Apostila Calculo I 2014 Parte II

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Cálculo Diferencial e Integral I Página 1 
 
UMC – Profa. Marília Rocha Reprodução não autorizada 
Universidade de Mogi das Cruzes – UMC 
Campos Villa Lobos 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
Cálculo Diferencial e Integral I 
Parte II 
 
 
 
 
 
 
 
Engenharia Civil Engenharia Mecânica 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
Profa. Marília Rocha – marilia@umc.br 
2º semestre de 2014 
 
Cálculo Diferencial e Integral I Página 2 
 
UMC – Profa. Marília Rocha Reprodução não autorizada 
ÍNDICE 
1. Derivada ..................................................................................................................................................................... 5 
1.1. Definição de derivada no ponto xo ..................................................................................................................... 5 
1.2. Interpretação Geométrica da Derivada ............................................................................................................. 8 
1.3. Função Derivada .............................................................................................................................................. 13 
1.4. Derivada e Continuidade.................................................................................................................................. 13 
1.5. Derivada de funções elementares .................................................................................................................... 14 
1.6. Regras de Derivação ......................................................................................................................................... 17 
1.7. Derivada de funções trigonométricas .............................................................................................................. 22 
1.8. Derivada de Funções Compostas (Regra da Cadeia) ...................................................................................... 25 
1.9. Derivada da função inversa ............................................................................................................................. 31 
1.10. Derivada de outras funções trigonométricas ............................................................................................... 40 
1.11. Derivada de funções trigonométricas inversas ............................................................................................ 41 
1.12. Derivadas de algumas funções compostas ................................................................................................... 45 
1.13. Derivadas Sucessivas .................................................................................................................................... 53 
2. Interpretações da Derivada ...................................................................................................................................... 56 
2.1. Interpretação Cinemática................................................................................................................................. 56 
2.2. Variação Média ................................................................................................................................................ 56 
2.3. Taxa de variação .............................................................................................................................................. 57 
2.4. Exercícios ......................................................................................................................................................... 57 
3. Anexos ...................................................................................................................................................................... 61 
3.1. Plano Cartesiano (R2) ...................................................................................................................................... 61 
3.2. Relações Trigonométricas ................................................................................................................................ 62 
3.3. Trigonometria na Circunferência .................................................................................................................... 62 
3.3.1. Arcos e Ângulos ........................................................................................................................................ 62 
3.3.2. Medidas de Arcos ..................................................................................................................................... 63 
3.3.2.1. Grau (o) .............................................................................................................................................. 63 
3.3.2.2. Radiano (rad) ..................................................................................................................................... 63 
3.3.2.3. Conversão .......................................................................................................................................... 63 
3.4. Ciclo Trigonométrico ....................................................................................................................................... 63 
3.4.1. Razões Trigonométricas na Circunferência ............................................................................................ 64 
3.4.2. Arcos Notáveis .......................................................................................................................................... 66 
3.4.3. Equivalência ............................................................................................................................................. 66 
3.5. Funções Trigonométricas Inversas ................................................................................................................. 66 
3.5.1. Função arco seno x ................................................................................................................................ 66 
3.5.2. Função arco cosseno x ........................................................................................................................... 67 
3.5.3. Função arco tangente x .......................................................................................................................... 67 
3.6. Logaritmo ......................................................................................................................................................... 68 
3.7. Produtos Notáveis ............................................................................................................................................. 68 
3.8. Tabela de Derivadas ......................................................................................................................................... 69 
Cálculo Diferencial e Integral I Página 3 
 
UMC – Profa. Marília Rocha Reprodução não autorizada 
4. Bibliografia ............................................................................................................................................................... 71Cálculo Diferencial e Integral I Página 4 
 
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Cálculo Diferencial e Integral I Página 5 
 
UMC – Profa. Marília Rocha Reprodução não autorizada 
1. Derivada 
 
Segundo Iezzi, Murakami e Machado (1993), apresentamos as seguintes 
definições: 
 
1.1. Definição de derivada no ponto xo 
Seja 
f
 uma função definida em um intervalo aberto 
I
 e 
0x
 um elemento de 
I
. 
Chama-se derivada de 
f
 no ponto 
0x
 o limite 
0
0
0
( ) ( )
lim
x x
f x f x
x x


 se este existir e for finito. 
Indicamos, também, por 
0 0
0
( ) ( )
lim
x
f x x f x
x 
 

, 
0x x x  
. 
Notação:
0'( )f x
, 
0x x
df
dx 
 
 
 
 ou 
0( )Df x
. 
 
Exemplo: calculando a derivada, pela definição, de 
2( )f x x x 
 no ponto 
0 1x 
: 
 
Usando a primeira fórmula, temos: 
 0
' 0
0
0
2 2 2 2
'
1 1 1 1
1 1
( ) ( )
( ) lim
( ) (1) (1 1) 1 1 2
(1) lim lim lim lim
1 1 1 1
( 1)( 2)
lim lim( 2) 3
1
x x
x x x x
x x
f x f x
f x
x x
f x f x x x x x x
f
x x x x
x x
x
x

   
 



        
    
   
 
  

 
 
 
Usando a segunda fórmula, temos: 
 
' 0 0
0
0
2 2
'
0 0
2 2
0 0 0 0
( ) ( )
( ) lim
(1 ) (1 ) (1 1)(1 ) (1)
(1) lim lim
1 2 1 1 1 3 (3 )
lim lim lim lim 3 3
x
x x
x x x x
f x x f x
f x
x
x xf x f
f
x x
x x x x x x x
x
x x x
 
   
       
  


             
 
           
     
  
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
Cálculo Diferencial e Integral I Página 6 
 
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Exercício: Calcule, pela definição, a função derivada das funções dadas: 
 
1. 
( ) 3f x x
, no ponto 
0 2x 
 
 
 
 
 
2. 
( ) 2 1f x x 
, no ponto 
0 2x 
 
 
 
 
 
3. 
( ) 3f x x 
, no ponto 
0 1x  
 
 
 
 
 
4. 
2( ) 2 5f x x x  
, no ponto 
0 1x 
 
 
 
 
 
5. 
2( ) 3f x x x 
, no ponto 
0 2x 
 
 
 
 
 
6. 
2( ) 1 4f x x 
, no ponto 
0 3x  
 
 
 
 
 
 
 
Cálculo Diferencial e Integral I Página 7 
 
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7. 
2( )f x x x 
, no ponto 
0
1
2
x 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
Ss 
8. 
3 2( ) 12f x x x 
, no ponto 
0 4x 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
9. 
( )f x x
, no ponto 
0 1x 
 
 
 
 
 
 
 
Cálculo Diferencial e Integral I Página 8 
 
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Respostas: 
1. 
'( ) 3f x 
 2. 
'( ) 2f x 
 
3. 
'( ) 1f x 
 4. 
'( ) 4f x 
 
5. 
'( ) 7f x 
 6. 
'( ) 24f x 
 
7. 
'( ) 0f x 
 8. 
'( ) 48f x  
 
9. 
1
'( )
2
f x 
 
 
 
 
1.2. Interpretação Geométrica da Derivada 
A derivada de uma função 
f
 no ponto 
0x
 é igual ao coeficiente angular da reta 
tangente ao gráfico de 
f
 no ponto de abscissa 
0x
. 
A equação da reta tangente t ao gráfico de uma função 
f
 no ponto 
0 0( , )P x y
, em 
que 
f
 é derivável, é dada por: 
0 0 0( ) '( ).( )y f x f x x x  
. 
 
 
Exemplo: a equação da reta tangente à curva 
2 3y x x 
 no seu ponto de abscissa 
4 é: 
 
Como 
0 4x 
, calculamos o ponto de 
tangência
P
: 
 
2
0( ) 4 3.4 4f x   
. Portanto 
(4,4)P
 
 
Calculamos a derivada (coeficiente angular): 
 0
' 0
0
0
2 2
'
4 4
2
4 4 4
( ) ( )
( ) lim
( ) (4) 3 (4 3.4)
(4) lim lim
4 4
3 4 ( 4)( 1)
lim lim lim 1 5
4 4
x x
x x
x x x
f x f x
f x
x x
f x f x x
f
x x
x x x x
x
x x

 
  



   
  
 
   
   
 
 
 
Calculando a equação reduzida da reta: 
 
0 0 0( ) '( ).( )
4 5( 4)
5 16
y f x f x x x
y x
y x
  
  
 
 
 
 
 
 
Verificação do valor da derivada pelo cálculo da tangente do ângulo 

, formado pela reta 
tangente e o eixo dos 
x
: 
 
Cálculo Diferencial e Integral I Página 9 
 
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No triângulo retângulo: 
 
 
 
14
( ) 5
2,8
cateto oposto
tg
cateto adjacente
   
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
Cálculo Diferencial e Integral I Página 10 
 
