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AP2 metdet ii 2016 2 tutor

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Fundac¸a˜o Centro de Cieˆncias e Educac¸a˜o Superior a Distaˆncia do Estado do Rio de Janeiro
Centro de Educac¸a˜o Superior a Distaˆncia do Estado do Rio de Janeiro
Gabarito da AP2 – Me´todos Determin´ısticos II – 12/11/2016
Questa˜o 1 [1,5pts] Considere a func¸a˜o f(x) = x
x2−9 . Calcule o dom´ınio, verifique que f(x) =−f(−x) para todo x no dom´ınio e calcule as suas assintotas.
Soluc¸a˜o: [ 0,5pts pelo dom´ınio da f+ 0,4pts por verificar que f e´ ı´mpar + 0,1pt por cada um dos
6 limites a serem considerados.]
Como a func¸a˜o envolve uma frac¸a˜o, para que x esteja no dom´ınio o denominador precisa ser diferente
de zero. Mas x2 − 9 = 0 =⇒ x = 3 e x = −3. Portanto, dom´ınio de f e´ {x ∈ R : x 6= ±3}.
Observe que f(−x) = −x
(−x)2−9 = − xx2−9 = −f(x) para todo x ∈ {x ∈ R : x 6= ±3}.
Para determinarmos as assintotas precisamos calcular os seguintes limites x → ±3± e x → ±∞.
Vamos analisar o limite quando x→ −3−, neste caso e´ claro que o numerador tende a -3 enquanto
o denominador tende a 0 com valores positivos. Portanto, lim
x→−3−
x
x2 − 9 = −∞. Fazendo ana´lise
semelhante podemos concluir que lim
x→−3+
f(x) = +∞, lim
x→3−
f(x) = −∞ e lim
x→3+
f(x) = +∞. Ja´
lim
x→+∞
x
x2 − 9 = limx→+∞
x
x2
1
1− 9/x2 = 0
+.
lim
x→−∞
x
x2 − 9 = limx→−∞
x
x2
1
1− 9/x2 = 0
−.
Portanto, x = ±3 sa˜o assintotas verticais e y = 0 e´ uma assintota horizontal.
Questa˜o 2 [1,5pt] Considere f(x) a mesma func¸a˜o da questa˜o 1. Calcule e fac¸a a analise do sinal
de f ′(x) e f ′′(x).
Soluc¸a˜o: [0,4pts pela f ′+ 0,3pts pelo estudo do sinal da f ′+ 0,4pts pela f ′′+ 0,4pts pelo estudo
do sinal da f ′′.]
Derivando obtemos
f ′(x) = − x
2 + 9
(x2 − 9)2
Observe que tanto o numerador x2+9 como do denominador sa˜o sempre positivos, portanto, f ′(x) <
0. Derivando novamente obtemos
−2x (x2 − 9)2 − [−x2 − 9]× 2× (x2 − 9)× 2x
(x2 − 9)4 =
2x(x2 − 9) [− (x2 − 9)− 2 (−x2 − 9)]
(x2 − 9)4
=
2x [−x2 + 9 + 2x2 + 18]
(x2 − 9)3 =
2x (x2 + 27)
(x2 − 9)3
Pela ana´lise do sinal, vemos que f ′′(x) < 0 se x < −3 ou 0 < x < 3. Do contra´rio, f ′′(x) ≥ 0.
Me´todos Determin´ısticos 2 AP2 2
Questa˜o 3 [1,0pt] Considere f(x) a mesma func¸a˜o da questa˜o 1. Fac¸a um esboc¸o do gra´fico e
explique o comportamento de f(x).
Soluc¸a˜o: Marque as retas assintotas x = ±3, e y = 0. Fixe o comportamento da func¸a˜o para
valores pro´ximos as estas retas. Veja que a func¸a˜o e´ decrescente no seu dom´ınio. Ale´m disso, para
valores de x < −3 a concavidade esta voltada para baixo para −3 < x < 0 a concavidade e´ voltada
para cima, ale´m disso, f(0) = 0. Agora use que f(−x) = −f(x) para todo x no seu dom´ınio.
