curso 11188 aula 10 v1

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Aula 10
Matemática e suas Tecnologias p/ ENEM 2016
Professores: Arthur Lima, Hugo Lima
MATEMÁTICA E SUAS TECNOLOGIAS P/ ENEM 
TEORIA E EXERCÍCIOS COMENTADOS 
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AULA 10: Juros 
 
SUMÁRIO PÁGINA 
1. Teoria 02 
2. Resolução de exercícios 25 
3. Questões apresentadas na aula 52 
4. Gabarito 63 
 
 
Olá! 
Nesta décima aula aprenderemos o assunto Juros. Tenha uma 
excelente aula. Permaneço à disposição e deixo abaixo meus contatos: 
 
 
E-mail: ProfessorArthurLima@hotmail.com 
Facebook: www.facebook.com/ProfArthurLima 
 
Ah, e não deixe de me seguir no aplicativo Periscope, onde 
transmito vídeos gratuitos ao vivo com dicas adicionais para seu estudo: 
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aplicativo. 
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1. TEORIA 
Juros é o termo utilizado para dHVLJQDU� R� ³SUHoR� GR� GLQKHLUR� QR�
WHPSR´��4XDQGR�YRFr�SHJD�FHUWD�TXDQWLD�HPSUHVWDGD�QR�EDQFR��R�EDQFR�
te cobrará uma remuneração em cima do valor que ele te emprestou, 
pelo fato de deixar você ficar na posse desse dinheiro por um certo 
tempo. Esta remuneração é expressa pela taxa de juros. Existem duas 
formas principais, ou regimes, de cobrança de juros: juros simples e juros 
compostos. 
 
1.1 JUROS SIMPLES 
Neste momento trataremos do regime simples, que é um regime de 
caráter mais teórico, sendo utilizado mais para fins didáticos do que para 
fins práticos. No dia-a-dia, a maioria das operações realizadas pelas 
instituições financeiras ocorrem segundo o regime de juros compostos 
(ex.: poupança, aplicação em CDB, compra de títulos públicos, 
empréstimos e financiamentos para casa própria etc.). 
Continuemos com o exemplo em que você contratou um 
empréstimo junto ao banco. Pode ser que fique combinado que será 
cobrada uma taxa de juros mensal apenas sobre o valor emprestado 
inicialmente��1mR�VHUmR�FREUDGRV�³MXURV�VREUH�MXURV´��LVWR�p��VREUH�R�YDORU�
que vai sendo acrescido à dívida a cada mês. Neste caso, estamos diante 
da cobrança de juros simples. Para ilustrar, imagine que você pegou um 
montante de R$1000 emprestados com o banco a uma taxa de juros 
simples de 10% ao mês, para pagar após 5 meses. Quanto você deverá 
pagar ao banco ao final dos 5 meses? 
Como foi contratado um empréstimo a juros simples, ao final do 
primeiro mês você deve aplicar a taxa de juros (10%) sobre o capital 
inicial (R$1000). Como 10% de 1000 é igual a 100, podemos dizer que ao 
final do primeiro mês a dívida subiu para R$1100, onde R$1000 
correspondem ao montante inicial e R$100 correspondem aos juros 
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incorridos no período. Ao final do segundo mês, serão devidos mais 10% 
de 1000, ou seja, mais 100 reais. Ao final do terceiro, quarto e quinto 
meses serão devidos mais 100 reais por mês. Portanto, ao final de 5 
meses você deverá devolver ao banco o capital inicial acrescido de 5 
parcelas de 100 reais, totalizando R$1500. Deste valor, 500 reais 
referem-VH� DRV� MXURV� �³SUHoR´� TXH� YRFr� SDJD� SRU� WHU� ILFDGR� FRP� �����
reais do banco durante 5 meses) e 1000 reais referem-se ao Principal da 
dívida, que é outra forma muito comum de designar o capital inicialmente 
obtido. Podemos usar simplesmente a fórmula abaixo: 
 
 u � u(1 )M C j t 
 
 Nessa fórmula, C é o capital inicial (R$1000), j é a taxa de juros 
(10% ao mês), t é o período analisado (5 meses), e M é o montante 
�YDORU�WRWDO��GHYLGR�DR�ILQDO�GRV�³W´�SHUtRGRV��2EVHUYH�TXH�D�taxa de juros 
e o período analisado devem referir-se à mesma unidade temporal (neste 
caso, ambos referem-se a meses). Se elas não estiverem na mesma 
unidade, o primeiro passo da resolução deve ser a uniformização destas 
unidades, como veremos mais adiante neste curso. 
A fórmula acima pode ser dividida em duas partes, tirando os 
parênteses: 
 
 � u uM C C j t 
 
 Nesta fórmula, uC j é o valor dos juros pagos a cada período 
(R$100), que é sempre igual. Já u uC j t é o total pago na forma de juros 
(neste caso, R$500). Portanto, o valor dos juros totais devidos é 
simplesmente: 
 
 u uJ C j t 
 
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 Veja ainda que o valor dos juros totais é igual à diferença entre o 
Montante e o Capital inicial: 
 
J = M ± C 
 
 Veja que as fórmulas apresentadas possuem 4 variáveis (C, M, j e 
t). A maioria dos exercícios envolvendo juros simples fornecerão 3 dessas 
variáveis e perguntarão a quarta. O exercício poderia ter dito que João 
pegou R$1000 emprestados à taxa de juros simples de 10% ao mês, e 
perguntar quanto tempo levaria para que o valor devido chegasse a 
R$1500. Assim, você teria C = 1000, j = 10% e M = 1500, faltando 
encontrar t: 
 
 u � u
 u � u
 � u
 � u
 u
 
(1 )
1500 1000 (1 10% )
1500 1 0,1
1000
1,5 1 0,1
0,5 0,1
5
M C j t
t
t
t
t
t
 
 
 Como a taxa de juros refere-se a meses, então t = 5 meses. 
Exercite esta fórmula resolvendo o exercício abaixo. 
 
1. EXERCÍCIO DE FIXAÇÃO) Suponha que aplicamos um capital C por 5 
meses, a uma taxa de 3,5% a.m., gerando um valor de 80 mil reais ao 
final do prazo. Qual o valor do capital C? 
RESOLUÇÃO: 
Observe que, nessa questão, R$80.000,00 não é o valor que foi 
investido inicialmente (capital inicial), mas sim o valor obtido ao final dos 
5 meses de investimento. Portanto, trata-se do montante final, isto é, M 
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= 80.000 reais. Além disso, foi dito que a taxa de juros é j = 3,5% a.m., 
e o tempo de aplicação é t = 5 meses. Utilizando a fórmula de juros 
simples, podemos descobrir o valor que foi investido no início (C): 
 
 u � u
 u � u
 u �
 u
 
(1 )
80000 (1 0,035 5)
80000 (1 0,175)
80000 (1,175)
80000 68085,10
1,175
M C j t
C
C
C
C
 
 
Resposta: R$ 68.085,10 
 Obs.: observe que um investimento financeiro é tratado com a 
mesma fórmula que utilizamos para cálculo do empréstimo ao longo da 
exposição teórica. Isto porque, na realidade, temos uma coisa só: sempre 
que existe um empréstimo ocorre, simultaneamente, um investimento. 
Quando você pega um valor emprestado junto ao banco, a instituição 
financeira está fazendo um investimento, que será remunerado pelos 
juros pagos por você. 
 
1.1.2 TAXAS PROPORCIONAIS E EQUIVALENTES 
 Para aplicar corretamente uma taxa de juros, é importante saber a 
unidade de tempo sobre a qual a taxa de juros é definida. Isto é, não 
DGLDQWD�VDEHU�DSHQDV�TXH�D�WD[D�GH�MXURV�p�GH�³���´��e�SUHFLVR�VDEHU�VH�
essa taxa é mensal, bimestral, anual etc. 
 Vamos discorrer sobre dois conceitos importantíssimos na resolução 
dos exercícios: as taxas de juros equivalentes e as taxas proporcionais. 
 Dizemos que duas taxas de juros são proporcionais quandoguardam a mesma proporção em relação ao prazo. Por exemplo, 
12% ao ano é proporcional a 6% ao semestre, e também é proporcional a 
1% ao mês. Para obter taxas proporcionais com segurança, basta efetuar 
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uma regra de três simples. Vamos obter a taxa de juros bimestral que é 
proporcional à taxa de 12% ao ano: 
 
12% ao ano ----------------------------------- 1 ano 
Taxa bimestral ---------------------------------- 2 meses 
 
 Substituindo 1 ano por 12 meses, para deixar os valores da coluna 
da direita na mesma unidade temporal, temos: 
 
12% ao ano ----------------------------------- 12 meses 
Taxa bimestral ---------------------------------- 2 meses 
 
 Efetuando a multiplicação cruzada, temos: 
 
12% x 2 = Taxa bimestral x 12 
Taxa bimestral = 2% ao bimestre 
 
Dizemos que duas taxas de juros são equivalentes quando são 
capazes de levar o mesmo capital inicial C ao montante final M, 
após o mesmo intervalo de tempo. Por exemplo, sabemos que a taxa 
de 12% ao ano leva o capital C ao montante final 1,12C após o período 
de 1 ano. Existe uma taxa de juros mensal que é capaz de levar o mesmo 
capital inicial C ao montante final 1,12C após transcorrido o mesmo 
período (1 ano, ou 12 meses). Esta é a taxa mensal que é equivalente à 
taxa anual de 12%, motivo pelo qual vamos chamá-la de jeq. Podemos 
obtê-la substituindo t = 12 meses e M = 1,12C na fórmula de juros 
simples: 
M = C x (1 + j x t) 
1,12C = C x (1 + jeq x 12) 
1,12 = 1 + jeq x 12 
1,12 ± 1 = jeq x 12 
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0,12 = jeq x 12 
0,12 / 12 = jeq 
0,01 = jeq 
1% ao mês = jeq 
 
 Portanto, a taxa de 1% ao mês leva o mesmo capital C ao mesmo 
montante final M que a taxa de 12% ao ano, desde que considerado o 
mesmo intervalo de tempo (ex.: 1 ano ou 12 meses, 2 anos ou 24 meses 
etc). Assim, 1%am é equivalente a 12%aa no regime de juros simples. 
 Note que já havíamos calculado que essas mesmas taxas (1%am e 
12%aa) eram proporcionais entre si. Quando trabalhamos com juros 
simples, taxas de juros proporcionais são também taxas de juros 
equivalentes. Essa informação é importantíssima, pois em muito simplifica 
o cálculo de taxas equivalentes quando estamos no regime de juros 
simples. Isto é, neste regime de juros, 1% ao mês, 6% ao semestre ou 
12% ao ano são proporcionais, e levarão o mesmo capital inicial C ao 
mesmo montante M após o mesmo período de tempo. 
 
