Confiabilidade Industrial

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SEM0544 SEM0544 -- Aula 8Aula 8
Confiabilidade Confiabilidade Confiabilidade Confiabilidade 
Prof. Dr. Marcelo BeckerProf. Dr. Marcelo Becker
Prof. Dr. Rodrigo NicolettiProf. Dr. Rodrigo Nicoletti
SEM - EESC - USP
• NENHUM SISTEMA É 100% 
SEGURO:
– Erros na especificação, desenho e 
realização
– “time-to-market” cada vez mais importante 
Introdução à Confiabilidade
2
– “time-to-market” cada vez mais importante 
(e curto !)
– Imprevisibilidades internas e externas ao 
sistema
– Nas empresas:
• dependência de sistemas de informação críticos
• sistemas são factor de concorrência
• falhas nos sistemas podem parar o negócio (na 
aviação podem resultar em perda de vidas 
humanas !)
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• O que é importante nos sistemas:
– o reconhecimento de que podem falhar
– a compreensão das causas de falha
– diminuição do impacto de falhas (interno e 
externo)
– a comprovação do seu bom funcionamento
Introdução à Confiabilidade
3
– a comprovação do seu bom funcionamento
• Abordagem sistemática destes 
problemas é urgente!!
• Necessidade de acordo na terminologia 
a utilizar
• Base comum para estudo e discussão 
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Definição de Confiabilidade:
• Segundo a NBR 5462, confiabilidade é a capacidade de
um item desempenhar uma função requerida sob
condições especificadas, durante um dado intervalo de
tempo.
Introdução à Confiabilidade
“Confiabilidade é a qualidade tempo.
• Confiabilidade é a melhor medida quantitativa da
integridade de um projeto, de uma peça, componente,
produto ou sistema. Confiabilidade é a probabilidade que
peças, componentes, produtos, ou sistemas irão executar
suas funções de projeto sem falhas em um ambiente
especificado, por um período projetado, com um
determinado nível de confiança
“Confiabilidade é a qualidade 
ao longo do tempo”
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Definição de Confiabilidade:
Introdução à Confiabilidade
Pode-se verificar que a completa especificação de
confiabilidade envolve basicamente sete aspectos:
1) O estatístico que é a probabilidade da ocorrência de1) O estatístico que é a probabilidade da ocorrência de
uma falha;
2) O nível de confiança que a probabilidade é expressa;
3) O relacionado ao intervalo de tempo, para o qual a
probabilidade é estabelecida, também chamada de
tempo da missão;
4) A idade ou tempo de vida do produto, pois a
probabilidade de falha se altera com a vida;
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Definição de Confiabilidade:
Introdução à Confiabilidade
5) A caracterização do que é considerado como falha,
quais os limites de desempenho admitidos;
6) O ambiente de operação, quais as solicitações6) O ambiente de operação, quais as solicitações
ambientais que o produto estará sujeito;
7) As condições de uso do produto, qual o ciclo de
operação, a carga, a solicitação operacional,
ambiental e elétrica que o produto estará sujeito.
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• Von Braun e Eric Pieruschka (II Guerra)
Introdução à Confiabilidade
Histórico
7
V1 - Buzz-Bomb
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Aumento da complexidade dos produtos
Houve um grande aumento do número de
peças nos novos produtos:
� Um Boeing 747 é feito com
Introdução à Confiabilidade
8
� Um Boeing 747 é feito com
aproximadamente 4,5 milhões de peças;
� Um trator de 1935 continha 1200 peças
críticas, em 1990 o número aumentou para
2900 peças críticas.
� A nave espacial Mariner / Mars dependeu do
bom funcionamento de 138.000 componentes,
pelo mínimo de nove meses no espaço.
