Erros e Medidas

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Universidade Federal de Alagoas 
Instituto de Física 
Laboratório de ensino 
Física Laboratório 
Profª Maria Cristina Hellmeister 
RELATÓRIO 
 
 
O que é? A descrição de um trabalho realizado. 
Para que serve? Registrar e/ou divulgar um trabalho realizado. 
É interessante notar que o relato de um trabalho científico, de um projeto de 
engenharia, ou simplesmente de um experimento de laboratório de disciplina de 
graduação pode ser dividido nas seguintes partes: 
• Título; 
• Objetivos; 
• Material utilizado; 
• Fundamentação; 
• Procedimento; e 
• Conclusão. 
Título: Todas as coisas tem nome para serem identificadas, existe a necessidade de 
identificação do seu trabalho. 
Objetivo: Deve mostrar a finalidade do seu experimento. 
Material Disponível: A descrição do material com as suas características principais. É útil 
no julgamento de decisão do método utilizado para chegar ao objetivo de seu trabalho. 
Fundamentação: Uma descrição fenomenológica dos conceitos envolvidos no 
experimento com suas principais relações. É útil para a compreensão dos procedimentos 
adotados para chegar ao objetivo de seu trabalho. 
Procedimento: Nesta parte devem ser apresentados os resultados das suas medidas 
(tabelas, gráficos, cálculos, etc.) e uma descrição de como e porque foram feitas. Uma 
das razões desta descrição é melhor avaliar a precisão dos resultados do seu trabalho. 
Conclusão: É nesta parte que se deve apresentar uma discussão sobre seus resultados, 
os métodos de medida utilizados, tendo em vista o objetivo do seu trabalho. 
 
OBJETIVOS DO LABORATÓRIO 
 
 Este curso foi preparado com intuito de orientar os alunos a adquirirem 
conhecimentos sobre física experimental, visando especificamente: a compreensão dos 
conceitos fundamentais, a medição das grandezas relacionadas com esses conceitos, 
interpretação e representação correta dessas medidas. 
 O texto dessa apostila está dividido em duas partes. Na primeira, o aluno terá 
conhecimento sobre algarismos significativos, medidas, erros, desvios, incertezas como 
também o tratamento adequado para representar corretamente os resultados dos 
experimentos, quer seja uma única medida ou de um conjunto de medidas. A segunda 
parte visa familiarizar o aluno na construção de gráficos, linearização de curvas e a 
determinação da dependência funcional entre as grandezas medidas a partir do 
conhecimento dos dados experimentais. 
 Pretendemos aqui dar ao aluno alguns conceitos e procedimentos básicos para 
que ele possa expressar corretamente as medidas e resultados de suas experiências, 
assim como discuti-los com um mínimo de correção e rigor tanto do ponto de vista 
numérico como conceitual. 
 
ELEMENTOS DA TEORIA DE ERROS E MEDIDAS 
 
I – INTRODUÇÃO 
 
 Toda operação de medida exige do experimentador habilidade no manuseio de 
instrumentos de medida e a capacidade de efetuar corretamente a leitura destes 
instrumentos. Não basta, por exemplo, determinar o comprimento de uma barra através 
de uma régua; é preciso saber expressar corretamente essa medida e avaliar 
adequadamente a sua incerteza, que vem das características dos aparelhos usados na 
sua determinação e mesmo do próprio experimentador. Assim a experiência mostra que 
sendo uma medida repetida várias vezes com as mesmas precauções pelo mesmo 
observador ou observadores diferentes, os resultados achados não são, em geral 
idênticos. Muitas vezes efetuam-se diversas medidas de uma mesma grandeza; neste 
caso a melhor maneira de expressar o valor desta grandeza será através do valor médio 
dos dados. A incerteza destas grandezas será obtida por um tratamento estatístico 
elementar. 
 Há grandezas ainda que nem sempre podem ser obtidas diretamente, como áreas, 
volume, densidade, etc. Assim são feitas várias medidas e através de fórmulas 
matemáticas ou físicas determina-se a grandeza desejada. É claro que, em geral, cada 
termo da fórmula está afetado de uma incerteza e que todas elas interferirão no valor final 
da grandeza. Observamos que as incertezas se propagam e o processo de cálculo para 
determiná-las denomina-se propagação de incertezas. 
 