 Sobre este tema, tente resolver a questão abaixo. 
 
2. EXERCÍCIO DE FIXAÇÃO) Encontre a taxa de juros simples anual 
proporcional a uma taxa capaz de gerar o montante de 1,1 em um capital 
unitário ao fim de 2 meses e 15 dias. 
RESOLUÇÃO: 
 Aqui temos um capital inicial unitário (C = 1), um montante final M 
= 1,1 e o prazo de 2 meses e 15 dias, isto é, t = 2,5 meses. Podemos 
descobrir a taxa de juros simples através da fórmula: 
 
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(1 )
1,1 1 (1 2,5)
1,1 1 2,5
1,1 1 0,04 4%
2,5
M C j t
j
j
j
 u � u
 u � u
 �
� 
 
 
 A taxa de 4% ao mês, em juros simples, é proporcional à taxa de 
48% ao ano (12 x 4%). 
Resposta: 48%aa 
 
1.1.3 TAXA MÉDIA E PRAZO MÉDIO 
 Imagine que você resolva aplicar o seu dinheiro disponível não em 1 
investimento apenas, mas sim em vários investimentos diferentes, com 
taxas de juros simples distintas, porém todos com o mesmo prazo. 
Exemplificando, vamos imaginar que você tenha 1000 reais e resolva 
fazer os 3 investimentos abaixo: 
- 500 reais à taxa de 10% ao mês, por 3 meses; 
- 300 reais à taxa de 5% ao mês, por 3 meses; 
- 200 reais à taxa de 20% ao mês, por 3 meses. 
 Seria possível aplicar todo o dinheiro (1000 reais) em um único 
investimento, pelos mesmos 3 meses, de modo a obter o mesmo valor a 
título de juros. A taxa de juros desse investimento único é chamada de 
taxa de juros média (jm). 
Os juros simples gerados por cada investimento podem ser 
calculados através da fórmula J C j t u u . Nesse caso, teríamos: 
 
1
2
3
500 0,10 3 150
300 0,05 3 45
200 0,20 3 120
J
J
J
 u u 
 u u 
 u u 
 
 
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 Portanto, o total de juros produzidos pelos 3 investimentos foi de J 
= 315 reais. A taxa de juros média jm que, aplicada ao capital total (1000 
reais) geraria os mesmos 315 reais após t = 3 meses é: 
 
315 1000 3
0,105 10,50%
m
m
m
J C j t
j
j
 u u
 u u
 
 
 
 Esse cálculo pode ser resumido pela seguinte fórmula: 
 
1 1 2 2 3 3
1 2 3
m
C j t C j t C j tj
C t C t C t
u u � u u � u u u � u � u 
 
 Generalizando essa fórmula para casos onde houver não apenas 3, 
PDV�VLP�³Q´�LQYHVWLPHQWRV�GLIHUHQWHV��WHPRV� 
 
1
1
n
i i
i
m n
i
i
C j t
j
C t
 
 
u u
 
u
¦
¦ 
 
 Veja como isso pode ser cobrado em um exercício: 
 
3. EXERCÍCIO DE FIXAÇÃO) Segue abaixo uma tabela com 5 aplicações 
financeiras realizadas por João. 
 
Qual a taxa média mensal obtida por João? 
RESOLUÇÃO: 
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 Em primeiro lugar, repare que não foi mencionado o regime de 
juros. Vamos assumir que se trata de juros simples, pois esta é uma 
questão de taxa média. Faríamos o mesmo se fosse uma questão sobre 
prazo médio, que veremos adiante. 
 Veja que o total aplicado nos diversos investimentos é de 10.000 
reais. A taxa média é aquela que, aplicada a todo o capital, produz o 
mesmo total de juros que foi produzido pelas diversas aplicações. 
 Assim, vamos calcular a quantidade de juros produzida por cada 
investimento, lembrando que, em t = 1 mês, os juros somam J = C x j x 
1 : 
 
- Aplicação A: J = 1000 x 0,02 x 1 = 20 
- Aplicação B: J = 1500 x 0,01 x 1 = 15 
- Aplicação C: J = 2000 x 0,025 x 1 = 50 
- Aplicação D: J = 2500 x 0,015 x 1 = 37,5 
- Aplicação E: J = 3000 x 0,021 x 1 = 63 
 
Portanto, o total de juros produzido pelos investimentos é de 185,5. 
Para que 10000 reais produzam 185,5 reais de juros em 1 mês, precisam 
ser aplicados à taxa de: 
J = C x j 
185,5 = 10.000 x j 
j = 0,01855 = 1,855% ao mês 
Resposta: 1,855% a.m. 
 
 Agora imagine que você tem os mesmos 1000 reais e pretenda 
colocá-los em 3 investimentos distintos, todos com a mesma taxa de 
juros simples de 10% ao mês, porém cada um com um prazo diferente: 
- 500 reais à taxa de 10% ao mês, por 3 meses; 
- 300 reais à taxa de 10% ao mês, por 2 meses; 
- 200 reais à taxa de 10% ao mês, por 5 meses. 
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 Seria possível investir todo o dinheiro (1000 reais) em uma única 
aplicação, com a taxa de juros de 10% ao mês, por um tempo tm , de 
modo a obter o mesmo valor a título de juros. Esse prazo é denominado 
de prazo médio. Para obtê-lo, novamente vamos calcular os juros de cada 
aplicação com a fórmula J C j t u u : 
 
1
2
3
500 0,10 3 150
300 0,10 2 60
200 0,10 5 100
J
J
J
 u u 
 u u 
 u u 
 
 
 Assim, o total de juros produzidos pelos três investimentos foi de J 
= 310 reais. Podemos obter o prazo médio tm que todo o capital (1000 
reais) precisaria ficar investido, à taxa j = 10% ao mês: 
 
310 1000 0,10
3,1 meses
m
m
m
J C j t
t
t
 u u
 u u
 
 
 
Esse cálculo pode ser resumido pela seguinte fórmula: 
 
1 1 2 2 3 3
1 2 3
m
C j t C j t C j tt
C j C j C j
u u � u u � u u u � u � u 
 
 *HQHUDOL]DQGR� HVVD� IyUPXOD� SDUD� FDVRV� RQGH� KRXYHU� ³Q´�
investimentos diferentes, temos: 
1
1
n
i i
i
m n
i
i
C j t
t
C j
 
 
u u
 
u
¦
¦ 
 
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 Vejamos uma questão sobre o assunto: 
 
4. EXERCÍCIO DE FIXAÇÃO) Imagine que aplicamos um capital de dois 
mil reais por dois meses; um capital de três mil reais por três meses; um 
capital de quatro mil reais por quatro meses e um capital de seis mil reais 
por seis meses, todos com taxa de 4% a.m. Qual o prazo médio de 
aplicação desses capitais? 
RESOLUÇÃO: 
 Vamos calcular o valor dos juros ganhos em cada investimento, 
utilizando a fórmula J C j t u u : 
 
 u u 
 u u 
 u u 
 u u 
1
2
3
4
2000 0,04 2 160
3000 0,04 3 360
4000 0,04 4 640
6000 0,04 6 1440
J
J
J
J
 
 
 Assim, os juros totais somaram 2���� UHDLV��2�SUD]R�PpGLR� ³Wm´� p�
aquele após o qual, aplicando todo o capital (15.000) à taxa de 4% dada 
no enunciado, leva aos mesmos juros totais. Isto é, 
 
 u u2600 15000 0,04 mt 
 4,33mt meses 
Resposta: 4,33 meses 
 
1.1.4 JUROS EXATOS, COMERCIAIS E BANCÁRIOS 
 Em alguns exercícios temos que trabalhar com prazos expressos em 
dias. Neste caso, precisamos saber como converter uma taxa de juros 
expressa em outra unidade temporal (ex.: 10% ao ano) para uma taxa 
diária. Temos três formas básicas de fazer isso: 
 
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1- considerando que o mês tem a quantidade exata de dias (de 28 a 31 
dias, conforme o caso) e o ano tem 365 dias (ou 366, se bissexto). Neste 
caso, estamos trabalhando com juros exatos. Ex.: a taxa diária que é 
proporcional a 10% ao ano, em juros exatos, é igual a 
10% 0,02739%
365
 ao 
dia. 
 
2- considerando que o mês tem 30 dias, e o ano tem 360 dias. Neste 
caso, estamos trabalhando com juros comerciais (ou ordinários). Ex.: a 
taxa diária que é proporcional a 10% ao ano é igual a 
10% 0,0277%
360
 ao 
dia. 
 
3- considerar a taxa de juros com base no ano comercial (360 dias) e o 
prazo de aplicação com base no tempo exato (número de dias): trata-se 
dos juros bancários. 
 
 Vejamos como isso pode ser cobrado. 
 
