. 
RESOLUÇÃO: 
 Pela função P(T), após 10 anos de uso temos: 
P(T) = 100(1 - 2-0,1T) 
P(10) = 100(1 - 2-0,1×10) 
P(10) = 100(1 - 2-1) 
P(10) = 100(1 ± 0,5) 
P(10) = 100(0,5) 
P(10) = 50 
 
Em Q(T), o percentual de processadores defeituosos após 10 anos 
de uso equivale a 1/4 do valor observado em P(T). Logo, para T = 10 
anos, temos: 
Q(T) = 100(1 ± 2cT) 
Q(10) = 100(1 ± 210c) = (1/4) × P(10) 
100(1 ± 210c) = (1/4) × 50 
100(1 ± 210c) = 12,5 
1 ± 210c = 0,125 
± 210c = -0,875 
210c = 0,875 
log2 (210c) = log2 (0,875) 
10c = log2 (0,875) 
10c = log2 (7/8) 
10c = log2 7 ± log2 8 
10c = log2 7 ± log2 23 
10c = log2 7 ± 3 log2 2 
10c = 2,81 ± 3 
c = -0,019 
RESPOSTA: -0,019 
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26. UCS ± VESTIBULAR ± 2011) Em geral, materiais radioativos se 
desintegram (se transmutam) espontaneamente com o passar do tempo, 
por meio da emissão de radiação. Como a desintegração se dá de forma 
proporcional à massa remanescente do material, o modelo matemático 
para o cálculo da quantidade em função dotempo é um modelo 
exponencial. O tempo necessário para que a quantidade de massa se 
reduza à metade é chamado, nesse caso, de meia-vida do elemento. 
Se considerarmos que a meia-vida do césio-137 é de 30 anos e que 100 
mg desse elemento tenham sido liberados para o meio ambiente, a 
expressão que permite calcular a quantidade que restará t anos após a 
liberação, é 
ln2
30100
t
e
�u . 
De acordo com essa expressão, usando ln2 = 0,7 e ln5 = 1,61, qual é o 
tempo mínimo, em anos, para que a quantidade liberada para o meio 
ambiente seja reduzida a 5% da quantidade inicial? 
a) 125 
b) 127 
c) 129 
d) 135 
e) 134 
RESOLUÇÃO: 
 Vamos chamar de Q(t) a quantidade que restará t anos após a 
liberação. Para Q(t) = 5 mg temos: 
ln 2
30( ) 100 tQ t e� u 
ln 2
30
ln 2
30
ln 2
30
5 100
0,05
ln 0,05 ln
t
t
t
e
e
e
�
�
�
 u
 
§ · ¨ ¸© ¹ 
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2
2
ln 2ln(5 10 ) ln
30
ln 2ln 5 ln10
30
ln 2ln 5 2(ln 2 5)
30
t e
t
t
�
�
u �
� �
� u �
 
ln 2ln 5 2(ln 2 ln 5)
30
0,71,61 2(0,7 1,61)
30
0,73,01
30
t
t
t
� � �
� � �
� �
 
0,73,01
30
90,3 0,7
129
t
t
t anos
 
 
 
RESPOSTA: C 
 
27. UCS ± VESTIBULAR ± 2011) Os carros de determinada marca, que 
desvalorizam exponencialmente em função do tempo t, em meses 
decorridos desde a sua aquisição, têm seu valor P estabelecido pela 
equação P=A.Bt, com A e B constantes positivas. Se, na compra, um 
carro dessa marca custou R$ 40 000,00 e, após dois anos, o seu valor 
passou a ser R$ 32 000,00, qual será o seu valor após 4 anos? 
a) R$ 23 500,00 
b) R$ 24 000,00 
c) R$ 24 600,00 
d) R$ 25 600,00 
e) R$ 32 000,00 
RESOLUÇÃO: 
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 Em t=0 (na compra), o valor do carro era de 40 mil reais. Logo: 
P=A.Bt 
40.000=A.B0 
A = 40.000 
 
 Em t=2 anos, o valor do carro é de 32 mil reais. Logo: 
P=A.Bt 
32.000=40.000.B2 
B2=32000/40000 
B2=0,8 
B=0,81/2 
 