II – ERROS E DESVIOS 
 
Quando um experimentador determina o valor de uma grandeza, três situações são 
possíveis: 
 
1. O valor da grandeza já é conhecido com exatidão – Ex. A soma dos ângulos 
internos de um triângulo. 
2. O valor da grandeza não é conhecido exatamente, mas há um valor adotado 
como “melhor” – Ex. A aceleração da gravidade num determinado local. 
3. O valor da grandeza não é conhecido – Ex. O comprimento de uma barra, o 
volume de uma esfera, etc. 
 
Quando valor obtido para uma grandeza difere do seu valor real (verdadeiro) (item 
1), dizemos estar afetado de um erro. Matematicamente: 
 
REAL VALOR-MÉDIO VALORERRO = 
(Valor em módulo) 
 
 Quando o valor obtido difere do valor adotado como melhor (item 2), dizemos estar 
afetado de um desvio. Então: 
 
REAL VALOR-MÉDIO VALORDESVIO = 
(Valor em módulo) 
 
Embora Conceitualmente haja diferença entre erro e desvio, matematicamente são 
equivalentes. A partir deles define-se desvio (ou erro) relativo e percentual, sendo que 
este último permite avaliar melhor o resultado de uma experiência. 
 
 ADOTADOVALOR
DESVIORELATIVO DESVIO = 
 
100%TIVODESVIORELAPERCENTUAL DESVIO ×= 
 
Exemplo: Ao determinar a aceleração da gravidade, onde g é 9,80 m/s2 um 
experimentador obteve 10,04 m/s2. Determine: 
 
 DESVIO = 
 DESVIO RELATIVO = 
 DESVIO PERCENTUAL = 
 
Para avaliação dos resultados, qual deles nos dá uma informação mais objetiva? 
 
III – ALGARIMOS SIGNIFICATIVOS 
 
 Seja AB o comprimento de uma barra medida em uma régua centimetrada. 
 
Se três experimentadores fossem anotar o comprimento AB, por exemplo: 
 
AB = 12,8 cm (exp. 1) 
AB = 12,7 cm (exp. 2) 
AB = 12,6 cm (exp. 3) 
 
Algum desses valores estaria errado? Se um quarto experimentador avaliasse 12,75 cm, 
em que sentido se poderia atribuir a esse resultado? 
 Medindo-se com régua centimetrada tem sentido avaliar décimos (isto é, 
milésimos), mas é discutível ou mesmo inaceitável avaliar centésimos ou frações 
menores. Em medições, é costume fazer estimativas com aproximações até décimos da 
menor divisão da escala do instrumento. 
 Estimar centésimos ou milésimos da menor divisão da escala está fora dos limites 
de percepção da maioria dos seres humanos. 
 Na medida do segmento AB, observamos que existe uma divergência entre os três 
observadores na avaliação da fração da menor divisão da escala do instrumento (nos 
algarismos ou dígitos 8, 7 e 6), na qual reside a dúvida ou incerteza da medida, enquanto 
que, os dígitos 1 e 2 que constituem o número 12 são isentos de dúvidas. 
 
AB = 12,8 cm AB = 12,6 cm AB = 12,7 cm 
 
 
 
 
 
 
 
A B 
1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 
Algarismos duvidosos 
(sempre o último à direita) 
OS ALGARISMOS CORRETOS (NÃO DUVIDOSOS) E TAMBÉM O ALGARISMO 
DUVIDOSO (UM SÓ), CONSTITUEM OS ALGARISMOS SIGNIFICATIVOS DE UMA 
MEDIDA. 
 
EXERCÍCIO 1: Quantos são os algarismos significativos das seguintes medidas? 
a) 12,6 cm b) 9 cm c) 2 cm 
 
d) 12,6 x 10-5 m e) 1,2 x 103 m. 
 
OS DÍGITOS DE UM NÚMERO CONTAM-SE DA ESQUERDA PARA A DIREITA, A 
PARTIR DO PRIMEIRO NÃO NULO, SÃO SIGNIFICATIVOS TODOS OS CORRETOS, 
TAMBÉM O PRIMEIRO ALGARISMO DUVIDOSO E MAIS NENHUM. 
 
