Curva de transição

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Curvas de transiçãoCurvas de transição
Profa . Luc iana Rohde
Proje to Geométr ico de Es tradas - ECV 5115
volvotrucks.com
1. Introdução1. Introdução
� Desde 1920, a curva circular tem sido considerada como 
um elemento dinâmico de projeto
� aceleração lateral → parâmetro básico na análise de 
estabilidade dinâmica do veículo
� Enfoque moderno de projeto →→→→ tangente também 
considerada como elemento dinâmicoconsiderada como elemento dinâmico
� acelerações e desacelerações observadas ao longo da 
extensão.
� Tangentes → “independentes” ou “não independentes”, 
conforme o seu comprimento permita ou não aceleração 
e consequente aumento de velocidade dos veículos entre 
duas curvas horizontais consecutivas.
Profa. Luciana Rohde - ECV 5115
2. Tangentes2. Tangentes
� Tangentes independentes
� comprimento for suficiente para que a maior velocidade 
desejada por até 85% dos motoristas em um trecho 
retilíneo seja atingida
Profa. Luciana Rohde - ECV 5115
Yimg, 2012
2. Tangentes2. Tangentes
� Tangentes independentes
� se o seu comprimento permitir 
alguma aceleração, mas não o 
suficiente para que seja 
atingida a máxima velocidade 
desejada por até 85% dos desejada por até 85% dos 
motoristas em um trecho 
retilíneo, uma vez que estes 
são obrigados a reduzir a 
velocidade de seus veículos 
para percorrer a curva 
seguinte sob condições de 
segurança.
Profa. Luciana Rohde - ECV 5115
Yimg, 2012
2. Tangentes2. Tangentes
� Tangentes não independentes
� se o seu comprimento for tal que, para até 85% dos 
motoristas, seja possível apenas adaptar a velocidade de 
seus veículos ao saírem de uma curva para que possam 
percorrer a curva seguinte sob condições seguras.percorrer a curva seguinte sob condições seguras.
Profa. Luciana Rohde - ECV 5115
Yimg, 2012
3. Curvas3. Curvas
� Tipos de curvas
� Curva circular simples → tangentes ligadas por arco de 
circunferência.
� Curva circular composta → tangentes ligadas por 2 ou + 
arcos de circunferência sucessivamente.arcos de circunferência sucessivamente.
� Curva de transição → combinação de raios de curvas 
variáveis com curva de raio constante.
Profa. Luciana Rohde - ECV 5115
Profa. Luciana Rohde - ECV 5115
4. Curvas de transição4. Curvas de transição
� Curva circular simples → traçado fluente e contínuo 
do eixo
� Usuário → forças laterais → desconforto → superelevação e 
superlargura
� PC e PT� PC e PT
� Passagem instantânea → “choque dinâmico”
� Introdução de curvas especiais entre a tangente e a curva 
circular → curvas de transição
� Passagem suave entre a condição da tangente e a curva 
circular
Profa. Luciana Rohde - ECV 5115
4. Curvas de transição4. Curvas de transição
� Proporciona uma trajetória mais natural de ser 
seguida
� Aceleração radial aumenta ou diminui gradualmente
� Diminui a tendência dos veículos de invadirem as faixas 
adjacentesadjacentes
� Proporciona um trecho para a transição da 
superelevação e da superlargura
� Aspecto mais agradável ao traçado
� Evita “quebras” no início e no fim das curvas
� Aspecto ótico satisfatório para o motorista
Profa. Luciana Rohde - ECV 5115
4. Curvas de transição4. Curvas de transição
� Raios que dispensam transição
� Raio instantâneo varia em cada 
ponto desde o infinito 
(concordância com as 
tangentes) até o valor de RC
(concordância com o trecho em 
curva circular).