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Trator 
ano
Número de 
peças 
críticas
Confiabilidade 
assumindo 99,99% 
de conf. das peças
Número de 
tratores que 
falham por 1000
Aumento da complexidade dos produtos
Introdução à Confiabilidade
9
críticas de conf. das peças falham por 1000
1935 1200 88,7 % 113
1960 2250 79,9 % 201
1970 2400 78,7 % 213
1980 2600 77,1 % 229
1990 2900 74,8 % 252
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Número 
de peças 
críticas
Confiabilidade das peças 
99,999% 99,99% 99,9% 99,0%
Confiabilidade do sistema
Aumento da complexidade dos produtos
Introdução à Confiabilidade
10
10 99,99 % 99,90 % 99,00 % 90,44 %
100 99,90 % 99,01 % 90,48 % 36,60 %
250 99,75 % 97,53 % 77,87 % 8,11 %
500 99,50 % 95,12 % 60,64 % 0,66 %
1.000 99,01 % 90,48 % 36,77 % < 0,1 %
10.000 90,48 % 36,79 % < 0,1 % < 0,1 %
100.000 36,79 % < 0,1 % < 0,1 % < 0,1 %
Assumindo que as peças estejam todas dispostas em série
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A confiabilidade como um dos parâmetros da qualidade
Iniciando pela qualidade, Garvin em 1987 determinou oito
dimensões para a qualidade:
1)1) DesempenhoDesempenho, significando como o produto irá
Introdução à Confiabilidade
11
1)1) DesempenhoDesempenho, significando como o produto irá
executar o trabalho pretendido;
2)2) ConfiabilidadeConfiabilidade, significando com que freqüência o
produto falha;
3)3) DurabilidadeDurabilidade, significando por quanto tempo o
produto irá durar;
4)4) MantenabilidadeMantenabilidade, significando o quão fácil é reparar o
produto;
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5)5) EstéticaEstética, significando o apelo visual do produto;
6)6) CaracterísticasCaracterísticas, significando o que o produto faz;
7)7) QualidadeQualidade percebidapercebida, significando qual a reputação
A confiabilidade como um dos parâmetros da qualidade
Introdução à Confiabilidade
12
7)7) QualidadeQualidade percebidapercebida, significando qual a reputação
da empresa e do seu produto;
8)8) ConformidadeConformidade com o projeto, significando a
adequação do produto à intenção do projetista. O
processo de manufatura não deve distorcer a intenção
do projetista, de forma a desqualificar o produto.
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Riscos do desenvolvimento de produtos
Ênfase no
gerenciamentoGarantia e custos 
dos serviços
Competição
Pressões do
mercado
Introdução à Confiabilidade
Percepção dos
13
Riscos do 
gerenciamento
Requisitos do
consumidor
Legais
Responsabilidade
pública
Segurança
Eng. de ConfiabilidadeEng. de Confiabilidade
Percepção dos
Riscos
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• Conjunto de atitudes destinadas a aumentar a 
confiabilidade do produto
• Rastreamento e análise de falhas e suas causas
• Realimentação para Projeto, Processos e 
Políticas de Qualidade
• Realimentação para Projeto, Processos e 
Materiais
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Definição de Falha:
• O término da capacidade de um sistema 
ou componente de realizar sua função 
especificada.
Introdução à Confiabilidade
especificada.
• Tipos:
– Parcial – Catastrófica
– Completa – Marginal
– Gradual – Degradação
– Súbita
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Tipos de Falhas
Falha Parcial:
• Desvios de características, além de limites 
estabelecidos, mas que não causam perda 
completa da função requerida.
Introdução à Confiabilidade
completa da função requerida.
Falha Completa:
• Desvios além de limites estabelecidos, 
causando perda total da função requerida.
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Desenvolvimento das Falhas
Falha Gradual:
• Ocorrência pode ser prevista através de 
inspeção e/ou acompanhamento
Introdução à Confiabilidade
inspeção e/ou acompanhamento
Falha Súbita:
• Ocorrência imprevisível
• Falha aleatória
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Falha Catastrófica:
• Falha Súbita e Completa 
Falha Marginal:
Introdução à Confiabilidade
Falha Marginal:
• Súbita e Parcial
Degradação:
• Falha Gradual e Parcial.
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Falha Gradual Monotônica
y(t)
ymax
Falha
Introdução à Confiabilidade
Tempo
ymin
FalhaAjustes
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Vida Útilde um Componente
• Ex.: Uma lâmpada em particular
Introdução à Confiabilidade
Tempo (h)
C
o
n
f
i
a
b
i
l
i
d
a
d
e
1.0
0.0
350
EESC-USP © M. Becker 2011 20
Vida Útil de um Componente
• Outra lâmpada similar
Introdução à Confiabilidade
1.0
0.0
350 400 Tempo (h)
C
o
n
f
i
a
b
i
l
i
d
a
d
e
EESC-USP © M. Becker 2011 21
1.0
Vida Útil de Vários Componentes em Cj.