IV – MEDIDAS E INCERTEZAS 
 
 Para estudar um fenômeno físico é preciso adotar um procedimento que se possa 
repetir e variar tantas quantas forem necessárias, até que se tenha reunido certa 
quantidade de dados experimentais. Esses dados são obtidos através do processo de 
medidas. A importância desses processos e muitas vezes sua complexidade tornam o ato 
de medir uma tarefa fundamentale freqüentemente nada simples. 
 Nenhuma medida pode ser considerada absolutamente precisa. Por exemplo, o 
valor atualmente aceito para a velocidade da luz propagando-se no vácuo é: 
 
c = (2,99792458 ± 0,00000004) x 108 m/s 
 
Isto significa que, apesar das sofisticadas técnicas empregadas e do esforço de muitos 
cientistas, ainda persiste uma incerteza de medida de 4 m/s na velocidade da luz. 
 Na obtenção de uma medida podem ocorrer dois tipos de erros: o aleatório e o 
sistemático. Este último deve ser evitado de todas as formas; um instrumento mal 
calibrado ou com defeito, um experimentador que repete erro na operação, de 
interpretação ou de leitura ou de fatores externos ao laboratório, como fenômenos 
climáticos, são fontes de erros sistemáticos que devem ser controlados pelo 
experimentador. O erro aleatório decorre de flutuações dos resultados das medidas em 
torno de um valor médio, essas flutuações acarretam uma imprecisão para mais ou para 
menos nesse valor. Qual é, então, o valor de uma grandeza que se quer medir? Nem 
sempre a resposta é simples e em parte a solução deste problema está num estudo mais 
profundo da teoria de erros. Apesar de caber nesta disciplina a análise mais geral deste 
problema, podemos convencionar critérios para obter um valor confiável da grandeza a 
ser medida. 
 Para escrever o resultado final da medição de uma grandeza, adotaremos a forma: 
 
(valor mais provável ± incerteza) x 10N unidades de grandeza 
 
“A incerteza estimada será escrita com no máximo um algarismo significativo” 
 
 Se o experimentador realizar apenas uma medida da grandeza, o valor mais 
provável desta será a própria medida. A incerteza estimada dependerá da forma como foi 
construído o instrumento de medidas. Se o instrumento não permitir avaliar o algarismo 
duvidoso, a incerteza estimada será a menor divisão na escala do instrumento. 
Exemplo. Um estudante fez um experimento onde o intervalo de tempo num cronômetro 
eletrônico. A figura abaixo mostra o valor no cronômetro. 
 
7 9 6 ms 
 
A medida é expressa como 
 
(796 ± 1) ms ou (796 ± 1) x 10-3 s 
 
 Se for possível avaliar o algarismo duvidoso, a incerteza estimada será adotada 
como a metade da menor divisão da escala do instrumento. 
Exemplo: Um estudante mede o comprimento de um pêndulo simples, em relação ao 
centro de massa, como o indicado abaixo. A medida é expressa como: 
 
(774,3 ± 1) ms ou (77,43 ± 0,05) ms 
 
 
 
 Se o experimentador tiver um conjunto de medidas, o valor mais provável da 
grandeza será a média aritmética G das medidas. 
 
∑=
n
i
i
n
GG 
 
e a incerteza estimada poderá ser obtida, de uma maneira mais apurada, através da 
média aritmética dos desvios absolutos: 
 
∑=
n
i
i
n
G∆G∆ 
onde 
GGG∆ ii −= 
 
EXERCÍCIO 2: Determinar a força eletromotriz de uma pilha elétrica e a sua incerteza (ver 
tabela abaixo). 
X CM 
77 78 
 
Ordem de 
medida EM (V) │EM - <E>│ 
1 1,55 
2 1,56 
3 1,57 
4 1,54 
5 1,55 
6 1,56 
7 1,53 
8 1,54 
9 1,55 
10 1,54 
11 1,55 
12 1,57 
13 1,56 
14 1,55 
15 1,54 
 
V – PROPAGAÇÃO DE INCERTEZAS 
 
 Nem sempre é possível determinar certas medições diretamente; para determinar a 
densidade de um objeto, por exemplo, é preciso medir a sua massa e o seu volume, que 
por sua vez é determinado pela medida de suas dimensões. Todas estas medidas estarão 
afetadas de incertezas que na, determinação da densidade, se propagarão e darão 
origem a uma incerteza na densidade. 
 Inicialmente vamos uniformizar a nossa linguagem; ao invés de erros, desvios e 
incertezas, utilizaremos apenas incertezas, que nos parece mais abrangente. Quanto à 
representação matemática, para grandezas tais como X, Y, T, V, etc. representaremos 
suas incertezas por ∆X, ∆Y, ∆T, ∆V, etc. e conseqüentemente suas incertezas relativas 
por: ∆X/X, ∆Y/Y, ∆T/T, ∆V/V, etc. 
 
A) Incerteza devido à soma ou subtração 
 
 Suponha que vamos determinar a grandeza, 
 
S = A + B + C +… 
 
para qual a foram feitas a seguintes medidas: 
 
A ± ∆A; B ± ∆B; C ± ∆C; etc. 
 