Em t=4 anos, o valor do carro é de: 
P=A.Bt 
P=40.000. (0,81/2)4 
P=40.000(0,82) 
P = 25.600 reais 
RESPOSTA: D 
 
28. UNEMAT ± VESTIBULAR ± 2009/1) Os biólogos consideram que, 
ao chegar a 100 indivíduos, a extinção da espécie animal é inevitável. A 
população de determinada espécie animal ameaçada de extinção diminui 
segundo a função f(t) = kat, na qual k e a são números reais e f(t) indica 
o número de indivíduos dessa espécie no instante t (em anos). 
Atualmente (instante t = 0) existem 1.500 indivíduos da espécie e 
estima-se que, daqui a 10 anos, haverá 750. 
Caso nenhuma providência seja tomada, mantido tal decrescimento 
exponencial, daqui a quantos anos será atingido o nível de população que 
os biólogos consideram irreversível para a extinção? 
Para os cálculos utilize, se necessário, alguns dos valores da tabela 
abaixo: 
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n 2 3 7 10 
log n 0,30 0,47 0,85 1 
 
a) 25 
b) 40 
c) 30 
d) 15 
e) 39 
RESOLUÇÃO: 
 Em t=0 existem 1.500 indivíduos da espécie. Logo: 
f(t) = kat 
1500 = ka0 
k = 1500 
 
 Daqui a 10 anos, haverá 750 indivíduos da espécie. Logo: 
f(t) = kat 
750 = 1500.a10 
a10= 1/2 
a = (2)-1/10 
 
O nível de população que os biólogos consideram irreversível para a 
extinção é de 100 indivíduos. Logo: 
f(t) = kat 
100 = 1500. (2)-t/10 
1 = 15. (2)-t/10 
log 1 = log (30/2) + log (2)-t/10 
0 = log 30 - log 2 ± (t/10) log 2 
0 = log 3 + log 10 - log 2 ± (t/10) log 2 
0 = 0,47 + 1 ± 0,30 - (t/10) 0,30 
1,17 = (t/10) 0,30 
3,9 = t/10 
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t = 39 anos 
RESPOSTA: E 
 
29. FUVEST ± VESTIBULAR ± 2010) A magnitude de um terremoto na 
escala Richter é proporcional ao logaritmo, na base 10, da energia 
liberada pelo abalo sísmico. Analogamente, o pH de uma solução aquosa 
é dado pelo logaritmo, na base 10, do inverso da concentração de íons 
H+. Considere as seguintes afirmações: 
I. O uso do logaritmo nas escalas mencionadas justifica-se pelas 
variações exponenciais das grandezas envolvidas. 
II. A concentração de íons H+ de uma solução ácida com pH 4 é 10 mil 
vezes maior que a de uma solução alcalina com pH 8. 
III. Um abalo sísmico de magnitude 6 na escala Richter libera duas vezes 
mais energia que outro, de magnitude 3. 
Está correto o que se afirma somente em: 
a) I 
b) II 
c) III 
d) I e II 
e) I e III 
RESOLUÇÃO: 
 Analisando item a item, temos: 
 I. CORRETO. O logaritmo de um número é justamente o expoente 
ao qual deve ser elevada a base para encontrar aquele número. 
 II. CORRETO. O pH de uma solução aquosa é dado pelo logaritmo, 
na base 10, do inverso da concentração de íons H+., ou seja, pH = log 
(1/C), sendo C a concentração de íons H+. 
 A concentração de íons H+ de uma solução ácida com pH 4 é: 
pH = log (1/C1) 
4 = log (1/C1) 
104 = 1/C1 
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C1=10-4 
 
A concentração de íons H+ de uma solução alcalina com pH 8 é: 
pH = log (1/C2) 
8 = log (1/C2) 
108 = 1/C2 
C2=10-8 
 
 Dividindo C1 por C2 temos: 
C1/ C2 = 10-4/10-8 = 108-4 = 104 = 10 mil. 
 