5. EXERCÍCIO DE FIXAÇÃO) Obtenha o valor dos juros comerciais 
gerados por um capital de R$ 15.000,00 aplicado por 5 dias à taxa de 
juros simples de 9,3% ao mês, em um mês de 31 dias. 
RESOLUÇÃO: 
 Ao trabalhar com juros comerciais, consideramos que cada mês 
possui 30 dias. Assim, 5 dias correspondem a 5/30 mês, isto é, 1/6 mês. 
Deste modo, os juros da aplicação seriam: 
 
J = C x j x t = 15000 x 9,3% x (1/6) = 232,5 reais 
Resposta: 232,5 reais 
 
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6. EXERCÍCIO DE FIXAÇÃO) Obtenha o valor dos juros exatos gerados 
por um capital de R$ 15.000,00 aplicado por 5 dias à taxa de juros 
simples de 9,3% ao mês, em um mês de 31 dias. 
RESOLUÇÃO: 
 Ao trabalhar com juros exatos, devemos considerar o número de 
dias de cada mês, que neste caso é igual a 31. Deste modo, os 5 dias 
correspondem a 5/31 mês. Os juros da aplicação seriam: 
 
J = C x j x t = 15000 x 9,3% x (5/31) = 225 reais 
Resposta: 225 reais 
 
1.2 JUROS COMPOSTOS 
No regime de juros simples, vimos que os juros eram aplicados 
sempre sobre o capital inicial. Isso fazia com que, a cada período, o valor 
dos juros devidos fosse igual ao dos períodos anteriores e posteriores. 
Em alguns casos, os juros não incidirão apenas sobre o capital 
inicial de um empréstimo. Eles incidirão sobre o valor devido, que 
aumenta a cada período (pois ao capital inicial vão sendo somados os 
juros devidos nos períodos anteriores). Por isso, os juros devidos em um 
mês serão diferentes dos juros devidos no mês seguinte. Vamos usar o 
seguinte exemplo: você contrata R$1000 de empréstimo junto ao banco, 
por um período de 5 meses e taxa de juros compostos de 10% ao mês. 
Qual é o valor devido ao final de 5 meses? 
Ao final do primeiro mês, aplicaremos a taxa de 10% sobre todo o 
valor devido, que neste caso é o próprio capital inicial (1000 reais), 
resultado em juros de 100 reais. Ou seja, ao fim deste mês você estará 
devendo 1100 reais. Ao final do segundo mês, aplicaremos novamente a 
taxa de 10% sobre todo o valor devido, que não é mais 1000 reais, e sim 
1100 reais. Logo, os juros relativos ao segundo mês somam R$110 reais 
(e não 100). A dívida total chegou a R$1210 (1100+110). Portanto, ao 
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final do terceiro mês serão devidos mais R$121 em juros, que resulta da 
aplicação de 10% sobre R$1210. E assim sucessivamente. 
Se esta aplicação tivesse ocorrido no regime de juros simples, 
teríamos juros de 100 reais a cada mês, de modo que ao final do primeiro 
mês a dívida seria de 1100 reais, ao final do segundo seria 1200, ao final 
do terceiro 1300, e assim sucessivamente. Comparando esses dois 
regimes, veja que: 
- ao final do primeiro período, o valor total devido é o mesmo que 
no caso dos juros simples (R$1100). Essa propriedade é importantíssima: 
juros simples e juros compostos são equivalentes para um único período. 
- a partir do segundo período, o valor total devido é maior no caso 
de juros compostos (R$1210) do que no caso de juros simples (R$1200). 
Ou seja, os juros compostos são mais onerosos que os juros simples, a 
partir do segundo período! 
Uma informação adicional: para períodos de tempo fracionários (t 
entre 0 e 1), os juros simples são mais onerosos que os juros compostos! 
 
A fórmula para cálculo de juros compostos é: 
 
Montante = Capital inicial x (1 + taxa de juros)prazo 
 
ou seja: 
 
 u �(1 )tM C j 
 
As questões que versam a respeito de juros compostos costumam 
seguir a mesma linha: apresentam 3 das 4 variáveis e pedem para você 
FDOFXODU� D� UHVWDQWH�� &RPR�R� WHPSR� �³W´�� HVWi� QR� H[SRHQWH�� VHUi� SUHFLVR�
trabalhar com potências e raízes, e em alguns casos com o logaritmo. 
Sobre logaritmos, a propriedade mais importante a ser lembradaé 
que, sendo dois números A e B, então: 
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log AB = B x log A 
(o logaritmo de A elevado ao expoente B é igual a multiplicação de B pelo 
logaritmo de A) 
 
 Esta propriedade é útil quando nosso objetivo é encontrar o valor 
GR� SUD]R� ³W´�� TXH� VH� HQFRQWUD� QR� H[SRHQWH� GD� IyUPXOD� u �(1 )tM C j . 
Imagine que vamos investir C = 2000 reais a uma taxa composta j = 2% 
ao mês, e pretendemos obter o triplo do valor inicial, ou seja, M = 6000 
reais. Veja como obter o prazo deste investimento: 
M = C x (1 + j)t 
6000 = 2000 x (1 + 0,02)t 
6000 / 2000 = 1,02t 
3 = 1,02t 
 
 Aplicando o logaritmo aos dois lados dessa igualdade, temos: 
log 3 = log 1,02t 
 
 O enunciado normalmente fornecerá o valor de alguns logaritmos. 
Digamos que seja informado que log 3 = 0,477, e que log 1,02 = 0,0086. 
Antes de utilizar esses valores, devemos lembrar que log AB = B x log A, 
ou seja, log 1,02t = t x log 1,02. Assim: 
log 3 = t x log 1,02 
0,477 = t x 0,0086 
t = 0,477 / 0,0086 
t = 55,46 meses 
 
Portanto, é preciso investir os 2000 reais por mais de 55 meses 
para obter o valor pretendido. 
 
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Para facilitar as contas, em alguns casos a sua prova pode fornecer 
tabelas com valores para �(1 )tj , normalmente usando as letras �(1 )ni , 
para diferentes valores de i e diferentes valores de n. O termo �(1 )ni é 
chamado de Fator de Acumulação de Capital (FAC). Basta você olhar na 
tabela qual o valor correto da expressão �(1 )ni SDUD�D�WD[D�GH�MXURV�³L´�H�
WHPSR� ³Q´� TXH� YRFr� WLYHU� HP� VHX� H[HUFtFLR�� 9HMD� DEDL[R� um exemplo 
desta tabela: 
 
Se, em uma questão de prova, a taxa de juros de um empréstimo 
for de 5% ao mês e o período do empréstimo for de 7 meses, teríamos 
uma fórmula de juros compostos assim: 
M = C x (1 + 5%)7 
 
Calcular o fator (1 + 5%)7 manualmente seria impraticável em uma 
prova. Entretanto, veja que marquei na tabela fornecida o valor do fator 
de acumulação de capital para i = 5% e n = 7 períodos. Podemos dizer 
que (1 + 5%)7 = 1,4071. Portanto, uma pessoa que contratasse um 
empréstimo no valor inicial C teria que pagar, ao final de 7 meses e com 
taxa de 5% ao mês, o valor final M = 1,4071xC. 
 
Atenção: ao invés de fornecer a tabela, o exercício poderia ter 
simplesmente dito que, para taxa de 5% ao mês e 7 períodos, o valor do 
fator de acumulação de capital é 1,4071. 
 
Comece a praticar os conceitos relativos a juros compostos 
resolvendo a questão abaixo: 
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7. EXERCÍCIO DE FIXAÇÃO) João contratou um empréstimo de R$ 
sobre o qual vão incidir juros compostos a uma taxa de 10% ao mês. 
Após três meses essa dívida é de quanto? 
RESOLUÇÃO: 
 O enunciado informa que há uma dívida inicial C = 500, que é 
corrigida sob o regime de juros compostos, tendo taxa de juros j = 10% 
ao mês e período t = 3 meses. Aplicando a fórmula, temos o montante 
final: 
M = C x (1 + j)t 
M = 500 x (1 + 0,10)3 
M = 500 x 1,1 x 1,1 x 1,1 
M = 500 x 1,21 x 1,1 
M = 665,50 
Resposta: R$ 665,50 
 
1.2.1 TAXAS NOMINAIS, EFETIVAS, PROPORCIONAIS, 
EQUIVALENTES 
 Para aplicar corretamente uma taxa de juros compostos, é 
importante saber: 
- a unidade de tempo sobre a qual a taxa de juros é definida. Isto é, não 
DGLDQWD�VDEHU�DSHQDV�TXH�D�WD[D�GH�MXURV�p�GH�³���´��e�SUHFLVR�VDEHU�VH�
essa taxa é mensal, bimestral, anual etc. 
- de quanto em quanto tempo os juros devem ser calculados e seu valor 
incorporado no total devido. Este é o período de capitalização. Por 
exemplo, se tivermos juros com capitalização semestral, isso quer dizer 
que a cada semestre os juros devem ser calculados, e o valor calculado 
deve ser acrescido à dívida. 
 Em regra, a unidade de tempo sobre a qual a taxa de juros é 
definida é a mesma do período de capitalização. Ex.: 10% ao mês com 
capitalização mensal (isto é, calculados a cada mês), 12% ao ano com 
capitalização anual etc. Quando isso acontece, temos uma taxa de juros 
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efetiva, isto é, uma taxa de juros que efetivamente corresponde à 
realidade da operação. Nestes casos normalmente omite-se a informação 
sobre o período de capitalização, dizendo-VH� DSHQDV� ³���� DR� PrV´� RX�
³����DR�DQR´� 
 Porém podemos ter uma taxa de juros de 10% ao ano com 
capitalização semestral. Neste caso, a unidade de tempo sobre a qual a 
taxa de juros é definida (ao ano) é diferente do período de capitalização 
(a cada semestre). Assim, essa é chamada taxa de juros de nominal, pois 
HOD�SUHFLVDUi�VHU�³DGDSWDGD´�SDUD�HQWmR�VHU utilizada nos cálculos. 
 Quando temos uma taxa de juros nominal, é preciso obter a taxa 
efetiva para só então efetuar os cálculos devidos. Isto é muito simples, 
pois basta uma simples divisão, de modo a levar a taxa de juros para a 
mesma unidade de tempo da capitalização. Veja alguns exemplos: 
- Taxa nominal de 10% ao ano com capitalização semestral: como a taxa 
é anual, devemos dividi-la por 2 (pois 1 ano possui 2 semestres) para 
chegar à taxa efetiva de 5% ao semestre. 
- Taxa nominal de 6% ao semestre com capitalização mensal: basta 
dividir a taxa por 6 (afinal temos 6 meses em 1 semestre) para obter a 
taxa efetiva de 1% ao mês. 
 