• Várias lâmpadas similares
Introdução à Confiabilidade
1.0
0.0
Tempo (h)
C
o
n
f
i
a
b
i
l
i
d
a
d
e
EESC-USP © M. Becker 2011 22
Função de Confiabilidade
• Média dos testes de Vida Útil de uma população de 
componentes similares
Introdução à Confiabilidade
Tempo (h)
R(t)
1.0
0.0
t0
R(t0)
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• R(t0) equivale à Confiabilidade (probabilidade 
de operação) no instante t0
Função de Confiabilidade
Introdução à Confiabilidade
– Também equivale à probabilidade de que a vida útil 
do componente ou sistema exceda o instante t0
Tempo (h)
R(t)
1.0
0.0
t0
R(t0)
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• Probabilidade Cumulativa de Falhas 
F(t) = 1 - R(t) 
Definições
• Vida Útil: Tempo de operação dentro do 
qual F(t) é menor que um valor 
especificado
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Probabilidade Cumulativa de Falhas
R(t)
1.0
R(t0)
Definições
t0.0 t0
t
F(t) = 1-R(t)
1.0
0.0 t0 t0+ d t
d F(t)
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Função de Densidade de Probabilidade de 
Falhas
• Derivada da Probabilidade Cumulativa de 
falhas
Definições
dt
tdR
dt
tdF
tf )()()( −==
t
f(t)
0.0
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Taxa de Falhas
• Probabilidade de um componente falhar no 
intervalo [ t , t + dt ] dado quedado que o mesmo 
Definições
intervalo [ t , t + dt ] dado quedado que o mesmo 
componente estava operando no instante t
)(
)()(
)(
1
)(
)()()(
tR
tf
dt
tdR
tRtR
tFdttF
tz =−=
−+
=
EESC-USP © M. Becker 2011 28
Taxa de Falhas
t
R(t)
1.0
0.0
Definições
t
t 
z(t)
0.0
t
f(t)
0.0
EESC-USP © M. Becker 2011 29
MTTF – “Mean Time to Failure”
• Tempo médio até ocorrência de falha; obtido 
pela média da vida útil de uma população de 
Definições
pela média da vida útil de uma população de 
N elementos similares (Vida Média)
t
R(t)
1.0
0.0
MTTF
∫
∞
=
0
)( dttRMTTF
EESC-USP © M. Becker 2011 30
A “Curva da Banheira”
Mortalidade
Infantil Desgaste
Definições
Log (t) 
z(t) Operação Normal
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“Burn – in”
• Operação do sistema por um período 
equivalente à mortalidade infantil, antes da 
entrega para uso normal
Desgaste
Definições
Log (t) 
z(t) Operação 
Normal
Desgaste
Burn-in
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Manutenção Preventiva
• Substituição de componentes entrando na 
fase de desgaste, mesmo que não 
apresentem falhas
Definições
Log (t) 
z(t)
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Modelos de Funções de Confiabilidade 
Distribuição Retangular
• Aplica-se a componentes em que há 
esgotamento progressivo de um ingrediente 
essencial (ex.: combustível, emissão iônica, 
Definições
essencial (ex.: combustível, emissão iônica, 
eletrólitos)
t
R(t)
1.0
0.0 T
TMTTF
Ttf
TttR
TttR
=
=
≥=
<≤=
)()(
0)(
01)(
δ
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• Ex.: Lâmpadas
Modelos de Funções de Confiabilidade 
Definições
• Vida útil: ~1000 hs (incandescente); 10000 hs 
(fluorescente)
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Distribuição Exponencial
• Taxa de Falhas constante; modela falhas 
aleatórias, independentes do tempo
Modelos de Funções de Confiabilidade 
Definições
t
R(t)
1.0
0.0 T λ
λ
λ λ
λ
1
)(
)(
)(
=
=
=
=
−
−
MTTF
tz
etf
etR
t
t
