curso 11188 aula 08 v1

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Aula 08
Matemática e suas Tecnologias p/ ENEM 2016
Professores: Arthur Lima, Hugo Lima
MATEMÁTICA E SUAS TECNOLOGIAS P/ ENEM 
TEORIA E EXERCÍCIOS COMENTADOS 
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AULA 08: Inequações, desigualdades 
 
SUMÁRIO PÁGINA 
1. Teoria 02 
2. Resolução de exercícios 15 
3. Questões apresentadas na aula 37 
4. Gabarito 43 
 
 
Olá! 
Nesta oitava aula aprenderemos os tópicos relacionados a 
inequações e desigualdades. Tenha uma excelente aula. Permaneço à 
disposição e deixo abaixo meus contatos: 
 
 
E-mail: ProfessorArthurLima@hotmail.com 
Facebook: www.facebook.com/ProfArthurLima 
 
Ah, e não deixe de me seguir no aplicativo Periscope, onde 
transmito vídeos gratuitos ao vivo com dicas adicionais para seu estudo: 
www.periscope.tv/arthurrrl, ou simplesmente busque @ARTHURRRL no 
aplicativo. 
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1. TEORIA 
1.1 INEQUAÇÕES DE 1º E 2º GRAUS 
 Chamamos de inequação uma desigualdade que utiliza os símbolos 
> (maior que), < (menor que), t (maior ou igual a) ou d (menor ou igual 
a). Podemos ter inequações de primeiro grau, segundo grau ou outros 
graus, dependendo do maior expoente ao qual estiver elevada a variável. 
Veja alguns exemplos: 
 
x + 7 > 1 (x mais 7 unidades é maior que 1) 
 
3x2 < 27 (o triplo de x ao quadrado é menor que 27) 
 
 Ao resolver uma inequação não encontraremos o valor exato da 
variável, mas sim um intervalo onde esta variável pode se encontrar. Para 
exemplificar, vamos resolver os exercícios de fixação abaixo: 
 
1. EXERCÍCIO DE FIXAÇÃO) Resolva a inequação de primeiro grau 
abaixo: 
x + 7 > 1 
 
RESOLUÇÃO: 
 Veja que esta é uma inequação de primeiro grau. Para resolvê-la, 
vamos isolar a variável x, somando -7 nos dois lados da inequação: 
x + 7 ± 7 > 1 ± 7 
x > -6 
 
 Portanto, sabemos que qualquer valor x que seja maior que ±6 
atende a inequação. Por exemplo, x = 0 atende a inequação, pois 0 > -6. 
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Uma maneira mais formal de representar todos os valores que 
atendem a inequação é dizer que o conjunto-solução desta inequação (S) 
é: 
 �  ! �{ | 6}S x R x 
(leia-se: o conjunto solução é formado por todo x pertencente ao 
conjunto dos números reais, tal que x é maior que -6) 
RESPOSTA: x > -6 
 
2. EXERCÍCIO DE FIXAÇÃO) Resolva a inequação de primeiro grau 
abaixo: 
-x + 18 < 2x 
RESOLUÇÃO: 
 3RGHPRV�³SDVVDU´�R����SDUD�R�ODGR�GLUHLWR�GD�LQHTXDoão (somando -
���QRV�GRLV�ODGRV�GD�LQHTXDomR��H�³SDVVDU´�R��[�SDUD�R�ODGR�HVTXHUGR� 
-x -2x < -18 
-3x < -18 
-x < -18/3 
-x < -6 
 
 Se quisermos obter o valor de x (ao invés de ±x), devemos 
multiplicar ambos os lados da inequação por -1. Entretanto, atenção: 
neste caso, você deve inverter o sinal da inequação. Observe: 
x > 6 
 Aqui, teríamos o conjunto solução: 
 �  !{ | 6}S x R x 
RESPOSTA: x > 6 
 
3. EXERCÍCIO DE FIXAÇÃO) Resolva a inequação de segundo grau 
abaixo: 
-x2 +13x > 36 
RESOLUÇÃO: 
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 Para resolver uma inequação do segundo grau, você precisa: 1) 
passar todos os termos para o mesmo lado; 2) substituir o sinal da 
inequação pelo sinal de igualdade, resolvendo a equação através da 
fórmula de Báskara; 3) escrever o conjunto-solução da inequação. Vamos 
efetuar estes passos. 
 Passando todos os termos da inequação acima para o mesmo lado, 
temos: 
-x2 +13x ± 36 > 0 
 
 Vamos multiplicar os dois membros da inequação por -1, para 
substituir o sinal negativo de ±x2. Lembrando que devemos inverter o 
sinal da desigualdade, temos: 
x2 ± 13x ± 36 < 0 
 