 Resumidamente, temos até aqui os seguintes conceitos: 
a) Taxa de juros efetiva: é aquela onde o período de capitalização é 
igual ao da unidade temporal da taxa (10% ao ano, com capitalização 
anual). 
b) Taxa de juros nominal: é aquela onde o período de capitalização é 
diferente da unidade temporal da taxa (10% ao ano, com capitalização 
bimestral). 
 
 Vamos relembrar ainda dois conceitos vistos anteriormente, que são 
importantíssimos na resolução dos exercícios, e que geralmente são 
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cobrados juntos dos que acabamos de ver: as taxas de juros equivalentes 
e as taxas proporcionais. 
Dizemos que duas taxas de juros são equivalentes quando são 
capazes de levar o mesmo capital inicial C ao montante final M, 
após o mesmo intervalo de tempo. Por exemplo, sabemos que a taxa 
de 12% ao ano leva o capital C ao montante final 1,12C após o período 
de 1 ano. Existe uma taxa de juros mensal que é capaz de levar o mesmo 
capital inicial C ao montante final 1,12C após transcorrido o mesmo 
período (1 ano, ou 12 meses). Esta é a taxa mensal que é equivalente à 
taxa anual de 12%, motivo pelo qual vamos chamá-la de jeq. Podemos 
obtê-la substituindo t = 12 meses e M = 1,12C na fórmula de juros 
compostos: 
 
 u �
 u �
 �
� 
 � 
12
12
1
12
1
12
(1 )
1,12 (1 )
1,12 (1 )
1 1,12
1,12 1 0,0095 0,95%
teq
eq
eq
eq
eq
M C j
C C j
j
j
j
 
 
 Portanto, uma taxa de juros de 0,95% ao mês é equivalente a uma 
taxa de juros anual de 12% ao ano, pois ambas levam o mesmo capital 
inicial C ao mesmo montante final M após o mesmo período transcorrido. 
 Tendo uma taxa de juros compostos ³M´�� p� SRVVtYHO� REWHU� XPD�
HTXLYDOHQWH�³Meq´�DWUDYpV�GD�IyUPXOD�� 
(1 ) (1 )eqt teqj j� � 
 
 Em nosso exemplo, teríamos teq = 12 meses, j = 12% ao ano, e t = 
1 ano. Portanto: 
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12 1
1
12
1
12
(1 ) (1 12%)
1 (1,12)
(1,12) 1 0,0095 0,95%
eq
eq
eq
j
j
j am
� �
� 
 � 
 
 
 Obs.: fique tranquilo, pois em sua prova você nunca precisará 
calcular algo como 
1
12(1,12) à mão. 
 Veja a seguir dois exercícios sobre o assunto: 
 
8. EXERCÍCIO DE FIXAÇÃO) Encontre a taxa de juros efetiva anual 
correspondente à taxa nominal de 12% ao ano com capitalização mensal. 
Considere: 12(1,01) 1,1268 
RESOLUÇÃO: 
 Essa questão é sobre juros simples ou compostos? Esta é uma 
dúvida que pode surgir em muitas questões, e você deve estar atento às 
dicas que eu vou passar ao longo da aula para facilitar essa identificação. 
1HVWD�TXHVWmR��VDLED�TXH�D�SDODYUD�³FDSLWDOL]Dção´�Mi�QRV�UHPHWH�DR�
UHJLPH� GH� MXURV� FRPSRVWRV�� ,VWR� SRUTXH� ³FDSLWDOL]DU´� MXURV� VLJQLILFD�
³LQFOXLU�RV�MXURV�QR�FDSLWDO´��TXH�p�H[DWDPHQWH�R�TXH�DFRQWHFH�no regime 
de juros compostos. 
Uma vez identificado o regime de juros, veja que temos uma taxa 
anual com capitalização mensal. Basta dividi-la por 12 para obter a taxa 
efetiva, uma vez que temos 12 meses em 1 ano. Assim, 12% ao ano, 
capitalizada mensalmente, corresponde à taxa efetiva de 1% ao mês. 
 Para obter o valor da taxa anual equivalente a esta, basta 
lembrarmos que, após o mesmo período (1 ano, ou 12 meses) as duas 
taxas devem levar o mesmo capital inicial C ao mesmo montante final M: 
 
(1 ) (1 ) eqtt eqM C j C j u � u � 
12 1(1 1%) (1 )eqC C ju � u � 
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 Observe que na fórmula da esquerda temos a taxa mensal (1%) e o 
tempo em meses (12), já na da direita temos a taxa anual equivalente 
(jeq) e o tempo em anos (1). Cortando a variável C, temos: 
 
12
12
(1 1%) (1 )
(1,01) 1
eq
eq
j
j
� �
 � 
 
 Do enunciado temos: 
12(1,01) 1,1268 
 Assim, 
12(1,01) 1 1,1268 1 0,1268 12,68% . .eqj a a � � 
Resposta: 12,68%aa 
 
9. EXERCÍCIO DE FIXAÇÃO) Qual a taxa de juros nominal ao ano, com 
capitalização mensal, correspondente à taxa efetiva trimestral de 12%? 
Considere: 1/3(1,12) 1,038 
RESOLUÇÃO: 
 Lembrando que 1 trimestre é equivalente a 3 meses, então a taxa 
mensal equivalente à taxa de 12% ao trimestre é dada por: 
1 3(1 12%) (1 )eqj� � 
1/3(1,12) 1eqj � 
1,038 1
0,038
3,8% . .
eq
eq
eq
j
j
j a m
 �
 
 
 
 
 Para obtermos a taxa anual nominal que é correspondente a esta 
taxa efetiva mensal, basta multiplicá-la por 12. Assim, temos: 
min
min
12 3,8%
45,6%
no al
no al
j
j
 u
 
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Resposta: 45,6% 
 
 Dizemos ainda que duas taxas de juros são proporcionais 
quando guardam a mesma proporção em relação ao prazo. Por 
exemplo, 12% ao ano é proporcional a 6% ao semestre, e também é 
proporcional a 1% ao mês. Para obter taxas proporcionais com 
segurança, basta efetuar uma regra de três simples. Vamos obter a taxa 
de juros bimestral que é proporcional à taxa de 12% ao ano: 
 
12% ao ano ----------------------------------- 1 ano 
Taxa bimestral ---------------------------------- 2 meses 
 
 Substituindo 1 ano por 12 meses, para deixar os valores da coluna 
da direita na mesma unidade temporal, temos: 
 
12% ao ano ----------------------------------- 12 meses 
Taxa bimestral ---------------------------------- 2 meses 
 
 Efetuando a multiplicação cruzada, temos: 
 
12% x 2 = Taxa bimestral x 12 
Taxa bimestral = 2% ao bimestre 
 
 Quando trabalhamos com juros simples, taxas de juros 
proporcionais são também taxas de juros equivalentes. Entretanto, isto 
não é verdade no regime de juros compostos, ou seja, taxas 
proporcionais não necessariamente são também equivalentes (em regra 
elas não são equivalentes). 
 
1.3 RECAPITULAÇÃO 
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Antes de partirmos para os exercícios, veja na tabela abaixo um 
resumo dos tópicos da aula de hoje. Com ele em mente você deve ser 
capaz de resolver a grande maioria dos exercícios sobre juros simples e 
compostos. 
 
Juros simples e juros compostos 
Juros simples: u � u(1 )M C j t 
Juros compostos: u �(1 )tM C j 
Fator de Acumulação de Capital: (1 )tFAC j � 
(em tabelas, geralmente usa-se �(1 )ni ) 
Taxa de juros nominal: período de capitalização é diferente da unidade 
temporal da taxa (ex.: 10% ao ano com capitalização semestral) 
Taxa de juros efetiva: período de capitalização igual à unidade temporal 
da taxa (ex.: 10% ao ano com capitalização anual, ou simplesmente 10% 
ao ano) 
Taxas de juros equivalentes: levam o mesmo capital inicial C ao mesmo 
montante final M após o mesmo período de tempo. 
- para juros compostos, temos: (1 ) (1 )eqt teqj j� � 
Ex.: 0,95% ao mês e 12% ao ano 
- para juros simples: calcular a taxa proporcional. 
Taxas de juros proporcionais: guardam a mesma proporção em relação 
aos prazos. Ex.: 12% ao ano, 6% ao semestre e 1% ao mês. 
** em juros simples, as taxas proporcionais são também equivalentes. 
Taxa média (juros simples): 
 
 
u u
 
u
¦
¦
1
1
n
i i
i
m n
i
i
C j t
j
C t
 
Prazo médio (juros simples): 
 
 
u u
 
u
¦
¦
1
1
n
i i
i
m n
i
i
C j t
t
C j
 
 
 
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2. RESOLUÇÃO DE EXERCÍCIOS 
 
Trabalharemos agora alguns exercícios do ENEM e também 
questões de outros vestibulares. O assunto desta aula já caiu algumas 
vezes no ENEM. Lembre-se: é muito importante que você execute os 
cálculos à mão, pois é assim que você deverá fazer na hora da prova. 
Além disso, é com a prática que vamos ficar cada vez melhores. 
 