 III. ERRADO. A magnitude (M) de um terremoto na escala Richter é 
proporcional ao logaritmo, na base 10, da energia (E) liberada pelo abalo 
sísmico. Logo M = k log E, em que k é a constante de proporcionalidade. 
Para um abalo sísmico de magnitude 6 temos: 
M = k log E1 
6 = k log E1 
6/k = log E1 
E1 = 106/k 
 
Para um abalo sísmico de magnitude 3 temos: 
M = k log E2 
3 = k log E2 
3/k = log E2 
E2 = 103/k 
 
Dividindo E1 por E2 temos: 
E1/E2= 106/k/103/k 
E1/E2= 106/k-3/k=103/k 
 
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 Um abalo sísmico de magnitude 6 na escala Richter libera 103/k 
vezes mais energia que outro, de magnitude 3. 
RESPOSTA: D 
 
30. UDESC ± VESTIBULAR ± 2008) Sabendo que log3(7x - 1) = 3 e 
que log2(y
3 + 3) = 7 pode-se afirmar que logy(x
2 + 9) é igual a: 
a) 6 
b) 2 
c) 4 
d) -2 
e) -4 
RESOLUÇÃO: 
log3(7x - 1) = 3 
33 = 7x -1 
27 = 7x -1 
x = 4 
 
log2(y
3 + 3) = 7 
27 = y3 + 3 
128 = y3 + 3 
y3 = 125 
y = 5 
 
Assim, para x = 4 e y = 5 temos: 
logy(x
2 + 9) = log5(42 + 9) = 
= log5(16 + 9) 
= log5(25) 
= log5(52) 
= 2 log5(5) 
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= 2 
RESPOSTA: B 
 
 
 
 
 
 
Fim de aula!!! Nos vemos na aula 08. Abraço, 
Prof. Arthur Lima 
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3. QUESTÕES APRESENTADAS NA AULA 
 
1. EXERCÍCIO DE FIXAÇÃO) Encontre o valor de X na expressão 
abaixo: 
logX = log 5 + log2 5 + log2 
 
2. EXERCÍCIO DE FIXAÇÃO) Diga se a função abaixo é uma função 
exponencial: 
f(x) = (-2)x 
 
3. EXERCÍCIO DE FIXAÇÃO) Calcule f(8) na função abaixo: 
f(x) = 2. Log6(3x/4) 
 
4. EXERCÍCIO DE FIXAÇÃO) Calcule o valor de y na expressão abaixo 
para x = 3. 
y = 500 ڄ 2x 
 
5. EXERCÍCIO DE FIXAÇÃO) Encontre o valor de x na função abaixo 
para y = 640. 
y = 10 . 2x 
 
6. EXERCÍCIO DE FIXAÇÃO) Sendo x a variável e r e NJ duas 
constantes, encontre a relação entre r e NJ�QD�LJXDOGDGH�DEDL[R: 
eNJ[ = (1+r)x 
 
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7. EXERCÍCIO DE FIXAÇÃO) Sabendo que f(5) = 
1
2
 para a função f(x) 
= logb x, descubra qual a base b do logaritmo dessa função. 
 
8. EXERCÍCIO DE FIXAÇÃO) Reescreva a função abaixo em função da 
variável y: 
y = 10x+3 - 7 
 
9. EXERCÍCIO DE FIXAÇÃO) Reescreva a função abaixo em função da 
variável y: 
y = 53x 
 
10. EXERCÍCIO DE FIXAÇÃO) Encontre a expressão que dá o valor de x 
a partir da igualdade abaixo: 
6 25
2
x
 
 
11. EXERCÍCIO DE FIXAÇÃO) Calcule f(0) na função abaixo: 
f(x) = 20 + 15log125(x + 5) 
 
12. EXERCÍCIO DE FIXAÇÃO) Encontre o valor de x de forma que a 
imagem da função abaixo seja 243. 
f(x) = 3x+3 
 
Texto para a questão 13 
 A população mundial está ficando mais velha, os índices de natalidade 
diminuíram e a expectativa de vida aumentou. No gráfico seguinte, são 
apresentados dados obtidos por pesquisa realizada pela Organização das 
Nações Unidas (ONU), a respeito da quantidade de pessoas com 60 anos 
ou mais em todo o mundo. Os números da coluna da direita representam 
as faixas percentuais. Por exemplo, em 1950 havia 95 milhões de pessoas 
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com 60 anos ou mais nos países desenvolvidos, número entre 10% e 
15% da população total nos países desenvolvidos. 
 