 Agora, devemos substituir o sinal > por =, temporariamente, 
apenas para calcularmos as raízes da equação: 
x2 ± 13x ± 36 = 0 
 
 Utilizando a fórmula de Báskara, vemos que x1 = 4 e x2 = 9. O 
próximo passo é escrever o conjunto solução da inequação. 
 Como o fator x2 tem coeficiente positivo (1x2), a curva f(x) = x2 ± 
13x ± 36 tem concavidade para cima, cruzando o eixo horizontal em x = 
4 e em x = 9. O gráfico desta função seria mais ou menos assim: 
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 Observe neste gráfico que f(x) tem valor negativo para x entre 4 e 
9 (está abaixo do eixo horizontal). Da mesma forma, f(x) tem valor 
positivo para x abaixo de 4 e também para x acima de 9 (pois está acima 
do eixo horizontal), e tem valor igual a zero para x = 4 e para x = 9. 
Como a inequação que temos é x2 ± 13x ± 36 < 0, estamos 
interessados apenas nos trechos onde f(x) é menor que zero (negativa). 
Marquei em vermelho esses trechos: 
 
4 9 x 
f(x) 
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Portanto, o nosso conjunto solução é: 
  � �{ | 4 9}S x R x 
RESPOSTA: 4 < x < 9 
 
4. EXERCÍCIO DE FIXAÇÃO) Resolva a inequação de segundo grau 
abaixo: 
- x2 + 3x - 2 t 0 
RESOLUÇÃO: 
 Substituindo o t pelo =, temos: 
- x2 + 3x - 2 = 0 
 
 Utilizando a fórmula de Báskara, obtemos x1 = 1 e x2 = 2. O gráfico 
de f(x) = - x2 + 3x - 2 tem concavidade para baixo, pois x2 tem 
coeficiente negativo (-1x2). Este gráfico cruza o eixo x em 1 e 2: 
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Como queremos saber a região onde f(x) t 0, isto é, - x2 + 3x - 2 
t 0, marquei a região que nos interessa no gráfico abaixo: 
 
 
 Portanto, o nosso conjunto solução é a região entre 1 e 2, isto é: 
  d d{ |1 2}S x R x 
RESPOSTA: ��”�[�”�� 
 
Repare que, no terceiro exercício de fixação (x2 ± 13x ± 36 > 0) 
tínhamos o sinal >, enquanto no quarto exercício (- x2 + 3x - 2 t 0) 
1 2 x 
f(x) 
1 2 x 
f(x
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tínhamos o sinal t . No primeiro caso, os valores de x que tornavam x2 ± 
13x ± 36 igual a zero não fizeram parte do conjunto solução. Já no 
segundo exemplo, os valores de x que tornavam - x2 + 3x - 2 fizeram 
parte do conjunto solução. 
Vamos treinar mais: 
 
5. EXERCÍCIO DE FIXAÇÃO) Encontre o conjunto solução da inequação 
abaixo: 
f(x) = x2 ± 2x + 1 ”�� 
RESOLUÇÃO: 
 O primeiro passo da resolução é obter as raízes de f(x) e de g(x). 
Para isso, basta igualá-las a zero e utilizar a fórmula de Báskara. 
Acompanhe: 
f(x) = 0 Æ 2 2 1 0x x� � 
2( 2) ( 2) 4 1 1
2 1
x
� � r � � u u u 
2 0 1
2
xr 
 
 Observe que nesta equação o ' foi igual a zero, de modo que 
temos duas raízes iguais a 1, e o gráfico da equação apenas toca no eixo 
horizontal. Esboçando o gráfico de f(x), temos algo assim: 
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 Observe que para x = 1 a função f(x) é igual a zero, porém para x 
> 1 ou x < 1 a função assume valores positivos. Assim, o conjunto-
solução da inequação ( ) 0f x d é apenas x = 1, pois para qualquer valor x 
diferente de 1 teremos f(x) > 0. 
RESPOSTA: x = 1 
 
6. EXERCÍCIO DE FIXAÇÃO) Encontre o conjunto solução da inequação 
abaixo: 
g(x) = -2x2 ���[�����”�� 
RESOLUÇÃO: 
 Igualando g(x) a zero, temos: 
22 3 2 0x x� � � 
23 3 4 ( 2) 2
2 ( 2)x
� r � u � u u � 
3 5
4
x
� r � 
12 
2
x ou x � 
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 Assim, g(x) é uma parábola com a concavidade para baixo (pois o 
termo x2 é multiplicado por um coeficiente negativo, -2), que toca o eixo 
horizontal nos pontos 
12 
2
x ou x � . Esboçando o gráfico, temos: 
 
 
 Repare que g(x) é igual a zero em x = -1/2 e em x = 2. E g(x) é 
positiva para x entre -1/2 e 2. Como a nossa inequação é do tipo ( ) 0g x t , 
podemos escrever o seguinte conjunto-solução: 
1| 2
2
x R x­ ½ � d d® ¾¯ ¿ 
RESPOSTA: -½ ”�[�”�� 
 
