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Sinais &
Sistemas
Prof. Eduardo G. Bertogna
UTFPR / DAELN
Sinais e Sistemas
Conteúdos da Disciplina:
• Revisão de Números Complexos
• Conceitos e Classificação de Sinais e Sistemas
• Convolução Contínua e Discreta
• Série Exponencial Complexa e Trigonométrica de Fourier
• Espectro de Magnitude e de Fase
• Transformada de Fourier, Resposta em Frequência
• Transformada de Laplace, Função de Transferência
• Filtros Seletivos de Frequências
Bibliografia Básica:
• Sinais e Sistemas. HAYKIN, S.; VAN VEEN, B. 1ªEd., Bo-
okman, 2001.
• Sinais e Sistemas. HWEI, P.HSU. 1ªEd., Bookman, 2004.
• Sinais e Sistemas Lineares. LATHI, B.P. 2ªEd. Bookman,
2007
• Apostila em http://pessoal.utfpr.edu.br/ebertonha.
1
Aplicações da Teoria de Sinais e Sistemas
Algumas áreas de aplicação:
- Sistemas de Comunicação (Tipos de Modulação)
- Sistemas de Controle (Modelagem e Síntese)
- Processamento de Sinais Biológicos;
- Instrumentação (Modelagem e Síntese)
- Processamento de Sinais (Audio, Video, etc)
Formas de Aplicação da Teoria
1. Síntese
* Projetos de Sistemas de Processamento de Sinais
- Filtragem de ruído e equalização de sinais;
- Compressão de sinais;
- Classificação de padrões;
- Controle adaptativo;
- Cancelamento de eco em transmissão digital.
2. Análise
* Caracterização de Sistemas
- Modelamento de um sistema de controle;
- Modelamento de sistemas biológicos, exemplo:
estudar como o sistema auditivo responde aos vários
tipos de excitações.
2
Revisão de Números Complexos
Número Imaginário ou Operador Imaginário
O número ou operador imaginário, designado por j ou i (aqui
adotaremos j pois i já é usado para corrente elétrica), é definido
como:
j2 = −1
Portanto: j =
√−1, j3 = j.j2 = −j, e ainda: j4 = j2.j2 = 1
Número Complexo
O número complexo é aquele que se constitui de uma compo-
nente real e outra imaginária, do tipo: A = a+ jb, podendo ser
representado de 3 formas:
Forma Cartesiana: A = a+ jb
Onde: j =
√−1, a = Re(A), b = Im(A)
Forma Polar: A = C∠θ
Onde: C = |A| =
√
a2 + b2, e θ = arctan( b
a
)
Forma Exponencial: A = C.ejθ = C.cos(θ) + j.C.sen(θ)
Onde: C = |A| =
√
a2 + b2, e θ = arctan( b
a
)
C =Módulo de A, e θ =Argumento de A
OBS: e = 2,71828182...é a base natural ou neperiana.
Complexo Conjugado
O número A∗ = a− j.b, é denominado de conjugado de A.
3
Plano Complexo:
Da forma explonencial: A = C.ejθ = C.cos(θ)+j.C.sen(θ), chega-
se a Identidade ou Fórmula de Euler:
ejθ = cos(θ) + j.sen(θ)
Com: cos(θ) = 1
2
(ejθ + e−jθ), e: sen(θ) = 1
2j
(ejθ − e−jθ)
Operações Básicas com Números Complexos
Considere 2 números complexos, A e B, representados por:
A = a+ j.b = C.ejθ1, e B = c+ j.d = D.ejθ2
Soma Algébrica: A+B = (a+ c) + j(b+ d)
Subtração Algébrica: A−B = (a− c) + j(b− d)
Multiplicação: A.B = (ac− bd) + j.(bc+ ad) = C.D.ej(θ1+θ2)
Divisão:
A
B
= A.B
∗
B.B∗
= (a+j.b).(c−j.d)
c2+d2
= (ac+bd)+j(bc−ad)
c2+d2
= C
D
.ej(θ1−θ2)
4
Propriedades do Complexo Conjugado
Considere: A e A*, então:
• A+A∗ = 2.Re(A)
• A−A∗ = 2.Im(A)
• A.A∗ = (a+ j.b).(a− j.b) = a2 − j2.b2 = a2 + b2 ⇒ Nº real !!!
Exercícios
1. Dados: x1 = 2 + j3, x2 = 4− j3, e x3 = 5∠0,927
Efetuar as operações indicadas:
(a) x1 + x2 (c) x2 − x3 (e) x2/x3 (g) Im(x3)
(b) x2 + x3 (d) x2.x3 (f) Re(x3) (h) |x1|
2. Efetuar as operações indicadas:
(a) (6 + j7).(1 + j) (c) (1 + j2)2 − (3 + j4)
(b) (5 + j4).(1− j) + (2 + j).j
3. Determine o módulo e o argumento, colocar na forma polar
e representar graficamente os seguintes números:
(a) 4 (d) −√2 + j.√2
(b) 1 + j.
√
3 (e) −5
(c) j.3 (f) −j.2
5
4. Calcule o módulo e o argumento dos seguintes números com-
plexos:
(a) 3− j.4 (d) cos(θ) + jsen(θ)
(b)
√
2 + j.
√
2 (e) −3 + j.4
(c) 12 + j.5 (f) 7− j.2
5. Colocar na forma cartesiana ou retangular os seguintes nú-
meros complexos:
(a) 3.ejpi (d) 5.ej3pi/2
(b) 4.ej11pi/6 (e) 7.ejpi/2
(c) 2.ejpi/4 (f) 4.ejpi/3
6. Usando propriedades calular os módulos dos seguintes núme-
ros complexos:
(a) (1− j).(2 + j.2) (c) 3+j.3
1+j.2
(b) (1 + j.
√
3)6
7. Escrever o número complexo:
1
1−j − 1j na forma polar.
8. Representar os seguintes números complexos no plano com-
plexo, indicando o seus módulos e argumentos:
(a) 2 + j.5 (c) −2− j.3
(b) −3 + j.2 (d) 1− j.4
6
Estudos dos Sinais
Definições:
- Conjunto de Dados, ou Informações.
- Podem ser função do tempo, ou outra variável independente.
Ex.: Sinal de Densidade de Carga Elétrica - Função do Espaço.
Classificação dos Sinais
1. Sinais Contínuos e Discretos no Tempo
• Sinais de Tempo Contínuo
A função que os descreve é definida
para todos os valores de suas
variáveis.
Exemplo: Sinal proveniente de um sensor de temperatura.
• Sinais de Tempo Discreto
A função que os descreve é definida
apenas para alguns valores de suas
variáveis.
=> Sequência de Valores:
x = {..., x[−1], x[0], x[1], x[2], ...x[n]}
Exemplo: O mesmo sinal de temperatura amostrado.
7
2. Sinais Pares e Ímpares
• Sinais Pares: Simétricos em relação ao eixo vertical, e à
origem. Devem safisfazer a seguinte condição:
Domínio Contínuo:
x(t) = x(−t)
Domínio Discreto:
x[n] = x[−n]
Ex. Sinal Par:
• Sinais Ímpares*: Antissimetria em relação à origem. De-
vem satisfazer a seguinte condição:
Domínio Contínuo:
x(−t) = −x(t)
Domínio Discreto:
x[−n] = −x[n]
Ex. Sinal Ímpar:
Obs: O sinal ímpar deve obedecer: x(0) = 0 ou x[0] = 0
Partes Par e Ímpar de um Sinal Real
-Todo sinal pode ser decomposto como uma soma de sua parte Par
com sua parte Ímpar:
Par{x(t)} = 12{x(t) + x(−t)}
Impar{x(t)} = 12{x(t)− x(−t)}, x(t)⇔ x[n]
Obs: As definições acima só valem se o sinal não apresentar
valor complexo, caso contrário deve-se falar em simetria conju-
gada: x(-t)=x*(t), com: x(t)=a(t)+jb(t) e x*(t)=a(t)-jb(t).
8
Exemplo:
Parte Par de x(t) ⇒ xe(t):
Parte Ímpar de x(t)⇒ xo(t):
Sendo que: x(t) = xe(t) + xo(t):
9
3. Sinais Periódicos e Aperiódicos
• Sinais Periódicos
� Domínio Contínuo:
x(t) = x(t+mT ), ∀t, e com: m ∈ Z
Período Fundamental (T0):
-Menor Valor de T p/ o qual: x(t) = x(t+T ),∀t
� Domínio Discreto:
x[n] = x[n+ k.N ], com: k ∈ Z e N ∈ Z+
Período Fundamental (N0):
-Menor Valor de N p/ o qual: x[n] = x[n+N ],∀n
∗ Ex: Sinal com N0 = 12:
• Sinais Aperiódicos
- Aqueles que não são períódicos serão Aperiódicos !
10
4. Sinais Determinísticos e Aleatórios
• Sinais Determinísticos: Podem ser modelados como fun-
ções de tempo completamente especificados. Não há incer-
teza quanto ao seu valor em qualquer instante de tempo.
Exemplo: Onda quadrada.
• Sinais Aleatórios: Não podem ser modelados como fun-
ções de tempo, pois há incertezas quanto ao seu valor em
qualquer instante de tempo.
=> Estudado através de Probabilidades.
Exemplo: Sinal de Eletroencefalograma - EEG
5. Sinais de Energia e de Potência
Considere um resistor R, alimentado por uma tensão v(t), pro-
duzindo uma corrente i(t). A potência instantânea dissipada por
este resistor será:
p(t) =
v2(t)
R
= R.i2(t)
Considere agora que R = 1ohm, e x(t)representando tensão ou
corrente, neste caso a potência instantânea:
p(t) = x2(t)
11
Baseado no resultado anterior, podemos definir a Energia Total
e a Potência Média de um sinal de tempo contínuo como:
Energia Total de um Sinal de Tempo Contínuo:
E = limT→∞
∫ T/2
−T/2
x2(t)dt =
∫ ∞
−∞
x2(t)dt
Potência Média de um Sinal de Tempo Contínuo:
P = limT→∞
1
T
∫ T/2
−T/2
x2(t)dt
Se o sinal é Periódico com período fundamental T, ficará:
P =
1
T
∫ T/2
−T/2
x2(t)dt
E a raiz quadrada de P será o Valor Médio Quadrático (rms=rootmean-square) do sinal.
Energia Total e Potência Média de um Sinal no
Tempo Discreto:
E =
∞∑
n=−∞
x2[n] P = limN→∞{ 1
2N
N∑
n=−N
x2[n]}
Se o sinal é Periódico com período fundamental N, ficará:
P =
1
N
N−1∑
n=0
x2[n]
12
- Um sinal é dito ser Sinal de Energia se: 0 < E <∞
- Um sinal é dito ser Sinal de Potência se: 0 < P <∞
- Estas classificações mutuamente exclusivas.
- Sinais aleatórios e periódicos são normalmente Sinais de
Potência.
- Sinais determinísticos e não-periódicos são Sinais de Energia.
6. Simetria Conjugada em Sinais Complexos
Define-se o conjugado complexo como sendo: x(−t) = x∗(t)
Onde: x(t) = a(t) + jb(t), e x∗(t) = a(t)− jb(t)
Exercícios:
1. Qual a energia total do pulso
retangular mostrado ao lado ?
2. Qual a potência média da onda
quadrada mostrada ao lado ?
3. Qual a potência média da onda
triangular mostrada ao lado ?
4. Qual a energia total do sinal de
tempo discreto mostrado ao lado ?
5. Qual a potência média do sinal
periódico de tempo discreto mos-
trado abaixo ?
13
Operações Básicas em Sinais
1. Operações nas Variáveis Independentes
• Reflexão em relação ao eixo vertical
Domínio Contínuo: x(t)⇒ x(−t)
Domínio Discreto: x[n]⇒ x[−n]
Exemplo:
• Compressão/Expansão (Mudança de Escala
de Tempo)
Contínuo: x(t)⇒ x(k.t), com k > 0, e k ∈ <
Discreto: x[n]⇒ x[k.n], com k > 0, e k ∈ Z
(Perde-se amostras)
Exemplo:
14
• Atraso (Deslocamento no Tempo)
x(t)⇒ x(t− t0), com t0 > 0, e t0 ∈ <
x[n]⇒ x[n− n0], com n0 > 0, e n0 ∈ Z
Exemplo:
• Precedência entre Deslocamento no Tempo
e Mudança de Escala
A operação de Deslocamento no Tempo, deverá preceder a
operação de Mudança de Escala (Compressão/Expansão).
Se por exemplo: y(t) = x(at− b)
Deslocamento no tempo é efetuado primeiro: z(t) = x(t−b)
Só depois, a Mudança de Escala de Tempo:
y(t) = z(at) = x(at− b)
Exemplo: y(t) = x(2t+ 1)
15
2. Operações nas Variáveis Dependentes
• Mudança de Escala de Amplitude
x(t)⇒ k.x(t), com k > 0, e k ∈ <
x[n]⇒ k.x[n], com k > 0, e k ∈ <
Exemplos:
� Amplificador Eletrônico com ganho k
� Resistor, onde k, representa o valor do resistor e k.x(t),
a tensão nos seus terminais, sendo x(t), a corrente que
o atravessa.
• Adição
x1(t), x2(t) ⇒ y(t) = x1(t) + x2(t)
x1[n], x2[n] ⇒ y[n] = x1[n] + x2[n]
Exemplo:
� Amplificador Somador de ganho unitário
• Multiplicação
x1(t), x2(t) ⇒ y(t) = x1(t).x2(t)
x1[n], x2[n] ⇒ y[n] = x1[n].x2[n]
Exemplo:
� Modulador AM, onde: x1[n], x2[n], são os sinais modu-
lante de áudio, e uma portadora tipo senoidal.