UMC – Profa. Marília Rocha Reprodução não autorizada 
Exercícios: 
1. Determine, em cada caso, a equação da reta tangente ao gráfico de f no ponto 
0x
. Construa 
os gráficos de f(x) e da reta tangente t à f(x). 
1.1.
( ) 1f x x 
 e 
0 3x 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
Cálculo Diferencial e Integral I Página 11 
 
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1.2.
2( )f x x
 e 
0 3x 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
Cálculo Diferencial e Integral I Página 12 
 
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1.3.
2( ) 2f x x x 
 e 
0 1x 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
Cálculo Diferencial e Integral I Página 13 
 
UMC – Profa. Marília RochaReprodução não autorizada 
Respostas: 
1.1. 
1y x 
 
 
1.3. 
1y  
 
 
1.2. 
6 9y x 
 
 
 
 
1.3. Função Derivada 
Seja 
f
 uma função derivável no intervalo aberto 
I
. Para cada 
0x
 pertencente a 
I
 
existe e é único o limite 
' 0 0
0
0
( ) ( )
( ) lim
x
f x x f x
f x
x 
 


. Portanto, definimos uma função 
' :f I R
que associa a cada 
0x I
 a derivada de f no ponto 
0x
. Esta função é chamada 
função derivada de 
f
. 
Notação: 
'f
, 
df
dx
ou 
Df
. 
A lei 
'( )f x
 pode ser determinada a partir da lei 
( )f x
, aplicando-se a definição de 
derivada de uma função, num ponto genérico 
x I
: 
'
0
( ) ( )
( ) lim
x
f x x f x
f x
x 
 


. 
1.4. Derivada e Continuidade 
Sejam a função 
:f A R
 e 
0x A
. Se 
f
 é derivável em 
0x
, então 
f
é contínua 
em 
0x
. O recíproco é falso, ou seja, há funções contínuas em 
0x
 e não deriváveis em 
0x
. 
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1.5. Derivada de funções elementares 
 
01 função constante 
( ) '( ) 0f x c f x  
, 
c R
 
 
Demonstração: Seja 
( )f x c
, 
c R
. 
 
'
0
( ) ( )
( ) lim 0
x
f x x f x c c
f x
x x 
  
  
 
 
 
 
Exemplo: 
( ) 3 '( ) 0f x f x  
 
 
Exercícios: Calcule as derivadas: 
 
1. 
( ) 5 '( )f x f x  
 
2. 
4
( ) '( )
3
f x f x  
 
3. 
( ) 9 '( )f x f x   
 
4. 
( ) 3 '( )f x f x  
 
1 
02 função potência de expoente natural 
( ) nf x x
, 
*n N
 
1( ) '( ) .n nf x x f x n x   
 
 
Demonstração1: Seja 
( ) nf x x
, 
*n N
. 
 
'
0 0
( ) ( ) ( )
( ) lim lim
n n
x x
f x x f x x x x
f x
x x   
   
 
 
 
 
1 2 2
1 2 1
. .( ) ...
0 1 2( )
. ... .
1 2
n
n n n n n
nn n
n n n n n
n n n n
x x x x x x x
n n nnx x x
x x x x x x
nx x
 
  
       
              
                            
       
 
1 2 1. ... .
1 2
n
n n n
n n n
x x x x
n
                 
     
 
 
' 1 1 1 1
0
( ) ! .( 1)!
( ) lim . . .
1 1!( 1)! ( 1)!
n n
n n n n
x
nx x x n n n
f x x x x n x
x n n
   
 
    
     
   
 
 
1 Binômio de Newton: 
 
0
n
n n k k
k
n
x y x y
k


 
   
 

. 
Número Binomial: sejam 
n
 e 
k
 números naturais, e 
n k
, o número binomial 
n
 tomado 
k
 a 
k
 é dado por: 
!
!( )!
n n
k k n k
 
 
 
. 
Fatorial: seja 
n
 um número natural, 
n N
, 
n
 fatorial (
!n
) é um valor dado por: 
1, 0
!
( 1)( 2)....1, 0
n
n
n n n n


  
. 
 
 
Cálculo Diferencial e Integral I Página 15 
 
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Exemplo: 
3
2
( )
'( ) 3
f x x
f x x


 
S 
Exercícios: Calcule as derivadas: 
 
1. 
6( )f x x
 
'( )f x 
 
 
2. 
5( )f x x
 
'( )f x 
 
 
3. 
( )f x x
 
'( )f x 
 
 
Hhh 
 
03 função exponencial 
( ) xf x a
, 
a R
 e 
0 1 
 
( ) '( ) .lnx xf x a f x a a  
, 
a R
 e 
0 1 
 
 
Demonstração: Seja 
( ) xf x a
, 
a R
 e 
0 1 
. 
 
'
0 0 0 0 0
( ) ( ) ( 1) 1
( ) lim lim lim lim . lim
x x x x x x
x
x x x x x
f x x f x a a a a a
f x a
x x x x
  
         
    
   
   
 
 
Lembrando que 
0
1
lim ln
x
x
a
a
x


, temos 
'
0 0
1
( ) lim . lim .ln
x
x x
x x
a
f x a a a
x

   

 

 
 
Exemplo: 
 ( ) 2
'( ) 2 .ln 2
x
x
f x
f x


 
 
 
Caso particular: 
 
04 função exponencial de base 
e
, 
( ) xf x e
 
( ) ( ) 'x xf x e f x e  
 
 
Demonstração: Seja 
( ) xf x e
. 
Pelo item 3, 
( ) .ln .1x x xf x e e e e  
 
 
 
Exercícios: Calcule as derivadas: 
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1. 
( ) 4xf x 
 
'( )f x 
 
2. 1
( )
4
x
f x
 
  
 
 
'( )f x 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
Respostas: 
Derivada da função constante: 
1. 0 2. 0 3. 0 4. 0 
 
 
Derivada da função potência 
1. 
56x
 2. 
45x
 3. 1 
 
 
Derivada da função exponencial 
1. 
4 .ln 4x
 
2. 1 1
.ln
4 4
x
 
 
 
 
 
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1.6. Regras de Derivação 
 
01 Derivada do Produto de uma constante 
c
, 
c R
,por uma função 
( ) . ( ) '( ) . '( )f x c v x f x c v x  
 
02 Derivada da Soma 
( ) ( ) ( ) '( ) '( ) '( )f x u x v x f x u x v x    
 
03 Derivada da Diferença 
( ) ( ) ( ) '( ) '( ) '( )f x u x v x f x u x v x    
 
04 
 
A derivada da soma (ou diferença) pode ser estendida para uma soma de 
n
 funções: 
' ' ' '
1 2 1 2( ) ( ) ( ) ... ( ) ( ) ( ) ( ) ... ( )n nf x u x u x u x f x u x u x u x        
 
 
Exemplo: 
3 2
2
( ) 2 2 4 3
'( ) 6 4 4
f x x x x
f x x x
   
  
 
 
Exercícios: Calcule as derivadas: 
 
1. 
2( ) 2 3f x x 
 
'( )f x 
 
x 
2. 
4 2( ) 6 8f x x x 
 
'( )f x 
 
x 
3. 
5 4 31( ) 3 4 9
4
f x x x x   
 
( ) 'f x 
 
 
x 
4. 
6 5( ) 2 3f x x x x  
 
'( )f x 
 
 
x 
5. 
6 3 24 7( ) 9 5 3
2
f x x x x    
 
'( )f x 
 
 
 
Xss 
6. 
5( ) 3 2 4x xf x x e  
 
'( )f x 
 
 
sss 
Cálculo Diferencial e Integral I Página 18 
 
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05 Derivada do Produto 
( ) ( ). ( ) '( ) '( ). ( ) ( ). '( )f x u x v x f x u x v x u x v x   
 
Iii 
06 A derivada do produto pode ser estendida para um produto de 
n
 fatores: 
' ' ' '
1 2 1 2 1 2 1 2( ) ( ). ( )..... ( ) ( ) ( ). ( )..... ( ) ( ). ( )..... ( ) ... ( ). ( )..... ( )n n n nf x u x u x u x f x u x u x u x u x u x u x u x u x u x     
 
 
Exemplos: 
4 2
3 2 4 5 3 2 5 2
5 3 2
1. ( ) ( 2 )( 4)
'( ) ( 4 2)( 4) ( 2 )(2 ) ( 4 16 2 8) ( 2 4 )
6 16 6 8
f x x x x
f x x x x x x x x x x x
x x x
   
              
   
 
W 
5
4 4
2. ( ) 6( 6 )
'( ) 6.( 5 6) 30 36
f x x x
f x x x
  
     
 
 
2
2 2
2 2 2 2 4 3 3 2 3 2 2
4 3 2
3. ( ) (4 1)(3 )(2 )
'( ) ( )(3 )(2 ) (4 1)(6 )(2 ) (4 1)(3 )(2)
(3 )(2 ) (4 1)(12 ) (8 2)(3 ) (6 2 ) (48 12 ) (24 8 6 2 )
6 74 26 2
f x x x x x
f x x x x x x x x x x x
x x x x x x x x x x x x x x x x
x x x x
  