Figura 1: Esboc¸o do gra´fico de f(x) = x
x2−9
Questa˜o 4 [2,0pts] A receita R obtida na venda de um produto e´ dada por R(q) = 20q−2000, sendo
q a quantidade de produtos vendidos. Uma fa´brica tem capacidade de produc¸a˜o de q produtos, em
func¸a˜o do nu´mero de horas t trabalhadas, expressa por q(t) = 1000− (t− 10)2 e o nu´mero de horas
trabalhadas e´ func¸a˜o da quantidade n de ma´quinas dispon´ıveis, e e´ expressa por t = 2n. Determine:
a) a expressa˜o de R(n); b) o maior valor poss´ıvel de q que se pode produzir, considerando que o
nu´mero de horas trabalhadas e´ positivo. Aproveite e determine o maior valor poss´ıvel de receita; c)
o nu´mero de ma´quinas para se obter essa receita ma´xima.
Soluc¸a˜o: [0,6pts pelo item a) + 0,9pts pelo item b) + 0,5pts pelo item c)]
a) Fazendo a substituic¸a˜o, temos que R(n) = R(q(2n)) = 20(1000 − (2n − 10)2) − 2000 =
16000 + 800n− 80n2.
b) A expressa˜o de q e´ uma func¸a˜o do segundo grau. R′(t) = −2(t− 10) e igualando a zero obtemos
t = 10, o que da´ um valor de q = 1000 unidades. O valor ma´ximo da receita ocorrera´ para o valor
de q = 1000, que e´ $18 000.
c) Se os ma´ximos ocorrem em t = 10, como t = 2n enta˜o n = 5 ma´quinas.
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Me´todos Determin´ısticos 2 AP2 3
Questa˜o 5 [1,5pt] Resolva as seguintes integrais: a)
∫
3x2 + 2x3 + x5 dx, b)
∫
x(4 + x2)8 dx e
c)
∫ 2
1
dt
(3−5t)2 .
Soluc¸a˜o: [0,5pts por cada uma das integrais]
a) ∫
3x2 + 2x3 + x5 dx =
3x3
3
+
2x4
4
+
x6
6
+K = x3 +
x4
2
+
x6
6
+K.
b) Chame de u = 4 + x2 ⇒ du = 2x dx⇒ du
2
= x dx da´ı∫
(u)8
du
2
=
1
2
u9
9
+ k =
(4 + x2)9
18
+K.
c) Chame de 3− 5t = v ⇒ dv = −5dt, logo ∫ dv−5v2 = −15 −1v . Da´ı∫ 2
1
dt
(3− 5t)2 =
[
1
5(3− 5t)
]2
1
=
−1
35
− −1
10
=
1
14
.
Questa˜o 6 [1,5pt] Fac¸a o esboc¸o da regia˜o entre as curvas y = x2+3 e y = x quando −1 ≤ x ≤ 1
e calcule a a´rea.
Soluc¸a˜o: [0,5pts pelo esboc¸o da regia˜o + 1,0pt pela integral.]
Veja que y = x e´ uma reta que passa pela origem e que y = x2+3 e´ uma equac¸a˜o de para´bola. Da´ı
temos a seguinte figura
Logo a a´rea e´
∫ 1
−1 x
2 + 3− x dx =
[
x3
3
− x2
2
+ 3x
]1
−1
= 20
3
.
Questa˜o 7 [1,0pt] Calcule a derivada de: a) g(x) = e
x
1+ex
e b) h(x) = (x2 + 1)2
√
x2 + 2.
Soluc¸a˜o: [Cada derivada vale 0,5pts]
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Me´todos Determin´ısticos 2 AP2 4
a) Derivando obtemos
g′(x) =
(ex)′ (1 + ex)− ex (1 + ex)′
(1 + ex)2
=
ex (1 + ex)− ex ex
(1 + ex)2
=
ex (1 + ex − ex)
(1 + ex)2
=
ex
(ex + 1)2
b)
h′(x) =
[
(x2 + 1)2
]′√
x2 + 2 + (x2 + 1)2 ·
[√
x2 + 2
]′
= 2 (x2 + 1) · 2x ·
√
x2 + 2 + (x2 + 1)2
(
2x
2
√
x2 + 2
)
=
x (x2 + 1) · 4 · (x2 + 2) + x (x2 + 1)2√
x2 + 2
=
x(x2 + 1) (4x2 + 8 + x2 + 1)√
x2 + 2
=
x (x2 + 1) (5x2 + 9)√
x2 + 2
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