EAD Matematica Basica 01

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MATEMÁTICA BÁSICA
Nilson Sá Costa Filho
MATEMÁTICA BÁSICA
Nilson Sá Costa Filho
Em meio às transformações decorrentes do avanço científi co e tecnológico, está vá-
rias aplicações da matemática, que se faz necessária desde o início da civilização com 
a ideia de contagem até os dias atuais com cálculos mais complexos.
O processo de ensino e aprendizagem em diversas campos do conhecimentos 
necessita de um alicerce emMatemática, seja nas formas escrita, falada, gestual ou 
até mesmo em todas elas. A disciplina Matemática Básica integra a estrutura curricu-
lar de vários cursos e tem a fi nalidade de prover um ferramental teórico para oaluno 
desenvolver um raciocínio abstrato (lógico-matemático), relacionando-o à resolução 
de situações-problema em diversas áreas.O nosso material apresenta uma síntese de 
ideias,fazendo uma revisão de conteúdos vistos no ensino fundamental e médioque se 
faz necessário aos alunos de graduação.
Desta forma, iniciamos onosso material fazendo uma abordagem não axiomática 
sobre a teoria dosconjuntos com suas operações e propriedades, relembrando defi ni-
ções elementares. 
Dando continuidade, falamos sobre os principais tópicos de funções, trazendo as 
principais características das funções exponenciais, logarítmicas e trigonométricas.
O capítulo seguinte traz as noções básicas de limite e derivadautilizando a plota-
gens de gráfi cos, construções de tabelas e uso de defi nições, nos excluindo de algu-
mas demonstrações que fogem ao nível de interesse dessa disciplina.
Para um melhor resultado de seus estudos está disponível neste materialexercícios-
resolvidos, questões propostas ao término de cada seção, além de e íconesutilizados 
para expandir as formas delinguagem e facilitar a organização e a leitura hipertextual.
MATEMÁTICA BÁSICA
Nilson Sá Costa Filho
Apresentação
da Disciplina
MATEMÁTICA BÁSICA
Nilson Sá Costa Filho
Palavra do
professor-autor 
Olá, aluno! 
Estamos iniciando a disciplina Matemática Básica fazendo uso do computador, da inter-
net, dos softwares educativos, que contribuíram para a transformação de informações em 
conhecimento, e estes para a sua formação como sujeitos críticos e refl exivos.
Para que você alcance os objetivos dessa nova caminhada comêxito, a equipe de Edu-
cação a Distância (EAD) da Unidade de Ensino Superior Dom Bosco(UNDB) elaborou todo 
material para auxiliá-lo nessa jornada. Mas tenha atenção, que o sucesso nas atividades 
desta disciplina estar sujeitoao seu empenho, deve ser assim designado,um período para 
explorar o nosso Ambiente Virtual (AVA). Sempre que surgir dúvidas pertinentes aos con-
teúdos, estão a sua disposição os tutores e monitores, tanto na forma virtual, quanto na 
presencial. Tudo isso para facilitar o processo de ensino aprendizagem.
Portanto, mãos à obra!
Bons estudos.
MATEMÁTICA BÁSICA
Nilson Sá Costa Filho
Projeto Institucional
Disciplina: Matemática Básica
Carga Horária: 80 horas
Ementa
Álgebra; Funções do 1º grau ou afi m; Funções do 2º grau ou quadrática; Função modu-
lar; Função exponencial; Função logarítmica; Trigonometria; Funções trigonométricas; 
Limite e continuidade de funções; Matrizes; Determinantes; Derivadas.
Objetivo Geral
Desenvolver o raciocínio abstrato (lógico-matemático), relacionando-o à resolução de 
situações-problema diversas.
Objetivos Específi cos
Aplicar, em situações-problema, os conceitos matemáticos básicos; 
Desenvolver aplicações práticas básicas na resolução de problemas;
Resolver problemas matemáticos a partir do raciocínio abstrato;
MATEMÁTICA BÁSICA
Nilson Sá Costa Filho
Cronograma de Estudos
Módulo
Álgebra
Conteúdos abordados
Números reais: valor de ex-
pressões numéricas, cálculo 
de porcentagem, poten-
ciação e radiciação;
Expressões algébricas;
Polinômios e fatoração;
Expressões algébricas;
Equação Polinomial do 1º 
grau;
Inequação Polinomial do 1º 
grau;
Equações do 2º grau.