       
              
  
 
 
Exercícios: Derive as seguintes funções: 
1. 
2( ) ( 1)( 1 )f x x x   
 
'( )f x 
 
 
 
dd 
2. 
6 4 2( ) 5( )f x x x x  
 
'( )f x 
 
 
 
Fiii 
3. 
2 2( ) (3 7)( 2 )f x x x x  
 
( ) 'f x 
 
 
 
ffx 
4. 
2 3( ) (3 )(1 )f x x x x x   
 
( ) 'f x 
 
 
 
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11x 
5. 
3( ) . xf x x e
 
'( )f x 
 
 
x 
6. 
4( ) . xf x x a
 
'( )f x 
 
 
 
x 
7. 
3 2 2( ) ( 1)( 2)f x x x x x    
 
'( )f x 
 
 
 
 
xss 
8. 
2 4 3( ) ( )(1 )f x x x x x x   
 
'( )f x 
 
 
 
 
 
 
 
Xss 
 
 
07 Derivada do Quociente 
 
' '
'
2
( ) ( ). ( ) ( ). ( )
( ) ( )
( ) ( )
u x u x v x u x v x
f x f x
v x v x

  
, 
( ) 0v x 
 
 
Exemplo: 
2
2 2 2 2 2 2
2 2 2 2
4
( )
2 2
(2 )(2 2) ( 4)(2) (4 4 ) (2 8) 4 4 2 8 2 4 8
( ) '
(2 2) (2 2) (2 2) (2 2)
x
f x
x
x x x x x x x x x x x
f x
x x x x



          
   
   
 
 
 
 
Cálculo Diferencial e Integral I Página 20 
 
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Exercícios: Derive as seguintes funções: 
1. 
2
( )
xe
f x
x

 
'( )f x 
 
 
ss 
2. 2 1
( )
1
x
f x
x



 
'( )f x 
 
 
 
ss 
3. 
2
( )
1
x
f x
x x

 
 
'( )f x 
 
 
 
ss 
4. 
1
( )
1
x
f x
x



 
'( )f x 
 
 
 
ss 
5. 2 3 1
( )
2
x x
f x
x
 


 
'( )f x 
 
 
 
 
 
ss 
6. 2
2
( )
1
x
f x
x


 
'( )f x 
 
 
 
Cálculo Diferencial e Integral I Página 21 
 
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Respostas: 
Derivadas da soma 
1. 
4x
 2. 
324 16x x
 
3. 
4 3 25 12 12
4
x x x 
 
4. 
5 46 5 2 3x x 
 5. 
5 2454 3 5 6x x x  
 6. 415 2 4 ln4x xx e  
 
Derivada do produto: 
1. 
23 2 1x x 
 2. 
5 330 20 10x x x 
 3. 
3 212 18 14 14x x x  
 
4. 
4 3 215 4 9 8 1x x x x   
 5. 
2(3 )xe x x
 6. 
3(4 ln )xa x x a
 
7. 
4 3 25 4 9 6 2x x x x   
 8. 8 6 5 3 29 7 12 4 3x x x x x    
 
Derivada do quociente: 
1. 
3
( 2)xe x
x

 2. 2
2
2 1
( 1)
x x
x
 

 3. 
 
2
2
2
1
1
x
x x
 
 
 
4. 
 
2
2
1x


 5. 
 
2
2
4 7
2
x x
x
 

 6. 
 
2
2
2
1
x
x 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
Cálculo Diferencial e Integral I Página 22 
 
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1.7. Derivada de funções trigonométricas 
 
05 função seno x 
( ) '( ) cosf x senx f x x  
 
Cdd 
Demonstração: Seja 
( )f x senx
. 
 
'
0 0
( ) ( ) ( )
( ) lim lim
x x
f x x f x sen x x senx
f x
x x   
   
 
 
 
 
Relações Trigonométricas: 
2 .cos
2 2
p q p q
senp senq sen
 
 
 
 
'
0 0 0
2 .cos 2 .cos
( ) 2 2 2 2
( ) lim lim lim
x x x
x x x x x x x x
sen sen x
sen x x senx
f x
x x x     
            
                   
  
 
 
'
0 0 0
2 2
( ) lim .cos lim . lim cos
2 2
2 2
x x x
x x
sen sen
x x
f x x x
x x     
    
                    
 
 
Lembrando que 
0
lim 1
x
senx
x

, '
0 0
2
( ) lim . lim cos 1.cos cos
2
2
x x
x
sen
x
f x x x x
x   
 
          
 
 
 
06 função cosseno x 
( ) cos '( )f x x f x senx   
 
 
 
Demonstração: Seja 
( ) cosf x x
. 
 
'
0 0
( ) ( ) cos( ) cos
( ) lim lim
x x
f x x f x x x x
f x
x x   
   
 
 
 
 
Relações Trigonométricas: 
cos cos 2 .
2 2
p q p q
p q sen sen
 
  
 
 
'
0 0 0
2 . 2 .
cos( ) cos 2 2 2 2
( ) lim lim lim
x x x
x x x x x x x x
sen sen sen x sen
x x x
f x
x x x     
            
                     
  
 
 
'
0 0 0
2 2
( ) lim . lim . lim
2 2
2 2
x x x
x x
sen sen
x x
f x sen x sen x
x x     
        
                                   
   
   
 
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Lembrando que 
0
lim 1
x
senx
x

, 
 
'
0 0 0
2 2
( ) lim . lim . lim .1
2 2
2 2
x x x
x x
sen sen
x x
f x sen x sen x senx senx
x x     
        
                                       
   
   
 
 
 
Exemplo: 
2( ) 3 cos 5 '( ) 3cos 10f x senx x x f x x senx x      
 
 
Exercícios: 
 
1. Calcule a derivada: 
 
1.1. 
( ) 4 7cosf x senx x x  
 
'( )f x 
 
 
X xssssç 
1.2. 
7
( ) cos
5
f x senx x  
 
'( )f x 
 
 
xssssç 
1.3. 
( )
x
senx
f x
a

 
'( )f x 
 
 
 
 
2. Calcule as derivadas das funções dadas e preencha a tabela: 
 
2.1.
( )f x tgx
 
 
'( )f x 
 
 
 
 
 
Xee 
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2.2.
( ) cotf x gx
 
 
'( )f x 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
A 
 
07 função tangente x 
( ) '( )f x tgx f x  
 
a 
08 função cotangente x 
( ) '( )f x cotgx f x  
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
Respostas: 
 
 
1.1. 
'( ) cos 4 7f x x senx  
 
 
1.2. 
'( ) cosf x x senx 
 1.3. cos .ln
'( )
xx senx a
f x
a


 
Z 
 
2.1. 
2( ) '( ) secf x tgx f x x  
 2.2. 
2( ) '( ) cosf x cotgx f x sec x   
 
 
cc 
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1.8. Derivada de Funções Compostas (Regra da Cadeia) 
Se 
( )y g u
, 
( )u f x
 e as derivadas 
dy
du
 e 
du
dx
 existem, então a função composta 
 ( )y g f x
 tem derivada dada por 
.
dy dy du
dx du dx

 ou 
'( ) '( ). '( )y x g u f x
. 
 
Se
( )y g u
, 
( )u f x
, temos 
 ( )y g f x
 
.
dy dy du
dx du dx

 
 
Exemplo: 
27 2( ) x xf x e 
 
x
27 2u x x 
 
uy e
 
27 2. .(14 2) (14 2).u x x
dy dy du
e x x e
dx du dx
    
 
 
Exercícios: Derive as seguintes funções: 
1. 
2 10( ) 10(3 7 3)f x x x  
 
u 
 
y 
 
.
dy dy du
dx du dx

 
 
 
2. 
4( ) 3(9 4)f x x 
 
u 
 
y 
 
 
.
dy dy du
dx du dx

 
 
 
 
3. 
23 6( ) 2 x xf x 
 
u 
 
y 
 
.
dy dy du
dx du dx

 
 
 
 
 
Cálculo Diferencial e Integral I Página 26 
 
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4. 
23 6 7( ) 2 x xf x e  
 
u 
 
y 
 
.
dy dy du
dx du dx

 
 
 
 
5. 
2 5( ) (2 3 )f x x x  
 
u 
 
y 
 
 
.
dy dy du
dx du dx

 
 
 
 
 
6. 
52( ) (2 3)f x x 
 
u 
 
y 
 
.
dy dy du
dx du dx

 
 
 
 
 
7. 3( ) xf x e 
u 
 
y 
 
 
.
dy dy du
dx du dx

 
 
 
 
 
 
 
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8. 
4 2( ) xf x x a
 
 
u 
 
y 
 
.
dy dy du
dx du dx

 
 
 
 