 
13. ENEM - 2009) Suponha que o modelo exponencial y = 363e0,03x, em 
que x = 0 corresponde ao ano 2000, x = 1 corresponde ao ano 2001, e 
assim sucessivamente, e que y é a população em milhões de habitantes 
no ano x, seja usado para estimar essa população com 60 anos ou mais 
de idade nos países em desenvolvimento entre 2010 e 2050. Desse 
modo, considerando e0,3 = 1,35, estima-se que a população com 60 anos 
ou mais estará, em 2030, entre 
A) 490 e 510 milhões. 
B) 550 e 620 milhões. 
C) 780 e 800 milhões. 
D) 810 e 860 milhões. 
E) 870 e 910 milhões. 
 
14. ENEM - 2013) Em setembro de 1987, Goiânia foi palco do maior 
acidente radioativo ocorrido no Brasil, quando uma amostra de césio-137, 
removida de um aparelho de radioterapia abandonado, foi manipulada 
inadvertidamente por parte da população. A meia-vida de um material 
radioativo é o tempo necessário para que a massa desse material se 
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reduza à metade. A meia-vida do césio-137 é 30 anos e a quantidade 
restante de massa de um material radioativo, após t anos, é calculada 
pela expressão � � � � · 2,7 ktM t A , onde A é a massa inicial e k é uma 
constante negativa. 
Considere 0,3 como aproximação para log102. Qual o tempo necessário, 
em anos, para que uma quantidade de massa do césio-137 se reduza a 
10% da quantidade inicial? 
A) 27 
B) 36 
C) 50 
D) 54 
E) 100 
 
15. ENEM ± 2015) Um engenheiro projetou um automóvel cujos vidros 
das portas dianteiras foram desenhados de forma que suas bordas 
superiores fosse representadas pela curva de equação y = log (x), 
conforme a figura. 
 
A forma do vidro foi concebida de modo que o eixo x sempre divida ao 
meio a altura h do vidro e a base do vidro seja paralela ao eixo x. 
Obedecendo a essas condições, o engenheiro determinou uma expressão 
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que fornece a altura h do vidro em função da medida n de sua base, em 
metros. 
A expressão algébrica que determina a altura do vidro é 
 
(A) 
(B) 
(C) 
(D) 
(E) 
 
16. ENEM - 2011) A Escala e Magnitude de Momento (abreviada como 
MMS e denotada como MW), introduzida em 1979 por Thomas Haks e 
Hiroo Kanamori, substituiu a Escala de Richter para medir a magnitude 
dos terremotos em termos de energia liberada. Menos conhecida pelo 
público, a MMS é, no entanto, a escala usada para estimar as magnitudes 
de todos os grandes terremotos da atualidade. Assim como a escala 
Richter, a MMS é uma escala logarítmica. 
MW e M0 se relacionam pela fórmula: 
� �10 02� ±����� � �3WM log M � 
onde M0 é o momento sísmico (usualmente estimado a partir dos 
registros de movimento da superfície, através dos sismogramas), cuja 
unidade é o dinaڄcm. O terremoto de Kobe, acontecido no dia 17 de 
janeiro de 1995, foi um dos terremotos que causaram maior impacto no 
Japão e na comunidade científica internacional. Teve magnitude MW = 
7,3. 
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U.S. GEOLOGICAL SURVEY. Historic Earthquakes. 
Disponível em: http://earthquake.usgs.gov. Acesso em: 1 maio 2010 
(adaptado). 
Mostrando que é possível determinar a medida por meio de 
conhecimentos matemáticos, qual foi o momento sísmico M0 do terremoto 
de Kobe (em dinaڄcm)? 
A) 
5,1010� 
B) 
0,7310� 
C) 
12,0010
 