Profa. Luciana Rohde - ECV 5115
C
a
m
a
c
h
o
,
 
2
0
1
2
4. Curvas de transição4. Curvas de transição
� Tipos de curvas para transição
Profa. Luciana Rohde - ECV 5115
Pereira et al., 2012
4. Curvas de transição4. Curvas de transição
� Tipos de curvas para transição
� Variação linear de curvatura única → giro constante do volante
Profa. Luciana Rohde - ECV 5115
5. Espiral de transição (5. Espiral de transição (ClotóideClotóide))
� Raio instantâneo em qualquer ponto é inversamente 
proporcional do desenvolvimento da curva
� R × L = K
� Curva descrita por um veículo que trafega a uma 
velocidade constante, enquanto o motorista gira o velocidade constante, enquanto o motorista gira o 
volante a uma velocidade angular constante.
� Também é conhecida como espiral de Van Leber, 
espiral de Cornu, espiral de Euler ou Radióide aos 
arcos.
Profa. Luciana Rohde - ECV 5115
5.1. Tipos de transição5.1. Tipos de transição
� Com a inserção da transição a curva circular é 
afastada das tangentes de uma grandeza “p”
� O afastamento pode ser obtido de três maneiras 
distintas
� Transição a raio e centro conservados� Transição a raio e centro conservados
� Transição a raio conservado (+ utilizado)
� Transição a centro conservado
� A concordância é feita com uma curva circular 
simples e depois aperfeiçoada com a inserção das 
espirais de transição entre as tangentes e a CC pelo 
afastamento da CC em relação às tangentes que se 
interceptam no PI.
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5.2. Transição a raio e centro conservados5.2. Transição a raio e centro conservados
� Insere-se as duas espirais sem alterar o R e a posição 
do centro (O) → diminuição do trecho circular e 
afastamento das tangentes
Profa. Luciana Rohde - ECV 5115
5.2. Transição a raio e centro conservados5.2. Transição a raio e centro conservados
� Necessário modificar concordâncias adjacentes → posição 
das tangentes alterada!
� Utilizado quando não é possível evitar um ponto obrigado 
situado sobre a curva circular original.
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5.3. Transição a centro conservado5.3. Transição a centro conservado
� Mantém posição das tangentes → afastamento da curva 
circular com redução do RC em valor igual ao do 
afastamento necessário à acomodação das espirais →
posição do centro da CC original mantida
Profa. Luciana Rohde - ECV 5115
5.3. Transição a centro conservado5.3. Transição a centro conservado
� Mantém posição das tangentes → afastamento da curva 
circular com redução do RC em valor igual ao do 
afastamento necessário à acomodação das espirais →
posição do centro da CC original mantida
Profa. Luciana Rohde - ECV 5115
5.4. Transição a raio conservado5.4. Transição a raio conservado
� Deslocamento da CC para dentro da concordância →
afastamento para inserção das espirais → reduz trecho em CC
Profa. Luciana Rohde - ECV 5115
5.4. Transição a raio conservado5.4. Transição a raio conservado
� Não altera o raio!
� Não altera a posição das tangentes!
Profa. Luciana Rohde - ECV 5115
6. Elementos da transição6. Elementos da transição
� Pontos singulares
TS TS (Tangent – to – Spiral) → início 
da concordância horizontal→
passagem da tangente para a espiral;
SCSC (Spiral – to – Curve)→ passagem 
da espiral para a curva circular→ o 
raio de curva é comum;
Profa. Luciana Rohde - ECV 5115
raio de curva é comum;
CSCS (Curve – to – Spiral)→ passagem 
da curva circular para a espiral→ raio 
de curva ainda é o mesmo;
STST (Spiral – to – Tangent)→ final da 
concordância horizontal→ passagem 
da espiral para a tangente.
6. Elementos da transição6. Elementos da transição
� Outros parâmetros
PI PI : ponto de interseção (das tangentes);
II : ângulo de deflexão;
OO : centro da curva circular;
RR : raio da curva circular (m);
TTSS : tangente externa ou exterior (m);
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LLCC : comprimento da espiral (m);
DDCC : comprimento da (ou 
desenvolvimento em) curva circular (m);
SSCC : ângulo central correspondente a um 
ramo da espiral;
θθ : ângulo central correspondente à curva 
circular.