 
9. 
6 3( ) (5 2) (3 1)f x x x  
 
 
u 
 
y 
 
u 
 
y 
 
.
dy dy du
dx du dx
 
 
.
dy dy du
dx du dx
 
 
 
 
 
 
 
10. 
( ) 4f x sen x
 
u 
 
y 
 
.
dy dy du
dx du dx

 
 
 
11.
cos7
( )
x
f x
x

 
 
u 
 
y 
 
.
dy dy du
dx du dx

 
 
 
 
 
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12.
2( ) cos(3 5)f x x x  
 
u 
 
y 
 
.
dy dy du
dx du dx

 
 
 
 
 
13.
3( ) 3f x sen x
 
 
u 
 
y 
 
u 
 
y 
 
.
dy dy du
dx du dx

 
.
dy dy du
dx du dx

 
 
 
 
 
14.
2( ) sen xf x e
 
 
u 
 
y 
 
u 
 
y 
 
.
dy dy du
dx du dx
 
 
.
dy dy du
dx du dx
 
 
 
 
 
 
15. 
( ) xf x sene
 
u 
 
y 
 
.
dy dy du
dx du dx

 
 
 
 
 
 
Cálculo Diferencial e Integral I Página 29 
 
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16.
( ) 3. 4f x x tg x 
 
 
u 
 
y 
 
.
dy dy du
dx du dx

 
 
 
 
 
17.
( ) cot (3 1)f x g x 
 
u 
 
y 
 
.
dy dy du
dx du dx

 
 
 
Gg 
18. 
4( )f x sen x
 
u 
 
y 
 
.
dy dy du
dx du dx

 
 
 
 
Gg 
19. 
5( ) cosf x x
 
u 
 
y 
 
.
dy dy du
dx du dx

 
 
 
 
Gg 
 
 
 
 
 
 
 
Cálculo Diferencial e Integral I Página 30 
 
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Respostas: 
1. 
2 9(600 700)(3 7 3)x x x  
 2. 
3108(9 4)x
 
3. 
23 62 (6 6)ln 2x x x 
 4. 
23 6 7(12 12). x xx e  
 
5. 
2 4(15 10 )( 3 2)x x x  
 6. 
51104(2 3)x
 
7. 
33 xe
 8. 
2 32 (2 ln )xa x x a
 
9. 
5 2(5 2) (3 1) (135 48)x x x  
 10. 4cos4x 
11. 
2
7 7 cos7xsen x x
x
 
 
12. 
2(6 1). (3 5)x sen x x   
 
13. 
29. 3 .cos3sen x x
 14. 
22. .cos2sen xe x
 
15. 
.cosx xe e
 16. 
21 12.sec 4x
 
17. 
23.cossec (3 1)x 
 18. 
34. .cossen x x
 
19. 
45cos .x senx
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
Cálculo Diferencial e Integral I Página 31 
 
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1.9. Derivada da função inversa 
 
 função inversa 
1( )x f y
 
 1 1
1
( ) '( )
'( )
x f y f y
f x
   
 
 
Demonstração: Seja a função 
( )y f x
 bijetora e derivável no intervalo 
I
 tal que 
'( ) 0f x 
 
para 
x I
. 
Como a função 
f
, sendo bijetora e derivável, decorre que 
0 0x y   
. Portanto, 
considerando 
( ) ( )y f x x f x
x x
  

 
, podemos escrever 
1x
yy
x




. Sendo 
f
 derivável e, 
portanto, contínua, se 
x
 tende a zero, então 
y
 também tende a zero. 
 
Portanto, 
1 '
0 0
0
1 1 1
( ) ( ) lim lim
'( )
lim
y x
x
x
f y
y yy f x
x x

   
 

   
 
 
. Logo: 
 1 1
1
( ) '( )
'( )
x f y f y
f x
   
. 
Ss 
 
11 função logarítmica 
1
( ) log '( )
.ln
af x x f x
x a
  
, 
0a 
 e 
1a 
 
 
Demonstração: Pela definição de logaritmo, temos 
log yay x x a  
. Pela derivada da 
função exponencial. Vimos que 
' .lny yx a x a a  
. Empregando a regra da derivada da 
função inversa, temos 
1 1 1
'
' .ln .lny
y
x a a x a
  
. 
 
Caso Particular: 
 
12 função logarítmica de base 
e
 
1
( ) ln '( )f x x f x
x
  
 
 
Demonstração: 
1 1
( ) ln '( )
.ln
f x x f x
x e x
   
 
Exemplos: 
2( ) logf x x
 
1
'( )
.ln 2
f x
x

 
 
Exercícios: Derive as seguintes funções: 
 
1. 
7( ) logf x x
 
'( )f x 
 
 
 
Cálculo Diferencial e Integral I Página 32 
 
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2. 
5( ) logf x x
 
'( )f x 
 
 
 
3. 
2( ) 4log lnf x x x 
 
'( )f x 
 
 
 
 
qq 
 
13 função potência 
( ) nf x x
, com expoente 
real, 
n R
 e 
0x 
 
1( ) '( ) .n nf x x f x n x   
 
 
Demonstração: Seja 
ny x
, 
nR
. 
Empregando uma das consequências dos logaritmos (
ln xe x
), temos 
 
 ln
ln
n
n
x
n x
y x
y e
y e



 
 
Pela regra da cadeia: 
lnu n x
 
uy e
 
ln 1 1 11. . . . . . .u n x n n
dy dy du
e n e n x x n x n x
dx du dx x
      
 
 
Exemplos: 
 
3
3 1 4
4
1. ( )
3
'( ) 3 3 , 0
f x x
f x x x x
x

  

      
 
 
1
22. ( )f x x x 
 
1 1 2 1
1
2 2 2
1
2
1 1 1 1 1
'( ) , 0
2 2 2 2
2
f x x x x x
x
x

 
     
 
 
1
1 1 2
2
1
3. ( )
1
'( )
f x x
x
f x x x
x

  
 
     
 
Cálculo Diferencial e Integral I Página 33 
 
UMC – Profa. Marília Rocha Reprodução não autorizada 
Exercícios: 
 
1. Calcule a derivada: 
1.1. 4
3( )f x x
 
'( )f x 
 
 
1.2. 4
5( )f x x
 
'( )f x 
 
 
1.3. 
4( )f x x
 
'( )f x 
 
 
1.4. 
3 2( )f x x
 
'( )f x 
 
 
1.5. 
4
2
( )f x
x

 
'( )f x 
 
 
1.6. 
7
2
( )f x
x

 
'( )f x 
 
 
1.7. 
5( )f x x
 
'( )f x 
 
 
 
2 Calcule a derivada: 
 2.1. 1 3
5 2( )f x x x 
 
'( )f x 
 
 
 
 
sss 
Cálculo Diferencial e Integral I Página 34 
 
UMC – Profa. Marília Rocha Reprodução não autorizada 
2.2. 1 4
5 3( ) 2f x x x

 
 
'( )f x 
 
 
 
 
ppp 
2.3. 21
34( ) 2 6f x x x

 
 
'( )f x 
 
 
 
x 
2.4. 
3
2
2
( ) 6 xf x x e
x
  
 
'( )f x 
 
 
x 
2.5. 
3
2 4
( )f x
x x
 
 
'( )f x 
 
 
 
 
x 
2.6. 
1 1
2 3
2 5
( )f x
x x
 
 
'( )f x 
 
 
 
 
xssssç 
2.7. 2
3 2
4 5
4 15
( )
x x
f x
x x
  
 
'( )f x 
 
 
 
Cálculo Diferencial e Integral I Página 35 
 
UMC – Profa. Marília Rocha Reprodução não autorizada 
X xssssç 
2.8. 
1
( ) lnf x x
x
 
 
'( )f x 
 
 
 
Lll 
2.9. 3
2( ) ( 2 )( )f x x x x x  
 
( ) 'f x 
 
 
 
 
 
 
 
JJJ 
 
3.Derive as seguintes funções: 
 
3.1. 
5 3 51( ) (2 6 )
3
f x x x 
 
u 
 
y 
 
 
.
dy dy du
dx du dx

 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
Cálculo Diferencial e Integral I Página 36 
 
UMC – Profa. Marília Rocha Reprodução não autorizada 
3.2. 
2 10
2
1
( ) (3 6 )f x x x
x
  
 
 
u 
 
y 
 
.
dy dy du
dx du dx

 
 
 
 
 
 
 
 
 
3.3. 12 3( ) (4 5 2)f t t t    
u 
 
y 
 
.
dy dy du
dt du dt

 
 
 
 
 
 
3.4. 
31( )
3
xf x e 
 
u 
 
y 
 
 
.
dy dy du
dx du dx

 
 
 
 
 
 
 
Cálculo Diferencial e Integral I Página 37 
 
UMC – Profa. Marília Rocha Reprodução não autorizada 
3.5. 
( ) xf x e
 
u 
 
y 
 
.
dy dy du
dx du dx

 
 
 
 