1.2 INEQUAÇÕES PRODUTO 
 Chamamos de inequações produto aquelas em que temos o produto 
de duas funções compondo a inequação. 
Exemplificando, seja f(x) = x + 7 e g(x) = 3x ± 27. As inequações 
GDGDV�SRU�I�[��J�[��”����RX�I�[��J�[��•����RX�I�[��J(x) < 0 ou f(x).g(x) > 
0 são todas inequações produto. Veja elas abaixo, respectivamente: 
(x + 7).(3x ± 27��”�� 
(x + 7).(3x ± 27��•�� 
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 Chamamos de inequações quociente aquelas em que temos a 
divisão de duas funções compondo a inequação. 
Exemplificando, seja f(x) = x + 7 e g(x) = 3x ± 27. As inequações 
dadas por f(x)/g(x) ”����RX�I�[�/J�[��•����RX�I�[�/g(x) < 0 ou f(x)/g(x) > 
0 são todas inequações produto. Veja elas abaixo, respectivamente: 
7 0
3 27
7 0
3 27
7 0
3 27
7 0
3 27
x
x
x
x
x
x
x
x
� d�
� t�
� ��
� !� 
 
 Vamos resolver um exercício sobre o tema: 
 
8. OBJETIVO ± VESTIBULAR) O número de soluções inteiras da 
inequação 
2 6 0
14 2
x
x
� t� é: 
A) 6 
B) 7 
C) 8 
D) 9 
E) 10 
RESOLUÇÃO: 
 Aqui devemos fazer um estudo em separado do numerador e do 
denominador e, posteriormente, ver como eles interagem. 
 No numerador temos a função de primeiro grau f(x) = 2x + 6, cuja 
raiz é x = -3. Esta função tem como gráfico uma reta crescente, visto que 
o coeficiente que multiplica a variável é positivo. 
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 O enunciado pede o número de soluções inteiras. Elas estão no 
intervalo entre x = -3 e x = 7, marcado em verde no gráfico. São elas: -
3, -2, -1, 0, 1, 2, 3, 4, 5 e 6. Temos então 10 soluções inteiras. 
RESPOSTA: E 
 
1.4 OUTROS TIPOS DE INEQUAÇÕES 
 
 Existem diversos outros tipos de inequações. Para isso, basta que 
tenhamos uma função f(x) e uma desigualdade. A função pode ser de 
primeiro e segundo graus, como vimos, polinômios, funções exponenciais, 
logarítmicas e etc. 
 Portanto, se estivermos diante de XPD�IXQomR�I�[��”���RX�I�[��•���
ou f(x) < 0 ou f(x) > 0, estaremos diante de uma inequação. 
 Sobre isso, vamos resolver o exercício abaixo. 
 
9. EXERCÍCIO DE FIXAÇÃO) Resolva a inequação abaixo: 
log2(x - 1) < 1 
RESOLUÇÃO: 
 Primeiramente vamos trabalhar o logaritmo. Vejamos: 
log2(x - 1) < 1 
x ± 1 < 21 
x < 3 
 
 No entanto, para que o logaritmo exista temos que x - 1 > 0, ou 
seja, x > 1. Portanto, o conjunto solução da inequação é 1 < x < 3. 
RESPOSTA: 1 < x < 3 
 
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2. RESOLUÇÃO DE EXERCÍCIOS 
 
Trabalharemos agora alguns exercícios de fixação e também 
questões de outros vestibulares. O assunto desta aula não é um assunto 
muito cobrado pelo ENEM, mas pode cair! Lembre-se: é muito importante 
que você execute os cálculos à mão, pois é assim que você deverá fazer 
na hora da prova. Além disso, é com a prática que vamos ficar cada vez 
melhores. 
 
 
10. EXERCÍCIO DE FIXAÇÃO) Resolva a inequação 3 ± [�”�����[ 
RESOLUÇÃO: 
3 ± [�”�����[ 
3 ± ��”�[���[ 
��”��[ 
��”�[ 
RESPOSTA: [�•�� 
 
 
11. EXERCÍCIO DE FIXAÇÃO) Resolva a inequação 9 ± x2 > 0 
RESOLUÇÃO: 
 Primeiramente vamos encontrar as raízes. Para isso, substituímos o 
sinal > por =, temporariamente. Vejamos: 
9 ± x2 = 0 
9 = x2 
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x1 = 3 
x2 = -3 
 