D) 
21,6510 
E) 
27,0010 
 
17. UFRGS ± VESTIBULAR ± 2012) O número log27 está entre: 
a) 0 e 1 
b) 1 e 2 
c) 2 e 3 
d) 3 e 4 
e) 4 e 5 
 
18. ESPM ± VESTIBULAR ± 2011/1) Sendo log 2 = a e log 3 = b, o 
valor do log9160 é igual a: 
a) 
4
2
a b�
 
 
b) 
4 1
2
a
b
�
 
 
c) 
2 3
2
a b�
 
 
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d) 
4 2b
a
�
 
 
e) 
1
3
a
b
�
 
 
19. UFRGS ± VESTIBULAR ± 2015) Atribuindo para log 2 o valor 0,3, 
então o valor de 1000,3 é: 
a) 3 
b) 4 
c) 8d) 10 
e) 33 
 
20. FGV-SP ± VESTIBULAR ± 2014/2) Considere a seguinte tabela, 
em que ln(x) representa o logaritmo neperiano de x: 
 
x 1 2 3 4 5 
ln(x) 0 0,69 1,10 1,39 1,61 
 
 O valor de x que satisfaz a equação 6x = 10 é aproximadamente 
igual a: 
a) 1,26 
b) 1,28 
c) 1,30 
d) 1,32 
e) 1,34 
 
21. ESPM ± VESTIBULAR ± 2014/1) Se log x + log x2 + log x3+ log x4 
= 20, o valor de x é: 
a) 10 
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b) 0,1 
c) 100 
d) 0,01 
e) 1 
 
22. USF ± VESTIBULAR ± 2013/2 - adaptada) A massa de uma 
substância se decompõe exponencialmente segundo a lei m(t) = a.3(-t/2), 
em que a é uma constante, t indica o tempo, em horas, e m(t) indica a 
massa da substância, em gramas, no instante t. Sabe-se que para t = 4 
horas temos m(4) = 729 g. Determine a massa da substância no tempo t 
= 10 horas. 
a) 27 g 
b) 30 g 
c) 33 g 
d) 60 g 
e) 81 g 
 
23. UFG ± VESTIBULAR ± 2013/1) Para a segurança da população, o 
lixo radioativo produzido pelo acidente com o césio-137, na cidade de 
Goiânia, foi revestido com paredes de concreto e chumbo. A intensidade 
da radiação I decai exponencialmente quando atravessa essas paredes, 
de acordo com a relação I(x) = I0.e-a.x, onde I0 é a intensidade que incide 
sobre a parede de espessura x e a é o coeficiente de atenuação, conforme 
esboçado no gráfico a seguir: 
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De acordo com essas informações, o valor do coeficiente de atenuação da 
parede que reveste o lixo é: 
Dados: 
ln e = 1 
ln 2 = 0,69 
ln 3 = 1,10 
ln 10 = 2,30 
a) 0,552 cm-1 
b) 0,825 cm-1 
c) 1,275 cm-1 
d) 1,533 cm-1 
e) 2,707 cm-1 
 
Texto para as questões 24 e 25 
Para certo modelo de computadores produzidos por uma empresa, o 
percentual dos processadores que apresentam falhas após T anos de uso 
é dado pela seguinte função: 
P(T) = 100(1 - 2-0,1T) 
 
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24) UNICAMP ± VESTIBULAR ± 2011) Em quanto tempo 75% dos 
processadores de um lote desse modelo de computadores terão 
apresentado falhas? 
 
25) UNICAMP ± VESTIBULAR ± 2011) Os novos computadores dessa 
empresa vêm com um processador menos suscetível a falhas. Para o 
modelo mais recente, embora o percentual de processadores que 
apresentam falhas também seja dado por uma função da forma Q(T) = 
100(1 ± 2cT), o percentual de processadores defeituosos após 10 anos de 
uso equivale a 1/4 do valor observado, nesse mesmo período, para o 
modelo antigo (ou seja, o valor obtido empregando-se a função P(T) 
acima). Determine, nesse caso, o valor da constante c. Se necessário, 
utilize log2(7) = 2,81. 
 