3.6. 
2( ) 3 2f x x x  
 
u 
 
y 
 
.
dy dy du
dx du dx

 
 
 
 
 
 
3.7. 
3( ) 1f x x 
 
u 
 
y 
 
.
dy dy du
dx du dx

 
 
 
 
 
3.8. 
23( ) ( 1)f x x 
 
u 
 
y 
 
.
dy dy du
dx du dx

 
 
 
 
 
 
 
Cálculo Diferencial e Integral I Página 38 
 
UMC – Profa. Marília Rocha Reprodução não autorizada 
3.9. 
1( ) ( )f x senx 
 
u 
 
y 
 
.
dy dy du
dx du dx

 
 
 
 
 
3.10. 3
2
7 1
( )
2 3
t
f t
t
 
  
 
 
u 
 
y 
 
 
.
dy dy du
dx du dx

 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
Cálculo Diferencial e Integral I Página 39 
 
UMC – Profa. Marília Rocha Reprodução não autorizada 
Respostas: 
 
Derivada da função logarítmica 
1. 
1
'( )
.ln 7
f x
x

 2. 
1
'( )
.ln 5
f x
x

 3. 
1 4
'( ) 1
ln 2
f x
x
 
  
 
 
 
 
Derivada da função potência: 
1.1. 1
3
4
3
x
 1.2. 
1
5
4
5x
 1.3. 
3
4
1
4x
 
1.4. 
1
3
2
3x
 1.5. 
5
8
x

 1.6. 
8
14
x

 
1.7. 
6
5
x

 
 
 
2.1. 
4
5
1 3
2
5
x
x

 
2.2. 
1
3
6
5
2 4
( )
3
5
x
f x
x
  
 
2.3. 
3 5
4 3
1 4
( )
2
f x
x x
 
 
2.4. 
2
3
4
18 xx e
x
  
 2.5. 
4 2
6 4
x x
 
 2.6. 
3 4
2 3
1 5
3x x
 
 
2.7. 3
5
3
4
1
24x
x
 
 2.8. 1 1
'( ) 1f x
x x
 
   
 
 2.9. 3
2
3
2 5
2
x
x x  
 
SDD 
3.1. 
5 4 4
3 4
6 50 30
(2 ) ( )
3
x x
x x
 
 3.2. 
2 9
3
2
(3 6 ) (60 60)x x x
x
  
 
3.3. 
4
2 3
8 5
3(4 5 2)
t
t t
 
 
 3.4. 3
3
xe 

 
3.5. 
2
xe
x
 3.6. 
2
2 3
2 3 2
x
x x

 
 
3.7. 2
3
3
2 1
x
x 
 3.8. 
1
3
2
3( 1)x 
 
3.9. 
2
cos x
sen x

 3.10. 2 2
2 4
(7 1) ( 42 12 63)
(2 3)
t t t
t
   

 
 
S 
 
 
 
 
 
 
 
 
Cálculo Diferencial e Integral I Página 40 
 
UMC – Profa. Marília Rocha Reprodução não autorizada 
1.10. Derivada de outras funções trigonométricas 
 
1. Calcule as derivadas das funções dadas e preencha a tabela: 
1.1. 
( ) secf x x
 
 
u 
 
y 
 
.
dy dy du
dx du dx

 
 
 
 
 
 
 
 
Dd 
1.2. 
( ) cossecf x x
 
 
u 
 
y 
 
.
dy dy du
dx du dx

 
 
 
 
 
 
 
 
a 
09 função secante x 
( ) sec '( )f x x f x  
 
a 
10 função cossecante x 
( ) cossec '( )f x x f x  
 
 
 
 
 
Respostas: 
 
1.1.
( ) sec '( ) sec .f x x f x x tgx  
 1.2. 
( ) cossec '( ) cos .cotf x x f x secx gx   
 
 
Cálculo Diferencial e Integral I Página 41 
 
UMC – Profa. Marília Rocha Reprodução não autorizada 
1.11. Derivada de funções trigonométricasinversas 
 
14 função arco seno x 
2
1
( ) '( )
1
f x arcsenx f x
x
  

 
Cdd 
Demonstração: Pela definição de arco seno x, temos que 
y arcsenx x seny  
, no intervalo 
[ 1,1]
, com imagens em 
[ , ]
2 2
 

. 
Pela derivada da função seno x: 
' cosx seny x y  
. Podemos empregar a regra da derivada 
da função inversa, pois existe a derivada de 
seny
 para qualquer 
[ , ]
2 2
y
 
 
: 
1 1
'
' cos
y
x y
 
. 
Empregando a relação trigonométrica: 
2 2 2cos 1 cos 1sen y y y sen y    
: 
 
2 2
1 1 1
'
cos 1 1
y
y sen y x
  
 
, com 
[ 1,1]x 
. 
 
 
15 função arco cosseno x 
2
1
( ) arccos '( )
1
f x x f x
x
   

 
Cdd 
Demonstração: Pela definição de arco cosseno x, temos que 
arccos cosy x x y  
, no 
intervalo 
[ 1,1]
, com imagens em 
[0, ]
. 
Pela derivada da função cosseno x: 
cos 'x y x seny   
. Podemos empregar a regra da 
derivada da função inversa, pois existe a derivada de 
cos y
 para qualquer 
[0, ]y 
:
1 1
'
'
y
x seny
 

 
Empregando a relação trigonométrica: 
2 2 2cos 1 1 cossen y y seny y    
: 
2 2
1 1 1
'
1 cos 1
y
seny y x
   
   
 
 
 
 
16 função arco tangente x 
2
1
( ) '( )
1
f x arctgx f x
x
  

 
 
Demonstração: Pela definição de arco tangente x, temos que 
arcy tgx x tgy  
, de 
R
, com 
imagens em 
] , [
2 2
 

. Pela derivada da função tangente x: 
2' secx tgy x y  
. Podemos 
empregar a regra da derivada da função inversa, pois existe a derivada de 
tgy
 para qualquer 
] , [
2 2
y
 
 
:
2
1 1
'
' sec
y
x y
 
. 
Empregando a relação trigonométrica: 
2 2sec 1y tg y 
: 
Cálculo Diferencial e Integral I Página 42 
 
UMC – Profa. Marília Rocha Reprodução não autorizada 
2 2 2
1 1 1
'
sec 1 1
y
y tg y x
  
 
 
 
Exemplo: 
2( )f x arcsenx
 
u 
2x
 y arcsenu
 
2 2 2 4
1 1 2
. .2 .2
1 1 ( ) 1
dy dy du x
x x
dx du dx u x x
   
  
 
 
 
Exercícios: 
1. Calcule as derivadas: 
1.1. 
( ) arccos xf x e
 
u 
 
y 
 
.
dy dy du
dx du dx

 
 
 
1.2. 
( ) arc (ln )f x tg x
 
u 
 
y 
 
.
dy dy du
dx du dx

 
 
 
 
 
1.3. 
( ) arc 3f x sen x
 
u 
 
y 
 
.
dy dy du
dx du dx

 
 
 
1.4. 
3( ) arccosf x x
 
u 
 
y 
 
.
dy dy du
dx du dx

 
 
 
Cálculo Diferencial e Integral I Página 43 
 
UMC – Profa. Marília Rocha Reprodução não autorizada 
1.5. 
1
( ) arcf x tg
x

 
u 
 
y 
 
.
dy dy du
dx du dx

 
 
 
 
1.6. 
2( ) arcf x x senx 
 
 
 
 
1.7. 
( ) arccosf x x x 
 
 
 
1.8. 
( ) .arcf x x tgx
 
 
 
 
 
1.9. 
( ) ln(arccos )f x x
 
u 
 
y 
 
.
dy dy du
dx du dx

 
 
 
 
1.10. 
( )f x arctgx
 
u 
 
y 
 
.
dy dy du
dx du dx

 
 
 
 
 
Cálculo Diferencial e Integral I Página 44 
 
UMC – Profa. Marília Rocha Reprodução não autorizada 
1.11. 
32( ) . xf x x arcsenx e 
 
 
u 
 
y 
 
u 
 
y 
 
.
dy dy du
dx du dx
 
 
.
dy dy du
dx du dx
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
Respostas: 
1.1. 
2
'( )
1
x
x
e
f x
e
 

 1.2. 
2
1
'( )
(1 ln )
f x
x x


 
1.3. 
2
3
'( )
1 9
f x
x


 1.4. 2
6
3
'( )
1
x
f x
x
 

 
1.5. 
2
1
'( )
1
f x
x
 

 1.6. 
2
1
'( ) 2
1
f x x
x
 

 
1.7. 
2
1 1
'( )
21
f x
xx
  

 1.8. 
2
'( )
1
x
f x arctgx
x
 

 
1.9. 
2
1
'( )
1 .arccos
f x
x x
 

 1.10. 
2
1
'( )
2(1 )
f x
x arctgx


 
1.11. 
3
2
2 2
4
2
'( ) 3
1
xxf x arcsenx x e
x
  

 
 
