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Fundac¸a˜o Centro de Cieˆncias e Educac¸a˜o Superior a Distaˆncia do Estado do Rio de Janeiro Centro de Educac¸a˜o Superior a Distaˆncia do Estado do Rio de Janeiro Gabarito da AP2 – Me´todos Determin´ısticos II – 12/11/2016 Questa˜o 1 [1,5pts] Considere a func¸a˜o f(x) = x x2−9 . Calcule o dom´ınio, verifique que f(x) =−f(−x) para todo x no dom´ınio e calcule as suas assintotas. Soluc¸a˜o: [ 0,5pts pelo dom´ınio da f+ 0,4pts por verificar que f e´ ı´mpar + 0,1pt por cada um dos 6 limites a serem considerados.] Como a func¸a˜o envolve uma frac¸a˜o, para que x esteja no dom´ınio o denominador precisa ser diferente de zero. Mas x2 − 9 = 0 =⇒ x = 3 e x = −3. Portanto, dom´ınio de f e´ {x ∈ R : x 6= ±3}. Observe que f(−x) = −x (−x)2−9 = − xx2−9 = −f(x) para todo x ∈ {x ∈ R : x 6= ±3}. Para determinarmos as assintotas precisamos calcular os seguintes limites x → ±3± e x → ±∞. Vamos analisar o limite quando x→ −3−, neste caso e´ claro que o numerador tende a -3 enquanto o denominador tende a 0 com valores positivos. Portanto, lim x→−3− x x2 − 9 = −∞. Fazendo ana´lise semelhante podemos concluir que lim x→−3+ f(x) = +∞, lim x→3− f(x) = −∞ e lim x→3+ f(x) = +∞. Ja´ lim x→+∞ x x2 − 9 = limx→+∞ x x2 1 1− 9/x2 = 0 +. lim x→−∞ x x2 − 9 = limx→−∞ x x2 1 1− 9/x2 = 0 −. Portanto, x = ±3 sa˜o assintotas verticais e y = 0 e´ uma assintota horizontal. Questa˜o 2 [1,5pt] Considere f(x) a mesma func¸a˜o da questa˜o 1. Calcule e fac¸a a analise do sinal de f ′(x) e f ′′(x). Soluc¸a˜o: [0,4pts pela f ′+ 0,3pts pelo estudo do sinal da f ′+ 0,4pts pela f ′′+ 0,4pts pelo estudo do sinal da f ′′.] Derivando obtemos f ′(x) = − x 2 + 9 (x2 − 9)2 Observe que tanto o numerador x2+9 como do denominador sa˜o sempre positivos, portanto, f ′(x) < 0. Derivando novamente obtemos −2x (x2 − 9)2 − [−x2 − 9]× 2× (x2 − 9)× 2x (x2 − 9)4 = 2x(x2 − 9) [− (x2 − 9)− 2 (−x2 − 9)] (x2 − 9)4 = 2x [−x2 + 9 + 2x2 + 18] (x2 − 9)3 = 2x (x2 + 27) (x2 − 9)3 Pela ana´lise do sinal, vemos que f ′′(x) < 0 se x < −3 ou 0 < x < 3. Do contra´rio, f ′′(x) ≥ 0. Me´todos Determin´ısticos 2 AP2 2 Questa˜o 3 [1,0pt] Considere f(x) a mesma func¸a˜o da questa˜o 1. Fac¸a um esboc¸o do gra´fico e explique o comportamento de f(x). Soluc¸a˜o: Marque as retas assintotas x = ±3, e y = 0. Fixe o comportamento da func¸a˜o para valores pro´ximos as estas retas. Veja que a func¸a˜o e´ decrescente no seu dom´ınio. Ale´m disso, para valores de x < −3 a concavidade esta voltada para baixo para −3 < x < 0 a concavidade e´ voltada para cima, ale´m disso, f(0) = 0. Agora use que f(−x) = −f(x) para todo x no seu dom´ınio. Figura 1: Esboc¸o do gra´fico de f(x) = x x2−9 Questa˜o 4 [2,0pts] A