 
 
10. ENEM - 2011) Um jovem investidor precisa escolher qual 
investimento lhe trará maior retorno financeiro em uma aplicação de R$ 
500,00. Para isso, pesquisa o rendimento e o imposto a ser pago em dois 
investimentos: poupança e CDB (certificado de depósito bancário). As 
informações obtidas estão resumidas no quadro: 
 
Para o jovem investidor, ao final de um mês, a aplicação mais vantajosa é 
A) a poupança, pois totalizará um montante de R$ 502,80. 
B) a poupança, poistotalizará um montante de R$ 500,56. 
C) o CDB, pois totalizará um montante de R$ 504,38. 
D) o CDB, pois totalizará um montante de R$ 504,21. 
E) o CDB, pois totalizará um montante de R$ 500,87. 
RESOLUÇÃO: 
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 O exercício não nos falou se estamos trabalhando com juros 
simples. Logo, assumimos que sejam juros compostos. Sabendo que a 
taxa é mensal e que o tempo é de um mês, vamos utilizar a fórmula do 
montante dos juros compostos: 
 POUPANÇA 
M = C (1 + j)t 
M = 500 (1 + 0,56%) 
M = 500 × 1,0056 
M = 502,8 reais 
 
Lucro = Ganho = M ± C 
Lucro = 502,8 ± 500 = 2,8 reais 
 
 CDB 
M = C (1 + j)t 
M = 500 (1 + 0,876%) 
M = 500 × 1,00876 
M = 504,38 reais 
 
Ganho = M ± C 
Ganho = 504,38 ± 500 
Ganho = 4,38 reais 
 
 Para calcular o lucro nesse caso devemos considerar o pagamento 
de Imposto de Renda: 
IR = 4% × Ganho 
Lucro = Ganho ± IR 
Lucro = Ganho ± 4% × Ganho = 4,38 ± 4% ×4,38 
Lucro = 4,21 reais 
Montante Final CDB = 500 + 4,21 = 504,21 reais 
Resposta: D 
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11. ENEM - 2011) Uma pessoa aplicou certa quantia em ações. No 
primeiro mês, ela perdeu 30% do total do investimento e, no segundo 
mês, recuperou 20% do que havia perdido. Depois desses dois meses, 
resolveu tirar o montante de R$ 3 800,00 gerado pela aplicação. A 
quantia inicial que essa pessoa aplicou em ações corresponde ao valor de 
A) R$4.222,22. 
B) R$4.523,80. 
C) R$5.000,00. 
D) R$13.300,00. 
E) R$17.100,00. 
RESOLUÇÃO: 
 Vamos chamar de C a quantia inicial aplicada por essa pessoa. 
Vamos chamar de M1 e M2 os montantes obtidos por essa pessoa ao final 
do primeiro e segundo meses, respectivamente. Sabemos que M2 = 3800 
reais. 
 Ao final do 1º mês temos: 
M1 = C ± 30% × C 
M1 = 70% × C 
 
 No segundo mês, a nossa quantia inicial corresponde àquela obtida 
ao final do 1º mês. Além disso, veja que no segundo mês essa pessoa 
recuperou 20% do que havia perdido. Quanto foi que ela perdeu no 
primeiro mês? Resposta: 30% × C. Assim, ao final do 2º mês temos: 
M2 = M1 + 20% × (30% × C) 
M2 = 70% × C + 20% × (30% × C) 
M2 = 0,7 C + 0,2 × 0,3 × C 
M2 = 0,7 C + 0,06 C 
M2 = 0,76 C 
3800 = 0,76 × C 
C = 5000 reais 
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Resposta: C 
 
12. ENEM - 2011) Considere que uma pessoa decida investir uma 
determinada quantia e que lhe sejam apresentadas possibilidades de 
investimento, com rentabilidades líquidas garantidas pelo período de um 
ano, conforme descritas: 
Investimento A: 3% ao mês 
Investimento B: 36% ao ano 
Investimento C: 18% ao semestre 
As rentabilidades, para esses investimentos, incidem sobre o valor do 
período anterior. O quadro fornece algumas aproximações para a análise 
das rentabilidades: 
 
Para escolher o investimento com a maior rentabilidade anual, essa 
pessoa deverá 
A) escolher qualquer um dos investimentos A, B ou C, pois as suas 
rentabilidades anuais são iguais a 36%. 
B) escolher os investimentos A ou C, pois suas rentabilidades anuais são 
iguais a 39%. 
C) escolher o investimento A, pois a sua rentabilidade anual é maior que 
as rentabilidades anuais dos investimentos B e C. 
D) escolher o investimento B, pois sua rentabilidade de 36% é maior que 
as rentabilidades de 3% do investimento A e de 18% do investimento C. 
E) escolher o investimento C, pois sua rentabilidade de 39% ao ano é 
maior que a rentabilidade de 36% ao ano dos investimentos A e B. 
RESOLUÇÃO: 
Para escolher o investimento com a maior rentabilidade anual 
devemos encontrar as taxas anuais equivalentes às que foram dadas no 
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enunciado. O investimento B já apresenta taxa anual. Vamos aos 
investimentos A e C. 
Investimento A: 
(1 ) (1 )eqt teqj j� � 
jmensal = 3% ao mês 
(1 + janual)1 = (1 + jmensal)12 
1 + janual = (1 + 3%)12 
1 + janual = 1,0312 
 
 Da tabela dada pelo enunciado temos 1,0312 = 1,426. Logo: 
1 + janual = 1,426 
janual = 0,426 
janual = 42,6% ao ano 
 
Investimento C: 
(1 ) (1 )eqt teqj j� � 
jsemestral = 18% ao semestre 
(1 + janual)1 = (1 + jsemestral)2 
1 + janual = (1 + 18%)2 
1 + janual = 1,182 
1 + janual = 1,18 × 1,18 
1 + janual = 1,3924 
janual = 0,3924 
janual = 39,24% ao ano 
 
 Perceba, portanto, que o investimento que tem a maior taxa 
equivalente anual é o A. 
Resposta: C 
 
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13. ENEM ± 2015) Um casal realiza um financiamento imobiliário de R$ 
180.000,00, a ser pago em 360 prestações mensais, com taxa de juros 
efetiva de 1% ao mês. A primeira prestação é paga um mês após a 
liberação dos recursos e o valor da prestação mensal é de R$ 500,00 mais 
juro de 1% sobre o saldo devedor (valor devido antes do pagamento). 
Observe que, a cada pagamento, o saldo devedor se reduz em R$ 500,00 
e considere que não há prestação em atraso. 
Efetuando o pagamento dessa forma, o valor, em reais, a ser pago ao 
banco na décima prestação é de 
(A) 2.075,00. 
(B) 2.093,00. 
(C) 2.138,00. 
(D) 2.255,00. 
(E) 2.300,00. 
RESOLUÇÃO: 
 Na décima prestação teremos já efetuado nove pagamentos 
anteriores. Como o enunciado disse, o saldo devedor se reduz em R$ 
500,00 a cada pagamento. Assim, na décima prestação o saldo devedor 
será de: 
 
 
 Na décima prestação o saldo devedor é de R$ 175.500. 
 O valor da prestação é de R$ 500,00 mais juro de 1% sobre o saldo 
devedor. 
Logo, o valor da décima prestação é de: 
 
 
 O valor da décima prestação é de R$ 2.255. 
Resposta: D 
 
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14. ENEM - 2009) João deve 12 parcelas de R$ 150,00 referentes ao 
cheque especial de seu banco e cinco parcelas de R$ 80,00 referentes ao 
cartão de crédito. O gerente do banco lhe ofereceu duas parcelas de 
desconto no cheque especial, caso João quitasse esta dívida 
imediatamente ou, na mesma condição, isto é, quitação imediata, com 
25% de desconto na dívida do cartão. João também poderia renegociar 
suas dívidas em 18 parcelas mensais de R$ 125,00. Sabendo desses 
termos, José, amigo de João, ofereceu-lhe emprestar o dinheiro que 
julgasse necessário pelo tempo de 18 meses, com juros de 25% sobre o 
total emprestado. 
A opção que dá a João o menor gasto seria 
A) renegociar suas dívidas com o banco. 
B) pegar emprestado de José o dinheiro referente à quitação das duas 
dívidas. 
C) recusar o empréstimode José e pagar todas as parcelas pendentes nos 
devidos prazos. 
D) pegar emprestado de José o dinheiro referente à quitação do cheque 
especial e pagar as parcelas do cartão de crédito. 
E) pegar emprestado de José o dinheiro referente à quitação do cartão de 
crédito e pagar as parcelas do cheque especial. 
RESOLUÇÃO: 
 Dívidas de João: 
- cheque especial: 12 x 150,00 = 1.800 reais 
- cartão de crédito: 5 x 80,00 = 400 reais 
- total da dívida: 2.200 reais 
 
 Opções que João tem: 
1) duas parcelas de desconto no cheque especial: 
10 x 150,00 = 1.500 reais Æ Economia de 300 reais 
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Implicaria, no entanto, em pegar emprestados os 1.500 
reais para pagamento do cheque especial à vista. Após o 
período de 18 meses, João teria que pagar: 
M = C (1 + j×t) 
M = 1.500 (1 + 25%1) 
M = 1.875 reais 
Total da dívida à vista: 1.875 + 400 = 2.275 reais 
 
 Obs.: como temos UM período de 18 meses, e sabemos que juros 
simples e juros compostos são equivalentes para um único período, então 
preferimos trabalhar com a fórmula do juros simples. 
 
2) 25% de desconto na dívida do cartão 
(1 - 25%) × 400 = 300 reais Æ Economia de 100 reais 
Implicaria, no entanto, em pegar emprestados os 300 reais 
para pagamento do cartão de crédito à vista. Após o 
período de 18 meses, João teria que pagar: 
M = C (1 + j×t) 
M = 300 (1 + 25%1) 
M = 375 reais 
Total da dívida à vista: 1.800 + 375 = 2.175 reais 
 
3) renegociação de dívidas: 
 18 x 125,00 = 2.250 reais, a prazo. 
 