 Como determinar S? Para simplificar, adotaremos o critério mais desfavorável, isto 
é, vamos supor que todas as incertezas tenham o mesmo sinal, então obteremos: 
 
∆S = ∆A + ∆B + ∆C +… 
 
Exemplo: Na determinação do perímetro de u quadrilátero mediram-se seus lados a, b, c 
e d com instrumentos diferentes: 
 
 a = (2,03 ± 0,02) cm 
 b = (4,1 ± 0,2) cm 
 c = (0,842 ± 0,001) cm 
 d = (1,26 ± 0,03) cm 
 
o perímetro será: 
 
p = a + b + c + d 
 
então, 
 
p = 2,03 + 4,1 + 0,842 + 1,26 = 8,232 cm 
 
a incerteza será: 
 
∆p = ∆a + ∆b + ∆b + ∆d 
 
portanto, 
 
∆p = 0,02 + 0,2 + 0,001 + 0,03 = 0,251 cm 
 
O resultado de perímetro será expresso como: 
 
p = (8,232 ± 0,251) cm ou p = (8,2 ± 0,3) cm 
 
 Observe que em nossos cálculos, propositalmente, colocamos grandezas com 
números de algarismos significativos diferentes. Como a incerteza será representada por 
um e somente um algarismo significativo, que atua no duvidoso, é ela quem 
comandará o número de algarismos significativos no resultado final. 
 
B) Incerteza devido a outras operações 
 
 Para Calcular a incerteza numa expressão envolvendo multiplicações, divisões, 
potenciação e/ou radiciação como em 
Y = rqp cbaK ⋅⋅⋅ 
Usaremos a seguinte expressão, 
 
Y
Y∆
 = 
c
c∆
r
b
b∆q
a
a∆p ++ 
 
 Para verificar o resultado acima, lembre que o diferencial de uma função Y = Y(a, 
b, c) é dado pro: 
 
dY = dc
c
Ydb
b
Yda
a
Y
∂
∂
+
∂
∂
+
∂
∂
 
 
que após dividirmos ambos os lados por Y e tomarmos os módulos, da origem a 
expressão para a incerteza estimada. 
 
Exemplo: Na determinação do volume de um cilindro foram feitas as seguintes medidas: 
 
r = (2,02 ± 0,03) cm, h = (8,432 ± 0,005) cm. 
 
Sabemos que V = hrπ 2 , então: 
 
V = 3,14 (2,02)2 (8,432) = 108,0346 cm3 
 
De acordo com a primeira expressão, já que ∆π = 0 por ser constante, temos: 
 
V
V∆
 = 
432,8
005,0
02,2
03,02 +





 = 0,0303 
 
∆V = V x 0,0303 = 108,0346 x 0.0303 = 3,2734 cm3 
 
Teremos então, 
 
V = (108 ± 3) cm3 
 
EXERCÍCIO 3: Num tubo capilar de raio r, um líquido de densidade ρ e tensão superficial 
γ, devido a capilaridade, ergue-se de uma altura h, tal que, γ = 2)gρhr( ⋅⋅⋅ , onde g é a 
aceleração da gravidade. Dados obtidos: 
 
 r = (0,030 ± 0,001) cm 
 h = (5,000 ± 0,005) cm 
 g = 9,81 (adotado como exato) 
 ρ = 1000 kg/m3 (adotado como exato) 
 
Determine a tensão superficial. 
 
VI – GRÁFICOS 
 
 Nas atividades experimentais, muitas vezes, objetiva-se estudar a maneira de 
como uma propriedade ou quantidade depende ou varia com relação à outra propriedade 
ou quantidade. Por exemplo: 
“De que modo a variação do comprimento de um pêndulo simples afeta o seu período ou 
como se comporta a força de atrito entre duas superfícies relativamente à força normal 
exercida por uma superfície sobre a outra?” 
 Tais variáveis podem convenientemente tratadas pelo método gráfico no sentido de 
ilustrar e sintetizar suas relações. 
 As leis físicas expressam relações entre quantidades de grandezas físicas. Estas 
relações podem ser expressas de três modos: 
 
a) Em palavras, formando as sentenças conceituais; 
b) Em símbolos matemáticos em forma de equações; 
c) Em representações pictóricas conhecidas como gráficos. 
 
