Lista de Exercício 1

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Universidade do Estado do Rio de Janeiro
Instituto Polite´cnico
Disciplina: IPRJ01-07590 - Introduc¸a˜o a` Ana´lise Real
Professora: Deise Mara B. de Almeida
Email: deisemalmeida@gmail.com
Lista de exerc´ıcios 1
1. Prove, usando induc¸a˜o, os seguintes fatos:
(a) 12 + 22 + · · ·+ n2 = n(n+1)(2n+1)
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(b) (a− 1)(1 + a + · · ·+ an) = an+1 − 1
2. Seja a um nu´mero real. Se um conjunto X e´ tal que a ∈ X e, ale´m disso, n ∈ X ⇒
n + 1 ∈ X, enta˜o X conte´m todos os nu´meros naturais maiores que a.
3. Sejam X e Y conjuntos finitos.
(a) Prove que card(X ∪ Y ) + card(X ∩ Y ) = card(X) + card(Y ).
(b) Obtenha a fo´rmula correspondente para treˆs conjuntos.
4. Exiba uma aplicac¸a˜o bijetora entre o conjunto dos nu´meros naturais e o conjunto
dos naturais ı´mpares. Justifique.
5. Seja X um conjunto infinito e Y um conjunto finito. Exiba uma func¸a˜o sobrejetiva
f : X → Y e uma func¸a˜o injetiva g : Y → X.
6. Seja f : X → X uma func¸a˜o injetora tal que f(X) 6= X. Tomando x ∈ X − f(X),
prove que os elementos x, f(x), f(f(x)), f(f(f(x))), . . . , fn(x), . . . sa˜o dois a dois
distintos.
7. Prove que o supremo de um conjunto limitado e´ u´nico.
8. Sejam A e B conjuntos na˜o vazios de R e limitados. Seja A ⊂ B, enta˜o
(a) inf(B) ≤ inf(A)
(b) sup(A) ≤ sup(B)
9. Seja X = { 1
n
;n ∈ N}. Prove que inf(X) = 0.
(a) CA e´ limitado.
(b) sup(CA) = csup(A)
10. Dados A,B ⊂ R na˜o vazios e limitados. Seja A + B = {x + y | x ∈ A e y ∈ B}.
Prove que A + B e´ limitado.
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