Material de apoio extra
http://mesalva.com/cursos/matematica/matematica-pa-
ra-o-ensino-medio
http://mesalva.com/cursos/matematica-do-ensino-su-
perior/pre-calculo
https://www.youtube.com/watch?v=Fdw3EMxVGv4
https://www.youtube.com/watch?v=0aUEDxYjZg8
https://www.youtube.com/watch?v=CZy8wa0R6rw
https://pt.khanacademy.org/math/cc-eighth-grade-
math/cc-8th-numbers-operations/cc-8th-irratio-
nal-numbers/v/converting-a-fraction-to-a-repeat-
ing-decimal
https://www.youtube.com/watch?v=5mVf2lhx5yI
https://www.youtube.com/watch?v=dwrMK9NpTck
https://pt.khanacademy.org/math/algebra/multiply-
ing-factoring-expression/multiplying%20monomials/v/
monomial-greatest-common-factor
https://pt.khanacademy.org/math/algebra/multiply-
ing-factoring-expression
https://www.youtube.com/watch?v=8OvDCbXUd-
Mc&t=16
https://pt.khanacademy.org/math/algebra/quadratics/
quadratic-formula/v/using-the-quadratic-formula
https://www.youtube.com/watch?v=JP5lCIEfhuM
https://www.youtube.com/watch?v=TcbtrAPagnw
https://www.youtube.com/watch?v=Cy4gAIEM8Dc
https://www.youtube.com/watch?v=GpcPwx1bGwY
https://www.youtube.com/watch?v=cVA8dhz6FkA
https://www.youtube.com/watch?v=IPBm_9rT3HM
https://www.youtube.com/watch?v=PH-wgSuIlgY
https://www.youtube.com/watch?v=tBPT9NRBhSI
MATEMÁTICA BÁSICA
Nilson Sá Costa Filho
Cronograma de Estudos
Módulo
Introdução às funções
Conteúdos abordados
Introdução às Funções: 
Defi nição, domínio e Ima-
gem, representação gráfi ca e 
aplicações;
Funções Afi ns e Quadráticas: 
defi nição, domínio e imagem, 
gráfi co e aplicações;
Funções defi nida por várias 
sentenças abertas, Módulo e 
Função Modular.
Material de apoio extra
http://mesalva.com/cursos/matematica/matematica-pa-
ra-o-ensino-medio
http://mesalva.com/cursos/matematica-do-ensino-su-
perior/pre-calculo
http://www.fundacaolemann.org.br/khanportugues/
matematica/algebra/funcoes
https://pt.khanacademy.org/math/algebra/algebra-func-
tions
https://www.youtube.com/watch?v=0TfH7xgcQ0I
https://www.youtube.com/user/professorferretto
https://www.youtube.com/watch?v=hdMFlAv5GkU
https://www.youtube.com/watch?v=Bs2Ylb4x2V8
http://www.fundacaolemann.org.br/khanportugues/
matematica/algebra/funcoes/dominio_e_variacao_1
https://pt.khanacademy.org/math/algebra2/functions_
and_graphs
https://www.youtube.com/watch?v=SPZqQ5qn3P0
https://www.youtube.com/watch?v=8sXnloWAU8s
http://descomplica.com.br/matematica/modulo-e-fun-
cao-modular/defi nicao-de-modulo
https://www.youtube.com/watch?v=iMn3iI_VyLM
https://www.youtube.com/watch?v=0VDVcxG-Ki4
https://www.youtube.com/watch?v=hKW_i_P5Q9w
https://www.youtube.com/watch?v=rEqbUT6-cto
https://www.youtube.com/watch?v=SMutBGN74D4
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Nilson Sá Costa Filho
Cronograma de Estudos
Módulo
Funções transcen-
dentes
Conteúdos abordados
Função exponencial;
Função logarítmica;
Equações e Inequações Ex-
ponenciais e Logarítmica;
Trigonometria;
Funções trigonométricas;
Material de apoio extra
http://mesalva.com/cursos/matematica/matematica-pa-
ra-o-ensino-medio
http://mesalva.com/cursos/matematica-do-ensino-su-
perior/pre-calculo
https://www.youtube.com/watch?v=H9phtIEm0Zk
https://www.youtube.com/watch?v=FGbCTR61q_s
https://www.youtube.com/watch?v=bKncTaE-gCc
https://www.youtube.com/watch?v=h2ACYTmGLLg
https://pt.khanacademy.org/math/algebra/algebra-func-
tions/one-variable-modeling/v/making-more-pizzas-to-
spread-cost-per-pizza
https://www.youtube.com/watch?v=nbSrrXHHONg
https://pt.khanacademy.org/math/algebra2/exponen-
tial_and_logarithmic_func/exp_growth_decay/v/graph-
ing-exponential-functions
https://www.youtube.com/watch?v=sXFdCZXzRT8
https://www.youtube.com/watch?v=qPTk1NafnTU
https://www.youtube.com/watch?v=Idfz_ZXWaRE
https://pt.khanacademy.org/math/trigonometry/unit-
circle-trig-func
https://www.youtube.com/watch?v=BCr7jwEiVSMhttps://pt.khanacademy.org/math/trigonometry/
basic-trigonometry/trig-application-problems/v/how-
much-of-a-pyramid-is-submerged
https://pt.khanacademy.org/math/trigonometry/trig-
function-graphs/trig_graphs_tutorial/v/we-graph-do-
main-and-range-of-sine-function
https://www.youtube.com/watch?v=XdetCeq88xQ
Ícones
Orientação para estudo
Ao longo desta apostila, serão encontrados alguns ícones utilizados para
facilitar a leitura do conteúdo. Saiba o que eles significam.