 Repare que na inequação 9 ± x2 > 0, a variável x2 vem multiplicada 
por um coeficiente negativo (-1). Assim, estamos diante de uma parábola 
com a concavidade voltada para baixo, que cruza o eixo x nos pontos x = 
3 e x = -3. Portanto, os valores de x que satisfazem a inequação 9 ± x2 > 
0 são aqueles entre -3 e 3, visto que correspondem à região da parábola 
que está acima do eixo x apresentando, portanto, valor positivo. Um 
esboço da situação é apresentada na figura a seguir: 
 
 
 Obs.: Observe que os pontos x = -3 e x = 3 não satisfazem a 
inequação e, portanto, não fazem parte do conjunto solução. Apenas os 
valores acima de -3 e abaixo de 3 que a satisfazem. 
RESPOSTA: -3 < x < 3 
 
12. EXERCÍCIO DE FIXAÇÃO) Resolva a inequação 2x-3 > 22x-5 
RESOLUÇÃO: 
 Basta que o expoente de 2 no lado esquerdo seja superior ao 
expoente de 2 no lado direito da inequação, veja: 
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28 8 4 1 15
2 1
8 64 60
2
8 2
2
x
x
x
r � ˜ ˜ ˜
r � 
r 
 
1
2
8 2 5
2
8 2 3
2
x
x
� 
� 
 
 Como estamos diante de uma parábola de concavidade voltada para 
cima, temos que os valores de x que satisfazem a inequação são aqueles 
menos que 3 e os maiores que 5. 
RESPOSTA: x < 3 ou x > 5 
 
15. EXERCÍCIO DE FIXAÇÃO) Resolva a inequação: 
x2 ± 6x - 16 < 0 
RESOLUÇÃO: 
Primeiramente vamos encontrar as raízes. Para isso, substituímos o 
sinal > por =, temporariamente. Vejamos: 
x2 ± 6x - 16 = 0 
 
 Utilizando Báskara, encontramos as raízes x = 8 e x = -2. 
 Portanto, trata-se de uma inequação de segundo grau, cujo 
coeficiente que multiplica a variável de maior expoente é positivo. Logo, 
temos uma parábola de concavidade voltada para cima, que cruza o eixox nos pontos x = -2 e x = 8. A inequação pede os valores menores do que 
zero. Portanto, o conjunto solução da inequação são os valores de x 
compreendidos entre -2 e 8. 
RESPOSTA: -2 < x < 8 
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17. PUC-RJ ± VESTIBULAR ± 2012 - adaptada) Sejam f e g funções 
reais dadas por f(x) = x + 1 e g(x) = 1 + 2x2. Os valores de x tais que 
I�[��•�J�[��VmR� 
RESOLUÇÃO: 
I�[��•�J�[� 
[�����•������[2 
��•������[2 ± (x + 1) 
��•��[2 ± x 
 
9DPRV�HQFRQWUDU�DV�UDt]HV��3DUD�LVVR��VXEVWLWXtPRV�R�VLQDO�•�SRU� ��
temporariamente. Vejamos: 
2x2 ± x = 0 
x.(2x - 1) = 0 
 
 Veja que temos um produto cujo valor é zero. Daí temos duas 
possibilidades: ou o primeiro fator é zero (x1 = 0) ou o segundo fator é 
zero (2x - 1 = 0 ĺ x2 = ½). 
9ROWDQGR�j�QRVVD�LQHTXDomR���•��[2 ± x, trata-se de uma inequação 
de segundo grau, cujo coeficiente que multiplica a variável de maior 
expoente é positivo. Logo, temos uma parábola de concavidade voltada 
para cima, que cruza o eixo x nos pontos x1 = 0 e x2 = ½. A inequação 
pede os valores menores ou iguais a zero. Portanto, o conjunto solução 
da inequação são os valores de x compreendidos entre 0 e ½, incluídos os 
pontos x1 = 0 e x2 = ½. 
RESPOSTA: 0 ”�[�”�ò 
 
18. UFRS ± VESTIBULAR) Tem-se (x+2).(x ± 1) < 0 se e somente se: 
A) x < 1 
B) x > - 2 
C) - 2 < x < 0 
D) x # 2 e x = 1 
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E) - 2 < x < 1 
RESOLUÇÃO: 
 9DPRV�HQFRQWUDU�DV�UDt]HV��3DUD�LVVR��VXEVWLWXtPRV�R�VLQDO�•�SRU� ��
temporariamente. Vejamos: 
(x+2).(x ± 1) =0 
 Veja que temos um produto cujo valor é zero. Daí temos duas 
possibilidades: ou o primeiro fator é zero (x1 = -2) ou o segundo fator é 
zero (x2 = 1). 
Voltando à nossa inequação (x+2).(x ± 1) < 0, que pode ser 
reescrita como x2 + x ± 2 < 0 , trata-se de uma inequação de segundo 
grau, cujo coeficiente que multiplica a variável de maior expoente é 
positivo. Logo, temos uma parábola de concavidade voltada para cima, 
que cruza o eixo x nos pontos x1 = -2 e x2 = 1. A inequação pede os 
valores menores que zero. Portanto, o conjunto solução da inequação são 
os valores de x compreendidos entre -2 e 1. 
RESPOSTA: E 
 