receita R obtida na venda de um produto e´ dada por R(q) = 20q−2000, sendo q a quantidade de produtos vendidos. Uma fa´brica tem capacidade de produc¸a˜o de q produtos, em func¸a˜o do nu´mero de horas t trabalhadas, expressa por q(t) = 1000− (t− 10)2 e o nu´mero de horas trabalhadas e´ func¸a˜o da quantidade n de ma´quinas dispon´ıveis, e e´ expressa por t = 2n. Determine: a) a expressa˜o de R(n); b) o maior valor poss´ıvel de q que se pode produzir, considerando que o nu´mero de horas trabalhadas e´ positivo. Aproveite e determine o maior valor poss´ıvel de receita; c) o nu´mero de ma´quinas para se obter essa receita ma´xima. Soluc¸a˜o: [0,6pts pelo item a) + 0,9pts pelo item b) + 0,5pts pelo item c)] a) Fazendo a substituic¸a˜o, temos que R(n) = R(q(2n)) = 20(1000 − (2n − 10)2) − 2000 = 16000 + 800n− 80n2. b) A expressa˜o de q e´ uma func¸a˜o do segundo grau. R′(t) = −2(t− 10) e igualando a zero obtemos t = 10, o que da´ um valor de q = 1000 unidades. O valor ma´ximo da receita ocorrera´ para o valor de q = 1000, que e´ $18 000. c) Se os ma´ximos ocorrem em t = 10, como t = 2n enta˜o n = 5 ma´quinas. Fundac¸a˜o CECIERJ Conso´rcio CEDERJ Me´todos Determin´ısticos 2 AP2 3 Questa˜o 5 [1,5pt] Resolva as seguintes integrais: a) ∫ 3x2 + 2x3 + x5 dx, b) ∫ x(4 + x2)8 dx e c) ∫ 2 1 dt (3−5t)2 . Soluc¸a˜o: [0,5pts por cada uma das integrais] a) ∫ 3x2 + 2x3 + x5 dx = 3x3 3 + 2x4 4 + x6 6 +K = x3 + x4 2 + x6 6 +K. b) Chame de u = 4 + x2 ⇒ du = 2x dx⇒ du 2 = x dx da´ı∫ (u)8 du 2 = 1 2 u9 9 + k = (4 + x2)9 18 +K. c) Chame de 3− 5t = v ⇒ dv = −5dt, logo ∫ dv−5v2 = −15 −1v . Da´ı∫ 2 1 dt (3− 5t)2 = [ 1 5(3− 5t) ]2 1 = −1 35 − −1 10 = 1 14 . Questa˜o 6 [1,5pt] Fac¸a o esboc¸o da regia˜o entre as curvas y = x2+3 e y = x quando −1 ≤ x ≤ 1 e calcule a a´rea. Soluc¸a˜o: [0,5pts pelo esboc¸o da regia˜o + 1,0pt pela integral.] Veja que y = x e´ uma reta que passa pela origem e que y = x2+3 e´ uma equac¸a˜o de para´bola. Da´ı temos a seguinte figura Logo a a´rea e´ ∫ 1 −1 x 2 + 3− x dx = [ x3 3 − x2 2 + 3x ]1 −1 = 20 3 . Questa˜o 7 [1,0pt] Calcule a derivada de: a) g(x) = e x 1+ex e b) h(x) = (x2 + 1)2 √ x2 + 2. Soluc¸a˜o: [Cada derivada vale 0,5pts] Fundac¸a˜o CECIERJ Conso´rcio CEDERJ Me´todos Determin´ısticos 2 AP2 4 a) Derivando obtemos g′(x) = (ex)′ (1 + ex)− ex (1 + ex)′ (1 + ex)2 = ex (1 + ex)− ex ex (1 + ex)2 = ex (1 + ex − ex) (1 + ex)2 = ex (ex + 1)2 b) h′(x) = [ (x2 + 1)2 ]′√ x2 + 2 + (x2 + 1)2 · [√ x2 + 2 ]′ = 2 (x2 + 1) · 2x · √ x2 + 2 + (x2 + 1)2 ( 2x 2 √ x2 + 2 ) = x (x2 + 1) · 4 · (x2 + 2) + x (x2 + 1)2√ x2 + 2 = x(x2 + 1) (4x2 + 8 + x2 + 1)√ x2 + 2 = x (x2 + 1) (5x2 + 9)√ x2 + 2 Fundac¸a˜o CECIERJ Conso´rcio CEDERJ
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