A escolha do meio (ou meios) para expressar as relações entre grandezas 
depende do uso que se pretende fazer destas relações. Particularmente, analisaremos a 
terceira representação. 
Para representar graficamente a relação entre duas variáveis deve-se observar os 
seguintes pontos: 
 
a) No eixo horizontal (abscissa) é lançada a variável independente;no eixo vertical 
(ordenada) é lançada a variável dependente. Evite tomar margens do papel como 
eixos. 
b) Em geral a curva deve cobrir pelo menos três quartos do papel. Em muitos casos 
não é necessário ou possível que a interseção dos eixos represente 
simultaneamente o valor zero. 
c) Escolha as escalas de forma que as divisões principais possam ser facilmente 
subdivididas. A escala do eixo vertical não necessita ser a mesma do eixo 
horizontal. 
d) Se os valores forem excessivamente grandes ou pequenos utilizar um artifício que 
permita usar um ou dois dígitos para indicar os valores das divisões principais. 
Pode-se usar um fator multiplicativo como 10-2, 10-3, etc., à direita da escala. 
e) Escreva em cada eixo o título, ou seja, o nome da grandeza e sua unidade, 
separados por vírgula ou parênteses. 
f) Localizar o ponto e não escreva no eixo o valor relativo ao ponto localizado, se 
estiver fora da divisão adotada na escala. 
g) A representação gráfica de uma grandeza 
é feita por uma barra de incerteza que é 
um pequeno segmento de reta que 
abrange o intervalo no qual o valor 
verdadeiro deve estar contido. Se houver 
incerteza nos dois eixos a grandeza será 
representada por uma cruz cujos braços 
serão as barras de incertezas, como 
mostra a figura. 
h) O traçado da curva deve ser suave e contínuo, adaptando-se da melhor forma aos 
dados experimentais a menos que não se trate de uma função contínua. Unir 
pontos experimentais com traços retos implica em que a relação entre duas 
grandezas tenha forma quebrada o que, exceto circunstâncias especiais, é pouco 
provável ocorrer. 
i) Se for preciso desenhar várias curvas na mesma folha, faça a distinção das curvas 
por símbolos diferentes (círculos, quadrados, triângulos, etc.), ou utilize cores 
diferentes ou ainda linhas deferentes (pontilhadas, interrompidas, etc.). 
 
VII – AVALIAÇÃO DE INCERTEZAS EM GRÁFICOS 
 
 A representação gráfica, como vimos, tem a sua importância, no sentido de ilustrar 
e sintetizar as relações entre as variáveis de grandezas representativas de um fenômeno. 
Estas variáveis a serem plotadas em papel gráfico, podem originar-se de: 
 
a) Medições diretas através de instrumentos de medição. 
b) Derivadas de medições diretas, mediante operações matemáticas. 
 
De qualquer forma, as variáveis vêm afetadas de incertezas (precisão 
experimental, desvios provenientes de propagação, etc.). Essas incertezas podem ser 
representadas, graficamente, por uma barra de incerteza, que é um segmento de reta que 
abrange o intervalo no qual o valor verdadeiro está contido. 
y 
x 
Os dados emersos de um gráfico virão, portanto, afetados de incertezas. Como 
avaliá-los? Concentraremos no caso específico de um gráfico linear cujo coeficiente 
angular tem significado físico, e muitas vezes representa a quantidade procurada em 
ensaios experimentais. Para uma melhor avaliação, o experimentador deve tomar alguns 
cuidados iniciais, ou seja: 
 
• Ter certeza que a curva traçada representa mais de ¾ do papel gráfico, para uma 
melhor visualização do comprimento das barras de incerteza. 
• Desprezar pontos que fogem consideravelmente da tendência geral, derivados de 
erros grosseiros. 
 
A) Coeficiente angular: avaliação de sua incerteza 
 
a) Traçar duas retas paralelas que contenham a maioria das barras de incertezas, 
formando uma figura retangular. 
b) Traçar duas retas que corresponderão às diagonais da figura retangular, nos 
pontos ABCD. 
c) Determinar seus coeficientes angulares. 
 
A média aritmética entre esses dois coeficientes angulares dará a reta média e a 
metade do intervalo entre esses coeficientes dará a incerteza angular. 
Exemplificando: Vamos supor que o gráfico construído foi para determinar o coeficiente 
angular K de uma reta. 
 
 
Da figura, temos que: 
Reta BC = Kmax 
 
Reta AD = Kmin 
 
O coeficiente angular da reta média será: 
 
2
KK
K maxmin
+
= 
 
e a sua incerteza 
 
2
kk
K∆ minmax
−
= 
Inclinação máxima 
Inclinação mínima 
D 
B 
A 
X 
C Y 
logo: 
 
)K∆K(K ±= unid. arbt. 
 