19. FGV ± VESTIBULAR - adaptada) O número de soluções inteiras da 
inequação -3 < x + 2 ” 4 é: 
A) 6 
B) 7 
C) 8 
D) 9 
E) 0 
RESOLUÇÃO: 
 Repare que nesse caso temos um sistema de inequações de 
primeiro grau, composto pelas seguintes inequações: 
-3 < x + 2 
x + 2 ” 4 
 
 Da primeira temos que: 
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-3 < x + 2 
-5 < x 
 
 Da segunda temos que: 
x + 2 ” 4 
[�” 2 
 
 O exercício pediu o número de soluções inteiras. Entre -5 (não 
incluso) e 2 (incluso) temos sete soluções inteiras possíveis: -4, -3, -2, -
1, 0, 1 e 2. 
RESPOSTA: B 
 
20) UEM ± VESTIBULAR ± 2012) A soma de todos os números inteiros 
que satisfazem simultaneamente a inequação-produto (3x-7).(x-4) < 0 e 
a inequação-quociente 
2 1 0
5
x
x
� !� é? 
A) 3 
B) 5 
C) 6 
D) 7 
RESOLUÇÃO: 
Primeiramente vamos resolver a inequação produto e encontrar as 
raízes. Para isso, substituímos o sinal < por =, temporariamente. 
Vejamos: 
(3x-7).(x-4) < 0 
 
 Note que temos uma multiplicação dos dois termos que estão entre 
parênteses. O produto desta multiplicação é zero e para que isso seja 
possível pelo menos um dos termos tem que ser igual a zero. Assim, 
temos: 
3x - 7 = 0 ĺ x = 7/3 
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 A última linha do gráfico acima mostra o resultado da divisão do 
numerador pelo denominador. Repare que para x < -½, o numerador tem 
valor negativo e o denominador é positivo. A divisão de negativo por 
positivo dá negativo. Já para x entre -½ e 5, tanto o numerador quanto o 
denominador têm valores positivos. A divisão de positivo por positivo dá 
positivo. Já para x > 5, o numerador é positivo e o denominador assume 
valores negativos. A divisão de positivo por negativo é negativo. 
 O enunciado pede o número de soluções inteiras. Elas estão no 
intervalo entre x = -½ e x = 5, marcado em verde no gráfico. São elas: -
0, 1, 2, 3 e 4. 
 Comparando o conjunto solução das inequações produto e 
quociente, vemos que só 3 e 4 satisfazem as duas ao mesmo tempo. A 
soma de 3 e 4 é 7, nosso gabarito. 
RESPOSTA: D 
 
21. PUC-MG ± VESTIBULAR) Resolva a inequação: 
2 0
3
x
x
� t� 
RESOLUÇÃO: 
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No numerador temos a função de primeiro grau f(x) = x + 2, cuja 
raiz é x = -2. Esta função tem como gráfico uma reta crescente, visto que 
o coeficiente que multiplica a variável é positivo. 
 No denominador temos a função de primeiro grau g(x) = x - 3, 
cuja raiz é x = 3. Esta função tem como gráfico uma reta crescente, visto 
que o coeficiente que multiplica a variável é positivo. Atenção para o 
seguinte fato: como a função g(x) está no denominador, e não existe 
divisão por zero, temos que x não pode assumir o valor 3. Ou seja, x 
deve ser diferente de 3. 
 No gráfico abaixo vemos que a reta do numerador, que cruza o eixo 
x em x = -2, assume valores negativos para x < -2 e positivos para x > -
2. Já a reta do denominador, que cruza o eixo x em x = 3, assume 
valores negativos para x < 3 e valores positivos para x > 3 (lembrando 
que x deve ser diferente de 3). 
 
 
 
 A última linha do gráfico acima mostra o resultado da divisão do 
numerador pelo denominador. Repare que para x < -2, o numerador tem 
valor negativo e o denominador também. A divisão de negativo por 
negativo dá positivo. Já para x entre -2 e 3, o numerador tem sinal 
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positivo e o denominador tem sinal negativo. A divisão de positivo por 
negativo dá negativo. Já para x > 3, o numerador é positivo e o 
denominador assume valores positivos. A divisão de positivo por positivo 
é positivo. 
 O enunciado QRV�GHX�XPD�LQHTXDomR�TXRFLHQWH�GR�WLSR�•����/RJR��R�
FRQMXQWR�VROXomR�p��[�”�-2 e x > 3. Lembre-se, incluímos o -2 porque a 
função deve ser maior ou igual a zero. Para x = -2 vimos que a função 
assume valor zero. Não incluímos o x = 3 no conjunto solução pois a 
função não está definida neste ponto (não existe divisão por zero). 
RESPOSTA: [�”�-2 ou x > 3 
 