26. UCS ± VESTIBULAR ± 2011) Em geral, materiais radioativos se 
desintegram (se transmutam) espontaneamente com o passar do tempo, 
por meio da emissão de radiação. Como a desintegração se dá de forma 
proporcional à massa remanescente do material, o modelo matemático 
para o cálculo da quantidade em função do tempo é um modelo 
exponencial. O tempo necessário para que a quantidade de massa se 
reduza à metade é chamado, nesse caso, de meia-vida do elemento. 
Se considerarmos que a meia-vida do césio-137 é de 30 anos e que 100 
mg desse elemento tenham sido liberados para o meio ambiente, a 
expressão que permite calcular a quantidade que restará t anos após a 
liberação, é 
ln2
30100
t
e
�u . 
De acordo com essa expressão, usando ln2 = 0,7 e ln5 = 1,61, qual é o 
tempo mínimo, em anos, para que a quantidade liberada para o meio 
ambiente seja reduzida a 5% da quantidade inicial? 
a) 125 
b) 127 
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c) 129 
d) 135 
e) 134 
 
27. UCS ± VESTIBULAR ± 2011) Os carros de determinada marca, que 
desvalorizam exponencialmente em função do tempo t, em meses 
decorridos desde a sua aquisição, têm seu valor P estabelecido pela 
equação P=A.Bt, com A e B constantes positivas. Se, na compra, um 
carro dessa marca custou R$ 40 000,00 e, após dois anos, o seu valor 
passou a ser R$ 32 000,00, qual será o seu valor após 4 anos? 
a) R$ 23 500,00 
b) R$ 24 000,00 
c) R$ 24 600,00 
d) R$ 25 600,00 
e) R$ 32 000,00 
 
28. UNEMAT ± VESTIBULAR ± 2009/1) Os biólogos consideram que, 
ao chegar a 100 indivíduos, a extinção da espécie animal é inevitável. A 
população de determinada espécie animal ameaçada de extinção diminui 
segundo a função f(t) = kat, na qual k e a são números reais e f(t) indica 
o número de indivíduos dessa espécie no instante t (em anos). 
Atualmente (instante t = 0) existem 1.500 indivíduos da espécie e 
estima-se que, daqui a 10 anos, haverá 750. 
Caso nenhuma providência seja tomada, mantido tal decrescimento 
exponencial, daqui a quantos anos será atingido o nível de população que 
os biólogos consideram irreversível para a extinção? 
Para os cálculos utilize, se necessário, alguns dos valores da tabela 
abaixo: 
n 2 3 7 10 
log n 0,30 0,47 0,85 1 
 
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a) 25 
b) 40 
c) 30 
d) 15 
e) 39 
 
29. FUVEST ± VESTIBULAR ± 2010) A magnitude de um terremoto na 
escala Richter é proporcional ao logaritmo, na base 10, da energia 
liberada pelo abalo sísmico. Analogamente, o pH de uma solução aquosa 
é dado pelo logaritmo, na base 10, do inverso da concentração de íons 
H+. Considere as seguintes afirmações: 
I. O uso do logaritmo nas escalas mencionadas justifica-se pelas 
variações exponenciais das grandezas envolvidas. 
II. A concentração de íons H+ de uma solução ácida com pH 4 é 10 mil 
vezes maior que a de uma solução alcalina com pH 8. 
III. Um abalo sísmico de magnitude 6 na escala Richter libera duas vezes 
mais energia que outro, de magnitude 3. 
Está correto o que se afirma somente em: 
a) I 
b) II 
c) III 
d) I e II 
e) I e III 
 
30. UDESC ± VESTIBULAR ± 2008) Sabendo que log3(7x - 1) = 3 e 
que log2(y
3 + 3) = 7 pode-se afirmar que logy(x
2 + 9) é igual a: 
a) 6 
b) 2 
c) 4 
d) -2 
e) -4
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01 20 02 Sim 03 2 04 4000 05 6 06 * 07 25 
08 ** 09 *** 10 **** 11 25 12 2 13 E 14 E 
15 E 16 E 17 C 18 B 19 B 20 B 21 C 
22 A 23 C 24 20 25 -0,019 26 C 27 D 28 E 
29 D 30 B 
 
 
* eNJ ± 1 = r 
** x = log (y + 7) ± 3 
*** x = � �35log y 
**** x = (2 ± log2) / (log2 + log3) 
 
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