Conceitos Básicos cont

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Eletrônica Analógica I – FTL026
Curso: Engenharia 
de Produção
Profa Dra. Greicy Costa 
Marques 
greicycmarques@gmail.com
Carga horaria: 60 
horas
Outline
Apresentação do plano de ensino
Formas de avaliação
Componentes lineares
√ Resistores√ Resistores
√ Capacitores
√ Indutores
Resistores
São componentes que têm por finalidade oferecer
uma oposição à passagem de corrente elétrica,
através de seu material.
A oposição recebe o nome de resistência elétrica ou
impedância.impedância.
É medida em Ohm
Causam queda de tensão em alguma parte do circuito
Apesar de limitar a corrente não causam queda de
corrente elétrica
Significa que a corrente que entra é a mesma que sai.
Resistores
Dessa forma, é possível utiliza-los para controlar a
corrente elétrica sobre os componentes desejados.
Podem ser fixos ou variáveis
Os variáveis são chamados de potenciômetros ou
reostatosreostatos
O valor nominal é alterado girando-se um eixo ou
deslizando uma alavanca.
O valor de um resistor pode ser visto diretamente no
corpo do componente ou utilizando um multímetro na
função de ohm.
Resistores: Associação em série
A corrente i é a mesma em todos os resistores
A soma das tensões no circuito é igual à tensão 
aplicada
Figura 1
Resistores: Associação em série
Para a corrente, temos:
i1 = i2 =...= in = i
Para as tensões:
V = V1 + V2 +... + Vn
Sabe-se que a tensão aplicada V é proporcional a corrente:
V = i.RV = i.R
Assim podemos escrever que a tensão aplicada é:
Veq = i.Req
Para vários resistores, teremos:
i.Req = i.R1 + i.R2 + ... i.Rn
Eliminando i, chegamos a:
Req = R1 + R2 + ... + Rn
Resistores: Associação em 
paralelo
Segundo a lei dos nós de Kirchoff: quando o circuito se divide
em ramificações, a corrente se divide entre estas
ramificações.
Figura 2
A corrente elétrica que passa pelo circuito todo é:
ieq = i1 + i2
A diferença de potencial nos resistores são iguais:
Veq = V1 = V2 = V
Resistores: Associação em 
paralelo
Da lei de Ohm, 
i = V/R
Pode-se escrever a corrente que percorre todo o circuito como 
sendo:
ieq = V/Reqieq = V/Req
Consequentemente, teremos:
ieq = i1 + i2
V/Req = V/R1 + V/R2
Eliminando V, temos:
1/Req = 1/R1 + 1/R2
Neste caso simplificando,
Req = R1R2/(R1 + R2)
Resistores: Associação mistas
Figura 3
Resistores: Associação mistas
Dica: Separar os trechos independentes de malha e calcular a 
resistência equivalente nestes trechos:
Figura 4
Resistores: Associação mistas
5 trechos de resistência independentes, em série : Req1, Req2, 
Req5, Req6 e R7.
1 trecho independente, em paralelo: Req3
Redesenhando o circuito com as resistências equivalentes, 
temos:
Figura 5
Resistores: Associação mistas
Repetindo o procedimento para Req1, Req2, Req4 e Req3
Figura 6
Resistores: Associação mistas
Redesenhando o circuito da Figura 6 e renomeando as 
resistência em azul, temos:
Figura 7
Resistores: Associação mistas
Após o calculo de Req1 e renomeando as resistência em verde,
Figura 8
Resistores: Associação mistas
Redesenhando o circuito com Req1, temos:
Figura 9
Resistores: Associação mistas
Calcula-se a resistência equivalente para Req1, Req2 e Req3
Figura 10
Resistores: Associação mistas
Finalmente, o circuito é reduzido a:
Figura 11Figura 11
 Sendo a resistência equivalente, Req do circuito:
Req = Req1 + Req2
Resistores
A Req de um circuito em série é maior que a maior resistência 
do circuito.
A Req de um circuito em paralelo é menor que a menor 
resistência do circuito.
Se em um circuito em paralelo as resistências são iguais, a Req
fica:
Req = R/ no de resistores
Divisor de tensão
Circuito constituído por uma cadeia de resistência 
ligadas em série com um fonte de tensão:
Figura 12
A queda de tensão em cada resistência é dada por:
Com j=1, 2, .... K
)1(iRv jj 
Divisor de tensão
i é a corrente comum a todas as resistências: 
Substituindo (2) em (1), obtém-se
)2(
321 k
s
RRRR
vi



