Aula 01 (1)

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CÁLCULO DIFERENCIAL E INTEGRAL II
Aula 1- Funções vetoriais
Tema da Apresentação
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Conteúdo Programático desta aula
Definição de função vetorial;
Propriedade referente a função vetorial;
Aplicação dos conceitos de Limite, Derivada e Integral de funções vetoriais;
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Funções vetoriais
Definição. Uma função cujo domínio é um conjunto de números reais e cuja a imagem é um conjunto de vetores é chamada uma função vetorial.
Uma função vetorial definida em um intervalo IR, com valores em R3, é denotado por
 (t) = (x(t), y(t), z(t)) , t  I, 
onde x(t), y(t), z(t) são funções reais definidas em I
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Funções vetoriais: Curvas planas
Uma curva plana é um conjunto C de pares ordenados de reais ( f(t), g(t) ), em que f e g são funções reais contínuas em um intervalo I.
O ponto P é um ponto da curva C de coordenadas (x, y), sendo x = f(t) e y = g(t). 
Entenderemos de maneira intuitiva como curva, o gráfico do que definimos como curva.
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Funções vetoriais: Curvas espaciais
 Uma curva no espaço é um conjunto C de ternos ordenados de reais (f(t), g(t), h(t)), em que f, g e h são funções reais contínuas em um intervalo I.
Um ponto P qualquer da curva C tem coordenadas (x, y, z) e depende do parâmetro t ; 
 P = P(t) = ( f(t), g(t), h(t) )
As equações paramétricas de C são:
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Funções Vetoriais: Notas
As equações paramétricas de uma curva C constituem uma parametrização de C. Também dizemos que C é uma curva parametrizada.
Uma vez que C é uma curva parametrizada, podemos definir uma orientação para C que é a direção definida pelos valores crescente ou decrescente do parâmetro t , que indicamos por setas ao longo do gráfico da curva. 
DEFINIÇÃO. Seja D (domínio) um subconjunto de IR. Uma função vetorial de uma variável , r, com domínio D é uma correspondência que a cada número real t de D associa somente um vetor r(t) em IRm.
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Funções vetoriais
O vetor r(t) = OP é o vetor posição de P 
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Funções vetoriais: Exemplos
 Seja curva C dada pela função vetorial:
r(t)=(3 + 2cos t, 1 + 2 sen t), t[0,2]
Tem equações paramétricas:
Fazendo cos t = (x – 3)/2 e sen t = (y - 1)/2 e substituindo na igualdade trigonométrica cos2 t + sen2 t = 1 temos ou (x – 3)2 + (y – 1)2 = 4
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Funções vetoriais: Exemplos
 Seja curva C dada pela função vetorial:
F(t) = (2cos t, 2sen t, t/2) , t[0,3] .
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Funções vetoriais: Limite
O limite de uma função vetorial para um determinado valor “a” é definido como:
Uma vez que o limite da função depende dos limites individuais das funções de cada coordenada, este só existirá caso todos os limites existam. 
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Funções vetoriais: Limite (Exemplo)
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Funções vetoriais: Continuidade
A condição de continuidade da função vetorial é aplicada seguindo o mesmo princípio que utilizado na definição do limite, ou seja, a função vetorial é contínua se as suas funções das coordenadas forem contínuas
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Funções vetoriais: Derivada
A clássica definição de derivada de uma função também se aplica a funções vetorais
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Funções vetoriais: Derivada (Propriedades)
Considere as seguintes funções:
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Funções vetoriais: Vetor tangente
vetor tangente
vesor tangente
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Funções vetoriais: Derivada (Exemplo)
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Funções vetoriais: Integral
A clássica definição de integral de uma função também se aplica a funções vetorais
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Funções vetoriais: Integral (Exemplo)
Considere a função vetorial: .Determinar a integral no intervalo do [1,2]:
 
Resolução: A integral da função vetorial é:
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Funções vetoriais
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