x
Tome Nota
Sugestão de filme
Dica de Site
Glossário
Fique atento
Saiba mais
Atividades
Sugestão de Leitura
Referências
Pense
Encontrado quando há alguma 
observação que deva ser levada em 
conta devido a casos específi cos ou 
pela importância da mesma
Havendo a oportunidade de com-
plementar o assunto com algum 
fi lme ou documentário, esse ícone 
aparecerá
Para aprofundar-se no assunto, sites 
estarão sugeridos aqui.
Para técnicos ou pertinentes ao gru-
po de estudo específi co, o glossário 
traz o signifi cado das palavras de 
modo a esclarecer o assunto.
Aviso para erros comuns e pergun-
tas capiciosas dentro do contexto do 
assunto.
Sempre que houver informações 
complementares, elas estarão sinali-
zadas por esse ícone
Para reforço ou fi xação, sugestões 
de atividades para o aluno serão 
mostradas junto ao ícone.
O assunto muitas vezes é maior do 
que o que está mostrado aqui, então 
o aluno pode (e deve) procurar as 
referências para aprender mais ou 
fi xar o conteúdo.
Havendo a oportunidade de com-
plemetar o assunto com algum livro, 
periódico ou publicação científi ca, 
esse ícone aparecerá.
Um convite à refl exão de pensa-
mentos relativos ao assunto ou 
derivados do mesmo.
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Nilson Sá Costa Filho
Índice
Apresentação da Disciplina
Palavra do Professor-Autor
Projeto Institucional
Cronograma de Estudos
Ícones
1. Conjuntos
1.2 Pertinência
1.3 Representação de um conjunto
1.4 Conjuntos Importantes
1.5 Subconjuntos
1.6 Operações com Conjuntos
1.7 Conjunto das partes
2. Conjuntos Numéricos
2.1 Conjunto dos números naturais e dos números inteiros
2.2 Conjunto dos números racionais
2.3 Conjunto dos números irracionais
2.4 Conjunto dos números reais
3. Cálculo Algébrico
3.1 Defi nições Importantes
3.2 Operações com Polinômios
3.3 Frações Algébricas
3.4 Equações
4. Funções
4.1 Par ordenado
4.2 Plano cartesiano
4.3 Noção de relação
4.4 Noção matemática de fundo
4.5 Defi nição e notação de função
4.6 Domínio, contradomínio e imagem de uma função
4.7 Noção de relação
4.8 Domínio das funções numéricas
4.9 Zeros de uma função
4.10 Função par e função ímpar
4.11 Função crescente e função decrescente
5. Função Afi m
5.1 Casos de particulares da função afi m
5.2 Gráfi cos da função afi m
5.3 Estudo do sinal da função afi m
6.6 Função Quadrática
6.1 Gráfi co de uma função quadrática
6.2 Estudo do sinal da função quadrática
7. Função Composta
8. Funções sobrejetoras, injetoras e bijetoras
8.1 Função injetora ou injetiva
8.2 Função injetora ou injetiva
8.3 Função bijetora ou bijetiva
9. Função Inversa
03
04
05
06
10
11
11
11
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12
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15
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27
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37
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57
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59
MATEMÁTICA BÁSICA
Nilson Sá Costa Filho
Módulo 01 - Álgebra
Rascunho
11
Conjuntos
Módulo 01 - Álgebra Objetivo deste capítulo
Apresentar uma revisão de vários conteúdos do vista pelo aluno no
Ensino Fundamental, sem explanações axiomáticas rigorosas.
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Alguns autores defi nem conjunto como, qualquer coleção dada de objetos, 
já outros autores como IEZZI e MURAKAMI 2000, consideram que as noções 
de conjunto, elemento e pertinência entre elemento e conjunto são conside-
radas primitivas ou seja noções aceitas sem defi nições. As duas colocações 
são sufi cientes para continuação de nossos estudos.
Indicaremos os conjuntos (salvo menção explicita), por letras maiúscula, $��
%��&������ e um elemento com uma letra minúscula, D��E��[��\��Z��� .
