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Gilberto_Fialho-Matemática_Financeira-2014-1

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UNIVERSIDADE FEDERAL DO RIO DE JANEIRO 
ESCOLA POLITÉCNICA 
DEPARTAMENTO DE RECURSOS HÍDRICOS E MEIO AMBIENTE 
 
 
 
Curso de Engenharia Civil 
Curso de Engenharia Ambiental 
 
 
 
 
DISCIPLINA: EEH 592 - GESTÃO DE PROJETOS 
 
 
 
Matemática Financeira 
 
 
 
Gilberto O. M. Fialho, D.Sc. 
fialho@poli.ufrj.br 
PROFESSOR ASSOCIADO 
DEPARTAMENTO DE RECURSOS HÍDRICOS E MEIO AMBIENTE 
 
 
MAIO / 2014 
Matemática Financeira Gilberto Fialho 
_________________________________________ 
Gilberto_Fialho-Matemática_Financeira-2014-1.doc 2 
MATEMÁTICA FINANCEIRA 
1. Fluxo de Caixa: 
Representa o conjunto de pagamentos (entradas) e recebimentos (saídas) 
efetuados ao longo do tempo concernentes a um dado empreendimento. 
Existem várias maneiras de se representar um fluxo de caixa: 
 Representação gráfica; 
 Representação algébrica; 
 Representação em tabelas (planilhas). 
A representação gráfica é a forma didaticamente mais aconselhável de expressar o 
fluxo de caixa em razão da facilidade de compreensão, possibilitada pela 
observação visual de diagramas que demonstram todo o fluxo monetário de um 
empreendimento. 
Nesses diagramas de fluxo de caixa o tempo, compreendendo n períodos, é 
representado por uma reta horizontal orientada da esquerda para a direita, com 
origem na data mais à esquerda coincidindo com a data zero, normalmente 
considerada como data presente (ou atual) se projetando para a direita em direção 
ao futuro. 
Essa reta horizontal, que representa o tempo do fluxo de caixa, é dividida em 
espaços regulares correspondentes cada um deles à unidade de tempo considerada 
– um dia, uma semana, um mês, um semestre, um ano etc. 
Assim sendo, o primeiro período de tempo considerado tem início na data zero e 
término no ponto imediatamente posterior, no caso a data 1. Essa data 1, por sua 
vez, é considerada como início do segundo período, que tem seu final na data 2, 
que por sua vez será o início do terceiro período, cujo final será a data 3, e assim 
sucessivamente até o período de ordem n-1, que será o início do período de ordem 
n, que por sua vez será o final do enésimo período – normalmente o final da vida 
útil do empreendimento ou o horizonte de tempo considerado na análise, conforme 
mostra a figura abaixo. 
 
 
3 0 1 2  . n n-1 
 período 
Final do 2º e início 
do 3º período 
Início do 1º 
período 
Final do 1º e início 
do 2º período 
Final do 3º e início 
do 4º período 
Final do período (n-1) e 
início do período n 
Final do enésimo 
período 
 
 
Matemática Financeira Gilberto Fialho 
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Gilberto_Fialho-Matemática_Financeira-2014-1.doc 3 
Outra convenção usual associada à representação gráfica do fluxo de caixa é que os 
valores referentes a entradas monetárias (receitas ou benefícios) serão valores 
algebricamente positivos e representados graficamente por setas orientadas 
verticalmente para cima, enquanto os desembolsos (despesas ou custos) terão 
valores negativos e serão representados por setas orientadas verticalmente para 
baixo. 
A taxa de juros a que o fluxo de caixa está submetido – e que deverá corresponder 
ao mesmo período n – ficará posicionada no gráfico ao lado direito do fluxo. 
A figura abaixo ilustra a questão. 
 
3 0 1 2 … n n-1 
$ $ 
$ $ 
Ent
rad
as (
+) 
Saí
das
 (-)
 i (%) 
 