16
• Diferenciação
x(t)⇒ ddtx(t)
Exemplo:
Um Indutor realiza a diferenciação da corrente que o atra-
vessa, o que se traduz na tensão entre seus terminais.
v(t) = L ddti(t)
Onde L é a indutância do Indutor
• Integração
x(t)⇒ ∫ t−∞ x(τ)dτ
Exemplo:
Um Capacitor realiza a integração da corrente que o atra-
vessa, o que se traduz na tensão entre seus terminais.
v(t) = 1C
∫ t−∞ i(τ)dτ
Onde C é a Capacitância do Capacitor
17
Integrais e Derivadas Importantes
• Integração∫
k.dx = k.x∫
k.f(x).dx = k.
∫
f(x).dx∫
[f(x)± g(x)].dx = ∫ f(x).dx± ∫ g(x).dx∫
xn.dx = x
n+1
n+1
, c/ n 6= −1∫
ebx.dx = 1
b
ebx∫
sen(ax).dx = −1
a
cos(x)∫
cos(ax).dx = 1
a
sen(x)∫
u.dv = u.v − ∫ v.du∫
u.dv = u.v − ∫ v.du
• Diferenciação
d
dx
(k) = 0
d
dx
[k.u(x)] = k.u′(x)
d
dx
[u(x)± v(x)] = v′(x)± u′(x)
d
dx
[u(x).v(x)] = u(x).v′(x) + u′(x).v(x)
d
dx
(xn) = n.xn−1
d
dx
(ex) = ex
d
dx
sen(x) = cos(x)
d
dx
cos(x) = −sen(x)
18
Sinais Importantes
1. Sinal Degrau Unitário
Degrau Unitário Contínuo: u(t)
u(t) =
{
0 , se : t < 0
1 , se : t > 0
Obs: u(t) não é definido para t=0
Degrau Unitário Discreto: u[n]
u[n] =
{
0 , se : n < 0
1 , se : n ≥ 0
Operações com o Degrau Unitário Contínuo
19
No Matlab o degrau unitário pode ser definido usando-se o ope-
rador relacional '>=', que retorna 1 se verdadeiro:
� u=inline('(t>=0)','t')
� t=(-2:0.01:2)
� plot(t,u(t))
2. Sinal Rampa Unitária
Rampa Unitária Contínua: r(t)
r(t) =
{
0 , se : t < 0
t , se : t > 0
Rampa Unitária Discreta: r[n]
r[n] =
{
0 , se : n < 0
n , se : n ≥ 0
• Relação entre u(t) e r(t):
r(t) =
∫ t
−∞
u(τ).dτ
20
3. Sinal Impulso Unitário
Impulso Unitário Contínuo: δ(t)
∫ +∞
−∞
δ(t).φ(t).dt = φ(0)⇒
∫ +∞
−∞
δ(t).dt = 1
- Relação entre u(t) e δ(t):
u(t) =
∫ t
−∞
δ(τ).dτ
Impulso Unitário Discreto: δ[n]
δ[n] =
{
1, n = 0
0, n 6= 0
21
- Interpretação do Impulso como um limite:
δ∆(t) =
du∆(t)
dt =
1
∆, 0<t<∆
⇒ δ(t) = lim4→0(δ∆(t))
ou ainda:
δ∆(t) =
1
4u(t)− 14u(t−4)
⇒δ(t) = lim4→0(δ∆(t))
Multiplicação de Função por Impulso
Propriedade da Amostragem
1. y(t) = x(t)δ(t) ⇒ y(t) = x(0)δ(t)
2. y(t) = x(t)δ(t− t0) ⇒ y(t) = x(t0)δ(t− t0)
3.
∫ +∞
−∞
x(t).δ(t− t0).dt =
∫ +∞
−∞
x(t0).δ(t− t0).dt =x(t0)
22
4. Sinal Exponencial
Sinal Exponencial Contínuo
Caso Geral: x(t) = K.est
Onde: s = σ + j.ω0
⇒ x(t) = K.e(σ+j.ω0).t = K.eσt.ejωt
• s = σ + j.ω, e σ > 0
⇒ Senóide Crescente
• s = σ + j.ω, e σ < 0
⇒ Senóide Decresc.
• s = j.ω, e σ = 0
⇒ Senóide
.
23
Casos Específicos: s = σ, ou seja: s ∈ R
• a > 0, C > 0
⇒ Exp. Crescente
• a < 0, C > 0
⇒ Exp. Decresc.
• a = 0, C 6= 0
⇒ Constante
• Forma Trigonométrica do Sinal Exponencial
x(t) = K.e(σ+j.ω).t ⇒ x(t) = K.eσt.ejω.t
x(t) = K.eσt(cosωt+ j.senωt)
24
Exercícios:
1) Faça um esboço dos seguintes sinais:
a) x1(t)=-2.u(t) g) x7(t)=u(t)-u(t-2)
b) x2(t)=4.u(t-2) h) x8(t)=3[u(t+2)-u(t-2)]
c) x3(t)=2u(-t-3) i) x9(t)=u(t)-u(t-1)+u(t-1)-u(t-2)
d) x4(t)=5u(t+2) j) x10(t)=x7(2t)
e) x5(t)=-3u(-t) k) x11(t)=x8(0,5t)
f) x6(t)=-6u(-t+2) l) x12(t)=x7(2t-5)
2) Faça um esboço dos seguintes sinais:
a) x1[n]=2.u[-n] g) x7[n]=2u[n]-2u[n-3]
b) x2[n]=5.u[n-2] h) x8[n]=u[n+2]-u[n-2]
c) x3[n]=-3u[-n-3] i) x9[n]=u[n]-u[n-1]+u[n-1]-u[t-2]
d) x4[n]=-3u[n+2] j) x10[n]=x7[2n]
e) x5[n]=-2u[n] k) x11[n]=x8[0,5n]
f) x6[n]=-6u[-n+2] l) x12[n]=x7[2n-5]
3) Esboce o sinal x[n] abaixo e seus derivados:
a) x[n] =
 1, −3 < n ≤ 0−1, 0 < n < 40, outros f) x5[n] =
+∞∑
k = −∞
δ(n− 3k)
b) x1[n] = 2x[2n]
c) x2[n] = 3x[
1
2
n]
d) x4[n] = 2δ[n+ 2]− 3δ[n] + 2δ[n− 2] + 3δ[n− 3] + δ[n− 4]
e) x3[n] = 2x[n]− u[n− 2]
25
Exercícios Complementares:
1) Esboce os seguintes sinais:
a) x(t) = 2�−2tu(t) e) x(t) = 2�−2tu(t− 2)
b) x(t) = −2�2tu(t) f) x(t) = 3�−5tu(t)
c) x(t) = 2�−2tu(−t) g) x(t) = −tu(t− 2)
d) x(t) = −2�2tu(−t) h) x(t) = (t2 − 4)[u(t+ 2)− u(t− 2)]
2) Esboce os seguintes sinais:
a) x(t) =
+∞∑
k = −∞
δ(t− kt0), onde k ∈ Z e t0 = T =período
b) x(t) =
t+ 2 , t ≤ 0
−t+ 2 , t ≥ 0
c) x1(t) = x(t)[u(t+ 2)− u(t− 2)]
d) x2(t) = x1(2t)
e) x3(t) = x1(
1
2
t)
f) x4(t) = x1(t− 4)
g) x[n] =
−n+ 3 , n ≥ 0
n+ 3 , n ≤ 0
h) x1[n] = x[n]{u[n+ 3]− u[n− 3]}
i) x2[n] = x1[2n]
j) x3[n] = x1[
1
2
n]
k) x4[n] = x1[n− 3]
26
Estudo dos Sistemas
Sistema: Entidade que processa um ou mais sinais de entrada,
para realizar uma função, resultando em outros sinais de saída.
=> Produz uma transformação em um sinal.
- A saída poderá ser a modificação da entrada ou extração de
informações desta entrada.
- Pode ser construido com componentes físicos (realização em
hardware), ou pode ser um algoritmo (realização em software).
- Pode ser do tipo Contínuo ou Discreto.
Matematicamente: É uma transformação ou interconexão
de operações que mapeia um sinal (ou uma sequência) de en-
trada: x(t) (ou x[n]) em um sinal (ou uma sequência) de saída
y(t) (ou y[n]).
27
Sistemas como Interconexão de Operações:
Visto como uma interconexão deoperações pode-se chegar a um
operador global do sistema: H, onde este operador transformará
o sinal de entrada de algum modo.
Exemplo:
Considere um sistema de tempo discreto cujo sinal de saída y[n]
que seja a média dos três valores mais recentes do sinal de en-
trada x[n], ou seja:
y[n] = 1
3
(x[n] + x[n− 1] + x[n− 2]).
Se o operador SKdenotar um Sistema que desloca a entrada no
tempo de K unidades, produzindo uma saída x[n− k], simboli-
camente o Operador SK seria representado como:
Então pode-se definir o operador global do sistema como:
H = 1
3
(1 + S + S2)
Simbolicamente o Operador Média Móvel seria representado de
uma das duas formas abaixo:
28
Alguns tipos de Sistemas:
• Sistemas de Comunicações
• Sistemas de Controle
• Sistemas de Processamento de Sinais
1. Sistema de Comunicação
Um sistema de comunicação é constituido de 3 blocos bá-
sicos: Transmissor, Canal de Comunicação, e Receptor.
Canal de Comunicação: Proporciona um meio físico entre
o transmissor e o receptor. É neste canal que o sinal (ou
mensagem, ou ainda informação) sofre influências de inter-
ferências, e ruídos.
Transmissor: Tem a função de Processar o sinal a ser
transmitido em uma forma de sinal apropriado à transmissão
através do canal. Esta operação é chamada de modulação.
Receptor: Processa o sinal recebido através do canal, de
modo a produzir um sinal que seja de algum modo próximo
do sinal original transmitido. Esta operação é chamada de
detecção ou demodulação.
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2. Sistema de Controle
Um sistema de controle é um sistema responsável por controlar
uma variável de controle de um processo, e em geral é realimen-
tado, conforme a figura a seguir.
Set-Point: Proporciona uma informação do ponto de operação
desejado para o sistema.
Controlador: Tem a função de Processar o sinal de erro através
de alguma estratégia de controle, e atuar na planta para corrigir
o desvio ou perturbação.
Planta: Processo a ser controlado.
Sensores: Transforma o sinal de saída da planta em um si-
nal que será enviado ao comparador de erro para gerar um sinal
que o controlador usará para controlar a planta.
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Propriedades dos Sistemas
- Estabilidade
- Memória
- Causalidade
- Invertibilidade
- Invariancia no Tempo
- Linearidade
1. Sistema Estável e Instável
Diz-se que um sistema é do tipo Entrada-Limitada-
Saída Limitada - BIBO (Bounded Input/Bounded
Output), Estável , se para uma Entrada limitada re-
sultar uma saída também limitada.
=> A saída do sistema não diverge se a entrada não
divergir.
Matematicamente:
Sistema de Tempo Contínuo:
|y(t)| ≤My <∞ ⇒ |x(t)| ≤Mx <∞, ∀t
Sistema de Tempo Discreto:
|y[n]| ≤My <∞ ⇒ |x[n]| ≤Mx <∞, ∀n
Com Mx,My sendo números positivos finitos.
=> O sistema será Instável se não atender a condi-
ção acima.
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2. Sistema c/ Memória e s/ Memória
Um sistema possui Memória se depender de valores passados
do sinal de entrada.
O sistema é dito Sem Memoria se a saída depender apenas do
valor presente da entrada.
A extensão dos valores passados, define quão longe a memória
do sistema se estende no passado.
Exemplo 1: O Resistor é sem memória, já que i(t) depende da
tensão v(t) instantânea aplicada a ele, ou seja:
i(t) = 1Rv(t)
Exemplo 2: O Indutor é com memória, já que i(t) depende da
integral da tensão v(t) aplicada a ele, ou seja:
i(t) = 1L
∫ t−∞ v(τ)dτ
Além disto, o passado do indutor se estende ao passado infinito.
Exemplo 3: O Sistema de Média Móvel descrito antes por:
y[n] = 13(x[n] + x[n − 1] + x[n − 2]) tem memória e se
estende a 2 valores no passado.
Exemplo 4: O Sistema descrito por: y[n] = x2[n], não tem
memória, pois a saída depende somente do tempo atual n.
Exemplo 2: O Capacitor é com memória, já que a tensão v(t)
nos seus terminais depende da integral da corrente i(t) que por
ele circula, ou seja:
v(t) = 1C
∫ t−∞ i(τ)dτ
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3. Sistema Causal e Não-Causal
Um sistema é Causal ou Não-Antecipativo se a saída depender
somente de valores presentes e/ou passados do sinal de entrada.
Um sistema será Não-Causal ou Antecipativo se depender de
valores futuros do sinal de entrada.
Exemplo 1:
O Sistema de Média Móvel: y[n] = 1
3
(x[n] + x[n− 1] + x[n− 2])
é causal, e depende de 2 valores no passado e um no presente.
Exemplo 2:
O Sistema: y[n] = x[n+ 1] + x[n] + x[n− 1])
é não-causal, já que depende de 1 valor no futuro.
4. Sistema Invertível
Um sistema é Invertível se a entrada aplicada a este pode ser
recuperada da saída.
Matematicamente:
⇒ O Sistema é Invertível se: H−1H = I
Sendo:
I o Operador Identidade, produz a saída idêntica à entrada.