 Exemplos: 
1ª) Conjunto dos dias da semana
$� �^VHJXQGD��WHUoD��TXDUWD��TXLQWD��VH[WD��ViEDGR��GRPLQJR`
2ª) Conjunto dos alunos da disciplina Matemática Básica
0� �^1LOVRQ��+HOOHQ��&DUOD��0DJQR��1DSROHmR��$QD��(GHP`
3ª) Conjunto dos números naturais
1� �^����������`
1.2 Pertinência
Se Z é um elemento do conjunto :, dizemos que Z pertence a : e escreve-
mos�Z�ʓ�:, caso contrário, Z�ʔ�:�(não pertence).
1.3 Representação de um conjunto
Os conjuntos podem ser representados de suas maneiras:
1.3.1 Escrevendo numa lista os seus elementos, e englobando tal lista 
entre chaves.
Exemplo:
1ª) Conjunto dos cursos oferecido pela Unidade de Ensino Superior 
Dom Bosco: $� �^$GPLQLVWUDomR��$UTXLWHWXUD��&LrQFLDV�&RQWiEHLV��
'LUHLWR��(GXFDomR�)tVLFD��(QJHQKDULD�&LYLO��(QJHQKDULD�GH�3URGXomR��
3HGDJRJLD��6LVWHPDV�GH�,QIRUPDomR��7XULVPR`
1.3.2 Por meio de uma propriedade de característica P de seus elementos 
x, escrevemos:
$� �^[�_�[�WHP�D�SURSULHGDGH�3`
Exemplo:
�•��%� �^[�_�[�p�GLYLVRU�LQWHLUR�GH��` ^�������������`
1
Fique Atento
O primeiro e o segundo exemplo 
de conjuntos A e M são conjun-
tos fi nitos e o terceiro conjunto 
N é um conjunto infi nito.
Rascunho
12
ConjuntosMódulo 01 - Álgebra
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1.4 Conjuntos Importantes
1.4.1 Conjunto Unitário: é aquele que possui um único elemento.
1.4.2 Conjunto Vazio: é aquele que não contém elementos, sendo repre-
sentado por ^�` ou por ‘.
1.4.3 Conjunto Universo: é o conjunto que possui todos os elementos do 
contexto no qual estamos trabalhando e também contém todos os con-
juntos desse contexto. A notação do conjunto universo é a letra�8.
1.5 Subconjuntos
Se todo elemento de um conjunto $�pertence também a %, dizemos que $�p�
VXEFRQMXQWR�GH�%, ou $�HVWi�FRQWLGR�HP�% e escrevemos $�̍�%. A negação de 
$�̍�% é $�̏�% ou seja, $�QmR�HVWi�FRQWLGR�HP�%. Quando $�HVWi�FRQWLGR�HP�%, 
igualmente podemos escrever %�FRQWpP�$ cuja a notação é $�̎�%.
AB
Propriedades:
����‘�̍�$
����$�̍�$
�����$�̍�%�H�%�̍�$��ɝ�$�ɝ�%
�����$�̍�%�H�%�̍�&��ɝ�&
Exemplo:
Sendo A� �^����`��%� �^����`��&� �^�������` e '� �^����������`.
Temos que,
$�̍�', pois ��ʓ�$, ��ʓ�', ��ʓ�$ e ��ʓ�' .
'�̎�%, pois ��ʓ�%, ��ʓ�', ��ʓ�% e ��ʓ�'.
$�̏�&, pois ��ʓ�$ e ��ʔ�&.
Exemplo:
1ª) Diga se é verdadeira ou falsa cada uma das sentenças abaixo.
Justifi que!
D����ʓ�^����������`�� � H��ʐ�̍�^���`
E���ʔ�^����������`�� � I��^���`�̍�ʐ
F��^�`�ʓ�^����`��� � J��^���`�̎�ʐ
G��ʐ�ʓ�^���`�� � � K����ʓ�ʐ
Rascunho
13
1.6 Operações com Conjuntos
Dados dois conjuntos A e B, defi nimos:
1.6.1 A união B, por um conjunto formado pelos elementos que pertencem 
a A ou a B.
$�ʵ�%� �^[�_�[�ʓ�$�RX�[�ʓ�%`
A B
Propriedades da União:
����$�ʵ�$� �$
����$�ʵ�‘� �$
����$�ʵ�%� �%�ʵ�$
�����$�ʵ�%��ʵ�&� �$�ʵ��%�ʵ�&�
1.6.2 A interseção B, como sendo o conjunto formado pelos elementos que 
pertencem a A e pertencem a B.
