AULA_04-2

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CÁLCULO DIFERENCIAL E INTEGRAL II
Aula 4 – Gradiente 
 Derivada direcional
Tema da Apresentação
NOME DA AULA – AULA1
NOME DA DISCIPLINA
Conteúdo Programático desta aula
Regra da cadeia;
Derivadas parciais de segunda ordem;
Gradiente;
Curvas de nível;
Derivada direcional
Tema da Apresentação
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Derivada de funções compostas (Regra da Cadeia)
 Seja a função f(x,y) onde por sua vez x = x(t) e y = y(t). A derivada desta função em relação a “t” é 
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Derivada de funções compostas (Regra da Cadeia)
 Exemplo: Calcular a derivada da função F(x,y) = x2 + 3y –5, onde x(t) = et e y(t) = t3.
Temos que a derivadas parciais são:
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Derivadas parciais de segunda ordem
 Se f é uma função de duas variáveis x e y, suas derivadas parciais são fx=∂f /∂x e fY= ∂f/∂y . Se derivarmos essas derivadas mais uma vez, obteremos as derivadas parciais de segunda ordem, que são representadas por 
Quando a função e suas derivadas são contínuas, as derivadas cruzadas são iguais , ou seja fxy = fyx . 
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Derivadas parciais de segunda ordem
Exemplo: Calcular as derivadas de f(x,y) = e2x+5y
 Temos 
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Gradiente
Define-se o gradiente de uma função escalar f(x,y,z), e representa-se por grad f ou ∇f, a expressão: 
O gradiente é um vetor e i, j, k são os vetores unitários. 
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Propriedades Algébricas do Vetor Gradiente
Vejamos algumas propriedades relacionadas ao cálculo do gradiente: 
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Curvas de Nível
Uma outra forma de se visualizar funções de duas variáveis é um método semelhante ao da representação de uma paisagem tridimensional por meio de um mapa topográfico bidimensional. Vamos supor que a superfície z=f(x,y) seja interceptada por um plano z=k, e a curva de intersecção seja projetada no plano xOy. Essa curva tem equação f(x,y)=k e é chamada de curva de nível (ou curva de contorno) da função f em k .
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Curvas de Nível 
Na figura podemos observar as vinhas na região do Douro, em que as videiras foram dispostas em linhas segundo as curvas de nível, para evitar problemas de erosão e para melhorar a exposição solar
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Curvas de Nível
As curvas de nível de uma função f de duas variáveis são gráficos no plano xOy de equações da forma f(x,y)=k . 
O conjunto de curvas de nível é chamado mapa de contorno. 
Todos os pontos (x,y) que estão na mesma curva de nível têm a mesma imagem z. 
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Curvas de Nível (Exemplos)
Seja a função dada por z = x2 + y2. As curvas de nível para z = 0, z =1, z = 2 e z = 4 são:
As curvas de nível nunca se interceptam 
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Curvas de Nível (Exemplos)
Seja a função dada por z = x2 + y2.
 
Como todas as curvas de nível são círculos com centros em (0,0) concluímos que o gráfico de f(x,y) é uma superfície de revolução em torno de OZ. Concluímos que o gráfico é um parabolóide de revolução.
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Derivada direcional
 Suponha estarmos numa ladeira de uma montanha e desejamos determinar a inclinação da montanha na direção do eixo dos z. Se a montanha fosse representada pelo gráfico da função z = f(x,y), então, já saberíamos determinar a inclinação em duas direções diferentes, a saber, na direção do eixo dos x utilizando
 
e na direção do eixo dos y utilizando 
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Derivada direcional
 Neste momento veremos como utilizar derivada para determinar a inclinação em qualquer direção; para isto definimos um novo tipo de derivada chamada direcional. 
Este conceito generaliza o de derivada parcial, isto é, as derivadas parciais de uma função podem ser obtidas como casos particulares das derivadas direcionais. 
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Derivada direcional
 Sejam A ⊂ Rn aberto, f: A ⊂ Rn→ R uma função, x ∈ A e v um vetor unitário em R . A derivada direcional de f no ponto x e na direção v é denotada por:
 e definida por 
 se o limite existir.
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Derivada direcional
 Se n=3, A ⊂ R3 aberto, f:A ⊂ R3 →R uma função, x = (x,y,z)∈A e v = (v1,v2,v3) um vetor unitário em R. A derivada direcional de f no ponto (x,y,z) e na direção v é denotada por:
 é definida por
 se o limite existe. Analogamente para n = 2: 
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Derivada direcional (Exemplo)
Calcule a derivada direcional de f(x,y) = x2 + y2 na direção (2,2).
 O vetor (2, 2) não é unitário. Logo
 Assim sendo, 
 Portanto,
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Derivada direcional (Exemplo)
Calcule a derivada direcional de f(x,y) = x2 + y2 na direção (2,2).
 O vetor (2, 2) não é unitário. Logo
 Assim sendo, 
 Portanto,
 Finalizando, temos
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Gradiente 
 Derivada direcional
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