 Pela dificuldade que se tem para traçar a reta média achamos sempre preferível a 
determinação do coeficiente angular pela média dos coeficientes máximo e mínimo, como 
no exemplo acima. 
 É interessante observar, que muitas vezes as barras de incerteza são tão 
pequenas que, no gráfico reduzem-se no próprio ponto, mesmo, assim este processo 
para determinação do coeficiente angular pode ser aplicado. 
EXERCÍCIO 4: Determine a constante elástica de uma mola ideal, bem como a sua 
incerteza. Precisão do instrumento de medida (dinamômetro) igual a 0,5 N. 
 
F (N) 4,1 7,9 12,2 15,8 20,1 23,7 30,9 32,4 
X (cm) 5 10 15 20 25 30 35 40 
 
VIII – DETERMINAÇÃO DA DEPENDÊNCIA FUNCIONAL A PARTIR DOS DADOS 
EXPERIMENTAIS 
 
 Feita a representação gráfica de duas grandezas, a análise do gráfico pode 
conduzir a uma relação matemática, embora isso nem sempre seja possível. Se o gráfico 
mostrar que tal relação existe, deve-se continuar a análise à procura do tipo de relação, 
ou seja, da forma que define a curva encontrada. 
 Uma norma do método analítico é que apenas duas grandezas podem ser 
relacionadas de uma só vez. Tanto o experimento como os dados devem ser ordenadas 
de modo a manter todas as variáveis constantes, exceto duas, estudando-se então a 
maneira como uma destas variáveis afeta a outra. 
 A equação que descreve uma curva desconhecida, nem sempre pode ser definida 
com exatidão. Relações do tipo 1/x e 1/ x facilmente podem ser confundidas num 
gráfico. Esta dificuldade desaparece quando se obtém uma linha reta. A linha reta é, 
portanto, a chave da análise gráfica. Ela pode ser identificada com segurança. O 
problema então é como lançar dados experimentais no gráfico para obter uma linha reta. 
Embora não exista um método geral, normalmente é preciso fazer algumas tentativas 
antes de obter-se um a solução. Falaremos aqui apenas do método gráfico, o mais 
facilmente aproveitável no laboratório no caso de duas grandezas Y e X, relacionadas por 
uma dependência funcional simples. 
 
A) Relações lineares 
 
Y = aX + b (equação de uma reta) 
 
 A equação acima mostra a dependência linear entre duas grandezas Y e X. Para X 
= 0 o valor de Y intercepta o eixo y, definido a constante b. o quociente 
X∆
Y∆
 define a 
constante a (inclinação da reta) e suas unidades são dadas pelo quociente das unidades 
de Y e X. Seja (X1, Y1), (X2, Y2) dois pontos quaisquer da reta, de modo que; 
 
Y2 = aX2 + b 
e 
Y1 = aX1 + b 
 
 A inclinação da reta é obtida subtraindo essas duas equações. 
 
a = 
12
12
XX
YY
−
−
 = 
X∆
Y∆
 
 
 Quando a reta é traçada é sobre uma sucessão de pontos, deve-se escolher o 
traçado de modo a deixar alguns pontos acima e outros abaixo. Convêm, entretanto, 
tomar o cuidado de não converter a reta em alguma curva suave. 
 O exemplo a seguir mostra como, a partir de gráficos construídos com dados 
experimentais, se pode obter um a relação matemática entre as variáveis envolvidas no 
experimento. A figura abaixo representa o gráfico plotado da velocidade em função do 
tempo. A reta mostra a relação linear entre velocidade e tempo. 
 
A equação correspondente é, então, da forma: 
 
Y = aX + B ou V = b + at 
 
Onde as constantes a e b são: 
 
 a = coeficiente angular da reta (inclinação da reta) 
 b = coeficiente linear da reta (ordenada p/ abscissa zero, X = 0) 
 
0
10
20
30
40
50
60
70
0 0,5 1 1,5 2 2,5 3 3,5 4 4,5 5
t (s)
V 
(m
/s
)
 
A inclinação da reta (a) é obtida dos pontos A e B do gráfico. 
 