Substituindo (2) em (1), obtém-se
Figura 12)3(
321
s
k
j
j vRRRR
R
v



Divisor de tensão
No caso de 2 resistências, a expressão do divisor de 
tensão para R1:
Para R2: 
)4(
21
1
1 svRR
Rv


Figura 12
)5(
21
2
2 svRR
Rv


Divisor de corrente
Circuito constituído por um conjunto de resistência 
ligadas em paralelo com uma fonte de corrente:
A corrente em cada uma das resistências é dada por: 
Com j=1, 2, .... K
Figura 13
)6(vGi jj 
Divisor de corrente
Onde v define a tensão comum a todas as resistências:
Figura 13
)7(
321 k
s
GGGG
i
v



Substituindo (7) em (6), temos a expressão da corrente 
para cada componente:
Figura 13
)8(
321
s
k
j
j iGGGG
G
i



Divisor de corrente
No caso de duas resistências, a expressão do divisor de 
corrente é
Figura 13
)9(
21
1
1 siGG
Gi


Ou ainda 
Figura 13
)10(1
1
11
1
12
2
12
21
1
1
21
12
1
21
1
1
ss
ss
i
RR
Ri
RR
RR
R
i
i
RR
RR
Ri
RR
Ri






Teoremas básicos: Teorema de 
Thévenin e Norton
Indicam que do ponto de vista de um par de nós um 
circuito pode ser condensado numa rede equivalente 
Fonte de tensão e uma resistência em série
Fonte de corrente e uma resistência em paralelo
Teorema de Thévenin
Do ponto de vista de um qualquer par de terminais, um 
circuito linear pode sempre ser substituído por uma fonte 
de tensão com resistência interna
Figura 14
Teorema de Thévenin
Equivalente de Thévenin de um circuito com fontes 
independentes:
Figura 16Figura 15
Teorema de Thévenin
Cálculo:
i. Obtenção da tensão em aberto
Figura 17Figura 15
sTh vRR
Rv
21
2


Teorema de Thévenin
Cálculo:
ii. Determinação de RTh :
• Anulam-se todas as fontes independentes do 
circuito
Figura 18Figura 17
21
21
RR
RRRTh 

Teorema de Thévenin
Equivalente de Thévenin de um circuito com fontes 
independentes e dependentes:
Figura 20Figura 19
Teorema de Thévenin
Cálculo:
i. Obtenção da tensão em aberto
Figura 21Figura 19
sabTh vrRR
Rvv


21
2
Teorema de Thévenin
Cálculo:
ii. Determinação de RTh
• Cálculo da corrente de curto-circuito entre os 
terminais a e b:
Figura 22Figura 21
rR
v
i sab 

1
Teorema de Thévenin
Cálculo:
ii. Determinação de RTh
• É o quociente entre a tensão em aberto e a 
corrente de curto-circuito:
Figura 22Figura 21
rRR
rRR
i
vR
ab
ab
Th 

21
12 )(
Teorema de Thévenin
Equivalente de Thévenin de um circuito com fontes 
dependentes:
Caracteriza-se pelo valor nulo da tensão equivalente
Figura 24Figura 23
Teorema de Thévenin
Calculo de RTH:
Aplica-se uma tensão ou uma corrente auxiliar 
Se uma tensão é aplicada, mede-se a corrente 
absorvida 
gvii 
Figura 25
xx
xxabxx
ab
x
x
abx
vgGi
gvvGgvvGi
gv
R
vi
gvii
)( 2
22
2
2




gGi
v
R
x
x
Th 

2
1
Teorema de Norton
Uma fonte de tensão com resistência não nula pode ser 
substituída por uma fonte de corrente com resistência 
não infinita.
Figura 26
Teorema de Norton
Equivalente de Norton de um circuito com fontes 
independentes:
Figura 27 Figura 28
Teorema de Norton
Primeiro passo: determinar a corrente de curto circuito 
entre os terminais especificados. 
Figura 27 Figura 29
1R
v
i sN 
Teorema de Norton
Segundo passo: determinar a resistência vista dos 
terminais de saída fazendo vs = 0 . 
Figura 30
21
21
RRRRRN 