H−1 é o Operador Inverso, associado é o Sistema Inverso.
Simbolicamente:
Exs:
1- Em Sistemas de Comunicações, Modulação x Demodulação.
2- y(t) = 4x(t) ⇒ z(t) = 14y(t)
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5. Sistema Invariante no Tempo
Um sistema é Invariante no Tempo se um retardo ou avanço
de tempo no sinal de entrada, levar a um deslocamento de tempo
idêntico na saída.
Isto implica que um sistema Invariante no Tempo sempre reage
da mesma maneira, independente do instante em que a entrada
seja aplicada.,
Ou seja, as características do sistema não se modificam com o
tempo, caso contrário este será Variante no Tempo.
Considere um sistema de tempo contínuo representado por:
y(t) = H{x(t)}
Suponha que a entrada seja deslocada no tempo de t0 segundos:
x(t− t0) = St0{x(t)}
Onde: St0 representa o operador deslocamento no tempo de t0
segundos.
Se yi(t) for a saída do sistema para a entrada x(t − t0), então
pode-se escrever:
yi(t) = H{x(t− t0)} = H{St0{x(t)} = H.St0{x(t)}
Se y0(t) for a saída do sistema original deslocada no tempo t0
segundos, então pode-se escrever:
y0(t) = S
t0{y(t)} = St0{H{x(t)}} = St0.H{x(t)}
Se o sistema for invariante no tempo, as saídas y0(t) deve ser
igual a saída yi(t), para qualquer x(t), ou seja:
H.St0 = St0.H
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6. Sistema Linear e Não-Linear:
Um sistema é Linear se satisfizer os princípios da homogenei-
dade e da superposição. Isto implica que a resposta do sistema
a uma soma ponderada de sinais é igual a soma ponderada das
saídas individuais de cada um dos sinais.
Matematicamente:
Se o sinal de entrada do sistema for representado por:
x(t) =
∑N
i=1 aixi(t), ou seja uma soma ponderada de sinais
E o sinal de saída do sistema :
y(t) = H{x(t)} = H{∑Ni=1 aixi(t)}
⇒ O Sistema é Linear se: y(t) = ∑Ni=1 aiyi(t)
Sendo: yi(t) a saída do sistema em resposta à entrada xi(t).
Deve-se notar que se um sistema é Linear atende as proprieda-
des da homogeneidade e superposição, então:
x(t) = 0 ⇒ y(t) = 0
⇒ O sistema será Não Linear se não atender as condições
acima.
Simbolicamente:
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Representações no Domínio do Tempo
de Sistemas Lineares e Invariantes no
Tempo
=> Domínio do Tempo => Sinais de Entrada e Saída são
funções do tempo.
=> Linearidade e Invariância no Tempo => Propriedades
mais importantes dos sistemas.
=> Sistemas Lineares e Invariantes no Tempo (LIT) =>
alvo de estudo de Sinais e Sistemas.
=> Representações no Domínio do Tempo=> Métodos
usados p/ descrever um Sistema LIT através da relação entre a
entrada e a saída.
Resposta ao Impulso p/ Sistemas LTI
=> Método usado p/ se caracterizar completa/te o compor-
tamento de um sistema LTI.
=> Conhecendo-se a Resposta ao Impulso de um Sistema, pode-
se determinar a resposta para uma entrada qquer arbitrária.
=> Se baseia na aplicação de um Impulso na entrada do sistema
no instante t = 0 ou n = 0, sendo a resposta a este impulso como
a seguir, onde H é o operador do sstema:
h[n] = H{δ[n]}
=> No sistema de tempo discreto uma sequência de impulsos é
facilmente obtida.
=> No sistema de tempo contínuo, o impulso deve ser conside-rado como um pulso de grande amplitude e largura estreita.
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Soma de Convolução e Integral de Convolução
=> Ferramentas matemáticas para se descobrir a resposta de
um sistema LIT a uma entrada arbitrária.
=> No sistema de tempo discreto esta ferramenta é a Soma
de Convolução
=> No sistema de tempo contínuo é a Integral de Convolução.
A Soma de Convolução (Tempo Discreto)
=> A entrada de um sistema linear pode ser expressa como
uma superposição ponderada de impulsos deslocados no tempo,
sendo a ponderação dada pelo valor da entrada no instante onde
o impulso deslocado ocorre.
Sabemos que o produto de x[n] e uma sequência de impulsos
δ[n], resulta:
x[n].δ[n] = x[0].δ[n]
Então, generalizando p/ o produto de x[n] e uma sequência de
impulsos deslocados no tempo δ[n− k], teremos:
x[n].δ[n− k] = x[k].δ[n− k]
=> x[n] representa um sinal no tempo discreto (sequência) onde
n é o instante de tempo considerado.
=> x[k] representa o valor do sinal no instante de tempo k.
=> O sinal multiplicado por um impulso deslocado no tempo
x[n].δ[n− k]
=> Resulta um Impulso deslocado no tempo com a amplitude
do sinal no instante em que ocorre o impulso:
x[k].δ[n− k]
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=> A somatória da expressão: x[k].δ[n−k], para todo e qualquer
deslocamento k resulta em:
x[n] = ...+ x[−2].δ[n+ 2] + x[−1].δ[n+ 1] + x[0].δ[n]+
+x[1].δ[n− 1] + x[2].δ[n− 2] + ...
Ou de forma mais concisa:
x[n] =
∞∑
k=−∞
x[k].δ[n− k]
=> A saída de um sistema LIT a esta entrada também será uma
superposição ponderada da resposta do sistema a cada impulso
ponderado e deslocado no tempo. Se o operador H representar
o sistema, a entrada x[n] produzirá a saída:
y[n] = H{x[n]} = H{
∞∑
k=−∞
x[k].δ[n− k]}
A propriedade da linearidade permite intercambiar o operador H
com o somatório de valores de x[k], de onde se obtém:
y[n] =
∞∑
k=−∞
x[k].H{δ[n− k]} =
∞∑
k=−∞
x[k].h[n− k]
Onde: h[n − k] = H{δ[n − k]} é a resposta do sistema a um
impulso deslocado no tempo de k.
Conclusão:
A resposta de um sistema LTI é a soma ponderada das respostas
ao impulso deslocadas no tempo.
A expressão:
y[n] = x[n] ∗ h[n] =
∞∑
k=−∞
x[k].h[n− k]
é conhecida como Soma de Convolução para o Tempo Dis-
creto, sendo denotada pelo símbolo: �*�.
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Exemplo: Seja um sistema LTI, cuja resposta ao impulso seja
como mostrado abaixo:
h[n] =
 1, n = ±12, n = 00, outros
Determine a saída deste sistema em resposta à entrada mostrada
abaixo:
x[n] =

2, n = 0
3, n = 1
−2, n = 2
0, outros
Solução:
Escrevendo x[n] como uma soma ponderada de impulsos ponde-
rados e deslocados no tempo:
x[n] = 2δ[n] + 3δ[n− 1]− 2δ[n− 2]
Então, visto que o sistema é Linear, a saída deste pode ser
escrita como uma soma ponderada das respostas dos impulsos
ponderados e deslocados no tempo, ou seja:
y[n] =
∞∑
k=−∞
x[k].h[n− k] = 2h[n] + 3h[n− 1]− 2h[n− 2]
39
Da expressão de y[n]:
y[n] =
∞∑
k=−∞
x[k].h[n− k] = 2h[n] + 3h[n− 1]− 2h[n− 2]
Graficamente:
+ +
O que resulta:
y[n] =

0, n ≤ −2
2, n = −1
7, n = 0
6, n = 1
−1, n = 2
−2, n = 3
0, n ≥ 4
Esta abordagem gráfica é essencialmente didática, dando uma
noção do que ocorre quando da execução da Soma de Convolu-
ção, no entanto não é de forma alguma prática para a resolução
das Somas de Convolução em geral.
Deve-se ter algum tipo de procedimento prático, com vistas a
ser facilmente implementado na forma de um algoritmo.
40
Abordagem Prática
Se a resposta ao impulso é finita e constituída de uma sequência
de curta duração, a Soma de Convolução pode ser resolvida
de forma simples se aplicados os seguintes passos, podendo ser
facilmente implementada em um computador:
a) Inverter h[k] , produzindo h[−k].
b) Deslocar h[−k] produzindo h[−k + n]
c) Multiplicar h[−k + n] por x[k] para cada valor de k
d) Somar todos os termos multiplicados para todo valor de n
Exemplo 1
Determine a saída de um sistema LTI, que tenha resposta ao
impulso, e entrada conforme abaixo:
h[n] =
{
1, 0 ≤ n ≤ 2
0, outros
x[n] =
 1/2, n = 02, n = 10, outros
Solução:
a) Inicialmente inverter h[k], produzindo h[−k]
b) Deslocar h[−k], produzindo h[−k + n]
c,d) Multiplicar e somar através da tabela abaixo:
k -3 -2 -1 0 1 2 3 4 5 y[n]
n=-1 1 1 1 0 0 0 0 0 0 y[-1]=0
n=0 0 1 1 1 0 0 0 0 0 y[0]=0,5
n=1 0 0 1 1 1 0 0 0 0 y[1]=2,5
n=2 0 0 0 1 1 1 0 0 0 y[2]=2,5
n=3 0 0 0 0 1 1 1 0 0 y[3]=2,0
n=4 0 0 0 0 0 1 1 1 0 y[4]=0
x[k] 0 0 0 0,5 2 0 0 0 0 x[k]
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Exemplo 2
Suponha um sistema H do tipo LTI, cuja resposta ao impulso
seja a seguinte:
h[n] =
{
2, −2 ≤ n ≤ 4
0, outros
Determine a saída deste sistema em resposta à entrada:
x[n] =
{
n, 2 ≤ n ≤ 6
0, outros
Solução:
a) Inicialmente inverter h[k], produzindo h[−k]
b) Deslocar h[−k], produzindo h[−k + n], ver tabela abaixo:
n\k -5 -4 -3 -2 -1 0 1 2 3 4 5 6 7 8 y[n]
0 0 2 2 2 2 2 2 2 0 0 0 0 0 0 4
1 0 0 2 2 2 2 2 2 2 0 0 0 0 0 10
2 0 0 0 2 2 2 2 2 2 2 0 0 0 0 18
3 0 0 0 0 2 2 2 2 2 2 2 0 0 0 28
4 0 0 0 0 0 2 2 2 2 2 2 2 0 0 40
5 0 0 0 0 0 0 2 2 2 2 2 2 2 0 40
6 0 0 0 0 0 0 0 2 2 2 2 2 2 2 40
7 0 0 0 0 0 0 0 0 2 2 2 2 2 2 36
8 0 0 0 0 0 0 0 0 0 2 2 2 2 2 30
9 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 2 2 2 2 22
10 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 2 2 2 12
11 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 2 2 0
x[k] 0 0 0 0 0 0 0 2 3 4 5 6 0 0 x[k]
42
Exercício 3
Suponha um sistema H do tipo LTI, cuja resposta ao impulso
seja a seguinte:
h[n] =
{
1, 0 ≤ n ≤ 2
0, outros
Determine a saída deste sistema em resposta à entrada:
x[n] =
 1, 0 ≤ n ≤ 21, 5 ≤ n ≤ 60, outros
Solução:
a) Inicialmente inverter h[k], produzindo h[−k]
b) Deslocar h[−k], produzindo h[−k + n], ver tabela abaixo:
n\k -4 -3 -2 -1 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 y[n]
-1 0 1 1 1 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0
0 0 0 1 1 1 0 0 0 0 0 0 0 0 0 1
1 0 0 0 1 1 1 0 0 0 0 0 0 0 0 2
2 0 0 0 0 1 1 1 0 0 0 0 0 0 0 3
3 0 0 0 0 0 1 1 1 0 0 0 0 0 0 2
4 0 0 0 0 0 0 1 1 1 0 0 0 0 0 1
5 0 0 0 0 0 0 0 1 1 1 0 0 0 0 1
6 0 0 0 0 0 0 0 0 1 1 1 0 0 0 2
7 0 0 0 0 0 0 0 0 0 1 1 1 0 0 2
8 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 1 1 1 0 1
9 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 1 1 1 0
x[k] 0 0 0 0 1 1 1 0 0 1 1 0 0 0 x[k]
43
O enfoque da soma de todas as respostas ao impulso ponderadas
e deslocadas no tempo para k, só é viável se a entrada é de curta
duração, viabilizando assim a soma. Porém quando a entrada
tem uma duração longa, este enfoque já não é mais prático,
assim uma nova alternativa será apresentada.
Abordagem Alternativa para Avaliar a Soma de Convolução
no Tempo Discreto
Considere avaliar a saída num instante de tempo fixo n0:
y[n0] =
∞∑
k=−∞
v[n0]
Suponha o sinal: wn0[k], representando os valores em n = n0
como função da variável independente k, ou seja: wn0[k] = vk[n0]
A saída em n = n0 será obtida avaliando-se:
y[n0] =
∞∑
k=−∞
wn0[k]
Definamos então, a sequência intermediária:
wn[k] = vk[n] = x[k].h[n− k],
Onde agora k é a variável independente, e n é tratado como
uma constante.
Observe que: h[n−k] = h[−(k−n)], é uma versão de h[k] refletida
e deslocada no tempo de −n, onde este deslocamento no tempo
determina o instante de tempo em que y[n] será avaliada, de
acordo com:
y[n] =
∞∑
k=−∞
wn[k]
44
Exemplo: Considere um sistema LTI de tempo discreto repre-
sentado pela resposta ao impulso abaixo:
h[n] = (
3
4
)nu[n]
Se a entrada do sistema for: x[n] = u[n], determine a saída
em: n = −5, n = 5, e n = 10.