6.1. Comprimento de transição6.1. Comprimento de transição
� Distância ao longo da qual são distribuídas a 
superelevação e a superlargura� Na tangente = valores nulos → na curva circular = valores definidos 
para o raio da curva
� Concordância horizontal com curva de transição, utiliza-
Profa. Luciana Rohde - ECV 5115
� Concordância horizontal com curva de transição, utiliza-
se o comprimento dessa espiral para distribuir a 
superelevação e a superlargura→ comprimento de 
transição ≠ comprimento da curva de transição (LC). 
� DNIT → critérios fixando mínimos e máximos e 
critérios complementares → comprimento das curvas de 
transição
6.2. Comprimento mínimo da transição6.2. Comprimento mínimo da transição
� Critério do comprimento mínimo absoluto
� Menor comprimento de transição admissível é de 30 m ou o 
equivalente à distância percorrida por um veículo, na 
velocidade diretriz, no tempo de 2 segundos, prevalecendo o 
maior.
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� Comprimentos de transição inferiores não teriam resultados 
práticos desejáveis, podendo introduzir distorções visíveis nos 
bordos da pista, comprometendo esteticamente a rodovia.
t (s)
v (m/s)
V (km/h)
L (m)
LLmínmín ≥≥≥≥≥≥≥≥ 30 m30 m
6.2. Comprimento mínimo da transição6.2. Comprimento mínimo da transição
� Critério da fluência ótica
� Para raios > 800 m
R (m)
L (m)
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6.2. Comprimento mínimo da transição6.2. Comprimento mínimo da transição
� Critério do conforto
� Dito critério da taxa máxima de variação da aceleração centrífuga.
� Menor comprimento admissível para a transição de modo a não 
sujeitar os usuários a sensações de desconforto e insegurança 
devidas à rapidez da passagem da condição de tangente para a de 
curva circular.
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curva circular.
� Grau de desconforto dos usuários → taxa de variação da 
aceleração centrífuga , ou solavanco transversal→ expressa o 
quanto varia a aceleração transversal por unidade de tempo ao 
longo da transição.
� Superelevação anula parte da força centrífuga... → restante 
=desconforto
6.2. Comprimento mínimo da transição6.2. Comprimento mínimo da transição
� Critério do conforto
Profa. Luciana Rohde - ECV 5115
6.2. Comprimento mínimo da transição6.2. Comprimento mínimo da transição
� Critério da máxima rampa de superelevação
� Controlar a elevação dos bordos em relação ao eixo de rotação da 
pista, na distribuição da superelevação
� Visa assegurar valores razoáveis, do ponto de vista de conforto e 
de segurança, para a velocidade de giro (transversal) dos veículos, 
ao percorrer os trechos em transição.
Profa. Luciana Rohde - ECV 5115
ao percorrer os trechos em transição.
� Valores limites para a rampa de superelevação→ diferença de 
inclinação longitudinal entre o perfil do eixo e o perfil do bordo 
mais afetado pela superelevação.
� DNIT estabelece valores máximos admissíveis para as rampas de 
superelevação → caso básico de pista simples, com duas faixas de 
trânsito e desenvolvimento da superelevação mediante giro da 
seção transversal em torno do eixo.
6.2. Comprimento mínimo da transição6.2. Comprimento mínimo da transição
� Critério da máxima rampa de superelevação
Profa. Luciana Rohde - ECV 5115
� Nos casos de desenvolvimento da superelevação que envolvam 
o giro simultâneo de mais de uma faixa em torno de um eixo 
de rotação coincidente com um dos bordos da pista, as 
elevações do outro bordo da pista, em relação ao eixo de 
rotação se darão em ritmo mais acentuado, diretamente 
proporcional ao número de faixas que giram em conjunto.