 Veja, portanto, que a opção mais vantajosa para João é a 2, a qual 
está refletida na letra E. 
Resposta: E 
 
15. ENEM - 2012) Arthur deseja comprar um terreno de Cléber, que lhe 
oferece as seguintes possibilidades de pagamento: 
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‡�2SomR��� Pagar à vista, por R$ 55 000,00; 
‡�2SomR����3DJDU�D�SUD]R��GDQGR�XPD�HQWUDGD�GH�5�������������H�PDLV�
uma prestação de R$ 26 000,00 para dali a 6 meses. 
‡� 2SomR� ��� 3DJDU� D� SUD]R�� GDQGR� XPD� HQWUDGD� GH� 5�� ��� �������� PDLV�
uma prestação de R$ 20 000,00, para dali a 6 meses e outra de R$ 18 
000,00 para dali a 12 meses da data da compra. 
‡� 2SomR� ��� 3DJDU� D� SUD]R� GDQGR� XPD� HQWUDGD� GH� 5�� ��� ������� H� R�
restante em 1 ano da data da compra, pagando R$ 39 000,00. 
‡�2SomR����SDJDU�D�SUD]R��GDOL�D�XP�DQR��R�YDORU�GH�5���0 000,00. 
Arthur tem o dinheiro para pagar à vista, mas avalia se não seria melhor 
aplicar o dinheiro do valor à vista (ou até um valor menor) em um 
investimento, com rentabilidade de 10% ao semestre, resgatando os 
valores à medida que as prestações da opção escolhida fossem vencendo. 
Após avaliar a situação do ponto de vista financeiro e das condições 
apresentadas, Arthur concluiu que era mais vantajoso financeiramente 
escolher a opção 
A) 1. 
B) 2. 
C) 3. 
D) 4. 
E) 5. 
RESOLUÇÃO: 
 Arthur possui os 55.000 mil reais para comprar o imóvel e quer 
saber qual a melhor opção financeiramente. Vejamos: 
 
OPÇÃO 1: Pagar à vista, por R$ 55 000,00 
Dessa forma ele chegaria ao final do ano sem nenhum dinheiro. 
 
OPÇÃO 2: Pagar a prazo, dando uma entrada de R$ 30 000,00, e mais 
uma prestação de R$ 26 000,00 para dali a 6 meses. 
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Nesta opção ele poderia investir 55.000 ± 30.000 = 25.000 por 1 
semestre. Logo: 
M = C (1 + j)t 
M = 25.000 (1 + 10%)1 
M = 25.000 (1,1) 
M = 27.500 reais 
 
Ao pagar ficaria com 27.500 ± 26.000 = 1.500 de lucro. Esses 
1.500 poderiam ser aplicados por 1 semestre: 
M = 1.500 (1 + 10%)1 
M = 1.500 (1,1) 
M = 1.650 reais de lucro no final do ano 
 
OPÇÃO 3: Pagar a prazo, dando uma entrada de R$ 20 000,00, mais uma 
prestação de R$ 20 000,00, para dali a 6 meses e outra de R$ 18 000,00 
para dali a 12 meses da data da compra. 
Nesta opção ele poderia, inicialmente, investir 55.000 ± 20.000 = 35.000 
por 1 semestre. Logo: 
M = C (1 + j)t 
M = 35.000 (1 + 10%)1 
M = 35.000 (1,1) 
M = 38.500 reais 
 
Ao pagar ficaria com 38.500 ± 20.000 = 18.500. Esses 18.500 
poderiam ser aplicados por 1 semestre: 
M = 18.500 (1 + 10%)1 
M = 18.500 (1,1) 
M = 20.350 reais 
 
Ao pagar ficaria com 20.350 ± 18.000 = 2.350 reais de lucro no 
final do ano. 
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OPÇÃO 4: Pagar a prazo dando uma entrada de R$ 15 000,00 e o 
restante em 1 ano da data da compra, pagando R$ 39 000,00. 
Nesta opção ele poderia investir 55.000 ± 15.000 = 40.000 por 2 
semestres. Logo: 
M = C (1 + j)t 
M = 40.000 (1 + 10%)2 
M = 40.000 (1,21) 
M = 48.400 reais 
 
Ao pagar ficaria com 48.400 ± 39.000 = 9.400 reais de lucro no 
final do ano. 
 
OPÇÃO 5: pagar a prazo, dali a um ano, o valor de R$ 60 000,00. 
Nesta opção ele poderia, inicialmente, investir todo o dinheiro (55.000) 
por 2 semestres. Logo: 
 
M = C (1 + j)t 
M = 55.000 (1 + 10%)2 
M = 55.000 (1,21) 
M = 66.550 
 
Ao pagar ficaria com 66.550 ± 60.000 = 6.550 de lucro. 
 Veja que a opção 4 é a melhor. 
Resposta: D 
 
16. ENEM ± 2000) João deseja comprar um carro cujo preço à vista, 
com todos os descontos possíveis, é de R$ 21.000,00 e esse valor não 
será reajustado nos próximos meses. Ele tem R$ 20.000,00, que podem 
ser aplicados a uma taxa de juros compostos de 2% ao mês, e escolhe 
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deixar todo o seu dinheiro aplicado até que o montante atinja o valor do 
carro. 
Para ter o carro, João deverá esperar: 
a) Dois meses, e terá a quantia exata. 
b) Três meses, e terá a quantia exata. 
c) Três meses, e ainda sobrarão, aproximadamente, R$ 225,00. 
d) Quatro meses, e terá a quantia exata. 
e) Quatro meses, e ainda sobrarão, aproximadamente, R$ 430,00. 
RESOLUÇÃO: 
 Ao final do primeiro mês João terá 
20.000(1+2%) 
20.000(1,02) 
= 20.400 
 
 Ao final do segundo mês João terá 
20.400(1,02) 
= 20.808 
 
Ao final do terceiro mês João terá 
20.808(1,02) 
= 21.224,16 
RESPOSTA: C 
 
17.UNICAMP ± COMVEST ± 2014) Uma compra no valor de 1.000 reais 
será paga com uma entrada de 600 reais e uma mensalidade de 420 
reais. A taxa de juros aplicada na mensalidade é igual a 
 a) 2 %. 
 b) 5 %. 
 c) 8 %. 
 d) 10 %. 
RESOLUÇÃO: 
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capital de 1000 ± 600 = 400 reais 
WHPSR��XP�PrV��³XPD�PHQVDOLGDGH´� 
montante de 420 reais 
M = C × (1 + jt) 
420 = 400 × (1 + j) 
1,05 = (1 + j) 
j = 0,05 = 5% 
Obs.: como temosUM período e sabemos que juros simples e juros 
compostos são equivalentes para um único período, então preferimos 
trabalhar com a fórmula do juros simples. 
RESPOSTA: B 
 
18.UECE-CEV ± UECE ± 2011) Jonas aplicou, durante um certo período, 
três quantias a taxas de 5%, 4% e 3% cada. Ao final do período, as 
quantias tiveram o mesmo rendimento. Se a soma das quantias aplicadas 
é R$ 43.992,00 e se foi praticado o sistema de juros simples, então a 
quantia aplicada à taxa de 3% foi 
 a) R$ 14 140,00. 
 b) R$ 15 619,00. 
 c) R$ 18 720,00. 
 d) R$ 19 618,00. 
RESOLUÇÃO: 
 Sejam C1, C2 e C3 as três quantias aplicadas a taxas de 5%, 4% e 
3%, respectivamente. 
 A soma das quantias aplicadas é R$ 43.992,00. Logo: 
C1 + C2 + C3 = 43.992 
 
 O rendimento de cada aplicação é dado pela diferença M ± C, ou 
seja: 
 
M = C × (1 + jt) 
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M = C + Cjt 
M ± C = Cjt 
Rendimento = Cjt 
 
As quantias tiveram o mesmo rendimento. Logo: 
C1j1t = C2j2t = C3j3t 
C1 × 5% = C2 × 4% = C3 × 3% 
 
 Vamos obter a expressão de C1 e C2 em função de C3: 
C1 × 5% = C3 × 3% 
C1 = C3 × 60% 
 
C2 × 4% = C3 × 3% 
C2 = C3 × 75% 
 Substituindo em C1 + C2 + C3 = 43.992 temos: 
C1 + C2 + C3 = 43.992 
C3 × 60% + C3 × 75% + C3 = 43.992 
C3 × (0,6 + 0,75 + 1) = 43.992 
2,35 × C3 = 43.992 
C3 = 18.720 reais 
RESPOSTA: C 
 
19.VUNESP ± UNIFESP ± 2005) André aplicou parte de seus R$ 
10.000,00 a 1,6% ao mês, e o restante a 2% ao mês. No final de um 
mês, recebeu um total de R$ 194,00 de juros das duas aplicações. O 
valor absoluto da diferença entre os valores aplicados a 1,6% e a 2% é 
 a) R$ 4.000,00. 
 b) R$ 5.000,00. 
 c) R$ 6.000,00. 
 d) R$ 7.000,00. 
 e) R$ 8.000,00. 
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RESOLUÇÃO: 
 Sejam C1 e C2 as partes em que André dividiu seus 10.000 reais. 
Logo: 
C1 + C2 = 10.000 
C1 = 10.000 - C2 
 
 
 Ao final de um mês, teremos os seguintes rendimentos: 
M1 = C1 × (1 + j1t) 
M1 - C1 = C1×1,6% 
 
M2 = C2 × (1 + j2t) 
M2 - C2 = C2×2% 
 
 A soma do rendimento de cada aplicação foi de 194 reais. Logo: 
C1×1,6% + C2×2% = 194 
 
 Substituindo C1 = 10.000 - C2 na expressão acima temos: 
(10.000 - C2)×1,6% + C2×2% = 194 
160 - C2×1,6% + C2×2% = 194 
C2×0,4% = 34 
C2 = 8.500 reais 
 
C1 = 10.000 - C2 
C1 = 10.000 ± 8.500 
C1 = 1.500 reais 
 
 O exercício pede o valor absoluto da diferença entre os valores 
aplicados a 1,6% e a 2%. Assim: 
C2 - C1 = 8.500 ± 1.500 
C2 - C1 = 7.000 reais 
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Obs.: como temos UM período e sabemos que juros simples e juros 
compostos são equivalentes para um único período, então preferimos 
trabalhar com a fórmula do juros simples. 
RESPOSTA: D 
 
20.UERJ ± Vestibular ± 2015) Na compra de um fogão, os clientes 
podem optar por uma das seguintes formas de pagamento: 
‡�j�YLVWD��QR�YDORU�GH�5��������� 
‡�HP�GXDV�SDUFHODV�IL[DV�GH�5����������VHQGR�D�SULPHLUD�SDJD�QR�DWR�GD�
compra e a segunda 30 dias depois. 
A taxa de juros mensal para pagamentos não efetuados no ato da compra 
é de: 
 a) 10% 
 b) 12% 
 c) 15% 
 d) 18% 
RESOLUÇÃO: 
 Repare que nas duas opções de pagamento temos desembolsos à 
vista. Na primeira, o valor total, de 860 reais, é pago à vista. Já na 
segunda, um total de 460 é pago à vista. 
A diferença entre esses valores, 860 ± 460 = 400 reais, vai gerar 
uma nova parcela de 460 reais depois de um mês. Assim, temos: 
M = C (1+jt) 
460 = 400 (1+j) 
1,15 = 1 + j 
j = 15% 
 