Solução:
Usando a equação abaixo:
y[n] =
∑∞
k=−∞wn[k]
Devemos achar as funções wn[k] = x[k].h[n − k] para os valores
de n de interesse.
Vemos que:
h[n− k] = (3
4
)n−k.u[n− k] =
{
(3
4
)n−k, k ≤ n
0, outros
Se: n = −5 ⇒ w−5[k] = u[k].h[−5 − k] = 0 ⇒ Pois: k ≤ −5 ⇒
u[k] = 0
y[−5]=
∞∑
k=−∞
w−5[k] = 0
Se: n = 5 ⇒ w5[k] = u[k].h[5 − k] =
{
(3
4
)5−k, 0 ≤ k ≤ 5
0, outros
⇒
Pois: 0 ≤ k ≤ 5⇒ u[k] = 1
y[5] =
∞∑
k=−∞
w5[k] =
5∑
k=0
(
3
4
)5−k = (
3
4
)5
5∑
k=0
(
4
3
)k = (
3
4
)5.
1− (4
3
)6
1− (4
3
)
Se: n = 10 ⇒ w10[k] =
{
(3
4
)10−k, 0 ≤ k ≤ 10
0, outros
⇒ Pois: 0 ≤ k ≤
10⇒ u[k] = 1
y[10] =
∞∑
k=−∞
w10[k] =
10∑
k=0
(
3
4
)10−k = (
3
4
)10
10∑
k=0
(
4
3
)k = (
3
4
)10.
1− (4
3
)11
1− (4
3
)
45
Integral de Convolução - Convolução Contínua
A Soma de Convolução para os Sistemas de Tempo Discreto,
tem a sua contrapartida para os Sistemas de Tempo Contínuo,
que é a Integral de Convolução, em que a somatória de todas as
respostas ao impulso ponderadas e deslocadas no tempo para k,
agora se converte em uma integral em τ , de −∞ a +∞, conforme
mostrado a seguir:
y(t) = x(t) ∗ h(t) =
+∞∫
−∞
x(τ)h(t− τ)dτ
Com: x(t) representando a entrada arbitrária e h(t) a resposta
ao impulso do sistema de tempo contínuo.
Este resultado pode ser comprovado considerando-se um sistema
de tempo contínuo cujo operador do sistema é H, apresentando
uma saída y(t) quando a entrada x(t) a este é aplicada, sabendo-
se ainda que qualquer sinal de tempo contínuo pode ser represen-
tado como: x(t) =
∫+∞
−∞ x(τ)δ(t− τ)dτ , então pode-se escrever:
y(t) = H{x(t)} = H{
+∞∫
−∞
x(τ)δ(t− τ)dτ}
Da mesma forma que para a convolução discreta, a Convolução
Contínua baseia-se em 4 operações:.
a) Inverter h(τ), obtendo-se h(−τ).
b) Deslocar h(−τ), obtendo-se h(−τ + t).
c) Multiplicar x(τ) por h(t− τ) para todo τ .
d) Integrar (calcular a área sob a curva) para todo valor de τ .
46
Exemplo 1: Considere um sistema LIT de tempo contínuo re-
presentado pela resposta ao impulso abaixo:
h(t) =
 1, 0 < t < 1−1, 1 < t < 20, outros
Determine a saída do sistema para a seguinte entrada:
x(t) =
{
1, −1 < t < 1
0, outros
Solução:
a) Inverter h(τ), para se obter h(−τ):
b) Deslocar h(−τ), para se obter h(t− τ):
c,d) Multiplicar e Integrar x(τ).h(t−τ), para os seguintes trechos:
1ºTrecho: −∞ < τ < −1, e t < −1
⇒ y(t) = 0, pois x(τ).h(t− τ) = 0
47
2ºTrecho: −1 < τ < t, e −1 < t < 0
⇒ y(t) = ∫+∞−∞ x(τ)h(t− τ)dτ = ∫ t−1 1.1dτ = τ |t−1 = t+ 1
3ºTrecho: −1 < τ < t, e 0 < t < 1
⇒ y(t) = ∫ t−1−1 (−1).1dτ + ∫ tt−1 1.1dτ = −τ |t−1−1 + τ |tt−1 = −t+ 1
4ºTrecho: t− 2 < τ < 1, e 1 < t < 2
⇒ y(t) = ∫ t−1
t−2 (−1).1dτ +
∫ 1
t−1 1.1dτ = −τ |t−1t−2 + τ |1t−1 = −t+ 1
48
5ºTrecho: t− 2 < τ < 1, e 2 < t < 3
⇒ y(t) = ∫ 1
t−2(−1).1dτ = −τ |1t−2 = t− 3
Resposta final:
y(t) =
 t+ 1, −1 ≤ t ≤ 0−t+ 1, 0 ≤ t ≤ 2t− 3, 2 ≤ t ≤ 3
49
Exemplo 2: Considere um sistema LIT de tempo contínuo re-
presentado pela resposta ao impulso abaixo:
h(t) =
{
t, 0 < t < 2T
0, outros
Determine a saída do sistema para a seguinte entrada:
x(t) =
{
1, 0 < t < T
0, outros
Solução:
a) Inverter h(τ), para se obter h(−τ):
b) Deslocar h(−τ), para se obter h(t− τ):
c,d) Multiplicar e Integrar x(τ).h(t−τ), para os seguintes trechos:
1ºTrecho: −∞ < τ < 0, e t < 0 ⇒ y(t) = 0, pois x(τ).h(t−τ) = 0
50
2ºTrecho: 0 < τ < t, e 0 < t < T ⇒ y(t) = ∫+∞−∞ x(τ)h(t− τ)dτ =∫ t
0 1.(t− τ)dτ =
∫ t
0 1.(t− τ)dτ = t.τ − τ2/2|t0 = t2 − t2/2 = t2/2
3ºTrecho: 0 < τ < T , e T < t < 2T
⇒ y(t) = t.τ − τ2/2|T0 = tT − T 2/2
4ºTrecho: t− 2T < τ < T , e 2T < t < 3T
⇒ y(t) = t.τ − τ2/2|Tt−2T = −t2/2 + tT − 3T 2/2
51
Exercicio Propostos
1) Considere um sistema LIT de tempo contínuo representado
pela resposta ao impulso abaixo:
h(t) =

t, −1 < t < 1
−1, −2 < t < −1
1, 1 < t < 2
0, outros
Determine a saída do sistema
para a seguinte entrada:
x(t) =
{
1, 0 < t < 4
0, outros
2) Considere um sistema LIT de tempo contínuo representado
pela resposta ao impulso abaixo:
h(t) =
 2t, 0 < t < 1−2t, −1 < t < 00, outros
Determine a saída do sistema
para a seguinte entrada:
x(t) =
{
2, 0 < t < 2
0, outros
3) Considere um sistema LIT de tempo contínuo representado
pela resposta ao impulso h(t) abaixo. Determine a saída do
sistema para a seguinte entrada x(t).
h(t) =
{
t, 0 < t < 1
0, outros
x(t) =
 −1, 0 < t < 11, −1 < t < 00, outros
4) Considere um sistema LIT de tempo contínuo representado
pela resposta ao impulso h(t) = e−2t.u(t), ache a resposta deste
sistema à entrada x(t) = e−t.u(t).
52
Resolução do Exercicio 4 no Matlab/Octave
dt=0.001;
t=0:dt:7;
x=(exp(-t).*(t>=0));
plot(t,x);
pause;
h=(exp(-2*t).*(t>=0));
plot(t,h);
pause;
y=conv(x,h)*dt;
plot(t,y(1:length(t)));
title('y(t)=\int x(\tau).h(t-\tau)d\tau');
xlabel('t');
ylabel('y(t)');
53
Sistemas Interconectados
Interconexão Paralelo
Interconexão Série (Cascata)
Resposta ao Degrau
g(t) =
∫ t
−∞
h(τ)dτ
Resposta à Rampa
f(t) =
∫ t
−∞
g(τ)dτ
54
Propriedades da Convolução
• Propriedade Comutativa
x(t) ∗ h(t) = h(t) ∗ x(t)
• Propriedade Distributiva
x(t) ∗ [y(t) + z(t)] = x(t) ∗ y(t) + x(t) ∗ z(t)
• Propriedade Associativa
x(t) ∗ [y(t) ∗ z(t)] = [x(t) ∗ y(t)] ∗ z(t)
• Propriedade de Deslocamento
Se: x(t) ∗ y(t) = c(t)
Então: x(t) ∗ y(t− t0) = x(t− t0) ∗ y(t) = c(t− t0)
• Convolução com Impulso
x(t) ∗ δ(t) = x(t)
• Propriedade da Largura
Se: x(t) tem largura T1e y(t) largura T2,
Então: x(t) ∗ y(t) terá largura T = T1 + T2
55
Análise de Fourier
Representação em Série de Fourier de Sinais Pe-
riódicos
Como visto um sinal de tempo contínuo periódico é do tipo:
x(t) = x(t+mT ), ∀t, e com: m ∈ Z
Sendo o Período Fundamental (T0), o menor valor de T p/ o
qual: x(t) = x(t+ T ),∀t
Dois exemplos de sinais periódicos básicos são:
x(t) = cos(ω0t+ φ) x(t) = ejω0t
Onde: ω0 = 2pi/T0 é a frequência angular fundamental
Série Exponencial Complexa de Fourier
Pode-se representar um sinal periódico x(t) com período T0 atra-
vés da somatória de exponenciais complexas, com abaixo:
x(t) =
∞∑
k=−∞
ck.e
jkω0t
Sendo: ω0 = 2pi/T0, e ck os coeficiêntes de Fourier complexos,
dados por:
ck =
1
T0
∫
T0
x(t).e−jkω0tdt
Na integral T0 denota o cálculo desta integral em um período,
usando-se por exemplo: 0 a T0 , ou −T 0/2 a T0/2
56
Se fizermos k = 0 na expressão de ck, o valor c0, indicará o
valor médio de x(t) em um período, ou seja:
c0 =
1
T0
∫
T0
x(t)dt
Exemplo: Determine a série exponencial complexa de Fourier
do sinal periódico x(t) mostrado abaixo:
Solução: ω0 = 2pi/T = 2pi/2pi = 1(rad/s)
ck =
1
T0
∫
T0
x(t).e−jkω0tdt =
1
2pi
∫ pi/2
−pi/2
1.e−jktdt =
−1
2pi.j.k
.e−jkt|pi/2−pi/2 =
=
−1
2pi.j.k
.(e−jkpi/2 − ejkpi/2) = 1
k.pi
(
ejkpi/2 − e−jkpi/2
2j
) =
1
k.pi
sen(kpi/2)
ck =
sen(kpi/2)
k.pi
=
 0, k = par±1/kpi, k = ±1,±5,±9, ...∓1/kpi, k = ±3,±7,±11, ... c0 = a0/2 = 1/2
Então: x(t) =
∑∞
k=−∞ ck.e
jkω0t =
∑∞
k=−∞[
1
kpi
.sen(kpi/2).ejkt]
x(t) = ...+
1
5.pi
e−j5t− 1
3.pi
e−j3t+
1
1.pi
e−jt+
1
2
+
1
1.pi
ejt− 1
3.pi
ej3t+
1
5.pi
ej5t+...
Aplicando a relação de Euler para o cosseno:
x(t) =
1
2
+
2
pi
[cost− 1
3
cos3t+
1
5
cos5t− 1
7
cos7t+ ...]
57
Série Trigonométrica de Fourier
Pode-se representar um sinal periódico x(t) com período T0 atra-
vés da somatória de senos e cossenos, com abaixo:
x(t) =
a0
2
+
∞∑
k=1
[ak.cos(kω0t) + bk.sen(kω0t)]
Sendo: ω0 = 2pi/T0, e ak e bk os coeficiêntes de Fourier:
ak =
2
T0
∫
T0
x(t).cos(kω0t)dt
bk =
2
T0
∫
T0
x(t).sen(kω0t)dt
Os coeficiêntes ak e bk se relacionam com os coeficiêntes de
Fourier complexos por:
c0 =
a0
2
ck =
1
2
.(ak − jbk) c−k =
1
2
.(ak + jbk)Quando x(t) for real, então ak e bk serão reais, então teremos:
ak = 2.Re[ck] bk = −2.Im[ck]
58
Série Trigonométrica de Fourier de Sinais Perió-
dicos Pares e Ímpares
Se o sinal periódico x(t) com período T0 for Par, então bk será
zero, e a série de Fourier fica:
x(t) =
a0
2
+
∞∑
k=1
[ak.cos(kω0t)] ω0 = 2pi/T0
Se o sinal periódico x(t) com período T0 for Ímpar, então ak
será zero, e a série de Fourier fica:
x(t) =
∞∑
k=1
[bk.sen(kω0t)] ω0 = 2pi/T0
Série de Fourier em Forma Harmônica
Outra forma de representação em série de Foueier de um sinal
periódico x(t) com período T0é:
x(t) = ck +
∞∑
k=1
[ck.cos(kω0t− θk)] ω0 = 2pi/T0
ak =
2
T0
∫
T0
x(t).cos(kω0t)dt bk =
2
T0
∫
T0
x(t).sen(kω0t)dt
Os coeficiêntes ck e θk se relacionam com ak e bk por:
c0 =
a0
2
ck =
√
a2k + b
2
k θk = arctg(
bk
ak
)
59
Convergência da Série de Fourier
Um sinal periódico x(t) terá uma representação em série de Fou-
rier se atender às condições de Dirichlet
1. Se x(t) é integrável em módulo no intervalo de um período
qualquer: ∫
T0
|x(t)|dt <∞
2. Se x(t) tem um número finito de máximos e mínimos dentro
de qualquer intervalo finito t
3. Se x(t) tem um número finito de descontinuidades dentro
de qualquer intervalo finito t e cada uma delas é finita
Espectro de Amplitude e Fase de Sinais Periódi-
cos
Admitindo-se que os coeficiêntes complexos de Fourier ck de um
sinal periódico x(t) seja:
ck = |ck|.ejθk
O gráfico de |ck| versus a frequência angular ω é chamado de
Espectro de Amplitude do sinal x(t), e o gráfico de θk versus
a frequência angular ω é chamado de Espectro de Fase do sinal
x(t).