$�ʴ�%� �^[�_�[�ʓ�$�H�[�ʓ�%`
A B
Propriedades da Interseção:
����$�ʴ�$� �$
����$�ʴ�8� �$
����$�ʴ�%� �%�ʴ�$
����$�ʴ��%�ʴ�&�� ��$�ʴ�%��ʴ�&
Propriedades da União e Interseção:
����$�ʵ��$�ʴ�%�� �$
����$�ʴ��$�ʵ�%�� �$
����$�ʵ��%�ʴ�&�� ��$�ʵ�%��ʴ��$�ʵ�&�
����$�ʴ��%�ʵ�&�� ��$�ʴ�%��8��$�ʴ�&�
1.6.3 Diferença entre A e B, por um o conjunto que consiste dos elementos 
de A que não pertencem a B.
$�¦�%� �^[�_�[�ʓ�$�H�[�ʔ�%`
ConjuntosMódulo 01 - Álgebra
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Rascunho
14
ConjuntosMódulo 01 - Álgebra
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1.6.4 Complementar de B em relação A, como sendo o conjunto dos ele-
mentos de A que não pertencem a B. Sendo que A ̍ B.
CBA = B = B - A
A
A
Propriedades da Complementação:
(1) CBA ʴ�%� �ʐ
(2) CBAʵ�% = B
(3) CAA = ʐ
(4) Cʐ% = A
Exemplo:
1ª) Se $� �^�������`��%� �^�������`��&� �^�������`�H�8� �^�����������������` onde 
estão contidos os conjuntos A, B e C então:
D��$�ʵ�%� �^����������`�� � G��&%� �^�������`
E��$�ʴ�&� �^����`�� � � H���$�ʵ�%�� �^����`
F��&$� �A� �^�������`�� � I��$���%� �^�`
1.7 Conjunto das partes
Seja A um conjunto, chama-se conjunto das partes de A aquele que é for-
mado por todos subconjuntos de A. Em símbolos:
3�$�� �^�[�_�[�̍�$�`
Exemplo: Construa o conjunto das partes dos conjuntos a seguir.
D��$ �^�`
E��%� �^����`
3�$�� �^ʐ��^�``�� � 3�%�� �^ʐ��^�`��^�`��^����``
F��&� �^�������`
3�&�� �^ʐ��^�`��^�`��^�`��^����`��^����`��^����`��^�������``
Rascunho
15
Conjuntos
Numéricos
Módulo 01 - Álgebra
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2.1 Conjunto dos números naturais e dos números inteiros.
Destacamos inicialmente dois conjuntos numéricos os naturais (N) e intei-
ros (Z):
Conjunto dos números naturais:
1� �^�����������������`
Este conjunto também é chamado o conjunto dos números inteiros posi-
tivos e se designa por Z+.
Conjunto dos números naturais não nulos:
1
� �1�ʝ�^�`� �^��������������`
Conjunto dos números inteiros negativos:
=ʝ� �^ʝ��ʝ��ʝ��������`
Conjunto dos números inteiros não negativos:
=�ʝ�=ʝ� �^�����������������`
Conjunto dos números inteiros não positivos:
=�ʝ�=�� �^��ʝ��ʝ��ʝ��������`
 
Neste primeiro momento vamos nos dedicar a estudar as propriedades dos 
Números Inteiros (Z) que é fechado em relação a adição e multiplicação.
Propriedades das operações de adição e de multiplicação em Z:
Comutativa:
D���E� �E���D�SDUD�WRGR�D��E�ʓ�=��D���E� �E���D�SDUD�WRGR�D��E�ʓ�=�
Associatividade:
��D���E����F� �D�����E���F���SDUD�WRGR�D��E��F�ʓ�=����D���E�����F� �D�����E���F���SDUD�
WRGR�D��E��F�ʓ�=�
Distributividade:
D�����E���F��� �D���E���D���F�SDUD�WRGR�D��E��F�ʓ�=����D���E�����F� �D���F���E���F�
SDUD�WRGR�D��E��F�ʓ�=�
2
Rascunho
16
Conjuntos NuméricosMódulo 01 - Álgebra
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Existência de elementos neutros (0 para a adição e 1 para a multiplicação).