EESC-USP © M. Becker 2011 36
Distribuição Log-Normal
• Modelagem de processos físicos de fadiga 
mecânica (propagação de fissuras, falhas 
estruturais, etc.); desgastes em geral
Modelos de Funções de Confiabilidade 
Definições
estruturais, etc.); desgastes em geral
( )













 −
−=










−−
= ∫
∞
2
2
2
log
2
1
exp
2
1
)(
log
2
1
exp
2
1
)(
σ
µ
σpi
σ
µ
σpi
µ
tttf
du
u
tR
t
t
f(t)
0.0
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Medida de Taxa de Falhas
• 1 FIT (Failure In Time): 1 falha por dispositivo 
em 1 bilhão de horas
5 - 500Resistores 
λλλλ (FIT)Componente
Definições
50 - 100Conectores (por pino)
30 - 1000Relês
5 - 50Circuitos Integrados CMOS LSI
50Diodos de sinal
200 - 2000Capacitores Eletrolíticos
5 - 500Resistores 
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Sistemas com Manutenção 
(Reparo)
Reparo
Tempo
R(t)
1.0
0.0
Falhas
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Disponibilidade de um Sistema Sujeito a 
Reparo
• MTTR (“Mean Time to Repair”) = Tempo médio 
para reparo 
• MTBF (“Mean Time Between Failures”) = Tempo 
Sistemas com Manutenção
• MTBF (“Mean Time Between Failures”) = Tempo 
médio entre falhas (MTBF = MTTF + MTTR)
• Disponibilidade (“Availability”): 
MTTRMTTF
MTTFD
+
=
EESC-USP © M. Becker 2011 40
Confiabilidade de um Sistema
Configuração Série:
• O sistema opera se todos os blocos 
(partes) estiverem operando.
B1 B3B2
R1 R3R2
RS = R1 × R2 × R3 (se estatisticamente independentes)
EESC-USP © M. Becker 2011 41
duuztRcomo
RtR
t
ii
n
i
iS




−=
=
∫
∏
=
)(exp)(
)(
0
1
Confiabilidade de um Sistema
Lei de Lusser
n
tRterdevemostRtRe
tRsejaoutRSe
duuztRtemos
n
iji
SS
t n
i
iS
ε
ε
ε
−≈−==
−=→












−= ∫ ∑
=
11)(,)()(
,)1()(,1)(
)(exp)(
0
1
EESC-USP © M. Becker 2011 42
Sistema Série com Falhas Aleatórias
exp)(então
)(,constanteé)(se
∑ 



−=
=
n
iii
ttR
tztz
λ
λ
Confiabilidade de um Sistema
série)sistema tes,independen amenteestatistic (falhas
1portanto
exp)(então
1
1
∑
∑
=
=
=






−=
n
i
i
S
i
iS
MTTF
ttR
λ
λ
EESC-USP © M. Becker 2011 43
Redundância a Nível de Componente
• Ex.: 2 Diodos em Série
Confiabilidade de um Sistema
• Se os diodos falharem em aberto, o sistema é uma 
configuração série.
• Se falharem em curto, a configuração é paralela.
EESC-USP © M. Becker 2011 44
Configuração em Paralelo:
• O sistema opera se pelo menos um bloco 
estiver operando.
B
Confiabilidade de um Sistema
B1
B2
R1
R2
RP = 1- (1- R1) × (1- R2 ) (se estatisticamente independentes)
EESC-USP © M. Becker 2011 45
Redundância a Nível de Componente
• 2 Diodos em Paralelo
Confiabilidade de um Sistema
• Se os diodos falharem em curto, o sistema é uma configuração 
série.
• Se falharem em aberto, a configuração é paralela.
EESC-USP © M. Becker 2011 46
• 4 Diodos em Série / Paralelo
Redundância a Nível de Componente
Confiabilidade de um Sistema
EESC-USP © M. Becker 2011 47
Probabilidade de Falha – 4 Diodos
NN
CANCANCAN
CCCAAANNN N = Normal
A = Aberto
C = Curto
D1 D2
D3
D4
Confiabilidade de um Sistema
CC
AC
NC
CA
AA
NA
CN
AN
Falha
D1 D2
D3 D4
EESC-USP © M. Becker 2011 48
10-1
100
PF4
PC=2xPA
Probabilidade de Falha – 4 Diodos
Confiabilidade de um Sistema
10-2 10-1 100
10-4
10-3
10-2
10
PFD
PC=PA
PA=2xPC
EESC-USP © M. Becker 2011 49• Considerando a manutenção, a taxa de falhas será 4 
vezes maior que a de um diodo.