Como os valores de k são inteiros os gráficos de Amplitude e Fase
não são curvas contínuas, mas ocorrem somente nas frequências
discretas kω0 , sendo por esta razão chamados de Espectros
Discretos de Frequência, ou Espectros de Linha.
60
Exemplo: Determine a série trigonométrica de Fourier do sinal
periódico x(t):
Solução: ω0 = 2pi/T = 2pi/2pi = 1, e os coeficiêntes da série
serão calculados como abaixo, sendo a integração de −pi/2 a
pi/2:
⇒a0
2
= 1
T0
∫
T0
x(t)dt = 1
2pi
∫ pi/2
−pi/2 1.dt =
1
2pi
.t|pi/2−pi/2 = 12pi .[pi2−(−pi2)] = 1/2
⇒ bk = 2pi
∫ pi/2
−pi/2
sen(kt)dt = 0, uma vez que: x(t) é par.
⇒ ak = 2T0
∫
T0
x(t).cos(kω0t)dt =
2
2pi
∫ pi/2
−pi/2 1.cos(kt)dt =
= 1
kpi
sen(kt)|pi/2−pi/2 = ( 1k.pi).[sen(k.pi2 )− sen(−k.pi2 )] = ( 2k.pi).sen(k.pi2 )
Sabendo-se que: sen(k.pi
2
) = −sen(−k.pi
2
)
ak =
 0, k = par2/kpi, k = 1,5,9, ...−2/kpi, k = 3,7,11, ...
Então: x(t) = 1
2
+ 2
pi
∑∞
k=1[
1
k
.sen(k.pi
2
)cos(kt)]
x(t) =
1
2
+
2
pi
[cos(t)− 1
3
cos(3t) +
1
5
cos(5t)− 1
7
cos(7t) + ...]
Espectros de Amplitude Espectros de Fase
θk = arctan(
bk
ak
) = arctan(
0
ak
) = 0
61
Exemplo: Determine a série trigonométrica de Fourier do sinal
periódico x(t) mostrado:
Solução: ω0 = 2pi/T = 2pi/2pi = 1, então os coeficiêntes da
série serão calculados como:
⇒a0
2
= 1
T0
∫
T0
x(t)dt = 1
2pi
∫ pi
0 1.dt =
1
2pi
.t|pi0 = 12pi .[pi − 0] = 1/2
⇒ ak = 2T0
∫
T0
x(t).cos(kω0t)dt =
2
2pi
∫ pi
0 1.cos(kt)dt =
= 1
kpi
sen(kt)|pi0 = ( 1k.pi).[sen(kpi)− sen(0)] = 0
⇒ bk = 2pi
∫ pi
0
sen(kt)dt = 2
2pi
∫ pi
0 1.sen(kt)dt =
−1
kpi
.cos(kt)|pi0 =
= −1
kpi
.[cos(kpi)− cos0] = 1
kpi
.[1− cos(kpi)] =
{
0, k = par
2/kpi, k = ı´mpar
Então: x(t) = 1
2
+ 1
pi
∑∞
k=1{1k [1− cos(kpi)](1− cos(kpi).sen(kt)}
x(t) =
1
2
+
2
pi
[sen(t) +
1
3
sen(3t) +
1
5
sen(5t) + ...]
Espectros de Amplitude Espectros de Fase
θk = arctan( bk
ak
) = arctan(bk
0
) = pi/2
62
Exemplo: Determine a série trigonométrica de Fourier do sinal
periódico x(t) mostrado:
Escolhendo o intervalo de integração de 0 a pi, e sabendo que
ω0 = 2pi/T = 2pi/pi = 2(rd/s), então os coeficiêntes da série
serão calculados como:
a0
2
=
1
pi
∫ pi
0
e−t/2dt =
1
pi
.(−2)
∫ pi
0
e−t/2.(−1/2)dt = −2
pi
e−t/2|pi0 =
= −2
pi
.(0,2079− 1) = 0,504
ak =
2
pi
∫ pi
0
e−t/2.cos(2kt)dt = 0,504.(
2
1 + 16.k2
)
bk =
2
pi
∫ pi
0
e−t/2.sen(2kt)dt = 0,504.(
8.k
1 + 16.k2
)
Então:
x(t) =
a0
2
+
∞∑
k=1
[ak.cos(kω0t) + bk.sen(kω0t) =
= 0,504[1 +
∞∑
k=1
[(
2
1 + 16.k2
).cos(kω0t) + (
8.k
1 + 16.k2
)sen(kω0t)] =
= 0,504[1 +
∞∑
k=1
[(
2
1 + 16.k2
).(cos(kω0t) + 4k.sen(kω0t))]
63
Exercicios Propostos
Determine a série Trigonométrica de Fourier dos sinais periódi-
cos x(t) abaixo, esboçando os espectros de amplitude e fase:
a)
b)
c)
Conteúdo de Potência de um Sinal Periódico
Como visto antes a Potência Média de um sinal periódico x(t)
em um período qualquer é dado por:
P =
1
T0
∫
T0
|x(t)|2dt
Se x(t) for representado pela série Exponencial Complexa de
Fourier, então pode-se mostrar que:
P =
1
T0
∫
T0
|x(t)|2dt =
∞∑
k=−∞
|ck|2
Sendo esta relação chamada de Relação ou Teorema de Parseval
da série de Fourier.
64
Transformada de Fourier
Seja um sinal não-periódico x(t) de duração finita, ou seja:
x(t) = 0, para |t| > T1, conforme mostrado na figura abaixo:
Seja agora um sinal periódico x′(t) formado pela repetição de
x(t), com período fundamental T0, conforme mostrado abaixo:
Se: T0 →∞, teremos:
lim
T0→∞
x′(t) = x(t)
E a série Exponencial Complexa de Fourier de x′(t), será:
x′(t) =
∞∑
k=−∞
ck.e
jkω0t
Sendo: ω0 = 2pi/T0, e ck os coeficiêntes de Fourier complexos,
dados por:
ck =
1
T0
∫ T0/2
−T0/2
x′(t).e−jkω0tdt
65
Mas como: x′(t) = x(t), para |t| < T0/2, e como x(t) = 0 fora
deste intervalo, então:
ck =
1
T0
∫ T0/2
−T 0/2
x′(t).e−jkω0tdt =
1
T0
∫ ∞
−∞
x(t).e−jkω0tdt
Vamos definir X(ω) como sendo:
X(ω) =
∫ ∞
−∞
x(t).e−jωtdt
Então, substituindo na expressão de ck fica: ck =
1
T0
X(kω0)
Das expressões: ck =
1
T0
X(kω0) , e x′(t) =
∑∞
k=−∞ ck.e
jkω0t
, subs-
tituindo a primeira na segunda vem:
x′(t) =
∞∑
k=−∞
1
T0
X(kω0).e
jkω0t =
ω0
2pi
∞∑
k=−∞
X(kω0).e
jkω0t
Quando T0 → ∞, ω0 = (2pi/T0) → 0, então fazendo ω0 = ∆ω,
e aplicando-se o limite quando ∆ω → 0, a equação anterior se
torna:
x′(t)|T0→∞ = lim
T0→∞
x′(t) = lim
4ω→0
{ 1
2pi
∞∑
k=−∞
X(k∆ω).ejk∆ωt∆ω} = x(t)
Mas,
lim
4ω→0
{ 1
2pi
∞∑
k=−∞
X(k∆ω).ejk∆ωt∆ω} = 1
2pi
∫ ∞
−∞
X(ω).ejωtdω
Resultando na representação de Fourier de um sinal não perió-
dico:
x(t) =
1
2pi
∫ ∞
−∞
X(ω).ejωtdω
66
Pares de Transformadas de Fourier
A função X(ω) é chamada de Transformada de Fourier de x(t),
e a expressão anterior é a Transformada Inversa de Fourier, e
formam o par de transformadas de Fourier, sendo denotado por:
x(t)↔ X(ω).
Transformada de Fourier de x(t):
X(ω) = F{x(t)} =
∫ ∞
−∞
x(t).e−jωtdt
Transformada Inversa de Fourier de x(t):
x(t) = F−1{X(ω)} = 1
2pi
∫ ∞
−∞
X(ω).ejωtdω
Exemplo 1: Obtenha a transformada de Fourier do pulso re-
tangular dado por x(t) = ret(t/τ), mostrado ao abaixo:
Solução: Vamos calcular: X(ω) =
∫∞
−∞ ret(
t
τ
) · e−jωtdt
como ret( t
τ
) =
{
1, | t |< τ/2
0, | t |> τ/2 ⇒ X(ω) =
∫ τ/2
−τ/2 1 · e−jωtdt
67
mas:
∫
e−axdx = −1
a
· eax, assim teremos:
X(ω) = − 1
jω
· e−jωt |τ/2−τ/2= −
1
jω
· (e−jωτ/2 − ejωτ/2)
Usando a relação de Euler para o seno, sen(x) = e
jx−e−jx
2j
, fica:
X(ω) =
−2
ω
· (e
−jωτ/2 − ejωτ/2
2j
) =
2sen(ωτ/2)
ω
Multiplicando e dividindo a expressão anterior por τ/2 teremos:
X(ω) = τ · sen(ωτ/2)
(ωτ/2)
= τ · sinc(ωτ/2)
Esta função do tipo sen(x)/x, cujo esboço émostrado abaixo,
é chamada de sinc(x), sendo de grande importância, por es-
tar relacionada em conceitos importantes da teoria de Sinais e
Sistemas e Processamento Digitais de Sinais.
68
Pares de Transformadas Importantes
x(t) ↔ X(ω) Condição
e−atu(t) ↔ 1a+jω a > 0
eatu(−t) ↔ 1a−jω a > 0
e−a|t| ↔ 2a
a2+ω2
a > 0
t.e−atu(t) ↔ 1
(a+jω)2
a > 0
δ(t) ↔ 1
δ(t− t0) ↔ e−jωt0
1 ↔ 2piδ(ω)
ejω0t ↔ 2piδ(ω − ω0)
cos(ω0t) ↔ pi[δ(ω − ω0) + δ(ω + ω0)]
sen(ω0t) ↔ jpi[δ(ω + ω0)− δ(ω − ω0)]
u(t) ↔ piδ(ω) + 1jω
u(−t) ↔ piδ(ω)− 1jω
69
Propriedades da Transf. de Fourier
1. Linearidade
a1.x1(t) + a2.x2(t)↔ a1.X1(ω) + a2.X2(ω)
2. Deslocamento no Tempo
x(t− t0)↔ e−jωt0.X(ω)
3. Deslocamento de Frequência
e−jω0t.x(t)↔ X(ω − ω0)
4. Mudança de Escala de Tempo
x(a.t)↔ 1|a|.X(
ω
a
)
5. Inversão de Tempo
x(−t)↔ X(−ω)
6. Dualidade ou Simetria
X(t)↔ 2pi.x(−ω)
7. Diferenciação no Domínio do Tempo
d
dt
x(t)↔ jω.X(ω)
8. Diferenciação no Domínio da Frequência
(−jt).x(t)↔ d
dω
X(ω)
70
9. Integração no Domínio do Tempo∫ t
−∞
x(τ)dτ ↔ pi.X(0).δ(ω) + 1
jω
.X(ω)
10. Convolução
x1(t) ∗ x2(t)↔ X1(ω).X2(ω)
11. Multiplicação
x1(t).x2(t)↔ 1
2pi
.X1(ω) ∗X2(ω)
12. Partes Par e Ímpar de x(t)
Se x(t) for real, seja: x(t) = xe(t) + xo(t), e
x(t)↔ X(ω) = A(ω) + jB(ω), ainda: X(−ω) = X∗(ω)
Então:
xe(t)↔ Re{X(ω)} = A(ω)
xo(t)↔ j.Im{X(ω)} = j.B(ω)
13. Relações de Parseval
∫ ∞
−∞
x1(λ).X2(λ)dλ =
∫ ∞
−∞
X1(λ).x2(λ)dλ
∫ ∞
−∞
x1(t).x2(t)dt =
1
2pi
∫ ∞
−∞
X1(ω)X2(−ω)dω
∫ ∞
−∞
|x(t)|2dt = 1
2pi
∫ ∞
−∞
|X(ω)|2dω
71
Resposta em Frequência de Sistemas de Tempo
Contínuo LIT
Um sistema LIT de tempo contínuo, c/ resposta ao impulso
h(t), terá uma saída y(t) em resposta a x(t):
y(t) = x(t) ∗ h(t)
Aplicando-se a propriedade da Convolução p/ a Transf. de Fou-
rier:
Y (ω) = X(ω).H(ω)
Onde: Y (ω), X(ω), e H(ω), são as Transf. de Fourier de y(t),
x(t), e h(t).
Isolando H(ω), que é a Resposta em Frequência do sistema:
H(ω) =
Y (ω)
X(ω)
= |H(ω)|.ejθH(ω)
Sendo: |H(ω)|, a Resposta de Magnitude (ou Amplitude), e
θH(ω) a Resposta de Fase do sistema.