Ee 
 
Cálculo Diferencial e Integral I Página 45 
 
UMC – Profa. Marília Rocha Reprodução não autorizada 
1.12. Derivadas de algumas funções compostas 
Sejam 
( )u x
e 
( )v x
 funções de 
x
deriváveis em um intervalo 
I
, apresentamos algumas 
derivadas de funções compostas: 
 
17 
função 
 ( ) ( )
n
f x u x
, 
n Z
 
   
1
( ) ( ) '( ) . ( ) . '( )
n n
f x u x f x n u x u x

  
 
 
Demonstração: 
 
( )w u x
 
ny w
 
Calculando as respectivas derivadas: 
' '( )w u x
 
1' . ny n w 
 
Regra da Cadeia: 
1 1. . . '( ) . ( ) . '( )n n
dy dy dw
n w u x nu x u x
dx dw dx
   
 
 
 
Exemplo: 
4 6
4 5 3 20 3 23
( ) (7 )
'( ) 6.(7 ) .(28 ) 1176. . 1176
f x x
f x x x x x x

  
 
 
lExercícios: Derive as seguintes funções: 
Ss 
1. 
2 5( ) (2 3 )f x x x  
 
'( )f x 
 
 
Ss 
2. 15 4 2( ) 14( )f x x x   
'( )f x 
 
 
 
Ss 
3. 
2 5( ) (2 3 )f x x x   
 
'( )f x 
 
 
 
 
 
 
xx 
Cálculo Diferencial e Integral I Página 46 
 
UMC – Profa. Marília Rocha Reprodução não autorizada 
18 função exponencial, com 
0a 
e 
1a 
 e 
( ) 0u x 
 
 
( ) ( )( ) '( ) .ln . '( )u x u xf x a f x a au x  
 
 
Demonstração: 
 
( )w u x
 
wy a
 
Calculando as respectivas derivadas: 
' '( )w u x
 
' .lnwy a a
 
Regra da Cadeia: 
( ). .ln . '( ) .ln . '( )w u x
dy dy dw
a au x a a u x
dx dw dx
  
 
 
 
Exemplo: 
2
2
2 4 1
2 4 1
( ) 2
'( ) 2 .ln 2.(4 4)
x x
x x
f x
f x x
 
 

 
 
 
Exercícios: Derive as seguintes funções: 
 
1. 
23 6( ) 2 x xf x 
 
'( )f x 
 
Xxx 
2. 
2
( ) 3x xf x 
 
'( )f x 
 
Xxx 
3. 
2 3( ) xf x x a
 
'( )f x 
 
 
Xxx 
 
19 função exponencial de base 
e
 
( ) ( )( ) '( ) . '( )u x u xf x e f x e u x  
 
 
Demonstração: 
 
( )w u x
 
wy e
 
Calculando as respectivas derivadas: 
' '( )w u x
 
' wy e
 
Regra da Cadeia: 
( ). . '( ) . '( )w u x
dy dy dw
e u x e u x
dx dw dx
  
 
 
Cálculo Diferencial e Integral I Página 47 
 
UMC – Profa. Marília Rocha Reprodução não autorizada 
Exemplos: 
2
2
2 4 1
2 4 1
1. ( )
'( ) .(4 4)
x x
x x
f x e
f x e x
 
 

 
 
 
 
   
2
2
2
2 1 3
3 2
2
62. ( ) 6 6
12
'( ) 6.( 2). . 12. . 12. . 12.
x x
x
x x x x x x x
x
f x e e
e
f x e e e e e e e
e


  
 
  
         
 
 
Exercícios: Derive as seguintes funções: 
 
1. 
2
7
( )
x
f x
e

 
'( )f x 
 
 
Ss 
2. 
5( ) xf x e
 
'( )f x 
 
 
Ss 
3. 
5 1( ) xf x e 
 
'( )f x 
 
 
Xx 
4. 
48 2( ) 5 xf x e 
 
'( )f x 
 
 
Xx 
20 função logarítmica 
'( )
( ) log ( ) '( )
( ).ln
a
u x
f x u x f x
u x a
  
 
 
Demonstração: 
 
( )w u x
 
logay w
 
Calculando as respectivas derivadas: 
' '( )w u x
 
1
'
ln
y
w a

 
Regra da Cadeia: 
1 '( ) 1
. . '( ) .
ln ( ) ln
dy dy dw u x
u x
dx dw dx w a u x a
  
 
Cálculo Diferencial e Integral I Página 48 
 
UMC – Profa. Marília Rocha Reprodução não autorizada 
 
Observação: usando a regra de mudança de base de um logaritmo (
log
log
log
c
a
c
b
b
a

): 
1 log
log
ln log
e
a
e
e
e
a a
 
 
Podemos reescrever 
'( )
( ) log ( ) '( ) log
( )
a a
u x
f x u x f x e
u x
  
 
 
Exemplo: 
2
2
22
( ) log (2 4 1)
4 4
'( ) .log
2 4 1
f x x x
x
f x e
x x
  


 
 
 
Exercícios: Derive as seguintes funções: 
 
1. 
2( ) log (2 4)f x x 
 
'( )f x 
 
 
Xx 
2. 
2
3( ) log ( 3 )f x x x 
 
'( )f x 
 
 
Xx 
 
21 função logarítmica de base 
e
 
'( )
( ) ln ( ) '( )
( )
u x
f x u x f x
u x
  
 
 
Demonstração: 
 
( )w u x
 
lny w
 
Calculando as respectivas derivadas: 
' '( )w u x
 
1
'y
w

 
Regra da Cadeia: 
1 '( )
. . '( )
( )
dy dy dw u x
u x
dx dw dx w u x
  
 
 
 
Exemplo: 
 
Cálculo Diferencial e Integral I Página 49 
 
UMC – Profa. Marília Rocha Reprodução não autorizada 
2
2
( ) ln(2 4 1)
4 4
'( )
2 4 1
f x x x
x
f x
x x
  


 
 
 
Exercícios: Derive as seguintes funções: 
1. 
 2
1
( ) ln 7 4
2
f x x 
 
'( )f x 
 
 
 
Ss 
2. 
2
1 1
( ) lnf x
x x
 
  
 
 
'( )f x 
 
 
 
 
 
 
Ss 
 
22 função 
( )( ) ( )v xf x u x
, 
( ) 0u x 
 
( ) ( ) 1 ( )( ) ( ) '( ) ( ). ( ) . '( ) ( ) .ln ( ). '( )v x v x v xf x u x f x v x u x u x u x u x v x   
 
 
Demonstração: 
Por uma das consequências da definição de logaritmo, 
( ) ( ).ln ( )( ) ( )v x v x u xf x u x e 
 
( ).ln ( )w v x u x
 
wy e
 
Calculando as respectivas derivadas: 
'( )
' '( ).ln ( ) ( ).
( )
u x
w v x u x v x
u x
 
 ' wy e
 
Regra da Cadeia: 
( )
( ) ( ) 1
'( ) '( )
. . '( ).ln ( ) ( ). ( ) . '( ).ln ( ) ( ).
( ) ( )
( ) .ln ( ). '( ) ( ). ( ) . '( )
w v x
v x v x
dy dy dw u x u x
e v x u x v x u x v x u x v x
dx dw dx u x u x
u x u x v x v x u x u x
   
       
   
 
 
 
Exemplo: 
Cálculo Diferencial e Integral I Página 50 
 
UMC – Profa. Marília Rocha Reprodução não autorizada 
3 2 1
3 2 1 1 2 3 2 1 3
3 2 2 2 3 2 1 3
( ) ( 1)
'( ) (2 1).( 1) .(3 ) ( 1) .ln( 1).(2)
'( ) (2 1).( 1) .(3 ) 2.( 1) .ln( 1)
x
x x
x x
f x x
f x x x x x x
f x x x x x x

  
 
 
     
     
 
 
Exercícios: Derive as seguintes funções: 
 
 
 
1. 
2 3( ) ( 1)xf x x  
 
'( )f x 
 
 
 
2. 
2 2( ) ( 1)xf x x  
 
'( )f x  
 
 
Sss 
 
23 função seno x 
( ) ( ( )) '( ) ( ( )). '( )f x sen u x f x cos u x u x  
 
 
Demonstração: 
 
( )w u x
 
y senw
 
Calculando as respectivas derivadas: 
' '( )w u x
 
' cosy w
 
Regra da Cadeia: 
. cos . '( ) cos( ( )). '( )
dy dy dw
wu x u x u x
dx dw dx
  
 
 
 
Analogamente obtemos as demais funções trigonométricas gerais: 
 
24 função cosseno x 
( ) cos( ( )) '( ) ( ( )). '( )f x u x f x sen u x u x   
 
25 função tangente x 
2( ) ( ( )) '( ) sec ( ( )). '( )f x tg u x f x u x u x   
 
26 Função cotangente x 
2( ) cot ( ( )) '( ) cos ec ( ( )). '( )f x g u x f x s u x u x  
 
27 função secante x 
( ) sec( ( )) '( ) ( ( )).sec( ( )). '( )f x u x f x tg u x u x u x  
 