22. EXERCÍCIO DE FIXAÇÃO) Resolva a inequação: 
2 2
1
x
x
� t� 
RESOLUÇÃO: 
Aqui primeiramente vamos trabalhar a inequação antes de começar 
a nossa análise. 
2 2 0
1
2 (1 )2 0
1 (1 )
x
x
x x
x x
� � t�
� �� t� � 
2 2 2 0
1 1
3 0
1
x x
x x
xx
� �� t� �
t� 
No numerador temos a função de primeiro grau f(x) = 3x, cuja raiz 
é x = 0. Esta função tem como gráfico uma reta crescente, visto que o 
coeficiente que multiplica a variável é positivo. 
 No denominador temos a função de primeiro grau g(x) = 1 - x, 
cuja raiz é x = 1. Esta função tem como gráfico uma reta decrescente, 
visto que o coeficiente que multiplica a variável é negativo. Atenção para 
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o seguinte fato: como a função g(x) está no denominador, e não existe 
divisão por zero, temos que x não pode assumir o valor 1. Ou seja, x 
deve ser diferente de 1. 
 No gráfico abaixo vemos que a reta do numerador, que cruza o eixo 
x em x = 0, assume valores negativos para x < 0 e positivos para x > 0. 
Já a reta do denominador, que cruza o eixo x em x = 1, assume valores 
positivos para x < 1 e valores negativos para x > 1 (lembrando que x 
deve ser diferente de 1). 
 
 A última linha do gráfico acima mostra o resultado da divisão do 
numerador pelo denominador. Repare que para x < 0, o numerador tem 
valor negativo e o denominador é positivo. A divisão de negativo por 
positivo dá negativo. Já para x entre 0 e 1, tanto o numerador quanto o 
denominador têm valores positivos. A divisão de positivo por positivo dá 
positivo. Já para x > 1, o numerador é positivo e o denominador assume 
valores negativos. A divisão de positivo por negativo é negativo. 
 Logo, o conjunto solução da inequação é dado por 0 ”�[����� 
RESPOSTA: ��”�[���� 
 
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23. EXERCÍCIO DE FIXAÇÃO) Resolva a inequação: 
( 1)( 2) 0( 3)( 4)
x x
x x
� � t� � 
RESOLUÇÃO: 
No numerador temos a função de segundo grau f(x) = (x ± 1)(x ± 
2), cujas raízes são x = 1 e x = 2. Esta função tem como gráfico uma 
parábola de concavidade voltada para cima, visto que o coeficiente que 
multiplica a variável de maior expoente é positivo. 
 No denominador temos a função de segundo grau g(x) = (x + 3)(x 
+ 4), cujas raízes são x = -3 e x = -4. Esta função tem como gráfico uma 
parábola de concavidade voltada para cima, visto que o coeficiente que 
multiplica a variável de maior expoente é positivo. Atenção para o 
seguinte fato: como a função g(x) está no denominador, e não existe 
divisão por zero, temos que x não pode assumir os valores -3 e -4. Ou 
seja, x deve ser diferente de -3 e de -4. 
 No gráfico abaixo vemos que a parábola do numerador, que cruza o 
eixo x em x = 1 e x = 2, assume valores negativos para 1 < x < 2 e 
positivos para x < 1 e x > 2. Já a parábola do denominador, que cruza o 
eixo x em x = -4 e x = -3, assume valores positivos para x < -4 e x > -3 
e valores negativos para -4 < x < -3 (lembrando que x deve ser diferente 
de -4 e -3). 
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A quantidade de números inteiros x que satisfaz simultaneamente às duas 
desigualdades é: 
A) 11 
B) 10 
C) 9 
D) 8 
E) 7 
RESOLUÇÃO: 
 A primeira desigualdade pode ser reescrita da seguinte forma: 
5 7 5
2 3
15 14 10
10 0
x x
x x
x
�d
d �
� d 
[�”��� 
 
 Ou seja, valores de x menores ou iguais a 10 satisfazem a primeira 
desigualdade. 
A segunda desigualdade pode ser reescrita da seguinte forma: 
6 1
4
6 4
2 0
x
x
x
� � d
� � d
� � d 
[�•�� 
 
 Ou seja, valores de x maiores ou iguais a 2 satisfazem a segunda 
desigualdade. 
 Os números inteiros x que satisfazem simultaneamente às duas 
GHVLJXDOGDGHV�VmR�DTXHOHV�WDLV�TXH���”�[�”�����$R�WRGR�VmR���Q~PHURV�
inteiros. 
RESPOSTA: C 
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1) _ { / _ _ 3}
2
D S x x ou x  � !
 