A Resposta em Frequência H(ω) caracteriza totalmente o sis-
tema LIT de tempo Contínuo.
Conclusões:
• O Espectro de Amplitude da saída de um sistema LIT -
|Y (ω)|, é o produto do Espectro de Amplitude da entrada
|X(ω)|, pela Resposta de Amplitude do sistema |H(ω)|.
• O Espectro de Fase da saída, é a soma do Espectro de
Fase da entrada θx(ω), com a Resposta de Fase do sistema
θH(ω).
72
Transmissão sem Distorção
Para que a transmissão através de um sistema LIT não produza
distorção, o sinal de saída deve ter o mesmo formato do sinal de
entrada, exceto pela amplitude, e estar atrasada no tempo.
Portanto se x(t) representar o sinal de entrada do sistema, e y(t)
a sua saída, esta saída será do tipo:
y(t) = K.x(t− t0)
Aplicando-se a transformada de Fourier da expressão anterior,
fica:
Y (ω) = K.e−jωt0.X(ω)
Mas como visto antes: H(ω) = Y (ω)/X(ω) = K.e−jωt0
Da forma polar para H(ω): H(ω) = |H(ω)|.ejθ(ω) = K.e−jωt0,
obtém-se:
|H(ω)| = K
θ(ω) = −jωt0
Conclusão: (1) o espectro de amplitude de H(ω) deve ser cons-
tante dentro da faixa de frequências de interesse, e (2) a fase
θ(ω) deve ser linear com a frequência.
73
Resposta em Frequência de Circuitos RC
Usando a Transformada de Fourier
Filtro Passa-Baixas (FPB) tipo RC de 1ª Ordem
Um filtro do tipo Passa-Baixas causal pode ser implementado
como o circuito RC mostrado abaixo, onde x(t) representa a
entrada do filtro e y(t) a sua saída:
Aplicando-se a LCK no nó A, vem
que:
iR = iC ⇒ x(t)−y(t)R = C
dy(t)
dt
De onde resulta: RCdy(t)dt + y(t) = x(t)
Então, obtendo-se a Tranformada de Fourier da expressão acima,
onde se aplicou a propriedade da diferenciação, vem que:
RC.jω.Y (ω) + Y (ω) = X(ω)
Y (ω).(RC.jω + 1) = X(ω) ⇒ Y (ω)
X(ω) =
1
1+jωRC = H(ω)
Fazendo-se ω0 =
1
RC
na expressão anterior, fica:
H(ω) = 11+jω/ω0
⇒ Resposta em Frequência do FPB Real.
Então, a Resposta de Amplitude e de Fase serão dadas por:
|H(ω)| = 1|1+jω/ω0| =
1√
1+(ω/ω0)
2
θ(ω) = −arctan(ω/ω0)
74
Filtro Passa-Altas (FPA) tipo RC de 1ª Ordem
Um filtro do tipo Passa-Altas causal pode ser implementado
como o circuito RC mostrado abaixo, onde x(t) representa a
entrada do filtro e y(t) a sua saída:
Aplicando-se a LCK no nó A, vem
que:
iR = iC ⇒ Cd[x(t)−y(t)]dt =
y(t)
R
De onde resulta: R.C.d[x(t)−y(t)]dt = y(t)
Então, obtendo-se a Tranformada de Fourier da expressão acima,
onde se aplicou a propriedade da diferenciação, vem que:
R.C.jω.[X(ω)− Y (ω)] = Y (ω)
R.C.jω.X(ω) = Y (ω).(R.C.jω + 1)
Y (ω)
X(ω) =
RCjω
jωRC+1 =
1
1+1/(jωRC)
Y (ω)
X(ω) =
1
1+1/(jωRC) = H(ω)
Fazendo-se ω0 =
1
RC
na expressão anterior, fica:
H(ω) = 11+1/(jω/ω0)
⇒ Resposta em Frequência do FPA
Real.
Então, a Resposta de Amplitude e de Fase serão dadas por:
|H(ω)| = 1|1+1/(jω/ω0)| =
1√
1+1/(ω/ω0)
2
θ(ω) = −arctan(1/(ω/ω0))
75
Análise de Sistemas usando a
Transformada de Laplace
A Transformada de Laplace Bidirecional de um sinal x(t) de
tempo contínuo, é definida como:
L{x(t)} = X(S) =
∞∫
−∞
x(t).e−stdt
Onde em geral a variável s tem valor complexo e é expressa
como: s = σ + .jω.
Em contraste à Transformada de Laplace Bidirecional a Trans-
formada de Laplace Unidirecional é definida como:
L{x(t)} = XI(S) =
∞∫
0−
x(t).e−stdt
e as duas transformadas serão equivalentes apenas se x(t) = 0
para t < 0.
Daí resulta que x(t) será a Transformada Inversa de Laplace de
X(s), sendo expressa por:
L−1{X(s)} = x(t) = 1
2pij
c+j∞∫
c−j∞
x(s).estds
A integral acima é calculada ao longo de c+ jω com ω variando
de −∞ a +∞.
Diz-se que o sinal x(t) e sua transformada de Laplace X(S)
formam um par de transformadas de Laplace simbolizado por:
x(t)↔ X(s).
76
Região de Convergência da Transformada
de Laplace (RDC)
O intervalo de valores da variável complexa s para o qual a
integral da expressão da Transformada de Laplace converge é
chamado de Região de Convergência (RDC).
Exemplo 1: Consideremos o sinal x(t) = e−atu(t), com a ∈ <
Aplicando-se a Transformada de Laplace de x(t), vem que:
X(S) =
∞∫
−∞
e−atu(t).e−stdt =
∞∫
0
e−at.e−stdt =
∞∫
0
e−(s+a)tdt
X(S) = − 1
s+ a
e−(s+a)t|∞0 = −
1
s+ a
(0− 1) = 1
s+ a
Isto considerando-se que:
limt→∞e−(s+a)t = 0
O que ocorre se e somente se:
<{s+ a} > 0
ou seja: <{σ + jω + a} > 0
ou ainda: σ + a > 0
Então: σ > −a.
77
Exemplo 2: Consideremos o sinal x(t) = −e−atu(−t), com a ∈ <
Aplicando-se a Transformada de Laplace de x(t), vem que:
X(S) =
∞∫
−∞
(−e−at)u(t).e−stdt = −
0∫
−∞
e−at.e−stdt = −
0∫
−∞
e−(s+a)tdt
X(S) =
1
s+ a
e−(s+a)t|0−∞ =
1
s+ a
(1− 0) = 1
s+ a
Isto considerando-se que:
limt→−∞e−(s+a)t = 0
O que ocorre se e somente se:
e−(s+a)(−∞) = e(s+a)(∞) = 0
Ou seja: <{s+ a} < 0
<{σ + jω + a} < 0 → σ + a < 0
Então: σ < −a.
78
Conclusão sobre a RDC:
Como os sinais: e−atu(t), causal, e −e−atu(−t), não-causal, pos-
suem a mesma transformada de Laplace, porém com regiões de
convergência distintas, a conclusão que se tira é:
Para que a transformada de Laplace seja única a RDC
deve ser especificada como parte da transformada.
Região de Convergência para Sinais de
Duração Finita
Considere um sinal x(t) não nulo somente para t1 ≤ t ≤ t2 com
t1 e t2 finitos.
Para este sinal finito, absolutamente integrável, a RDC será todo
o plano s.
Transformada de Laplace Unidirecional
Como visto antes se a transformada de Laplace é do tipo Bidi-
recional ela se aplica a sinais causais e não-causais.
Para sinais causais, estaambiguidade desaparece, e existirá uma
relação biunívoca entre o sinal e sua transformada de Laplace,
sendo desnecessário a especificação da RDC.
Convém lembrar que os sinais que são tratados na prática serão
sempre do tipo causal.
79
Daí podemos ter uma tabela de pares de transformadas de La-
place, como temos para a transformada de Fourier.
Pares de Transformadas de Laplace Importantes
x(t) ↔ X(s)
δ(t) ↔ 1
u(t) ↔ 1s
t.u(t) ↔ 1
s2
tn.u(t) ↔ n!
sn+1
e−at.u(t) ↔ 1s+a
t.e−at.u(t) ↔ 1
(s+a)2
cosω0t.u(t) ↔ ss2+ω20
senω0t.u(t) ↔ ω0s2+ω20
e−at.cosω0t.u(t) ↔ s+a(s+a)2+ω20
e−at.senω0t.u(t) ↔ ω0(s+a)2+ω20
80
Propriedades da Transf. de Laplace
1- Linearidade da Transformada de Laplace
Se temos: x1(t)↔ X1(s) e x2(t)↔ X2(s)
Então: a1x1(t) + a2x2(t)↔ a1X1(s) + a2X2(s)
2- Deslocamento no Tempo
x(t− t0)↔ e−st0.X(s)
3- Deslocamento no Domínio s
es0t.x(t)↔ X(s− s0)
4- Mudança de Escala de Tempo
x(a.t)↔ 1|a|X(sa)
5- Inversão de Tempo
x(−t)↔ X(−s)
6- Diferenciação no Domínio do Tempo
d
dt
x(t)↔ s.X(s)
7- Diferenciação no Domínio s
−t.x(t)↔ d
ds
X(s)
8- Integração no Domínio do Tempo∫ t
−∞ x(τ)dτ ↔ 1s .X(s)
81
9- Convolução
Se temos: x1(t)↔ X1(s) e x2(t)↔ X2(s)
Então:
x1(t) ∗ x2(t)↔ X1(s).X2(s)
Pólos e Zeros
Usualmente X(s) será uma função racional do tipo:
X(s) =
a0sm + a1sm−1 + ...+ am
b0sn + b1sn−1 + ...+ bn
=
a0(s− z1)...(s− zm)
b0(s− p1)...(s− pn)
Onde: ak e bk são constantes reais, e m e n são inteiros positivos.
As raízes do numerador zk são chamados zéros de X(s), por
levarem X(s) a zero, e serão representados por um o.
As raízes do denominador pk são chamados pólos de X(s) por
levarem X(s) ao infinito, e serão representados por um x.
Portanto os pólos de X(s) ficarão fora da RDC porque X(s) não
converge nos pólos.
Os zeros por sua vez podem ficar dentro ou fora da região de
convergência.
Exemplo: X(s) = 2s+4
s2+4s+3
= 2 s+2
(s+1)(s+3)
.
82
Métodos de Inversão da Transformada
Inversa de Laplace
Existem vários métodos para se achar a Transformada Inversa
de Laplace, os quais serão apresentados a seguir:
1- Usando a Fórmula da Inversão
Conforme visto antes, a transformada de Laplace inversa é uma
operação que leva a x(t) a partir de X(s), sendo expressa como:
L−1{X(s)} = x(t) = 1
2pij
c+j∞∫
c−j∞
x(s).estds
Esta integral de linha no plano complexo, sendo de difícil reso-
lução.
2- Usando os Pares de Transformadas de Laplace
Um método viável de inversão da transformada de Laplace é
tentar expressar X(s) como uma soma do tipo:
X(s) = X1(s) +X2(s) + ...+Xn(s)
De onde em se conhecendo as transformadas inversas:
x1(t), x2(t), ...xn(t), de X1(s), X2(s), ...Xn(s)
Pela propriedade da linearidade pode-se facilmente determinar
x(t), como sendo:
x(t) = x1(t) + x2(t) + ...+ xn(t)
83
3- Expansão em Frações Parciais
Se X(s) for expressa como uma função racional da forma:
X(s) =
N(s)
D(s)
= k.
(s− z1)...(s− zm)
(s− p1)...(s− pn)
1ºCaso: Quando X(s) for uma função racional própria ou
seja: m < n
(a) Pólos Simples: Se os pólos de X(s) forem simples (distin-
tos) então:
X(s) =
c1
s− p1
+
c2
s− p2
+ ...+
cn
s− pn
Onde:
ck = (s− pk)X(s)|s=pk
Exemplo:
Encontre a transformada de Laplace inversa de X(s) = 2s+4
s2+4s+3
Solução: X(s) = 2s+4
s2+4s+3
= 2 s+2
s2+4s+3
= c1
s+1
+ c2
s+3
ck = (s− pk)X(s)|s=pk ⇒ c1 = (s+ 1)X(s)|s=−1 = 2
s+ 2
s+ 3
|s=−1 = 1
c2 = (s+ 3)X(s)|s=−3 = 2s+ 2
s+ 1
|s=−3 = 1
Logo:
X(s) = 1
s+1
+ 1
s+3
⇒ x(t) = e−tu(t) + e−3tu(t).
84
(b) Pólos Múltiplos: Se os pólos de X(s) forem múltiplos, ou
seja conter fatores (s− pi)r, onde o pólo pi tem multiplicidade r,
então a expansão em frações parciais ficará:
c1
s− pi
+
c2
(s− pi)2
+ ...+
cn
(s− pi)r
Exemplo:
Encontre a transformada de Laplace inversa de X(s) = s
2+2s+5
(s+3)(s+5)2
Solução:
X(s) = s
2+2s+5
(s+3)(s+5)2
= A
s+3
+ B
s+5
+ C
(s+5)2
Então:
X(s) = A
s+3
+ B
s+5
+ C
(s+5)2
= A(s+5)
2+B(s+3)(s+5)+C(s+3)
(S+3)(S+5)2
⇒ s2 + 2s+ 5 = A(s+ 5)2 +B(s+ 3)(s+ 5) + C(s+ 3)
⇒ s2 + 2s+ 5 = (A+B)s2 + (10A+ 8B+C)s+ 25A+ 15B+ 3C
Resolvendo o sistema de equações: A+B = 110A+ 8B + C = 225A+ 15B + 3C = 5 resulta em:
A = 2
B = −1
C = −10
.