28 função cossecante x 
( ) cossec( ( )) '( ) cossec( ( )).cot ( ( )). '( )f x u x f x u x g u x u x  
 
 
Exemplo: 
Cálculo Diferencial e Integral I Página 51 
 
UMC – Profa. Marília Rocha Reprodução não autorizada 
3
1
3 2 2
2 3
( ) ( ) cos
1
'( ) cos( ).3 .
2
1
'( ) 3 cos( )
2
f x sen x x
f x x x sen x x
f x x x sen x
x

 
 
 
 
 
Exercícios: Derive as seguintes funções: 
 
1. 
1
( ) cos s 3f x en x
x
 
 
'( )f x 
 
 
 
2. 
3( ) sec( 4 9)f x x x  
 
'( )f x  
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
Cálculo Diferencial e Integral I Página 52 
 
UMC – Profa. Marília Rocha Reprodução não autorizada 
Respostas: 
 
função 
 ( ) ( )
n
f x u x
 
1. 
2 4'( ) (2 3 ) (15 10 )f x x x x   
 
2. 4 3
3
5 4 2
35 28
'( )
( )
x x
f x
x x
 


 
3. 
2 6
15 10
'( )
(2 3 )
x
f x
x x
 

 
 
 
 
Função exponencial 
1. 
23 6'( ) 2 (6 6)ln 2x xf x x 
 2.
2
'( ) 3 .ln3.(2 1)x xf x x 
 3. 3'( ) (2 3 ln )xf x a x x a  
 
Função exponencial de base 
e
 
1. 
'
2
14
( )
x
f x
e
 
 
2. 
' 5( ) 5 xf x e
 3. 
' 5 1( ) 5 xf x e 
 
4. 
48 2 3( ) 160 xf x e x
 
 
 
Função logarítmica 
1. 
2log'( )
2
e
f x
x


 2. 
32
2 3
'( ) log
3
x
f x e
x x



 
 
 
Função logarítmica de base 
e
 
1. 
2
7
'( )
7 4
x
f x
x


 2. 
2
'( )
( 1)
x
f x
x x
 


 
 
 
Função 
( )( ) ( )v xf x u x
 
 
1. 
2 2 2 2 3 2'( ) (2 6 ).( 1) ( 1) .ln( 1)x xf x x x x x x      
 
2. 
2 22 1 2'( ) ( 2).( 1) 2 ( 1) .ln( 1)x xf x x x x x x      
 
 
Funções trigonométricas compostas 
1. 
2
1 1
'( ) 3cos3f x sen x
x x
 
 
 
2. 
2 3 3'( ) (3 4).sec( 4 9). ( 4 9)f x x x x tg x x     
 
 
Yyy 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
Cálculo Diferencial e Integral I Página 53 
 
UMC – Profa. Marília Rocha Reprodução não autorizada 
1.13. Derivadas Sucessivas 
 
Seja
f
uma função contínua em umintervalo 
I
 e seja 
1I
 o conjunto dos pontos de 
I
em que 
f
 é derivável. Em 
1I
 definimos a função 
'f
, chamada de função derivada primeira 
de 
f
. Seja 
2I
 o conjunto dos pontos de 
1I
 em que 
'f
 é derivável. Em 
2I
 podemos definir a 
função derivada de 
'f
, chamada de derivada segunda de f e indicada por 
''f
. 
Repetindo o processo, definimos as derivadas terceiras, quarta, etc. de 
f
. A derivada de 
ordem 
n
 de 
f
 representamos por 
( )nf
. 
Notação: 
''( )f x
, 2
2
d f
dx
. 
 
Exemplo: 
 
4 2( ) 3 2 5 1f x x x x   
 
3
2
(4)
(5) (6)
'( ) 12 4 5
''( ) 36 4
'''( ) 72
( ) 72
( ) ( ) ... 0
f x x x
f x x
f x x
f x
f x f x
  
 


  
 
 
Exercícios: calcule as derivadas primeira, segunda e terceira das funções: 
1.
2( ) 3 5 6f x x x  
 
'( )f x 
 
''( )f x 
 
'''( )f x 
 
2. 
4 2( ) 5 1f x x x  
 
'( )f x 
 
''( )f x 
 
'''( )f x 
 
3. 
1
( )f x
x

 
'( )f x 
 
 
''( )f x 
 
 
'''( )f x 
 
 
Cálculo Diferencial e Integral I Página 54 
 
UMC – Profa. Marília Rocha Reprodução não autorizada 
4. 
2( ) xf x e
 
 
u 
 
y 
 
.
dy dy du
dx du dx
 
 
'( )f x 
 
 
''( )f x 
 
 
'''( )f x 
 
 
5. 
( ) xf x e
 
 
u 
 
y 
 
.
dy dy du
dx du dx
 
 
'( )f x 
 
 
''( )f x 
 
 
'''( )f x 
 
 
6. 
2( ) 2ln( )f x x
 
 
u 
 
y 
 
.
dy dy du
dx du dx
 
 
'( )f x 
 
 
''( )f x 
 
 
'''( )f x 
 
 
 
Cálculo Diferencial e Integral I Página 55 
 
UMC – Profa. Marília Rocha Reprodução não autorizada 
Respostas: 
1. 
'( ) 6 5f x x 
 
''( ) 6f x 
 
'''( ) 0f x 
 
2. 
' 3( ) 4 10f x x x 
 
'' 2( ) 12 10f x x 
 
'''( ) 24f x x
 
3. 
'
2
1
( )f x
x
 
 
''
3
2
( )f x
x

 
'''
4
6
( )f x
x
 
 
4. 
' 2( ) 2 xf x e
 
'' 2( ) 4 xf x e
 
''' 2( ) 8 xf x e
 
5. 
' 1( )
x
f x
e
 
 
'' 1( )
x
f x
e

 
''' 1( )
x
f x
e
 
 
6. 
' 4( )f x
x

 
2
4
''( )f x
x
 
 
3
8
'''( )f x
x

 
Ee 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
Cálculo Diferencial e Integral I Página 56 
 
UMC – Profa. Marília Rocha Reprodução não autorizada 
2. Interpretações da Derivada 
 
2.1. Interpretação Cinemática 
A derivada da função 
( )s s t
 no ponto 
0t t
 é igual à velocidade escalar do móvel 
no instante 
0t
. 
A derivada da função 
( )v v t
 no ponto 
0t t
 é igual à aceleração escalar do móvel 
no instante 
0t
. 
 
2.2. Variação Média 
Uma taxa de variação média de uma função é uma medida relativa de variação da 
função em um dado intervalo. Ela indica o ritmo, a velocidade do quanto a variável 
dependente (
y
) se modifica, em média, conforme alterações no valor da variável dependente 
(
x
). 
A taxa de variação média de uma função 
f
 em relação à variável 
x
, em um 
determinado intervalo 
[ , ]x x x
 é dada por: 
( ) ( )y f x x f x
x x
  

 
. 
Graficamente, a taxa de variação média coincide com a inclinação da reta secante 
ao gráfico da função 
f
, passando pontos 
( , ( ))P x f x
 e 
( , ( ))Q x x f x x 
. 
 
 
 
A taxa de variação média da função 
2( )f x x
 no intervalo 
[5,5 2]
 é dada por: 
( ) ( ) (7) (5) 49 25
12
7 5 2
y f x x f x f f
x x
    
   
  
. 
 
A inclinação da reta secante ao gráfico de 
2( )f x x
, pelos pontos 
(5,25)P
e 
Cálculo Diferencial e Integral I Página 57 
 
UMC – Profa. Marília Rocha Reprodução não autorizada 
(7,49)P
 é dada por 
2 1
2 1
49 25
12
7 2
y y
m
x x
 
  
 
, ou ainda, no 
PQR
: 
^ . 49 25
12
. 7 2
c oposto
tg P
c adjacente

  

. 
 
 
A taxa de variação média varia conforme o intervalo considerado. Quanto maior a 
inclinação da reta secante, maior a taxa de variação, ou seja, no intervalo considerado o ritmo 
de crescimento (ou decrescimento) é maior quanto maior for o valor da inclinação da reta 
secante. 
2.3. Taxa de variação 
Na interpretação cinemática da derivada vimos que, quando um corpo se move em 
linha reta de acordo com a equação do movimento 
( )s s t
, sua velocidade é dada por 
'( )v s t
. A velocidade representa a razão da variação do deslocamento por unidade de 
variação do tempo. Portanto a derivada 
'( )s t
 é a taxa de variação da função 
( )s t
 por unidade 
de variação 
t
. 
Uma derivada pode ser interpretada com uma taxa de variação. Dada uma função 
( )y f x
, quando a variável independente varia de 
x
 para 
x x
, a correspondente variação 
de 
y
 será 
( ) ( )y f x x f x   
. 
No item anterior, vimos que o quociente 
( ) ( )y f x x f x
x x
  

 
 representa a taxa 
média de variação de 
y
 em relação a 
x
, em um determinado período. 
A derivada 
0
( ) ( )
'( ) lim x
f x x f x
f x
x
 
 


 é a taxa instantânea de variação ou 
taxa de variação de 
y
 em relação a 
x
. 
Graficamente, a taxa de variação instantânea coincide com a inclinação da reta 
tangente ao gráfico da função 
f
, passando ponto 
( , ( ))P x f x
. 
 