Obs.: como temos UM período e sabemos que juros simples e juros 
compostos são equivalentes para um único período, então preferimos 
trabalhar com a fórmula do juros simples. 
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RESPOSTA: C 
 
21. FUVEST ± USP ± 2013) Um apostador ganhou um prêmio de R$ 
1.000.000,00 na loteria e decidiu investir parte do valor em caderneta de 
poupança, que rende 6% ao ano, e o restante em um fundo de 
investimentos, que rende 7,5% ao ano. Apesar do rendimento mais baixo, 
a caderneta de poupança oferece algumas vantagens e ele precisa decidir 
como irá dividir o seu dinheiro entre as duas aplicações. Para garantir, 
após um ano, um rendimento total de pelo menos R$ 72.000,00, a parte 
da quantia a ser aplicada na poupança deve ser de, no máximo, 
 a) R$ 200.000,00 
 b) R$ 175.000,00 
 c) R$ 150.000,00 
 d) R$ 125.000,00 
 e) R$ 100.000,00 
RESOLUÇÃO: 
 Repare que se o apostador aplicasse tudo na poupança, após um 
ano ele teria um rendimento de apenas R$ 60.000,00. Logo, ele deve 
obrigatoriamente investir um tanto mínimo em fundo de investimentos, 
de forma a garantir os 72 mil reais. 
 Vamos chamar de C1 o valor a ser aplicado em poupança e de C2 o 
valor a ser aplicado em fundo de investimento. Como a soma desses dois 
capitais deve ser igual a um milhão de reais, podemos dizer que: 
C2 = 1.000.000 - C1 
 
Ao final do ano, o montante deve ser de 1.072.000 reais. Esse 
montante vai ser o resultado da soma dos montantes obtidos tanto com a 
aplicação em poupança (M1) quanto com a aplicação em fundo de 
investimentos (M2). 
M = M1 + M2 
M = C1 (1 + j1)t + C2 (1 + j2)t 
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1.072.000 = C1 (1 + 6%) + (1.000.000 - C1) (1 + 7,5%) 
1.072.000 = C1 (1,06) + (1.000.000 - C1) (1,075) 
1.072.000 = C1 (-0,015) + 1.075.000 
0,015 C1 = 3.000 
C1 = 200.000 
 
 Dessa forma, o valor máximo que pode ser investido em poupança 
é de 200.000 reais. 
RESPOSTA: A 
 
22.UNEMAT ± VESTIBULAR ± 2011) Um capital de R$ 600,00, aplicado 
à taxa de juros simples de 30% ao ano, gerou um montante de R$ 
1320,00 depois de certo tempo. O tempo de aplicação foi de: 
 a) 1 ano 
 b) 2 anos 
 c) 3 anos 
 d) 4 anos 
 e) 5 anos 
RESOLUÇÃO: 
capital de R$ 600,00 
taxa de juros simples de 30% ao ano 
montante de R$ 1320,00 
M = C × (1 + jt) 
1320 = 600 × (1 + 30%t) 
2,2 = 1 + 30%t 
1,2 = 30%t 
t = 1,2 ÷ 0,3 
t = 4 anos 
RESPOSTA: D 
 
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23. VUNESP - VESTIBULAR - 2010) João contou a Pedro que havia 
aplicado R$ 3.200,00 pelo prazo de 6 meses, a juro simples, a uma taxa 
i, e havia conseguido R$ 960,00 de lucro. Pedro então aplicou as suas 
economias pela mesma taxa i e juros simples por 1 ano e dois meses, e 
aumentou suas economias em R$ 3.500,00. Pode-se concluir que as 
economias de Pedro eram de:a) R$ 3.000,0 
b) R$ 3.500,00 
c) R$ 4.000,00 
d) R$ 4.500,00 
e) R$ 5.000,00 
RESOLUÇÃO: 
João 
Capital = R$ 3.200,00 
Prazo de 6 meses 
Juro simples 
R$ 960,00 de lucro 
M = C × (1 + it) 
M = C + Cit 
Lucro = M ± C = Cit 
960 = 3200 × i × 6 
i = 0,05 = 5% a.m. 
 
Pedro 
R$ 3500,00 de lucro 
Juro simples 
Prazo de 1 ano e dois meses = 14 meses 
i = 5% a.m. 
Lucro = M ± C = Cit 
3500 = C × 5% × 14 
C = 5000 reais 
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RESPOSTA: E 
 
24. FEI - VESTIBULAR) Uma loja vende um liquidificador por R$16,00 
para pagamento à vista ou em duas prestações fixas de R$9,00, uma 
entrada e outra para 30 dias. A taxa de juros mensais cobrada pela firma 
está no intervalo de: 
a) de 10% a 14% ao mês. 
b) de 15% a 19% ao mês. 
c) de 20% a 24% ao mês. 
d) de 25% a 29% ao mês. 
e) de mais de 30% ao mês. 
RESOLUÇÃO: 
 Uma parcela de 9 reais é paga à vista. No ato da compra então, 
faltam 7 reais (16 ± 9 = 7) para inteirar o valor do liquidificador. Esses 7 
reais vão constituir depois de um mês a segunda parcela, no valor de 9 
reais. Então é como se tivessem um capital de 7 reais gerando um 
montante de 9 reais depois de um mês. Como o prazo é unitário, vamos 
utilizar a fórmula do juros simples mesmo. 
M = C × (1 + jt) 
9 = 7 × (1 + j) 
1,28 = 1 + j 
j = 28% 
RESPOSTA: D 
 
25. ESPM/SP ± VESTIBULAR) Um capital de R$ 6 000,00 é aplicado 
por 4 meses a juros compostos de 2% a.m. Qual é o valor dos juros 
resultantes dessa aplicação? 
Dados: 
1,024 = 1,0824 
1,24 = 2,0736 
1,02 × 4 = 4,08 
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a) R$ 6494,40 
b) R$ 6480,00 
c) R$ 6441,60 
d) R$ 494,40 
e) R$ 480,00 
RESOLUÇÃO: 
M = C × (1 + j)t 
M = 6000 × (1 + 2%)4 
M = 6000 × (1,02)4 
M = 6000 × 1,0824 
M = 6.494,40 
 
Juros = M ± C 
Juros = 6.494,40 ± 6000 
Juros = 494,40 
RESPOSTA: D 
 
26. FUVEST ± USP) Um país contraiu em 1829 um empréstimo de 1 
milhão de dólares, para pagar em cem anos à taxa de juros de 9% ao 
ano. Por problemas de balança comercial, nada foi pago até hoje, e a 
GtYLGD� IRL� VHQGR� ³URODGD´�� FRP� FDSLWDOL]DomR� DQXDO� GRV� MXURV�� 4XDO� GRV�
valores abaixo está mais próximo do valor da dívida em 1989? 
Adote (1,098 §��) 
a) 14 milhões de dólares 
b) 500 milhões de dólares 
c) 1 bilhão de dólares 
d) 80 bilhões de dólares 
e) 1 trilhão de dólares 
RESOLUÇÃO: 
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 A dívida foi sendo rolada por 160 anos, de 1829 a 1989. A 
capitalização dos juros e a taxa de juros são anuais. O capital inicial é de 
1 milhão e a taxa é de 9% a.a. 
 Assim, temos: 
M = C × (1 + j)t 
M = 1.000.000 × (1 + 9%)160 
M = 1.000.000 × (1,09)160 
 
 Podemos escrever 160 como sendo o produto de 20 x 8, o que é o 
mesmo que somar o número 8 por vinte vezes, da seguinte forma: 
8+8+8+8+8+8+8+8+8+8+8+8+8+8+8+8+8+8+8+8 
Podemos substituir o expoente 160 pela adição acima. Antes, no 
entanto, repare que (1,09)8+8+...+8+8 = 1,098 × 1,098 × ... × 1,098 , em 
que a expressão 1,098 se repete 20 vezes. O enunciado nos disse que 
podemos considerar 1,098 = 2. Logo, temos o produto do número 2 por 
20 vezes, ou seja, 2 × 2 × ... × 2 = 220. 
Desta forma concluímos que são iguais e, por isso, podem ser 
substituídas as seguintes expressões: 
(1,09)160 = (1,09)8+...+8 = 1,098 × ... × 1,098 = 2 × 2 × ... × 2 = 220 
 
 Sabemos que 220 = 210+10 = 210×210 = 1024 x 1024. Vamos 
aproximar esse último produto por 1000 x 1000 = 1.000.000. Assim, 
temos: 
M = 1.000.000 × (1,09)160 
M = 1.000.000 × 220 
M = 1.000.000 × 1.000.000 
M = 1.000.000.000.000 
M = 1 trilhão 
RESPOSTA: E 
Obs.: se você não sabia que 210 é 1024, basta comprovar. Multiplique 
manualmente 2 por ele mesmo dez vezes e você verá. 
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27. UFPA ± VESTIBULAR - adaptado) Suely, recebeu R$ 1.000,00 (mil 
reais) e pretende investi-lo pelo prazo de dois anos. Um amigo lhe sugere 
duas opções de investimento. Na primeira delas a rentabilidade é de 20% 
ao ano e, no momento do resgate, há um desconto de 25% sobre o valor 
total acumulado, referente ao imposto de renda. Na segunda, a 
rentabilidade é de 6% ao ano, sem incidência de imposto. Efetuando os 
cálculos necessários, determine qual a aplicação que renderá mais à 
Suely, após dois anos. 
RESOLUÇÃO: 
 OPÇÃO 1: 
M = C × (1 + j)t 
M = 1000 × (1 + 20%)2 
M = 1440 reais 
 
Imposto de Renda = 25% x 1440 = 360 
 
Ao final ela ficará com 1440 ± 360 = 1080 reais. 
 