Logo: X(s) = 2
s+3
− 1
s+5
− 10
(s+5)2
E a transformada inversa fica:
x(t) = (2e−3t − e−5t − 10te−5t)u(t)
85
2º Caso: Quando X(s) for uma função racional imprópria
ou seja: m ≥ n
Neste caso por divisão de polinômios, pode-se escrever X(s)
como: X(s) = N(s)
D(s) = Q(s) +
R(s)
D(s)
Onde:
Q(s) é o polinômio quociênte, de grau m− n
R(s) é o polinômio resto de grau menor que n.
Pode-se agora achar a transformada inversa de Q(s), através
da tabela de pares de transformada, e R(s)/D(s) sendo uma
função racional própria pode ser resolvida como no item (a), ou
seja por frações parciais.
Exemplo: Ache a Transformada de Laplace inversa x(t) de
X(s) = s
2+1
s2−s−2
Solução:
X(s) = s
2+1
s2−s−2 = 1 +
s+3
s2−s−2 = 1 +
s+3
(s−2)(s+1) = 1 +
A
s−2 +
B
s+1
X(s) = 1 + 5/3
s−2 −
2/3
s+1
⇒ x(t) = δ(t) + (5/3)e2t − (2/3)e−t
Exercícios: Ache as Transformadas de Laplace inversas x(t) de
X(s) abaixo:
(a) X(s) = 2s+1
s+2
x(t) = 2δ(t)− 3e−2tu(t).
(b) X(s) = 10s+15
(s−1)(s+2)s2 x(t) = (
25
3
et + 5
12
e−2t − 35
4
− 15
2
t)u(t).
(c) X(s) = s
3+s2+s+1
s+1
x(t) = d
2δ(t)
dt
+ δ(t)
86
3º Caso: Quando X(s) for uma função racional com pólos
complexos:
Suponha agora que σ−jω, e σ+jω, sejam um par de pólos com-
plexos conjugados, neste caso a expansão por frações parciais de
X(s) permite escrever os seguintes termos associados ao par de
pólos:
C1
s−σ−jω0 +
C1
s−σ+jω0 =
B1s+B2
(s−σ−jω0)(s−σ+jω0) =
B1s+B2
(s−σ)2+ω20
B1s+B2
(s− σ)2 + ω20
=
Aω0
(s− σ)2 + ω20
+
B(s− σ)
(s− σ)2 + ω20
Pode-se agora achar a transformada inversa de X(s), através
dos pares de transformadas:
A(s− σ)
(s− σ)2 + ω20
↔ Aeσtcos(ω0t).u(t)
Bω0
(s− σ)2 + ω20
↔ Beσtsen(ω0t).u(t)
.
Exemplo:
Ache a Transformada de Laplace inversa x(t) de X(s) = s+1
s2+s+1)
Solução:
X(s) tem um par de pólos complexos conjugados, −1
2
± j
√
3
2
.
Então pode-se escrever: X(s) = s+1
(s+1/2+j
√
3/2)(s+1/2−j√3/2)
De onde vem que:
X(s) =
A(s+ 1/2)
(s+ 1/2)2 + 3/4
+
B(
√
3/2)
(s+ 1/2)2 + 3/4
87
Assim o numerador de X(s) ficará:
N(s) = A(s+ 1/2) +B(
√
3/2) = s+ 1
N(s) = As+A/2 +B(
√
3/2) = s+ 1
Então: A = 1, e A/2 +B
√
3
2
= 1 ⇒ B = 1/√3
E nas frações parciais teremos:
X(s) = s+1/2
(s+1/2)2+3/4
+ (1/
√
3)(
√
3/2)
(s+1/2)2+3/4
De onde resulta as seguintes transformadas inversas:
x(t) = e−t/2cos(
√
3
2 t)u(t) +
1√
3
e−t/2sen(
√
3
2 t)u(t)
Exercícios: Ache as Transformadas de Laplace inversas x(t) de
X(s) abaixo:
(a) X(s) = 2s+12
s2+2s+5
x(t) = 5e−tsen(2t).u(t) + 2e−tcos(2t).u(t)
(b) X(s) = 4s
2+6
(s−1)(s2+2s+2)
x(t) = 2etu(t) + 2e−tcos(t).u(t)− 4e−tsen(t).u(t)
(c) X(s) = s
2+s−2
s3+3s2+5s+3
x(t) = −e−tu(t) + 2e−tcos(√2t).u(t)− 1√
2
e−tsen(
√
2t).u(t)
Obs: No Matlab/Octave existe a função: [r,p,k]=residue(ns,ds)
que devolve como resultado os resíduos (r), pólos (p) e constan-
tes (k) da função racional: N(s)/D(s), sendo ns e ds os vetores
constituidos dos coeficientes de N(s) e D(s).
88
Função de Transferência (F.T.)
Como visto antes a resposta ao impulso h(t) caracteriza comple-
tamente o sistema, logo a Transformada de Laplace da resposta
ao impulso H(s) conhecida como Função de Transferência (ou
Função Sistema) também caracteriza completamente o sistema.
Esquematicamente:
H(s) =
Y (s)
X(s)
FiltragemOperação básica em qualquer sistema de processamento de si-
nais, permite alterar/eliminar componentes de frequência inde-
sejáveis de um sinal.
Filtros do tipo Passa-Baixas são requeridos em sistemas de aqui-
sição de dados, na etapa anterior à amostragem do sinal de
entrada, de modo a limitar da largura de faixa do espectro de
frequências deste sinal, evitando o problema de sobreposição de
espectros.
Filtros Passa-Altas são requeridos em sistemas de aquisição de
dados, na etapa posterior à conversão de digital para analógico,
de modo a suavizar o sinal de saída analógico.
89
Filtros Seletivos de Frequências Ideais
Filtro Passa-Baixas Ideal (FPB)
|H(ω)| =
{
1, |ω| < ωc
0, |ω| > ωc
Filtro Passa-Altas Ideal (FPA)
|H(ω)| =
{
0, |ω| < ωc
1, |ω| > ωc
Filtro Passa-Faixa Ideal (FPF)
|H(ω)| =
{
1, ω1 < |ω| < ω2
0, outros
Filtro Rejeita-Faixa Ideal (FRF)
|H(ω)| =
{
0, ω1 < |ω| < ω2
1, outros
90
Respostas de Amplitude e Fase
Definições Importantes
1. Largura de Faixa do Filtro BW (Bandwidth)
A largura de faixa BW de um filtro ideal é definido para cada
tipo de filtro como:
FPB: BW = ωC
FPF: BW = ω2 − ω1
Para o FPF se BW � ω0 = ω2−ω12 , então este será de faixa es-
treita.
FPA e FRF: Não se define BW
2. Largura de Faixa de 3dB
Para filtro causais (ou práticos) define-se ω3dB como sendo a
frequência para a qual |H(ω)| cai para |H(0)|/√2 em i(t) ou
v(t). Ou seja, corresponde a atenuar potência à metade.
3. Largura de Faixa do Sinal
A largura de faixa do sinal corresponde ao intervalo de frequên-
cias dentro do qual se situa a maior parte da energia do sinal.
4. Largura de Faixa do Sinal p/ 3dB
Da mesma que definido para o filtro, define-se a largura de 3dB
para um sinal como sendo a frequência para a qual |X(ω)| cai
para |X(0)|/√2 provocando atenuação da potência p/ metade.
91
5. Sinal de Faixa Limitada
Um sinal terá sua faixa de frequências limitada a ωM se:
|X(ω)| = 0, |ω| > ωM
6. Faixas de Passagem, Transição e Corte
7. Seletividade dos FPF e FRF - Fator de Qua-
lidade
Define-se Fator de Qualidade de um Filtro Passa-Faixa ou Re-
jeita Faixa como sendo:
Q0 =
ω0
BW
Com: ω0 = ω2 − ω1
Quanto maior o valor de Q0 maior a seletividade do filtro.
92
Filtros Seletivos de Frequências Não-Ideais
(Causais ou Práticos)
Filtro Passa-Baixas (FPB) tipo RC de 1ª Ordem
Um filtro do tipo Passa-Baixas causal pode ser implementado
como o circuito RC mostrado abaixo, onde x(t) representa a
entrada do filtro e y(t) a sua saída:
Aplicando-se a LCK no nó A, vem
que:
iR = iC ⇒ x(t)−y(t)R = C
dy(t)
dt
De onde resulta: RCdy(t)dt + y(t) = x(t)
Então, obtendo-se a Tranformada de Laplace da expressão acima,
onde se aplicou a propriedade da diferenciação, vem que:
R.C.s.Y (s) + Y (s) = X(s)
Y (s).(R.C.s+ 1) = X(s) ⇒ Y (s)
X(s) =
1
1+sRC = H(s)
Fazendo-se ω0 =
1
RC
na expressão anterior, fica:
H(s) = 11+s/ω0
⇒ F. T. do FPB RC 1ªOrdem.
Então, a Resposta de Amplitude e de Fase serão dadas por:
|H(s)|s=jω = 1|1+jω/ω0| =
1√
1+(ω/ω0)
2
θ(ω) = −arctan(ω/ω0)
93
Filtro Passa-Altas (FPA) tipo RC de 1ª Ordem
Um filtro do tipo Passa-Altas causal pode ser implementado
como o circuito RC mostrado abaixo, onde x(t) representa a
entrada do filtro e y(t) a sua saída:
Aplicando-se a LCK no nó A, vem
que:
iR = iC ⇒ Cd[x(t)−y(t)]dt =
y(t)
R
De onde resulta: R.C.d[x(t)−y(t)]dt = y(t)
Então, obtendo-se a Tranformada de Laplace da expressão acima,
onde se aplicou a propriedade da diferenciação, vem que:
R.C.s.[X(s)− Y (s)] = Y (s)
R.C.s.X(ω) = Y (s).(R.C.s+ 1)
Y (s)
X(s) =
RCs
sRC+1 =
1
1+1/(sRC)
Y (s)
X(s) =
1
1+1/(sRC) = H(s)
Fazendo-se ω0 =
1
RC
na expressão anterior, fica:
H(s) = 11+1/(s/ω0)
⇒ F. T. do FPA RC 1ªOrdem.
Então, a Resposta de Amplitude e de Fase serão dadas por:
|H(s)|s=jω = 1|1+1/(jω/ω0)| =
1√
1+1/(ω/ω0)
2
θ(ω) = −arctan(1/(ω/ω0))
94
Filtros RLC de 2º Ordem
A partir da resposta ao impulso dos filtros pode-se obter as ca-
racterísticas destes, bem como sua curva de resposta em frequên-
cia, pólos, e zeros.
Filtro Passa-Baixa de 2ªOrdem
Considere o circuito RLC abaixo:
Para se obter H(s) deste circuito, aplica-se o impulso na entrada
x(t), isto significa que X(s) = 1, então:
H(s) = Y (s)
X(s) = Y (s)
Considerando-se as impedâncias em R, L, e C, como ZR = R,
ZL = SL, e ZC = 1/SC, e sabendo-se que H(s) = Y (s) = V C(s),
teremos:
H(s) = Vi(s).ZCZC+ZL+ZR
= 1.(1/SC)1
SC+SL+R
Esta expressão após algum algebrismo conduz à:
H(s) = 1/LC
S2+S R
L
+ 1
LC
Que á a expressão de um filtro Passa-Baixas de 2ª Ordem, po-
dendo ser escrita como:
H(s) =
ω2c
s2 + 2ξωcs+ ω2c
95
Onde:
ξ é o fator de amortecimento do filtro;
ωc a freq. de corte.