2.4. Exercícios 
 
1. Um corpo de move em linha reta, de modo que sua posição no instante t é dada por 
2( ) 16f t t t 
. 
0 8t 
, em que o tempo é dado em segundos e a distância em metros. 
Determine a velocidade do corpo no instante 
3t 
 e a aceleração no instante 
t
. 
 
 
 
 
 
 
 
 
Cálculo Diferencial e Integral I Página 58 
 
UMC – Profa. Marília Rocha Reprodução não autorizada 
2. Influências externas produzem uma aceleração numa partícula de tal forma que a equação 
de seu movimento retilíneo é 
b
y ct
t
 
, em que 
y
é o deslocamento e 
t
o tempo. Qual a 
velocidade da partícula no instante 
2t 
? 
 
 
 
 
 
 
 
3. A posição de uma partícula que se move no eixo dos 
x
 depende do tempo de acordo com a 
equação 
2 33x t t 
, em que 
x
 vem expresso em metros e 
t
 em segundos. 
a. qual o seu deslocamento depois dos primeiros 4 segundos? 
b. qual a velocidade da partícula depois dos primeiros 4 segundos? 
c. qual a aceleração da partícula depois dos primeiros 4 segundos? 
 
 
 
 
 
 
 
4. Seja 
V
 centímetros cúbicos o volume de um cubotendo uma aresta de 
a
 centímetros. 
a. ache a taxa de variação média do volume com relação a 
a
 quando este varia de 3,00 a 
3,20. 
b. qual a taxa de variação instantânea do volume em relação a 
a
 quando 
3a 
? 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
Cálculo Diferencial e Integral I Página 59 
 
UMC – Profa. Marília Rocha Reprodução não autorizada 
5. Um líquido goteja em um recipiente. Após 
t
 horas, há 125t t litros no recipiente. Qual a taxa 
de gotejamento de líquido no recipiente, por hora, quando 
16t 
 horas? 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
6. Um corpo cai livremente partindo do repouso. Calcule sua posição e sua velocidade depois 
de decorridos 1 e 2 segundos, sendo dada a equação da posição do corpo 
2
0
1
2
y v t gt 
, onde 
0v
 é a velocidade inicial e 
29,8 /g m s
. 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
Cálculo Diferencial e Integral I Página 60 
 
UMC – Profa. Marília Rocha Reprodução não autorizada 
 
Respostas: 
1. 
22 /m s
; 
22 /m s
 
2. 
4
b
c


 
3. 
16m
;
24 /m s
;
218 /m s
 
4. 
328,84 cm
;
327 cm
 
5. 
4,875
 por hora 
6. 
4,9m
;
9,8 /m s
 e 
19,6m
; 
19,6 /m s
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
Cálculo Diferencial e Integral I Página 61 
 
UMC – Profa. Marília Rocha Reprodução não autorizada 
3. Anexos 
3.1. Plano Cartesiano (R2) 
Formado por dois eixos (x e y) perpendiculares em O (origem). 
 
Par ordenado: (x, y) 
P(x, y) : ponto no plano cartesiano. Dizemos que x e y são as coordenadas do ponto P. 
Eixo dos x: abscissa 
Eixo dos y : ordenada 
O(0,0): Origem 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
(0,0)O
 
(3,5)P
 
( 4,9)Q 
 
( 6, 2)R  
 
(7, 6)S 
 
(7,0)T
 
(0,5)U
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
Cálculo Diferencial e Integral I Página 62 
 
UMC – Profa. Marília Rocha Reprodução não autorizada 
3.2. Relações Trigonométricas 
 
01 
2 2cos 1sen x x 
 - Relação Fundamental 02 
1
cot
t
gx
gx

 
03 
cos
senx
tgx
x

 
04 
2
2
1
1
cos x
tg x


 
05 
2 21 sectg x x 
 06 
2
2
21
tg x
sen x
tg x


 
07 
2 21 cosseccotg x x 
 08 2 2 .cossen x senx x 
09 
1
sec
cos
x
x

 
10 
2 1 cos 2
2
x
sen x


 
11 
1
cossec
s
x
enx

 
12 
2 1 cos 2cos
2
x
x


 
13 
cos
cot
x
gx
senx

 
14 
2 2cos(2 ) cosx x sen x 
 
15 
2
2
(2 )
1
tgx
tg x
tg x


 
16 
2cos(2 ) 2cos 1x x 
 
17 
3cos(3 ) 4cos 3cosx x x 
 18 
2cos(2 ) 1 2x sen x 
 
19 
3(3 ) 3 4sen x senx sen x 
 20 
(2 ) 2 cossen x senx x
 
21 
3
2
3
(3 )
1 3
tgx tg x
tg x
tg x



 
 
gg 
01 Cosseno da soma 
cos( ) cos .cos .x y x y senx seny  
 
02 Cosseno da diferença 
cos( ) cos .cos .x y x y senx seny  
 
03 Seno da soma 
( ) .cos .cossen x y senx y seny x  
 
04 Seno da diferença 
( ) .cos .cossen x y senx y seny x  
 
kk 
3.3. Trigonometria na Circunferência 
3.3.1. Arcos e Ângulos 
Consideremos uma circunferência de centro O e um ângulo ^
AOB
, 
sendo A e B pontos comuns aos lados do ângulo e à circunferência. 
 
 
 
 
 
A circunferência é dividida em dois arcos: AXB e AYB . 
 
A e B são as extremidades do arco. 
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3.3.2. Medidas de Arcos 
A medida de um arco AB em relação a um arco unitário u (não nulo e 
de mesmo raio que o arco dado) é o número real que exprime quantas vezes o arco u “cabe” 
no arco AB. São duas as unidades escolhidas para se medir arcos: o grau e o radiano. 
3.3.2.1. Grau (o) 
Grau é um arco unitário igual a 
1
360
 da 
circunferência que contém o arco a ser medido. 
 
 
Sendo que ^
AOB
 é um ângulo central2 e AXB é o seu arco 
correspondente, dizemos que a medida (em graus) de um arco de 
circunferência é igual à medida do ângulo central correspondente. 
3.3.2.2. Radiano (rad) 
Radiano é um arco unitário cujo comprimento é 
igual ao raio da circunferência que contém o arco a ser medido. 
Sabemos que o comprimento da circunferência 
mede 
2 r
, em que r = raio. Pela definição de radiano, podemos escrever 
2
rad. 
 
3.3.2.3. Conversão 
Para conversão de unidades, estabelecemos a 
seguinte relação: 
 
360º 

 
2
 rad ou, ainda, 180º 

 

 rad 
 
 
Exemplo: exprima 225º em radianos. 
 
180º 

 

 rad 
225º 

 x 
 
225 5
180 4
x rad
 
 
 
 
 
3.4. Ciclo Trigonométrico 
Tomemos sobre um plano um sistema cartesiano ortogonal uOv. 
Consideremos a circunferência de centro O e raio r = 1 (portanto, seu comprimento é igual a 
2
). Associemos a cada número real x, com 
0 2x  
, um único ponto P da circunferência 
do seguinte modo: 
 
 
 
 
 
 
2
 Ângulo Central apresenta o vértice no centro da circunferência e seus lados são raios da mesma. 
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Se x = 0, então P coincide com A 
 
 
Se x > 0, então realizamos a partir de A um 
percurso de comprimento x, no sentido anti-
horário, e marcamos P como final do percurso 
 
 
A circunferência acima definida, com origem em A, é chamada ciclo, 
círculo ou circunferência trigonométrica. 
Se um ponto P está associado ao número x dizemos que P é a imagem 
de x no ciclo. 
3.4.1. Razões Trigonométricas na Circunferência 
Consideremos o ciclo trigonométrico definido acima e associemos quatro 
eixos: 
1. Eixo dos cossenos (u), apresenta direção: 
OA
 e sentido 
positivo: 
O A
 
2. Eixo dos senos (v), apresenta direção: 
u
, por 0 e sentido 
positivo: 
O B
 
3. Eixo das tangentes (c), apresenta direção: ǁ v, por A e 
sentido positivo: o mesmo de v. 
4. Eixo das cotangentes (d), apresenta direção: ǁ u, por B e 
sentido positivo: o mesmo de u. 
 
 
 
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Os eixos u e v dividem a circunferência em quatro arcos: AB ,