2m/s 8,9
5,06,4(
)2060(
t∆
V∆
a =
−
−
== 
 
que é a aceleração da gravidade g, e a constante b é o valor da velocidadepara t = 0, ou 
seja, a velocidade inicial V0. 
b = V0 = 15 m/s 
∆x = 4,6 - 5 
∆v = 60 - 20 
v = 15 + 9,8t 
Logo, a equação a reta no gráfico é: 
 
V = b + at = V0 + gt = 15 + 9,8t (m/s) 
 
 A partir da equação obtida, frequentemente, outras informações podem ser 
derivadas, através de processos matemáticos. Por exemplo: 
 
dt)gtV(VdtdS
dt
dSV 0 +==→= , 
 
Integrando, tem-se: 
 
2
00 gt2
1tVSS ++= 
 
B) Relações não lineares 
 
 Como vimos, sempre que os pontos experimentais caem sobre uma linha reta, alei 
de variação que relaciona as quantidades físicas são facilmente deduzidas. Entretanto, 
quando os pontos experimentais não se ajustam a uma linha reta como frequentemente 
acontece, o problema torna-se um pouco mais difícil. 
 O método mais simples para encontrarmos as leis de variação entre duas 
quantidades relacionadas entre si que obedecem as equações não lineares é o que 
consiste em transformar tais equações em lineares e fazermos o mesmo tratamento 
usado anteriormente para equações da reta. 
 
 Vamos supor que duas grandezas físicas obedeçam às seguintes leis de variação 
não linear: 
a) Y2 = a + bX3 
 
Se fizermos Y2 igual a uma nova variável (v) e X3 igual a (u) a equação tornar-se-á: 
 
v = a + bu 
 
que é uma equação linear, portanto, o gráfico de v x u será linear e todo tratamento 
relatado anteriormente pode ser empregado aqui. 
 
b) Y = AXB 
∆x = x – x0 
∆y = y – y0 
b 
x0 x 
y0 
y 
y = ax + b 
x∆
y∆
a = 
Gráfico – função linear 
Aplicando a função logarítmica na base “a” a ambos os lados da relação teremos: 
 
loga Y = loga (AXB) = loga A + loga (XB) = loga A + Bloga X 
 
Fazendo loga Y = Y’; loga A = A’; e loga X = X’; teremos: 
 
Y’ = A’ + BX’, 
 
que é uma equação linear. 
 
c) Y = AeBX 
 
Aplicando a função logarítmica na base “a” a ambos os lados dessa equação 
teremos: 
 
loga Y = loga (AeBX) = loga A + Bloga (eX) = loga A + (Bloga e)X 
 
Fazendo loga Y = Y’; loga A = A’; X = X’ e sabendo que loga e é uma constante, 
teremos então: 
 
Y’ = A’ + Bloga (e) X’ 
 
que é uma equação linear. 
 
IX – ESCALA REGULAR E ESCALA LOGARÍTMICA 
 
 Neste item desenvolveremos algumas noções básicas sobre escalas, 
principalmente a logarítmica, usa no papel log-log e no papel mono-log. 
 
A) Escala regular 
 
 O exemplo mais comum de um papel para gráficos com escala regular é o 
milimetrado. Neste tipo de papel os traços são igualmente espaçados – tanto no eixo das 
ordenadas como no eixo das abscissas – podendo este espaçamento ser em mm, cm, m, 
etc. 
 Durante a representação de grandezas físicas neste tipo de papel, faz-se 
corresponder o valor da grandeza a ser representada com uma das distâncias entre os 
traços. Deste modo, cada intervalo corresponde a uma distância fixa em cada eixo. 
 
B) Escala logarítmica 
 
 Vamos começar a incursão no assunto através do papel log-log (ou di-log). 
 
 B.1 – algumas características 
 
a) A origem não é no ponto (0,0), mas sim no ponto (1,1) podendo deslocar o eixo de 
um ciclo a mais ou a menos de acordo com os dados experimentais. (Lembrem 
que na origem log x = 0, log y = 0 → x = 1, y = 1.) 
 
b) Em ambos os eixos a escala é sempre a mesma, ou seja, ela é fixada no próprio 
papel. 
 
c) Se o primeiro ciclo vai de 1 (100) até 10 (101), o segundo ciclo vai de 10 (101) até 
100 (102) e assim por diante, pois em cada ciclo os números variam de um fator de 
dez. 
 
d) A distância entre os pontos de 1 a 2 no primeiro ciclo, é a mesma de 10 a 20 no 
segundo, de 100ª 200 no terceiro e assim por diante. 
 
e) Não é necessário calcular o logaritmo dos números, pois o papel já se apresenta 
na escala logarítmica. 
 