RESOLUÇÃO: 
 Primeiramente vamos encontrar as raízes: 
4 (2 1) 1 0
3
12 1 0
2
1 0 3
3
x
x
x x
x
x
§ ·� ˜ � � ¨ ¸© ¹
� o 
� o 
 
 
 Estamos diante de uma inequação de segundo grau, dada por: 
-4(2x - 1)(x - 3)/3 > 0 
(2x - 1)(x - 3) < 0 
 
 Repare que invertemos o sinal da inequação ao multiplicar toda a 
desigualdade por -3/4. 
(2x - 1)(x - 3) < 0 
2x2 - 7x + 3 < 0 
 
 Veja então que temos uma parábola de concavidade voltada para 
cima, que cruza o eixo x em x = ½ e x = 3, assumindo valores menos 
que zero entre esses valores. Logo nosso conjunto solução é 
1{ / 3}
2
S x x  � �
 
RESPOSTA: B 
 
27. CFTMG ± 2013) O número de soluções inteiras da inequação x ± 1 < 
3x ± 5 < 2x + 1 é: 
A) 4 
B) 3 
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C) 2 
D) 1 
RESOLUÇÃO: 
 Podemos dividir a inequação em duas: 
x ± 1 < 3x ± 5 
3x ± 5 < 2x + 1 
 
 Trabalhando a primeira temos: 
x ± 1 < 3x ± 5 
0 < 2x ± 4 
0 < x ± 2 
2 < x 
 
 Trabalhando a segunda temos: 
3x ± 5 < 2x + 1 
x ± 6 < 0 
x < 6 
 
 Logo, 2 < x < 6. Nesse intervalo temos 3 soluções inteiras que são 
3, 4 e 5. 
RESPOSTA: B 
 
28. IFCE ± 2012) Tomando-se , o conjunto dos números reais, como 
universo, a inequação 
2 23 3 42
7 7 5
x x
x
§ ·� � d¨ ¸© ¹ tem como solução: 
7) _ { / }
5
7) _ { / }
5
A S x x
B S x x
  d �
  t
 
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5) _ { / }
2
2) _ { / }
5
2) _ { / }
5
C S x x
D S x x
E S x x
  t �
  d �
  t �
 
RESOLUÇÃO: 
2 23 3 42
7 7 5
42
5
42
5
2
5
x x
x
x
x
x
� � d
� d
t �
t �
 
RESPOSTA: E 
 
29. EXERCÍCIO DE FIXAÇÃO) Quais são os valores inteiros de y que 
satisfazem a inequação abaixo? 
-22y +13.2y > 36 
RESOLUÇÃO: 
 Vamos fazer x = 2y e substituir na inequação: 
-x2 +13x ± 36 > 0 
x2 ± 13x ± 36 < 0 
 
 Vamos substituir o sinal < por =, temporariamente, apenas para 
calcularmos as raízes da equação: 
x2 ± 13x ± 36 = 0 
 
 Utilizando a fórmula de Báskara, vemos que x1 = 4 e x2 = 9. Como 
o fator x2 tem coeficiente positivo, a curva x2 ± 13x ± 36 tem concavidade 
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para cima, cruzando o eixo horizontal em x = 4 e em x = 9. Assim, a 
expressão x2 ± 13x ± 36 tem valor negativo para x entre 4 e 9. 
 Retornando à nossa variável original temos: 
4 < x < 9 
4 < 2y < 9 
 
Veja que para satisfazer 4 < 2y devemos ter y > 2. Para satisfazer 
2y < 9 devemos ter y < 4. Logo, apenas y = 3 é solução. 
RESPOSTA: 3 
 
30. EXERCÍCIO DE FIXAÇÃO) Resolva a inequação: 
1 1
2 2
log ( 18) log (2 )x x� � !
 
RESOLUÇÃO: 
 Primeiro precisamos verificar as condiçõesde existência dos 
logaritmos: 
-x+18 > 0 ĺ x < 18 
 2x > 0 ĺ x > 0 
 
 Como a base dos logaritmos está entre 0 e 1, estamos diante de 
uma função decrescente. Nesta condição, o logaritmo de um número x é 
menor quanto maior o valor de x. Logo, ao retirar o logaritmo para 
comparar apenas o que está dentro dos parênteses, devemos inverter o 
sinal da desigualdade. Veja: 
1 1
2 2
log ( 18) log (2 )x x� � !
 