Teorema de Norton
Obtendo o equivalente de Norton a partir do equivalente 
de Thévenin: 
21RRRR ThN 

21 RR
RR ThN 

Th
Th
N R
V
i 
Teorema de Norton
Equivalente de Norton de um circuito com fontes 
independentes e dependentes:
Figura 31 Figura 32
Teorema de Norton
Primeiro passo: Determinar a corrente de curto circuito 
entre os terminais a e b
Figura 31 Figura 33
rR
v
ii sabN 

1
Teorema de Norton
Segundo passo: Determinar a RN, para tal cálculo, 
encontrar vab (tensão em circuito aberto), assim 
Finalmente,
Figura 31 Figura 34
sab vRR
Rv
21
2


rRR
rRR
i
v
R
ab
ab
N 

21
12 )(
Teorema de Norton
Equivalente de Norton de um circuito com fontes 
dependentes: 
Figura 35 Figura 36
Teorema de Norton
O equivalente de Norton deste tipo de circuito consiste em 
uma resistência apenas, para tal aplica-se uma fonte de 
corrente ou tensão auxiliar:
 Com a fonte de tensão auxiliar, 
vx aplicada é só medir ix:
Figura 37
x
x
xxxab
ab
abx
v
R
g
R
v
gvivvcomo
R
v
gviii



 

22
2
21
1
 Finalmente, RN
2
1
Ggi
v
R
x
x
N 

Teorema de Norton
O equivalente de Norton deste tipo de circuito consiste em 
uma resistência apenas, para tal aplica-se uma fonte de 
corrente ou tensão auxiliar:
 Com a fonte de tensão auxiliar, 
vx aplicada é só medir ix:
Figura 37
x
x
xxxab
ab
abx
v
R
g
R
v
gvivvcomo
R
v
gviii



 

22
2
21
1
 Finalmente, RN
2
1
Ggi
v
R
x
x
N 

Teorema da superposição
Afirma que a corrente ou a tensão total em qualquer 
ramo de um circuito bilateral linear é igual a soma 
algébrica das correntes ou tensões produzidas por cada 
fonte atuando separadamente no circuito.fonte atuando separadamente no circuito.
Teorema da superposição
Considerando o circuito da Figura 38, definir uma 
expressão para v3: 
Figura 38
Teorema da superposição
Considerando apenas o efeito de vs (abrir a fonte is) : 
sv vRR
R
v
s
3
,3 

Figura 38
sv vRR
v
s
31
,3 

Teorema da superposição
Considerando apenas o efeito de is (curto circuito da fonte 
vs) : 
ii
s
s
R
v
R
v
i
iii
ss
3
,3
1
,3
31


Figura 39
si
is
is
i
RR
RR
v
v
RR
RR
i
v
RR
i
RR
s
s
s
13
31
,3
,3
31
13
,3
31
31
11






 
Teorema da superposição
Finalmente, soma-se as contribuições de cada uma e 
chega-se a v3: 
iv vvv ss ,3,33 
ss iRR
RR
v
RR
R
v
13
31
13
3
3 



Capacitores
É um dispositivo que tem como função armazenar
cargas elétricas e consequente energia eletrostática,
ou elétrica.
É constituído de duas peças condutoras, chamadas
de armaduras.
Entre essas armaduras existe um material chamadoEntre essas armaduras existe um material chamado
dielétrico.
Dielétrico é uma substancia isolante que possui alta
capacidade de resistência ao fluxo de corrente
elétrica.
Com os dielétricos podemos colocar as placas do
condutor muito próximas sem o risco que as placas
entrem em contato.
Capacitores
A relação corrente-tensão, define capacitor e
capacitância:
(C1)  dt
dvCti 
A equação (C1) define o modelo matemático de um
dispositivo real.
Capacitores
Fisicamente um capacitor consiste de duas
superfícies condutoras em que as cargas são
armazenadas e essas superfícies são separadas porarmazenadas e essas superfícies são separadas por
uma resistividade bastante elevada.
Capacitores
A capacitância é definida por:
(C2)
ε permissividade ou constante de isolação do material
d
AC .
ε permissividade ou constante de isolação do material
entre as placas.
A = área das placas, em (m2)
d = distancia entre as placas, em (m)
Para o ar ou vácuo:
m
F
m
Fx