 B.1 – gráfico retilíneo no papel log-log 
 
 O papel log-log é aquele que apresenta escala logarítmica nas duas dimensões, 
isto é, tanto no eixo das ordenadas quanto no eixo das abscissas. 
 A representação da relação entre duas grandezas, neste tipo de papel, pode 
resultar uma curva qualquer. No caso particular da curva mais simples, isto é, 
segmento de reta, pode-se facilmente determinar a correspondente equação 
matemática. A equação da reta será 
 
Y = aX + b 
 
onde Y = log (y); X = log (x) e B = log (b). Y e X são grandezas plotadas nos eixos das 
ordenadas e no das abscissas, respectivamente, a e b são constantes. A equação que 
representa uma reta no papel di-log é: 
 
log y = alog x + log b 
 
que pode ser modificada aplicando a transformação logarítmica inversa para y = bxa 
que é a função y = f(x) procurada. 
 
DETERMINAÇÃO DAS CONSTANTES “a” E “b” 
 
 Se a função é y = bxa, a constante “b” será igual a y para x = 1. 
 
y = b(1)a = b 
 
ou então da equação, log (y)= alog (x) + log (b) 
 
x = 1 → log (y) = alog (1) + log (b) = log (b) 
 
log (y) = log (b) → y = b 
 
Como se pode observar no gráfico do papel di-log procura-se o valor de y para x 
= 1 e desta forma encontra-se, neste caso, y = b = 80. 
 
 
 
 Para determinar a constante a, basta tomar dois pontos quaisquer da reta. Sejam 
(x1,y1) e (x2,y2) dois pontos pertencentes a reta dada pela equação: 
 
log y = alog x + log b 
 
então, 
 
log y2 = alog x2 + log b 
log y1 = alog x1 + log b 
 
 Como as escalas das ordenadas e das abscissas são iguais, podemos medir 
com uma régua as variações ∆log y = ∆y e ∆log x = ∆x e obter o valor da constante a. 
 
x∆
y∆
a = 
 
 Do gráfico do papel di-log temos que, ∆y = 5,9 cm e ∆x = 9,8 cm, portanto, a = 0,6 
e a equação para y será: 
 
y = 80x0,60 
 
que é a função procurada. 
 A determinação de coeficiente angular torna-se bastante simples quando em 
ambos os eixos a escala é a mesma, como no caso do papel di-log, e o procedimento é 
o adotado na determinação da constante acima. 
 
C) PAPEL MONO-LOG 
 
 Em geral o papel mono-log apresenta o eixo das ordenadas em escala logarítmica 
e o eixo das abscissas em escala regular. Neste caso pode-se atribuir origem igual a 
ZERO quando da graduação do eixo das abscissas, enquanto que para o eixo das 
ordenadas prevalecem as normas da escala logarítmica. 
 Neste papel, quando os pontos plotados estiverem alinhados (linha reta) a função 
pode ser uma exponencial da forma: 
 
y = aebx 
 
onde a e b são constantes positivas ou negativas e e = 2,718… (base do logaritmo 
neperiano). A razão de uma função exponencial transparecer como uma reta (função 
linear) no papel mono-log é pelo seguinte: 
 
log y = log a + bx log e 
ou 
log y = │blog e│ + log a 
 
onde a constante │blog e│ é o coeficiente angular e a constante log a é o coeficiente 
linear da reta. 
 Podemos observar que a variável dependente (eixo das ordenadas) varia 
logaritmicamente enquanto a variável independente (eixo das abscissas) varia 
linearmente. Para se determinar a função exponencial, devemos determinar os 
valores das constantes a e b. 
 
DETERMINAÇÃO DAS CONSTANTES “a” E “b” 
 
Como a função exponencial é y = aebx observa-se que para x = 0 tem-se que y = 
aeb0 = y = ae0 = 1a ⋅ = a. Portanto, determina-se a procurando-se o valor de y = a para x = 
0, então do gráfico do papel mono-log, a = 23,2. 
 
 
 
Para se determinar a constante b toma-se dois pontos quaisquer, que pertençam a 
reta do papel mono-log, (t1,I1) e (t2,I2) onde, 
 
log I2 = (blog e) t2 + log a 
log I1 = (blog e) t1 + log a 
 
subtraindo as equações tem-se 
 
t∆elog
)Ilog(∆b
⋅
= 
 
do gráfico no papel mono-log, b = -1,4 x 10-3 s-1. 
Substituindo a e b na equação y = aebx tem-se 
 
I = )t104,1exp(2,23 3−⋅− 
que é a função procurada.