����D� �D� �D� �D�����SDUD�WRGR�D�ʓ�=������D� �D� �D�����SDUD�WRGR�D�ʓ�=�
Existência de simétricos:
D�������D��� ��� �����D�����D�SDUD�WRGR�D�ʓ�=�
Existem consequências importantes dessas propriedades, vamos citar 
algumas:
������´�D� ��� �D�´����SDUD�WRGR�D�ʓ�=�
�����������D� ���D��ʋ�D�ʓ�=�
����D������E��� �����D�����E� ���D���E��ʋ�D�H�E�ʓ�=�
����D�����E���F��� �D���E�¦�D���F��ʋ�D��E�H�F�ʓ�=�
����D�¦�E� ���ɟ�D� �E�
�����ʝ������ʝ��� ���H�SRUWDQWR��ʝ��ʝ�D��� �D��SDUD�WRGR�D�ʓ�=�
����D���F� �E���F�ȝ�D� �E��SDUD�WRGR�D��E��F�ʓ�=�
����D�´�F� �E�´�F�ȝ�D� �E��SDUD�WRGR�D��E��F�ʓ�=�
����D�´�E�����ɟ�D�H�E�WrP�VLQDLV�FRQWUiULRV��FRP�D��E�ʓ�=�
�����D�´�E�!���ɟ�D�H�E�WrP�R�PHVPR�VLQDO��VHQGR�D��E�ʓ�=�
Nossa, quantas letras e símbolos você deve estar pensando! Vamos 
resolver algumas expressões numéricas com base nas propriedades e suas 
consequências para perceber o quanto é fácil aplicá-las.
Exemplo:
1ª) Calcule as expressões numéricas a seguir:
D�������� ��� E��������� ���� F��������� ��
G�������� ��� H�������� ���� I��������� ���
J����� ��� K����� ���L�������� ���
M�������� ���� O����������� ��� P��¦��������� ����
Q���������������� ���� � R������������������ ���
S������������������� ��
T����ʝ�����ʝ��ʝ�������ʝ��ʝ�����ʝ���ʝ����ʝ������� ��
Rascunho
17
Conjuntos NuméricosMódulo 01 - Álgebra
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2.2 Conjunto dos números racionais
Antes de falarmos do conjunto dos números racionais devemos defi nir 
Divisor e Múltiplo.
Dados T�ʓ�=
 e S�ʓ�=. Dizemos que T divide S com notação T�_�S que é a 
mesma coisa de falarmos (T�p�XP�GLYLVRU�GH�S, ou que S�p�GLYLVtYHO�SRU�T), se 
existe U�ʓ�= tal que S� �U���T . Neste caso, U é dito o quociente da divisão de S 
por T e é denotado por ST . Quando S� �U���T dizemos que S é um múltiplo de T.
Falaremos agora do Conjunto dos Números Racionais (4) que é defi nido 
como o conjunto dos números que podem ser escrito na forma de um fração 
S
T
 , com p e q inteiros e T�˫�� ou em termos de notação:
4� �^ ST �_�S�ʓ�=�H�T�ʓ�=ʢ`
No conjunto 4 destacam-se os seguintes subconjuntos:
4
� �FRQXQWR�GRV�UDFLRQDLV�QmR�QXORV�
4�� �FRQMXQWR�GRV�UDFLRQDLV�QmR�QHJDWLYRV�
4�� �FRQMXQWR�GRV�UDFLRQDLV�QmR�SRVLWLYRV�
Propriedades:
(1) Igualdade:� D FE G �ȟ�DG FE
(2) Adição: �� D F DG EFE G EG
(3) Multiplicação: D F DF�E G EG
Classifi cação de frações:
)UDomR�SUySULD��R�QXPHUDGRU�p�PHQRU�TXH�R�GHQRPLQDGRU�
)UDomR�LPSUySULD��R�QXPHUDGRU�p�PDLRU�RX�LJXDO�DR�GHQRPLQDGRU�
)UDomR�DSDUHQWH��R�QXPHUDGRU�p�P~OWLSOR�GR�GHQRPLQDGRU�
Agora apresentaremos alguns pontos impor-
tantes, que precisaremos para dar continui-
dade aos nossos estudos:
����8P�LQWHLUR�Z�!���p�GLWR�XP�Q~PHUR�
SULPR�VH�RV�~QLFRV�LQWHLURV�SRVLWLYRV�TXH�
R�GLYLGHP�VmR���H�Z�
����6HMDP�D��E�ᮛ�=���2�P�P�F��GH�D�H�E�p�R�
~QLFR�LQWHLUR�QmR�QXOR�N�WDO�TXH�
D��.�p�P~OWLSOR�FRPXP�GH�D�H�E�
E��7RGR�P~OWLSOR�GH�D�H�E�p�WDPEpP�
P~OWLSOR�GH�N�
����7RGR�Q~PHUR�Q�ᮛ�=�SRGH�VHU�HVFUL�
WR�QD�IRUPD�Q� �RX�VHMD�p�UDFLRQDO��
([HPSOR��D���� � ��
����7RGR�Q~PHUR�GHFLPDO�H[DWR�p�
UDFLRQDO�
([HPSOR��D������ �����
���7RGR�Q~PHUR�GHFLPDO�SHULyGLFR�p�
UDFLRQDO�
([HPSOR��D����������� ����
E�������������� ������
�
Tome Nota
Rascunho
18
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2.2.1 Operações com frações
A partir das propriedades vistas acima agora vamos trabalhar com mais 
detalhes as operações com frações:
Adição e subtração de frações:
Só podemos somar ou subtrair frações que tenham o mesmo denominador 
e processando a somar ou diferença encontrados no numerador repetindo o 
denominador.