36
101085,8
9
12
0

 
Capacitores: Capacitância
É a capacidade do capacitor de armazenar carga
elétrica, e é medida em Farads (F).
Um capacitor tem uma capacitância de um Farad
quando armazena uma carga elétrica de 1 coulombquando armazena uma carga elétrica de 1 coulomb
e sendo a tensão entre suas placas de 1 volt:
1 farad = 1 coulomb / 1 volt
Capacitores
Relacionando as grandezas que influem na
capacitância:
√ Quanto maior a área, maior quantidade de elétrons livres serão
deslocados para o positivo da bateria. Portanto, mais carga será
armazenada e maior será a capacitância.armazenada e maior será a capacitância.
√ Quanto maior a distância entre as placas, maior será a camada
dielétrica, menor será a influência de uma placa sobre a outra, menor a
quantidade de carga armazenada e portanto, menor a capacitância.
Capacitores: Relação para tensão
A voltagem num capacitor pode ser obtida através
da equação (C1):
Integrando de t0 a t:
  dtti
C
tdv ).(1
Integrando de t0 a t:
Quando t0 = 0:
(C3)
  dtti
C
tv
t
t
t
t 
0
0
)(1
  )()(1 0
0
tvdtti
C
tv
t
t
 
  dtti
C
vtv
t
 0 )(
1)0(
Capacitores: Relação para tensão
Considerando o capacitor descarregado em t=0, i.e.,
v(0)=0,
Como a integral da corrente é a carga armazenada
  dtti
C
tv
t
).(1
0
Como a integral da corrente é a carga armazenada
sobre as placas do capacitor:
Logo:
(C4)
 
C
tqtv )(
)(.)( tvCtq 
Capacitores: Relação para energia
Para determinação da energia armazenada num
capacitor ao qual é ligada uma fonte de tensão,
considere a potência entregue ao capacitor.considere a potência entregue ao capacitor.
Capacitores: Relação para energia
Da potência entregue e da equação (C1),
A energia é a integral da potência:
dt
tdvtvC
dt
tdvCtvtitvtp )().(.)(.).()().()( 
 
Se a energia armazenada é nula em t0, temos:
(C5)
 )()(
2
1)(.)()( 0
22
00
tvtvCtdvtvCdttp
t
t
t
t
 
)(.
2
1)( 2 tvCtEc 
 )()(
2
1)()( 0
22
0 tvtvCtEtE cc 
Capacitores: Carga do capacitor
Ao se fechar a chave: o positivo da bateria retira
elétrons da placa A e o negativo da bateria manda
elétrons para a placa B.
Figura 12(a) Figura 12(b)
A corrente de carga é máxima
A corrente será nula quando a tensão no capacitor
for igual a tensão da fonte.
Capacitores: Descarga do capacitor
Ao se fazer um curto-circuito nos terminais de um capacitor
carregado, este irá descarregar instantaneamente.
Para controlar o tempo de descarga liga-se um resistor em
paralelo com o capacitor:
Figura 13(a) Figura 13(b)
A chave na posição 1, carrega o capacitor através de R1 e com
a chave na posição 2, descarrega o capacitor através de R2.
Se R1 = R2, o tempo de carga é igual ao tempo de descarga.
Capacitores: Curvas de carga e 
descarga
Figura 14
Capacitores: Equação de carga
Pelas leis de Kirchhoff:
(C6)0
0