Além disto, se nota que:
ωc = 1/
√
LC, 2ξωc = R/L, sendo ainda o fator Q = 1/2ξ
A curva de resposta em frequência deste filtro será dada por
H(ω) obtida como:
H(ω) = H(s)|s=jω = |H(jω)|
Então:
H(jω) = 1/LC−ω2+jωR
L
+ 1
LC
= 1/LC
( 1
LC
−ω2)+jωR
L
⇒H(ω) = 1/LC√
( 1
LC
−ω2)+(ωR
L
)2
Que se normalizado para
R=L=C=1, ficará:
H(ω) =
1√
(1− ω2) + ω2
96
Filtro Passa-Altas de 2ªOrdem
Considere o circuito RLC abaixo:
Seguindo os mesmos passos do exemplo anterior, H(s) para este
circuito, será:
H(s) = Y (s)
X(s) = Y (s)
Considerando-se novamente as impedâncias em R, L, e C, como
ZR = R, ZL = SL, e ZC = 1/SC, teremos:
H(s) = Vi(s).ZLZC+ZL+ZR
= 1.SL1
SC+SL+R
= S
2L
S2L+SR+ 1C
Esta expressão após algum algebrismo conduz à:
H(s) = S
2
S2+S R
L
+ 1
LC
Que á a expressão de um filtro Passa-Altas de 2ª Ordem, po-
dendo ser escrita como:
H(s) = S
2
s2+2ξωcs+ω2c
Onde: ωc = 1/
√
LC, 2ξωc = R/L, e Q = 1/2ξ
A curva de resposta em frequência deste filtro será dada por
H(ω) obtida como:
H(ω) = H(s)|s=jω = |H(jω)|
97
Então:
H(jω) = −ω
2
−ω2+jωR
L
+ 1
LC
= −ω
2
( 1
LC
−ω2)+jωR
L
⇒H(ω) =
√
(−ω2)2√
( 1
LC
−ω2)+(ωR
L
)2
Que se normalizado para R=L=C=1
Ficará:
H(ω) =
ω2√
(1− ω2) + ω2
A curva de resposta em frequência deste filtro pode ser esboçada
como:
Filtro Passa-Faixa de 2ªOrdem
Considere o circuito RLC abaixo:
Seguindo os mesmos passos do exemplo anterior, H(s) para este
circuito, será:
H(s) = Y (s)
X(s) = Y (s)
98
Considerando-se novamente as impedâncias em R, L, e C, como
ZR = R, ZL = SL, e ZC = 1/SC, teremos:
H(s) = Vi(s).RZC+ZL+ZR
= R1
SC+SL+R
= SR
S2L+SR+ 1C
Esta expressão após algum algebrismo conduz à:
H(s) = S.R/L
S2+S R
L
+ 1
LC
Que á a expressão de um filtro Passa-Faixa de 2ª Ordem, po-
dendo ser escrita como:
H(s) = S.2ξωc
s2+2ξωcs+ω2c
Onde: ωc = 1/
√
LC, 2ξωc = R/L, e Q = 1/2ξ
A curva de resposta em frequência deste filtro será dada por
H(ω) obtida como:
H(ω) = H(s)|s=jω = |H(jω)|
Então:
H(jω) = jωR/L−ω2+jωR
L
+ 1
LC
= jωR/L
( 1
LC
−ω2)+jωR
L
⇒H(ω) =
√
(ωR/L)2√
( 1
LC
−ω2)+(ωR
L
)2
Que se normalizado para R=L=C=1
Ficará:
H(ω) =
ω√
(1− ω2) + ω2
A curva de resposta em frequência deste filtro pode ser esboçada
como:
99
Síntese de Filtros
Para se poder sintetizar um filtro Passa-Baixas deve-se partir da
Resposta em Magnitude Quadrática: A2(ω), e sabendo-se que:
A2(ω) = |H(jω)| = H(jω).H∗(jω) = H(s).H(−s)|s=jω
deriva-se a função de transferência H(s).
Ex: Determine A2(ω) se a função de transferência é:
H(s) =
s2 + 1
s2 + 4s+ 2
Solução:
H(−s) = s
2 + 1
s2 − 4s+ 2)
Então: H(s).H(−s) = s2+1
s2+4s+2
. s
2+1
s2−4s+2) =
s4+2s2+1
s4−12s2+4
E finalmente: A2(ω) = H(s).H(−s)|s=jω = ω4−2ω2+1ω4+12ω2+4
De outra maneira, se a expressão de A2(ω) é conhecida, pode-se
obter H(s) substituindo-se(jω)2 = −ω2 = s2.
Ex: Determine H(s) se a resposta em magnitude quadrática
A2(ω) é:
A2(ω) =
16(−ω2 + 1)
(ω2 + 4)(ω2 + 9)
Solução:
H(s).H(−s) = A2(ω)|ω2=−s2 = 16(s2+1)(−s2+4)(−s2+9)
Esta expressão possui zeros em: s = ±j, e pólos em: s = ±2,±3.
100
Então por uma questão de estabilidade H(s) deverá conter ape-
nas os pólos situados no semi-plano esquerdo do plano s, ou
seja: s = −2, e s = −3.
Logo:
H(s) =
K.(s2 + 1)
(s+ 2)(s+ 3)
Além disto, para se determinar o valor de K, deve-se ter H(0) =
A(0) = 4/
√
36 = 2/3
Ou seja: A2(0) = 16/36 = 4/9⇒A(0) = 2/3
Como: H(0) = K/6 ⇒K/6 = 2/3 ⇒K = 4
Finalmente:
H(s) =
4.(s2 + 1)
(s+ 2)(s+ 3)
Síntese de FPB de Butterworth
A curva de resposta em magnitude de um filtro de Butterwoth
é dada por:
|H(ω)| = A√
1 + ( ω
ωc
)2k
Onde: ωc é a frequência de corte, A é oganho, e k é um inteiro
positivo que corresponde à ordem do filtro.
Normalizando-se para ωc = 1, fica:
|HN(ω)| = A√
1 + ω2k
As várias curvas de resposta para alguns valores de k na expressão
anterior são mostrados abaixo:
Todos os filtros de Butterworth com sua resposta normalizada
(ωc = 1 rad/s) terá os pólos da sua função de transferência H(s)
sobre uma circunferência de raio unitário no plano s, ficando
separados de pi/k. Na figura abaixo, exemplo de como ficam os
6 pólos de H(s) de ordem 3.
Quando a função de transferência tem um número ímpar de pó-
los, sempre haverá um pólo em s=-1. Além disto, todos os pólos
estarão em simetria em relação ao eixo jω. Por questões de esta-
bilidade na implementação do filtro somente os pólos localizados
no semiplano esquerdo formarão a função de transferência
101
Exemplo: Para um FPB Butterworth de 3ª ordem, tem-se k =
3, e a expressão da resposta em frequência normalizada será:
HN(ω) =
1√
1 + ω6
Então, partindo-se da resposta em magnitude quadrática:
A2(ω) = 1
1+ω6
, para se achar a função de transferência deste filtro
faz-se: ω2 = −s2, em: H(s).H(−s) = A2(ω)|ω2=−s2, obtendo-se:
H(s).H(−s) = 1
1− s6
Cujos pólos se localizam em: s = ±1, s = −1
2
± j
√
3
2
, s = 1
2
± j
√
3
2
.
Porém, como explicado antes somente os pólos do semi-plano
esquerdo estarão em H(s):
H(s) =
K
(s+ 1)(s+ 1
2
− j
√
3
2
)(s+ 1
2
+ j
√
3
2
)
O que resulta em:
H(s) =
K
s3 + 2s2 + 2s+ 1
Sendo o ganho K calculado de A2(0) = H(0) =⇒1 = K
Finalmente:
H(s) =
1
s3 + 2s2 + 2s+ 1
102
De forma sistematizada, os polinômios de Butterwoth normaliza-
dos, que constituem o denominador da F.T., podem ser obtidos
com a expressão:
Bk(s) = P (s).
∏
(s2 + 2cos(θN)s+ 1)
Sendo: P (s) =
{
1, k = par
s+ 1, k = ı´mpar
com: 2.cos(θ) = 2ξ = 1/Q
Onde: k =Ordem do filtro, θ =Ângulo entreo pólo e o eixo real,
ξ =Coeficiênte de amortecimento do filtro.
• Se k =Ímpar ⇒ existirá uma raiz em θ = 0º;
• Se k =Par ⇒ θ = ±90º/k;
• Os pólos estarão sempre separados de pi/k.
Por exemplo, para k =1, 2, 3 e 4, os polinômios ficariam:
k = 1 ⇒ B1(s) = s+ 1
=================================
k = 2 ⇒ k é Par ⇒ θ1,2 = ±pi/2k = ±
pi/2
2
= ±pi
4
⇒ B2(s) = s2 + 2cos(pi/4) + 1 = s2 +
√
2s+ 1
=================================
k = 3 ⇒ k é Ímpar ⇒ θ1 = 0, θ2,3 = pi/3
⇒ B3(s) = (s+ 1)(s2 + 2cos(pi/3) + 1) = (s+ 1)(s2 + s+ 1)
=================================
k = 4 ⇒θ1,2 = ±pi/2k = ±pi8, θ3,4 = ±
pi/2
k
+ pi
k
= ±3pi
8
⇒ B4(s) = (s2 + 2cos(3pi/8).s+ 1).(s2 + 2cos(pi/8).s+ 1)
⇒ B4(s) = (s2 + 0,7654.s+ 1).(s2 + 1,8478.s+ 1)
103
Na tabela a seguir, estão apresentados os polinômios do de-
nominador da FT para os FPBs de Butterwoth normalizados
(ωc = 1rad/s) de 1ª a 7ª ordem:
k Polinômios do Denominador da F.T.
1 s+ 1
2 s2 + 1,4142s+ 1
3 (s+ 1)(s2 + s+ 1)
4 (s2 + 0,7654s+ 1)(s2 + 1,8478s+ 1)
5 (s+ 1)(s2 + 0,6180s+ 1)(s2 + 1,6180s+ 1)
6 (s20,5176s+ 1)(s2 + 1.4142s+ 1)(s2 + 1,9318s+ 1)
7 (s+ 1)(s2 + 0,4449s+ 1)(s2 + 1,2465s+ 1)(s2 + 1,8022s+ 1)
Para que se possa achar a F.T. para uma frequência de corte ωc
qualquer, a partir da F.T. normalizada HN(s) deve-se fazer um
reescalamento:
H(s) = HN(
s
ωc
)
Por exemplo, seja a F.T. de um filtro Passa-Baixas Butterwoth
como abaixo:
HN(s) =
1
(s2 + 0,7654s+ 1)(s2 + 1,8478s+ 1)
Se deseja-se uma frequência de corte de 5rad/s, o reescalamento
seria como segue:
H(s) =
1
( s
2
25
+ 0,7654s
5
+ 1)( s
2
25
+ 1,8478s
5
+ 1)
=
H(s) =
625
(s2 + 3,827s+ 25)(s2 + 9,239s+ 25)
O conduzirá a seguinte função de transferência:
H(s) =
625
(s4 + 13,066s3 + 85,385s2 + 326,650s+ 625)
104
Projeto de Filtros Ativos
Filtro Passa-Baixas tipo Butterwoth de 1ªOrdem
Para o filtro apresentado o ganho (A) será de:
A = 1 +
R3
R2
(1)
Para se minimizar a tensão de offset, devemos ter:
R1 =
R2.R3
R2 +R3
(2)
E a relação entre a frequência de corte (fC) e R1 será:
R1 =
1
2.pi.fC.C
(3)
105
Isolando R3 em (1), e substituindo em (2), obtém-se:
R2 = (
A
A− 1).R1 (4)
R3 = A.R1 (5)
Se: A = 1, R2 =∞, e R3 = 0
O valor de C deverá ser: C = 10fc , (em µF )
Procedimento de projeto:
1- Estabelecer o ganho A;
2- Estabelecer a Frequencia de Corte fC;
3- Determinar R1 através da equação (3), sabendo-se
que C = 10fc , (em µF );
4- Determinar R2 através da equação (4);
5- Determinar R3 através da equação (5);
6- Ajustar na prática o ganho A através de R2 ou R3;
7- Ajustar na prática a frequência de corte de −3dB
através de R1.
106
Exemplo de projeto de filtro ativo de 1ªOrdem
1) Projetar um filtro Passa-Baixas de 1ªOrdem tipo
Butterwoth, com frequência de corte de 10kHz.
Solução:
1- Arbitrando um ganho de A = 2;
2- Frequência de corte fc = 10kHz;
3- Com: C = 10fc =
10
10k = 10
−3µF = 1nF
Se obtém: R1 =
1
2.pi.fc.C
= 1
2.pi.104.10−9 = 15,9kΩ
4- Então: R2 = (
A
A−1).R1 = (
2
2−1).15,9k = 31,8kΩ
5- Ainda: R3 = 2.R1 = 31,8kΩ
6,7- Procedimento prático de ajuste do ganho e da
frequência de corte.
107
Projetos de Filtros Ativos usando a Estrutura
Sallen-Key
A estrutura Sallen-Key se deve aos seus idealizadores, os pes-
quisadores do Lincon Laboratory do MIT, R.P.Sallen e E.L.Key.
A estrutura geral com ganho unitário e configuração inversora é
mostrada abaixo:
E cuja função de transferência é a seguinte:
H(s) =
Z3(s).Z4(s)
Z1(s).Z2(s) + Z4(s)[Z1(s) + Z2(s)] + Z3(s).Z4(s)
Esta estrutura apresenta uma impedância de entrada pratica-
mente infinita e impedância de saída praticamente zero, po-
dendo ser usada para se implementar filtros de 2ª ordem dos
tipos Passa-Altas, Passa-Baixas e Passa-Faixa, como será visto
a seguir.
108
Filtro Passa-Baixas tipo Buttherwoth de 2ªOrdem
Sallen-Key
H(s) =
ωc2
s2 + ωcQ + ωc
2
Para o filtro ser do tipo Butterworth o ganho (A) deverá ser de:
A = 1,586⇒ A(dB) = 20.log(1,586) = 4
Logo:
A = 1 +
RB
RA
= 1,586⇒ RB
RA
= 0,586
Então, para:
RB
RA
= 0,586, se pode atribuir os valores práticos:
RA = 47kΩ, e RB = 27kΩ, que se obtém uma boa aproximação.
109
E a frequência de corte (fC) será:
fc =
1
2.pi.
√
R1.R2.C1.C2
(6)
Onde fazendo-se: R1 = R2, e C1 = C2, resulta:
fc =
1
2.pi.R.C
(7)
Ex: Projetar um filtro Ativo Passa-Baixas de 2ªOrdem tipo
Butterwoth, com frequência de corte de 700Hz.
Solução:
1- Arbitrando um capacitor de C = 3,3nF ;
2- Para uma frequência de corte fc = 700Hz obtém-se: R =
1
2.pi.fc.C
= 1
2.pi.700.3,3.10−9 = 68,9kΩ
110
Filtro Passa-Altas tipo Buttherwoth de 2ªOrdem
Sallen-Key
H(s) =
s2
s2 + ωcQ + ωc
2
Mais uma vez, para o filtro ser do tipo Butterworth o ganho (A)
deverá ser de:
A = 1,586
E como visto antes:
RB
RA
= 0,586, com os valores: RA = 47kΩ, e
RB = 27kΩ.
A frequência de corte

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