Exemplo:
a) � � � � �
� � � �
�� b) � � � � � � �� � � � � �
� �� ��
 
Frações equivalentes representam a mesma parte de um inteiro.
Logo �
�
 e �
��
 de um terreno retangular se equivalem como mostra a fi gura 
abaixo:
Existem situações em que as frações não possuem o mesmo denominador, 
precisamos reduzi-las ao menor denominador comum (ou mínimo múltiplo 
comum) e, em seguida somar ou subtrair as frações equivalentes às frações 
dadas.
Exemplo:
� � �� � ��
� � �� �� ��� � 
E se tivermos uma adição ou subtração de frações com dois ou mais deno-
minadores, como obter o mínimo múltiplo comum (m.m.c.)?
Faremos uso do teorema abaixo para responder essa pergunta.
Teorema da decomposição em fatores primos
Qualquer inteiro D�!�� pode ser fatorado de um único modo como
� � QD D D
� � QD E �E ����E , sendo E����E����������EQ�� números primos e DL é um inteiro 
positivo para cada L�ʓ�^��������V`.
Usando o teorema anterior de forma simultânea, vamos decompor cada 
denominador em fatores primos. O produto de todos os fatores primos que 
aparecem nessa decomposição será o mínimo múltiplo comum.
4
1
15
5
15 é o menor denominador 
comum ou o mínimo múlti-
plo comum de 3 e 5.Frações equivalentes
Rascunho
19
Exemplo:
1ª) Encontre o resultado da expressão numérica
� � � "�� � �� � 
Iniciamos a resolução fazendo a decomposição dos
denominadores em fatores primos�
Reescrevendo as frações fazendo uso das frações equivalentes,
dividindo o m.m.c pelo denominador e o resultado multiplicado
pelo numerador:
� � � � �� �� � �� �� �� �� ��
�� � � �� �� �� �� �� ��
� � � � �� � � � 
Multiplicação de Frações:
Para realizar a multiplicação de frações, basta multiplicar numerador por 
numerador e denominador por denominador.
Exemplo:
Divisão de Frações:
O procedimento é parecido com o da multiplicação mais tenha atenção 
para não se confundir. Mantenha a primeira fração e multiplique pela outra 
fração na forma inversa.
Frações equivalentes
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����� ��H��[� �
���� ���H���[� ��
���� ��H��[� ��
Tome Nota
Comece com o 
menor divisor 
primo
Rascunho
20
Exemplo: 
2.2.2 Potenciação:
Defi nição:
Onde:
a é a base;
n é o expoente;
O resultado da potenciação é a potência.
Exemplos:
Propriedades das potências:
Para todo D��E�ʓ�4
 e N��Z�ʓ�=�temos:
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Saiba Mais
Fica a cargo do aluno estudar 
como escrever uma dizima 
periódica no formato de fração 
(Fração Geratriz). Assista os 
vídeos:
Matemática Zero - Aula 8 - Fra-
ções - Terceira Parte -
Final
http://youtu.be/Zhfb9BNCeGQ
Números racionais e irracionais.
http://goo.gl/VhjnVa
Fique Atento
Base negativa elevado a expoen-
te par o resultado fi ca positivo.
Exemplos:
������ ��������������������������� ���
������ ������������� ����
que é diferente da situação
���� ������������� �����
Base negativa elevado a expoen-
te ímpar o resultado
fi ca negativo.
Exemplo:
������ �������������������� ����
Rascunho
21
Exemplo:
1ª) Aplique as propriedades da potenciação:
2.3 Conjunto dos números irracionais
Números Irracionais:
No estudo do site você deve ter percebido que todo número racional é re-
presentado por uma expansão decimal periódica ou fi nita e reciprocamente, 
toda expansão decimal periódica ou fi nita é expansão de um número racional. 
Um número irracional é uma expansão decimal que não é periódica. Um 
exemplo muito conhecido é a situação onde se aplica o teorema de Pitágoras 
para calcular a diagonal d de um quadrado de lado com medida 1 unidade.
1 u
 �G�� ��������
��G�� ��
��G� � � � �����������ʔ�4
O conjunto dos números irracionais que vamos denotar por I é formado por 
números cujas formas decimais não são exatas e nem periódicas.
Exemplos de números irracionais:
O número ௄� ������������, resultado da divisão da medida do comprimen-
to de uma circunferência pela medida do seu diâmetro.
O número H� ���������, conhecido como número de Euler (Leonhard Euler, 
1707-1783) resultado do limite fundamental
Radicais do tipo � = 1,7320...; � = 2,2360...; � = 2,6457...