OPÇÃO 2: 
M = C × (1 + j)t 
M = 1000 × (1 + 6%)2 
M = 1123,60 reais 
 
 Logo, a melhor opção é a segunda. 
RESPOSTA: 2ª 
 
28. FGV/SP - VESTIBULAR) Fábio recebeu um empréstimo bancário de 
R$ 10 000,00 para ser pago em duas parcelas anuais, a serem pagas 
respectivamente no final do primeiro ano e do segundo ano, sendo 
cobrados juros compostos à taxa de 20% ao ano. Sabendo que o valor da 
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primeira parcela foi R$ 4 000,00, podemos concluir que o valor da 
segunda foi de: 
a) R$ 8 800,00 
b) R$ 9 000,00 
c) R$ 9 200,00 
d) R$ 9 400,00 
e) R$ 9 600,00 
RESOLUÇÃO: 
 Ao final do primeiro ano, a dívida era de: 
M = C × (1 + j)t 
M = 10.000 × (1 + 20%)1 
M = 12.000 reais 
 
 Desse total, foram pagos 4 mil reais. Restou um saldo de 8 mil reais 
a ser pago no final do próximo ano. 
M = C × (1 + j)t 
M = 8.000 × (1 + 20%)1 
M = 9.600 reais 
 
 A segunda parcela será de 9600 reais. 
RESPOSTA: E 
 
Na questão 29, a resposta é dada pela soma dos números que identificam 
as alternativas corretas. 
 
29. UFBA ± VESTIBULAR) Uma pessoa tomou um empréstimo de R$ 6 
000,00 a uma taxa de juros compostos de 10% ao ano e saldou a dívida 
da seguinte maneira: 
x 2 anos após ter contraído a dívida, pagou R$ 2 260,00; 
x 2 anos após o primeiro pagamento, pagou mais R$ 3 050,00; 
x 1 ano após o segundo pagamento, quitou a dívida. 
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Nessas condições, pode-se afirmar: 
(01) Depois do primeiro pagamento, a pessoa ficou devendo R$ 4 340,00. 
(02) Após o segundo pagamento, a dívida correspondia a 50% do valor 
do empréstimo. 
(04) No momento em que a pessoa quitou o empréstimo, a dívida 
correspondia a R$ 3 300,00. 
(08) O montante pago pelo empréstimo foi igual a R$ 9 000,00. 
(16) O valor pago pelos juros da dívida correspondeu a 43,5% do valor do 
empréstimo. 
RESOLUÇÃO:Ao final do segundo ano, a dívida era de: 
M = C × (1 + j)t 
M = 6.000 × (1 + 10%)2 
M = 7.260 reais 
 
 Desse valor, a pessoa pagou R$ 2 260,00. Restaram 5 mil reais. 
(Alternativa 01 ERRADA) 
 
Ao final do quarto ano, a dívida era de: 
M = C × (1 + j)t 
M = 5.000 × (1 + 10%)2 
M = 6.050 reais 
 
 Desse valor, a pessoa pagou R$ 3 050,00. Restaram 3 mil reais, 
que correspondem a 50% do valor do empréstimo. (Alternativa 02 
CERTA) 
 
Ao final do quinto ano, a dívida era de: 
M = C × (1 + j)t 
M = 3.000 × (1 + 10%)1 
M = 3.300 reais 
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 Nesse ponto, a pessoa quitou a dívida. (Alternativa 04 CERTA) 
 O montante pago pelo empréstimo foi de 2.260 + 3.050 + 3.300 = 
8.610. (Alternativa 08 ERRADA) 
 Somente em juros a pessoa pagou 8.610 ± 6.000 = 2.610 reais, o 
que corresponde a 43,5% do valor do empréstimo. (Alternativa 16 
CERTA) 
 A soma das alternativas corretas é 2 + 4 + 16 = 22. 
RESPOSTA: 22 
 
30. FEI/SP - VESTIBULAR) Se aplico hoje o capital de R$ 100.000,00 à 
taxa de juros compostos mensais de 10%, poderei retirar daqui a 5 
meses: 
a) R$ 150.000,00 
b) R$ 154.300,00 
c) R$ 161.051,00 
d) R$ 165.088,00 
e) R$ 169.000,00 
RESOLUÇÃO: 
M = C × (1 + j)t 
M = 100.000 × (1 + 10%)5 
M = 100.000 × (1,1)5 
M = 100.000 × 1,12 × 1,12 × 1,1 
M = 100.000 × 1,21 × 1,21 × 1,1 
M = 100.000 × 1,61051 
M = 161.051 reais 
RESPOSTA: C 
 
 
 
 
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Fim de aula!!! Nos vemos na aula 11. 
Abraço, 
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3. QUESTÕES APRESENTADAS NA AULA 
 
1. EXERCÍCIO DE FIXAÇÃO) Suponha que aplicamos um capital C por 5 
meses, a uma taxa de 3,5% a.m., gerando um valor de 80 mil reais ao 
final do prazo. Qual o valor do capital C? 
 
2. EXERCÍCIO DE FIXAÇÃO) Encontre a taxa de juros simples anual 
proporcional a uma taxa capaz de gerar o montante de 1,1 em um capital 
unitário ao fim de 2 meses e 15 dias. 
 
3. EXERCÍCIO DE FIXAÇÃO) Segue abaixo uma tabela com 5 aplicações 
financeiras realizadas por João. 
 
Qual a taxa média mensal obtida por João? 
 
4. EXERCÍCIO DE FIXAÇÃO) Imagine que aplicamos um capital de dois 
mil reais por dois meses; um capital de três mil reais por três meses; um 
capital de quatro mil reais por quatro meses e um capital de seis mil reais 
por seis meses, todos com taxa de 4% a.m. Qual o prazo médio de 
aplicação desses capitais? 
 
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5. EXERCÍCIO DE FIXAÇÃO) Obtenha o valor dos juros comerciais 
gerados por um capital de R$ 15.000,00 aplicado por 5 dias à taxa de 
juros simples de 9,3% ao mês, em um mês de 31 dias. 
 
6. EXERCÍCIO DE FIXAÇÃO) Obtenha o valor dos juros exatos gerados 
por um capital de R$ 15.000,00 aplicado por 5 dias à taxa de juros 
simples de 9,3% ao mês, em um mês de 31 dias. 
 
7. EXERCÍCIO DE FIXAÇÃO) João contratou um empréstimo de R$ 
sobre o qual vão incidir juros compostos a uma taxa de 10% ao mês. 
Após três meses essa dívida é de quanto? 
 
8. EXERCÍCIO DE FIXAÇÃO) Encontre a taxa de juros efetiva anual 
correspondente à taxa nominal de 12% ao ano com capitalização mensal. 
Considere: 12(1,01) 1,1268 
 
9. EXERCÍCIO DE FIXAÇÃO) Qual a taxa de juros nominal ao ano, com 
capitalização mensal, correspondente à taxa efetiva trimestral de 12%? 
Considere: 1/3(1,12) 1,038 
 
10. ENEM - 2011) Um jovem investidor precisa escolher qual 
investimento lhe trará maior retorno financeiro em uma aplicação de R$ 
500,00. Para isso, pesquisa o rendimento e o imposto a ser pago em dois 
investimentos: poupança e CDB (certificado de depósito bancário). As 
informações obtidas estão resumidas no quadro: 
 
Para o jovem investidor, ao final de um mês, a aplicação mais vantajosa é 
A) a poupança, pois totalizará um montante de R$ 502,80. 
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B) a poupança, pois totalizará um montante de R$ 500,56. 
C) o CDB, pois totalizará um montante de R$ 504,38. 
D) o CDB, pois totalizará um montante de R$ 504,21. 
E) o CDB, pois totalizará um montante de R$ 500,87. 
 
11. ENEM - 2011) Uma pessoa aplicou certa quantia em ações. No 
primeiro mês, ela perdeu 30% do total do investimento e, no segundo 
mês, recuperou 20% do que havia perdido. Depois desses dois meses, 
resolveu tirar o montante de R$ 3 800,00 gerado pela aplicação. A 
quantia inicial que essa pessoa aplicou em ações corresponde ao valor de 
A) R$4.222,22. 
B) R$4.523,80. 
C) R$5.000,00. 
D) R$13.300,00. 
E) R$17.100,00. 
 
12. ENEM - 2011) Considere que uma pessoa decida investir uma 
determinada quantia e que lhe sejam apresentadas possibilidades de 
investimento, com rentabilidades líquidas garantidas pelo período de um 
ano, conforme descritas: 
Investimento A: 3% ao mês 
Investimento B: 36% ao ano 
Investimento C: 18% ao semestre 
As rentabilidades, para esses investimentos, incidem sobre o valor do 
período anterior. O quadro fornece algumas aproximações para a análise 
das rentabilidades: 
 
Para escolher o investimento com a maior rentabilidade anual, essa 
pessoa deverá 
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A) escolher qualquer um dos investimentos A, B ou C, pois as suas 
rentabilidades anuais são iguais a 36%. 
B) escolher os investimentos A ou C, pois suas rentabilidades anuais são 
iguais a 39%. 
C) escolher o investimento A, pois a sua rentabilidade anual é maior que 
as rentabilidades anuais dos investimentos B e C. 
D) escolher o investimento B, pois sua rentabilidade de 36% é maior que 
as rentabilidades de 3% do investimento A e de 18% do investimento C. 
E) escolher o investimento C, pois sua rentabilidade de 39% ao ano é 
maior que a rentabilidade de 36% ao ano dos investimentos A e B. 
 
13. ENEM ± 2015) Um casal realiza um financiamento imobiliário de R$ 
180.000,00, a ser pago em 360 prestações mensais, com taxa de juros 
efetiva de 1% ao mês. A primeira prestação é paga um mês após a 
liberação dos recursos e o valor da prestação mensal é de R$ 500,00 mais 
juro de 1% sobre o saldo devedor (valor devido antes do pagamento). 
Observe que, a cada pagamento, o saldo devedor se reduz em R$ 500,00 
e considere que não há prestação em atraso. 
Efetuando o pagamento dessa forma, o valor, em reais, a ser pago ao 
banco na décima prestação é de 
(A) 2.075,00.