(-x+18) < (2x) 
-x -2x < -18 
-3x < -18 
-x < -18/3 
-x < -6 
x > 6 
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Logo x deve estar no seguinte intervalo: 6 < x < 18 
RESPOSTA: 6 < x < 18 
 
 
 
 
Fim de aula!!! Nos vemos na aula 09. 
Abraço, 
Prof. Arthur Lima 
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Facebook: www.facebook.com/ProfArthurLima
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7. EXERCÍCIO DE FIXAÇÃO) Resolva a inequação abaixo: 
(x ± 15)(x ± 29) < 0 
 
8. OBJETIVO ± VESTIBULAR) O número de soluções inteiras da 
inequação 
2 6 0
14 2
x
x
� t� é: 
A) 6 
B) 7 
C) 8 
D) 9 
E) 10 
 
9. EXERCÍCIO DE FIXAÇÃO) Resolva a inequação abaixo: 
log2(x - 1) < 1 
 
10. EXERCÍCIO DE FIXAÇÃO) Resolva a inequação 3 ± [�”�����[ 
 
11. EXERCÍCIO DE FIXAÇÃO) Resolva a inequação 9 ± x2 > 0 
 
12. EXERCÍCIO DE FIXAÇÃO) Resolva a inequação 2x-3 > 22x-5 
 
13. EXERCÍCIO DE FIXAÇÃO) Resolva a inequação 3x-1 > 1 
 
14. EXERCÍCIO DE FIXAÇÃO) Resolva a inequação x2 - 8x + 15 > 0 
 
15. EXERCÍCIO DE FIXAÇÃO) Resolva a inequação: 
x2 ± 6x - 16 < 0 
 
16. UFSE - VESTIBULAR) Quantos números inteiros são soluções da 
inequação (2x-9).(x+1) > 0 ? 
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A) Nenhum 
B) Dois 
C) Quatro 
D) Seis 
E) Infinitos 
 
17. PUC-RJ ± VESTIBULAR ± 2012 - adaptada) Sejam f e g funções 
reais dadas por f(x) = x + 1 e g(x) = 1 + 2x2. Os valores de x tais que 
I�[��•�J�[��VmR� 
 
18. UFRS ± VESTIBULAR) Tem-se (x+2).(x ± 1) < 0 se e somente se: 
A) x < 1 
B) x > - 2 
C) - 2 < x < 0 
D) x # 2 e x = 1 
E) - 2 < x < 1 
 
19. FGV ± VESTIBULAR - adaptada) O número de soluções inteiras da 
inequação -3 < x + 2 ” 4 é: 
A) 6 
B) 7 
C) 8 
D) 9 
E) 0 
 
20) UEM ± VESTIBULAR ± 2012) A soma de todos os números inteiros 
que satisfazem simultaneamente a inequação-produto (3x-7).(x-4) < 0 e 
a inequação-quociente 
2 1 0
5
x
x
� !� é? 
A) 3 
B) 5 
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C) 6 
D) 7 
 
21. PUC-MG ± VESTIBULAR) Resolva a inequação: 
2 0
3
x
x
� t� 
 
22. EXERCÍCIO DE FIXAÇÃO) Resolva a inequação: 
2 2
1
x
x
� t� 
 
23. EXERCÍCIO DE FIXAÇÃO) Resolva a inequação: 
( 1)( 2) 0( 3)( 4)
x x
x x
� � t� � 
 
24. IFBA ± VESTIBULAR - 2012) Considere estas desigualdades: 
5 7 5
2 3
6 1
4
x x
x
�­ d°°®� �° d°¯
 
A quantidade de números inteiros x que satisfaz simultaneamente às duas 
desigualdades é: 
A) 11 
B) 10 
C) 9 
D) 8 
E) 7 
 
25. UNICAMP ± VESTIBULAR ± 2015) Seja a um número real positivo 
e considere as funções afins f(x) = ax + 3a e g(x) = 9 - 2x, definidas 
para todo número real x. 
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5) _ { / }
2
2) _ { / }
5
2) _ { / }
5
C S x x
D S x x
E S x x
  t �
  d �
  t �
 
 
29. EXERCÍCIO DE FIXAÇÃO) Quais são os valores inteiros de y que 
satisfazem a inequação abaixo? 
-22y +13.2y > 36 
 
30. EXERCÍCIO DE FIXAÇÃO) Resolva a inequação: 
1 1
2 2
log ( 18) log (2 )x x� � !
 
 
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01 x>-6 02 x>6 03 4<x<9 04 1”x”2 05 1 06 -½”x”2 07 15<x<29 
08 E 09 1<x<3 10 [�•�� 11 -3 < x < 3 12 x < 2 13 x > 1 14 x<3 ou x>5 
15 -2<x<8 16 x<-1 ou x>9/2 17 0 ”�[�”�ò 18 E 19 B 20 D 21 x”-2 ou x>3 
22 ��”�[���� 23 x < -4, -����[�”���RX [�•�� 24 C 25 -3<x<9/2 26 B 27 B 28 E 
29 3 30 6<x<18