C
qIRV
VVV CR
• q é carga acumulada no capacitor até instante t e I é a
corrente que passa pelo circuito neste instante.
• No instante t = 0 a carga acumulada no capacitor é nula e a
corrente é máxima,
(C7)
R
VI 0
Capacitores: Equação de carga
Tempo depois que a chave é fechada a corrente é nula e a carga é
máxima. Pela eq C(6), temos:
Isolando I na eq C(6), temos:
VCQ 
RC
q
R
VI 
Como a corrente que carrega o capacitor é exatamente I, podemos
dizer que
Assim, temos:
Multiplicando por dt e dividindo por –(q-CV), temos:
RCR
dt
dqI 
RC
CVq
dt
dq
RC
qCV
dt
dq
RC
q
R
V
dt
dq 
Capacitores: Equação de cargaIntegrando os dois lados, temos:
(C8)
RC
dt
CVq
dq 
 )(
 
tq
dt
RCCVq
dq
00
1
Para resolver as integrais, podemos, fazer uma troca de variáveis do
lado esquerdo de (C8), usaremos:
Reescrevendo (C8), temos:
  RCCVq 00
dqdf
dq
dfCVqqf  1)(
 
tq
dt
RCqf
df
00
1
)(
Capacitores: Equação de carga
Sabe-se que
Logo, temos:
f
f
df ln
)()(
)ln()ln()0ln()ln(
tCVqtCVq
RC
tCVCVq
RC
tCVCVq
 

Passando C dividindo, chegamos:
)1(
)()(ln
RC
t
RC
t
RC
t
eCVq
CVeCVq
e
CV
CVq
RC
t
CV
CVq













)1( RC
t
C eVV


Capacitores: Equação de carga
Calculando a corrente que circula no circuito, no instante t
RC
t
e
R
VI
dt
dqI


Capacitores: Equação de descarga
Considerando o capacitor carregado, agora toda a diferença
de potencial Q/C está no capacitor, uma vez que I = 0.
Agora fechando o circuito, a corrente começa a fluir no
circuito, devido a descarga do capacitor.
Assim, podemos escrever: (C9)
Mas I=dq/dt, logo, temos:
0 IR
C
q
dt
RCq
dq
C
q
dt
dqR
1

Capacitores: Equação de descarga
Repetindo o mesmo raciocínio do carregamento do capacitor, porém, agora
temos q=Q em t=0.
q
Q
q
Q
t
RC
t
Q
q
RC
tQq
RC
tq
dt
RCq
dq

 
lnlnln)ln(
1
0
Logo,
Como I=dq/dt, podemos calcular para I em função de t
RC
t
RC
t
Qeqe
Q
q  
RC
t
C
RC
t
VeVe
CV
q  
RC
t
e
RC
QI


Capacitores: Associação de 
capacitores 
Da mesma forma que para os resistores, os capacitores
podem ser associados com a finalidade de obter valores de
capacitância equivalentes diferentes dos valores comerciais
em que os capacitores são fabricados.
Capacitores: Associação em série 
A capacitância total diminui porque efetivamente aumenta o
espaçamento entre as placas.
Figura 16
Capacitores: Associação em série 
Na associação em série as placas se carregam em efeito
cascata e todos os capacitores adquirem a mesma carga,
assim:
Mas como o circuito é série, as tensões nos capacitores se
somam:
QQQQQQ n  4321
VVVVV  ...
Como V=Q/C, então
VVVVV n  ...321
neq
eqn
CCCCC
C
Q
C
Q
C
Q
C
Q
C
Q
1...1111
...
321
321


Capacitores: Associação em série 
A capacitância equivalente de n capacitores em
série é dada pelo inverso da soma dos inversos das
capacitâncias dos n capacitores.
Capacitores: Associação em paralelo 
A associação em paralelo de capacitores aumenta a
capacitância total porque aumenta a área das placas
recebendo cargas.
Figura 17
Capacitores: Associação em paralelo 
Todos os capacitores estão sujeitos a mesma tensão,
assim:
Porém, cada capacitor se carrega independentemente e a
quantidade de carga armazenada aumenta:
VVVVV n  321
quantidade de carga armazenada aumenta:
Como Q = CV, então:
QQQQQ n  ...321
neq
neq
CCCCC
VCVCVCVCVC