6.2. Comprimento mínimo da transição6.2. Comprimento mínimo da transição
� Critério da máxima rampa de superelevação
� Se fossem mantidos, nesses casos, os mesmos limites para 
as rampas de superelevação, os comprimentos mínimos de 
transição ficariam proporcionalmente maiores.
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� Poderia resultar em comprimentos de transição muito 
grandes → impraticáveis. 
� Assim, os valores máximos admissíveis de rampa de 
superelevação são majorados para os casos em que o giro da 
seção transversal envolva mais de uma faixa.
6.2. Comprimento mínimo da transição6.2. Comprimento mínimo da transição
� Critério da máxima rampa de superelevação
� Majoração → fator multiplicador sobre Lmín do caso básico.
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6.2. Comprimento mínimo da transição6.2. Comprimento mínimo da transição
� Critério da máxima rampa de superelevação
� Cálculo do Lmín.
Profa. Luciana Rohde - ECV 5115
Lmín : comprimento mínimo de transição (m);
Fm : fator multiplicador em função da largura de rotação da pista 
(Tabela);
LF : largura da faixa de trânsito (m);
eR : superelevação na curva circular (m/m);
rmáx : rampa de superelevação máxima admissível (Tabela).
6.3. Comprimento máximo da transição6.3. Comprimento máximo da transição
� Critério do máximo ângulo central da clotóide
� Considera que será utilizada a Clotóide como curva de 
transição.
� DNIT → limita o comprimento da Clotóide ao valor do raio 
da curva circular utilizada na concordância.
Profa. Luciana Rohde - ECV 5115
da curva circular utilizada na concordância.
6.3. Comprimento máximo da transição6.3. Comprimento máximo da transição
� Critério do tempo de percurso
� DNIT → estipula que o comprimento de transição seja 
limitado à distância percorrida por um veículo, durante um 
tempo t = 8 segundos, na velocidade diretriz.
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6.4. Critérios complementares6.4. Critérios complementares
� Critério do arredondamento
� Múltiplo de 10,00 m → facilidade de cálculo e locação das 
curvas de transição no campo.
� Em algumas circunstâncias, onde é necessária a 
Profa. Luciana Rohde - ECV 5115
� Em algumas circunstâncias, onde é necessária a 
coincidência das extremidades de espirais de duas 
concordâncias sucessivas, ou onde não seja possível o 
emprego de valores arredondados, poder-se-á utilizar 
valores fracionários.
6.4. Critérios complementares6.4. Critérios complementares
� Critério da aparência geral
� DNIT → curvas sucessivas, tanto no caso de curvas reversas 
como no caso de curvas de mesmo sentido, devem ser 
projetadas de forma a que os comprimentos de transição 
obedeçam à seguinte relação:
Profa. Luciana Rohde - ECV 5115
obedeçam à seguinte relação:
6.4. Critérios complementares6.4. Critérios complementares
� Critérios para concordância com curvas compostas
� o comprimento de transição da superelevação entre essas 
curvas é determinado considerando os mesmos critérios 
aplicáveis para curvas isoladas;
� critério da máxima rampa de superelevação admissível 
Profa. Luciana Rohde - ECV 5115
� critério da máxima rampa de superelevação admissível 
considera-se para eRo valor da diferença entre as 
superelevações adotadas para as curvas envolvidas;
6.4. Critérios complementares6.4. Critérios complementares
� Critérios para concordância com curvas compostas
� critério do conforto → considera-se para eRo mesmo 
anterior e para R o valor do raio equivalente:
Profa. Luciana Rohde - ECV 5115
7. Cálculo da transição7. Cálculo da transição
Profa. Luciana Rohde - ECV 5115
� Conhecidos PI, I e R → definir LC
� Determinar os demais parâmetros da curva
7. Cálculo da transição7. Cálculo da transição
� Ângulo central da Espiral (Sc)
� Tomando a perpendicular à tangente na origem da espiral (R=∞) como origem 
para a contagem de arcos e de ângulos centrais da espiral, pode-se definir 
entorno de M (raio = R), um arco de comprimento L e um ângulo central S, um 
arco elementar dL, ao qual corresponde uma porção elementar dS do ângulo 
central → para Lc→ Sc
Profa. Luciana Rohde - ECV 5115
Sc : (°)
7. Cálculo da transição7. Cálculo da transição
� Ângulo central da curva circular (θ)
� AC = I (retas ⊥ entre si)Profa. Luciana Rohde - ECV 5115
θ : (°)
7. Cálculo da transição7. Cálculo da transição
� Desenvolvimento em curva circular (Dc ou Dθ)
θ : (°)
Profa. Luciana Rohde - ECV 5115
� Comprimento total em curva (Dt)
7. Cálculo da transição7. Cálculo da transição
� Coordenadas cartesianas da espiral
� A espiral de transição pode ser referida a um sistema de 
eixos cartesianos com origem coincidente com a origem da 
espiral e eixo das ordenadas coincidente com a direção da 
tangente à espiral nesse ponto.