• Há vantagem se o componente defeituoso puder ser 
substituído sem desativar o sistema completo, 
Redundância a Nível de Componente
Confiabilidade de um Sistema
substituído sem desativar o sistema completo, 
reduzindo assim o MTTR (modularidade).
EESC-USP © M. Becker 2011 50
• Há a necessidade de monitoração para detectar 
falhas não catastróficas do conjunto (sensores de 
corrente e tensão).
Redundância a Nível de Componente
Confiabilidade de um Sistema
• Circuitos de monitoração acrescentam componentes 
que podem falhar, criando alarmes falsos.
EESC-USP © M. Becker 2011 51
• Ex.: Transponder de Satélite
Ativo
Redundância a Nível de Subsistema
Confiabilidade de um Sistema
Filtro
Osc
F.I.X X
Osc
F.I. Filtro
P.A.LNA
Filtro
Osc
F.I.X X
Osc
F.I. Filtro
P.A.LNA
“Stand-by”
EESC-USP © M. Becker 2011 52
Exemplo
A-10 Thunderbolt
• A estrutura do A-10 é 
simples, sendo 95% de 
alumínio
• Suas redundâncias são 
53
• Suas redundâncias são 
fundamentais para 
aumentar sua 
confiabilidade e resistência 
a danos.
EESC-USP © M. Becker 2011
53
Exemplo
A-10 Thunderbolt
54EESC-USP © M. Becker 2011 54
• Utilizar o menor número possível de 
componentes
• Dimensionar os componentes com 
Projetar a Confiabilidade
• Dimensionar os componentes com 
margem de segurança adequada
• Distribuir a confiabilidade por todos os 
componentes (evitar pontos fracos!!)
EESC-USP © M. Becker 2011 55
• Reações químicas (contaminação, umidade, corrosão)
• Difusão de materiais diferentes entre si
• Eletromigração (densidades de corrente elevadas)
• Propagação de fissuras (vibração, fadiga mecânica, 
ciclos térmicos em materiais com coeficientes de 
Mecanismos de Falhas
ciclos térmicos em materiais com coeficientes de 
dilatação diferentes)
• Ruptura secundária (afunilamento de corrente devido a 
coeficiente térmico negativo)
• Ruptura dielétrica por ionização 
EESC-USP © M. Becker 2011 56
 λλλλM = λλλλ ×××× fT ×××× fE ×××× fR
• fT = Fator de Temperatura
• f = Fator Ambiental
Fatores Multiplicativos
• fE = Fator Ambiental
• fR = Fator de Dimensionamento
• Outros fatores (ciclo térmico, radiação, etc.)
EESC-USP © M. Becker 2011 57
Fator de Temperatura
• Modelo de Arrhenius para velocidade de reações 
químicas










−=
Ef 11exp
Fatores Multiplicativos
• E = Energia de Ativação (~ 0,7 eV p/ 
semicondutores) 
• k = Constante de Boltzmann (8,62 ××××10-5 eV/K
• T0 = Temperatura de referência (K)
• TA = Temperatura de operação (K)










−=
A
T TTk
f exp
0
EESC-USP © M. Becker 2011 58
10 4
10 5
10 6
E (eV)
Fator de Temperatura
Fatores Multiplicativos
0 50 100 150 200
10 0
10 1
10 2
10 3 1,0
0,7
0,3
OC
EESC-USP © M. Becker 2011 59
0,3Defeitos no Substrato (Silício)
0,3Defeitos no Óxido
E (eV)Tipo de Defeito
Energias de Ativação
Fatores Multiplicativos
1,4Contaminação
1,3Micro-fissuras 
0,5~1,0Carga Superficial
0,9Contatos Metálicos
0,6Eletromigração
EESC-USP © M. Becker 2011 60
1,0Estacionário, normal
0,5Estacionário, ar condicionado
fETipo de Ambiente
Fator Ambiental
Fatores Multiplicativos
2,0Marítimo
4,0Aviação militar
1,5Aviação civil
2,0Móvel, automotivo
1,5Equipamento portátil
1,0Estacionário, normal
EESC-USP © M. Becker 2011 61
1,5Resistores, 100% da potência máxima
1,0Resistores, 10% da potência máxima
fRSobre / sub-dimensionamento
Fator de Dimensionamento
Fatores Multiplicativos
2,0Semicondutores, 200% da pot. nominal
1,5Semicondutores, 100% da pot. nominal
1,0Semicondutores, 10% da pot. nominal
6,0Capacitores, 200% da tensão máxima
3,0Capacitores, 100% da tensão máxima
1,0Capacitores, 10% da tensão máxima
2,0Resistores, 200% da potência máxima
EESC-USP © M. Becker 2011 62
• Fator de Maturidade Tecnológica
fL = 1.0 (tecnologia estabelecida)
= 10 (tecnologia nova)
Outros Fatores
Fatores Multiplicativos
= 10 (tecnologia nova)
• Fator de Qualidade
fQ = 0,5 (componente homologado)