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Tome Nota
Sejam a, b e c respectiva-
mente os comprimentos 
dos catetos e a hipote-
nusa de um triângulo 
retângulo. Então vale a 
relação:
a2 + b2 = c2.
Ou seja o quadrado do 
comprimento da hipote-
nusa é igual à soma dos 
quadrados dos compri-
mentos dos catetos.
Rascunho
22
2.4 Conjunto dos números reais
O conjunto formado pela união dos conjuntos dos números racionais e dos 
números irracionais é chamado conjunto dos números reais com notação R.
N
I
Z
Q
Exemplo:
Assinalar com V as sentenças verdadeiras e com F, as falsas.
D��������1�̍�=
E��������1
̍�1
F��������4�̍�4�
G��������,�̍�4
H��������1�̍�4
I��������1�̍�=�̍�4�̍�5
2.4.1 Radiciação
Anteriormente citamos alguns radicais agora daremos uma maior ênfase 
a esse assunto. Por exemplo, se quisermos calcular a medida do lado 
quadrado de área que possui 25 m2. Como faremos? Vejamos a defi nição 
a seguir.
6HMD�E�ʓ�5��E�˰����'DGR�Q�ʓ�=���D�UDL]�Q�pVLPD�GH�E��TXH�LQGLFDPRV�SRU� �
RX�SRU� �R�Q~PHUR�UHDO�QmR�QHJDWLYR�FXMD�D�Q�pVLPD�SRWrQFLD�p�LJXDO�D�E��
4XDQGR�Q ��WHPRV�� �
$VVLP�WHPRV�TXH�D�UDGLFLDomR�p�D�RSHUDomR�LQYHUVD�GD�SRWHQFLDomR��'H�
PRGR�JHUDO�SRGHPRV�HVFUHYHU�
Onde:
n é chamado índice;
b é chamado radicando
O resultado da radiciação é a raiz.
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23
Exemplos:
D��
E��
F�� � ���SRLV���� �����ORJR�R�ODGR�PHGH��P
�
Propriedades:
����
����
����
����
Exemplo:
���$SOLTXH�DV�SURSULHGDGHV�GD�SRWHQFLDomR�
D��
E��
F��
G��
H��
Raízes Numéricas:
Podemos reescrever algumas raízes numéricas de acordo com a necessi-
dade de algum problema. Esse procedimento é feito fatorando o radicando 
como nos exemplos que seguem:
a) 
 
 
 
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24
Conjuntos Numéricos
b) 
Adição e Subtração com Radicais:
Quando temos radicais com mesmo radicando e mesmo índice (chamados 
de radicais semelhantes) em uma adição algébrica, podemos escrevê-los na 
forma de um único radical somando os fatores externos (números que estão 
multiplicando os radicais) desses radicais. Vejamos alguns exemplos:
a) 
b) 
c) 
Multiplicação e Divisão com Radicais:
Na Multiplicação e Divisão com Radicais temos 3 situações básicas, vere-
mos cada uma a seguir:
Situação 1: Radicais têm raízes exatas.
É o caso mais simples, bastando extrair a raiz e aplicar a operação nos 
resultados.
Exemplos:
a) 
b) 
Situação 2: Radicais têm o mesmo índice.
Nesta situação, devemos conservar o índice e operar os radicandos, 
simplifi cando sempre que possível o resultado obtido.
Exemplos:
a) 
b) 
c) 
d) 
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A fatoração é feita objetivando 
encontrar o expoentes
divisíveis pelos índices dos radi-
cais, mais nem sempre isso
é possível.
Rascunho
25
Situação 3: Radicais com índices diferentes.
Para esse existem várias maneiras, uma delas é transformar os 
radicais em potências fracionárias. Logo em seguida, transformar os 
expoentes fracionários em frações equivalentes (com mesmo deno-
minador).
Exemplos:
a) 
b) 
Racionalização de Denominadores:
Racionalizar uma fração quando o denominador é um número irracional, 
signifi ca encontrar uma fração equivalente à ela com denominador racional. 
O procedimento é bem simples, devemos multiplicar tanto o numerador 
quanto o denominador da fração por um número conveniente. Vejamos 
alguns Casos: 
Caso 1: Fração com apenas raiz quadrada no denominador:
a) 
Caso 2: Fração com raízes com índices maiores que 2 no denominador.
a) Devemos multiplicar numerador e denominador por , 
pois 1 + 2 = 3, obtendo um número racional no denominador.
b) Temos que multiplicar numerador e denominador por 
pois 2 + 3 = 5. 
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Caso 3: Frações com soma ou subtração de radicais no denominador.
a) 
Foi aplicado a propriedade distributiva da multiplicação
Continuando temos:
ou
 
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