...
...
321
321
Capacitores: Associação em paralelo 
A capacitância equivalente de n capacitores em paralelo
é dada pela soma das capacitâncias dos n capacitores.
Capacitores: Associação mista 
É a associação composta por partes em série e em
paralelo. Deve ser analisado parte por parte, da
mesma forma como é feito para os circuitos
resistivos.
Indutores 
 São dispositivos que armazenam energia na forma de
campo magnético, normalmente combinando o efeito de
vários loops da corrente elétrica.
 É fundamentalmente um armazenador de energia sob a
forma de campo magnético.
 É geralmente construído como uma bobina de material
condutor, por exemplo, fio de cobre.condutor, por exemplo, fio de cobre.
 Um núcleo de material ferromagnético aumenta a
indutância concentrando as linhas de força de campo
magnético que fluem pelo interior das espiras.
 Podem ser construídos em CIs utilizando o mesmo processo
usado em chips, sendo rara sua construção em CIs, pois
são volumosos em uma pequena escala, sendo substituído
por um capacitor comportando-se como um indutor.
Indutores: Indutancia 
 É a grandeza física associada aos indutores, é simbolizada
pela letra L, medida em Henry (H).
 É representada graficamente por um fio helicoidal.
 Em outras palavras, é um parâmetro dos circuitos lineares
que relaciona a tensão induzida por um campo magnético
variável à corrente responsável pelo campo.
Indutores: Relação de tensão e 
corrente 
 Quando a corrente que atravessa um condutor varia, o
fluxo magnético que envolve também varia.
 Esta variação de fluxo magnético ocasiona a indução de
uma voltagem num circuito próximo ao condutor.
 Esta voltagem induzida é proporcional à razão de variação
da corrente geradora do campo magnético com o tempo.
 Essa constante de proporcionalidade é chamada indutância
e é simbolizada pela letra L.
 A relação é, (I1)
dt
tdiLtv )()( 
Indutores: Relação de tensão e 
corrente 
 Um indutor, com a forma de hélice, possui uma indutância,
em Henry (H) dada por,
l
ANL
2
√ A= área da seção reta
√ N = número de espiras
√ l = comprimento da hélice
√ µ = permeabilidade magnética do material que está dentro da 
hélice
√ Para o ar µ = µ0 = 4ϖ x 10-7 H/m
Indutores: Relação p/ corrente e 
energia 
 De (I1) podemos escrever:
 Fazendo a integração de t0 a t:
dttv
L
di )(1
 
t t
tvdi )(1
 Para t0 =0
(I2)
 A eq (I2) fornece a corrente em função da voltagem e i(0) pode ser
considerada como a corrente existente no indutor em t =0 antes da
aplicação da voltagem v(t).

 


t
t
t t
tv
L
titi
tv
L
di
0
0 0
)(1)()(
)(
0

t
dttv
L
iti
0
)(1)0()(
Indutores: Relação p/ corrente e 
energia 
 Para um problema real, a seleção de t0=-∞ assegura a não
existência de corrente ou energia inicial no indutor. Assim
se i(t0)=i(∞)=0, então:
 
t
dttv
L
ti )(1)(
 O fluxo magnético atravessado por uma corrente i(t) é
dado por:
 A potência é dada pelo produto,
WbtLit )()( 
dt
tditLititvtp )()()()()( 
Indutores: Relação p/ corrente e 
energia 
 Integrando, temos:
 Logo,
diiLdt
dt
diiLdttp
t
t
t
t
t
t   000 )(
 )()(1)()( 22 titiLtEtE 
 Considerando que a energia em t0 é zero:
 A energia EL recebida pela indutância é armazenada pelo
campo magnético no intervalo de tempo desejado.
 )()(
2
1)()( 0
22
0 titiLtEtE LL 
)(
2
1)( 2 tLitEL 
Indutores: Associação em série
 Os indutores são somados diretamente dando como
resultado um indutor equivalente:
Neqeqs
Ns
N
NNs
LLLL
dt
diLV
dt
diLLLV
dt
diL
dt
diL
dt
diLVVVV



...
)...(
......
21
21
2
2
1
121
Indutores: Associação em paralelo
1
• Para 2 indutores em paralelo:
N
eq
LLL
L 1...11
1
21


21
21
LL
LLLeq 