= 1.0 (componente padrão)
= 3 ~ 30 (componente comercial / origem 
duvidosa)
EESC-USP © M. Becker 2011 63
Dimensionamento de um 
Componente
• Capacidade do componente deve ser 
maior que o esforço a que é submetido
Resistência 
nominal
do componente 
utilizado
Esforço nominal
aplicado
Esforço
Margem de 
Segurança
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• Propriedades dos componentes e das 
condições de uso possuem dispersão
Dimensionamento de um 
Componente
Resistência
do componente
Esforço
aplicado
Esforço
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Porque Ocorre uma Falha
• Esforço aplicado (físico, elétrico, mecânico) 
excede a resistência do componente
Dimensionamento de um 
Componente
Resistência
do componente
Esforço
aplicado
Probabilidade de falhas Esforço
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Tif⋅
Ciclo Térmico
Tif⋅
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Taxa de Falhas Vs. 
Temperatura / Tensão
Capacitores 
Eletrolíticos 
de Tântalo
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Depreciação de Corrente 
Nominal
Corrente de “ripple” em Capacitores Eletrolíticos
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Tamanho da amostra
Análise de Falhas por 
Amostragem
Porcentagem de itens defeituosos
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EESC-USP © M. Becker 2011 70
• Aumentar artificialmente o esforço 
(temperatura, voltagem, vibração, etc.) para 
obter taxas de falha mensuráveis em tempo 
reduzido
Sobrecarga
Testes Acelerados
Sobrecarga
Probabilidade de falhas Esforço
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Métodos de Teste Acelerado
• Temperatura elevada (ex.: 1000 hs @ 125 OC)
• Choque térmico (ex.: 1000 ciclos, –65 OC a 125 OC)
• Umidade (ex.: 150 hs @120 OC, 100% R.H., 15 psi, )
Testes Acelerados
• Umidade (ex.: 150 hs @120 C, 100% R.H., 15 psi, )
• Vibração (100 G, 100 Hz)
• Sobre-alimentação (destrutivo ou não)
• Sobrecarga 
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• Identificar riscos prioritários
• Detectar mecanismos de falha
• Determinar soluções para as causas 
Objetivos
Testes Acelerados
• Determinar soluções para as causas 
• Tomar ações corretivas nos processos 
produtivos 
• Realimentar para as diretrizes de projeto.
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• A análise de confiabilidade (a posteriori) 
de uma população de componentes pode 
ser usada para prever o comportamento 
Questão Filosófica
ser usada para prever o comportamento 
futuro (a priori) de componentes 
similares?
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• Identificar componentes críticos
• Identificar margens de projeto inadequadas
• Comparar alternativas de implementação
• Reduzir custos evitando “excesso de 
qualidade”
Benifícios da Análise de 
Confiabilidade
• Reduzir custos evitando “excesso de 
qualidade”
• Verificar viabilidade de atingir um 
determinado MTTF
• Determinar tempo ideal para “Burn-in”
• Determinar a influência de fatores ambientais 
no MTTF
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• Modelos não podem ser extrapolados para 
níveis elevados de sobrecarga
• Modelos para novos produtos e processos são 
imprecisos
Riscos da Análise de 
Confiabilidadeimprecisos
• Fatores multiplicativos podem assumir valores 
irreais ou indeterminados
• Mudanças de processos ou insumos podem 
alterar taxas de falhas dos componentes
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• Nenhum sistema é 100% seguro !
• O impossível acontece mesmo [Murphy’s Law] !
• Sistemas críticos devem ser tolerantes a faltas !
• Confiabilidade deve ser pensada desde o início !
Conclusões
77
• Confiabilidade deve ser pensada desde o início !
• Credibilidade é importante …
• … e talvez um dia o Murphy esteja errado...
EESC-USP © M. Becker 2011