As posições dos pontos da espiral podem ser caracterizados 
Profa. Luciana Rohde - ECV 5115
� As posições dos pontos da espiral podem ser caracterizados 
por coordenadas (x e y) → ordenadas medidas ao logo da 
tangente, a partir do TS (ou do ST), e as abcissas medidas ⊥
à tangente.
� Em um ponto qualquer da espiral, com coordenadas x e y, e 
imaginando um arco elementar de comprimento dL no 
entorno desse ponto, pode-se definir, a partir do triângulo 
elementar, relações trigonométricas para calcular as 
coordenadas cartesianas do ponto osculador (SC ou CS).
7. Cálculo da transição7. Cálculo da transição
� Coordenadas cartesianas da espiral
Profa. Luciana Rohde - ECV 5115
7. Cálculo da transição7. Cálculo da transição
� Parâmetros de recuo da curva circular
� a introdução dos ramos de espiral é viabilizada 
geometricamente mediante o afastamento da curva circular em 
relação às tangentes.
Profa. Luciana Rohde - ECV 5115
7. Cálculo da transição7. Cálculo da transição
� Parâmetros de recuo da curva circular
� Curva circular
� Inserção de espirais
� PC original → recua para PC’ (G)
� Sistema cartesiano (x,y) →
coordenadas de PC’ → (p,q)
Profa. Luciana Rohde - ECV 5115
coordenadas de PC’ → (p,q)
� Abcissa p → afastamento da curva 
circular em relação à tangente.
� Ordenada q →medida sobre a 
tangente a partir de TS.
� Omesmo ocorre para PT (ST) →
simetria.
� Ao afastamento p corresponde um 
recuo da curva circular em relação 
à posição inicial imaginária → t
7. Cálculo da transição7. Cálculo da transição
� Parâmetros de recuo da curva circular
Profa. Luciana Rohde - ECV 5115
7. Cálculo da transição7. Cálculo da transição
� Tangente externa (Ts)
Profa. Luciana Rohde - ECV 5115
8. Locação da transição8. Locação da transição
� Por coordenadas 
cartesianas: calcula-se as 
coordenadas (x,y) para as 
estacas ao longo da espiral;
� Por deflexões e 
Profa. Luciana Rohde - ECV 5115
comprimentos: locação por 
deflexões acumuladas 
como em curvas circulares.
Referências Bibliográficas
� Antas, P.M.; Vieira, A.; Gonçalo, E.A.; Lopes, L.A.S.
Estradas – Projeto Geométrico e de Terraplenagem. 
1 ed. Rio de Janeiro: Interciência, 2010.
� Brasil. DNER. Manual de Projeto Geométrico de 
Rodovias. Rio de Janeiro: IPR, 1999.Rodovias. Rio de Janeiro: IPR, 1999.
� Lee, S. H. Introdução ao Projeto Geométrico de 
Rodovias. 3 ed. Florianópolis: Editora da UFSC, 
2008.
� http://www.dnit.gov.br