Na representação gráfica e algébrica de um fluxo de caixa podem ser usadas 
diversas nomenclaturas e simbologias que representem os diversos elementos 
envolvidos. Entretanto, a forma mais comumente utilizada na literatura 
especializada é explicada a seguir. 
i  representa uma taxa de juros para um determinado período de tempo, por 
exemplo, mês, ano etc., incidindo em uma determinada quantia monetária. 
n  representa o número de períodos em que determinada importância 
monetária estará sujeita a uma determinada taxa de juros i. Entende-se 
como período qualquer unidade de tempo preestabelecida em contrato – dia, 
mês, bimestre, semestre, ano etc. – e deverá corresponder à periodicidade 
da taxa de juros. Por exemplo, se determinada quantia fosse aplicada a uma 
taxa de juros i (%) ao mês durante dois anos, ficaria subentendido que o 
período n seria de 24 meses, ou seja, seria compatibilizado com o período 
base da taxa de juros. Se nesse mesmo exemplo a taxa de juros fosse de 
i (%) ao ano o período a ser utilizado seria igual a 2 (dois anos). O que se 
fez na realidade foi adaptar o período n à taxa de juros i. Outra forma de 
harmonizar a questão seria adaptar a taxa de juros i ao período n, como 
será visto mais adiante. 
P  representa o principal (capital ou valor presente ou valor atual), que é uma 
quantidade monetária, localizada isoladamente à esquerda do fluxo de caixa 
e que se deseja deslocar para o futuro – à direita. 
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S  representa o somatório do principal mais os juros, também chamado de 
montante (ou valor futuro), correspondentes a uma quantia monetária 
capitalizada à taxa de juros i incidentes em n períodos de tempo. Ou seja, S 
será eqüivalente a P quando sujeito à taxa de juros i durante o período n 
ou, ainda, S corresponderá ao somatório do principal P mais os juros 
acumulados desde o período zero até o período n. Portanto, S será o montante 
(ou valor futuro) no período n de determinada importância monetária 
existente na data atual. 
R  representa uma série uniforme de pagamentos – ou de recebimentos – 
nominalmente iguais, que serão efetuados ao final de cada período, desde o 
período de ordem 1 até o período de ordem n, considerados 
consecutivamente e sempre sujeitos à mesma taxa de juros. A esse fator em 
determinadas circunstâncias dá-se o nome de prestação. A série uniforme 
que R representa será equivalente a P ou S, quando sujeitos a determinada 
taxa de juros e a determinado número de períodos. 
G  representa uma série em gradiente de pagamentos ou de 
recebimentos, cujos valores nominais crescem uniformemente ao longo do 
tempo. Sua aplicação ocorrerá em empreendimentos que pressupõem 
aumentos constantes de custos ou de receitas nas unidades do período de 
tempo n considerado. Nesse caso a série compreenderá uma variação linear, 
correspondente a uma progressão aritmética. 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
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2. Juros 
 Reais 
 Antecipados 
 Postecipados 
 Simples 
 Compostos 
 Nominais 
 Efetivos 
2.1. Juros Reais 
São aqueles que efetivamente o empreendedor paga (ou recebe) quando participa 
de uma determinada operação, e não aqueles que o agente financeiro diz que cobra 
(ou paga). 
Ex.: na ocasião de um empréstimo bancário (juros pagos) se exigir uma taxa de 
abertura de crédito, ou de embutir impostos (em juros recebidos) do tipo IOF, 
CPMF, IR e também a inflação. Na realidade o tomador vai ser onerado em 
todos esses impostos e taxas em adição aos juros convencionalmente 
cobrados. O conjunto dos juros, impostos e taxas corresponderão aos juros 
reais (aqueles efetivamente cobrados). 
2.2. Juros Antecipados 
São aqueles cobrados no início de cada período. 
Ex.: desconto de Duplicatas, Promissórias, cheques pré-datados etc. 
Ex.: Empréstimo bancário de $1.000,00 com taxa de juros de 10% ao mês, quitando a dívida em 
exatamente um mês. 
Ponto de vista do tomador do empréstimo: 1.000,00 
1.100,000 
1 
 Juros Postecipados 
 
Ponto de vista do Banco: (situação que efetivamente ocorrerá) 
900,00 
1.000,00 
0 
1 
 Juros Antecipados 
 
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2.3. Juros Postecipados 
São aqueles cobrados no final de cada período. Corresponde à situação do ponto de 
vista do tomador acima. 
Então para o tomador acima mencionado o que efetivamente ocorrerá será: 
amente)postecipad (calculado mês ao %11,11ou...,
,$
,.$
11111
00900
000001

 
2.4. Juros Simples 
São aqueles caracterizados pela incidência de índices simples sobre o principal ou 
capital, o que faz com que os juros de qualquer período sejam sempre iguais. 
nk JJJJJ  ......321
 
iPJTaxaincipalJuros k  Pr
 
Tem-se então que: 
Final do Juros Jk 
1o período J1 = P . i 
2o período J2 = P . i 
3o período J3 = P . i 
4o período J4 = P . i 
enésimo período Jn = P . i 
Então: 
  dos juros = P i + P i + P i + P i + ... + P i   dos juros = P  i  n 
n 
 
Valor Futuro = Principal + Juros  S = P + P  i  n 
Ou: 
)( niPS  1
 (1) 
Exemplo de juros simples: 
Ex.: Determinar quanto um investidor terá direito a receber no final do ano 2014, se aplicou no dia 1o 
de janeiro de 2014 a importância de R$ 1.000,00. Considerar que a transação foi efetuada a juros 
simples de 5 % ao mês. Definir também, com base na mesma taxa, de quanto será a parcela de 
juros no mês de outubro (dia 31) para este investimento. 
Jagosto = Jqualquer mês = P  i = 1.000,00  0,05 = R$ 50,00 
 dos juros = P  i  n = 1.000,00  0,05  12 = R$ 600,00 
Montante: S = P (1 + i n) = 1.000,00 (1 + 0,05  12) = R$ 1.600,00 
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2.5. Juros Compostos 
São aqueles caracterizados pela incidência postecipada de uma taxa de juros 
simples sobre o principal ou capital mais juros vencidos, o que faz com que os juros 
de qualquer período sejam sempre diferentes entre si. 
nk JJJJJ  ......321
 
Podendo-se também dizer que: 
nk JJJJJ  ......321
 
Em juros compostos o que faz com que os juros sejam crescentes ao longo do 
período é o fato da base de cálculo aumentar, em razão dela ser o principal 
acrescido dos juros anteriores, do seguinte modo: 
1o período: J1 = P  i 
2o período: J2 = (P + J1) i = (P + P  i) i = P i (1 + i)
1 
3o período: J3 = (P + J1 + J2) i = [P + Pi + P i (1 + i)] i = Pi (1 + 2 i+ i
2) 
= Pi (1 + i)2 
Pode-se generalizar essas expressões dizendo que: 
  1kk i1iPJ

 
(2) 
Essa expressão fornece o valor correspondente aos juros de um determinado 
período específico e não o valor do montante de uma aplicação que será conseguida 
adicionando-se a soma das diversas parcelas de juros ao principal. 
Para se determinar o valor do montante S originado de uma aplicação de 
determinada quantia a uma taxa de juros até uma dada época k, será necessário 
somar ao principal P o valor do somatório das diversas parcelas dos juros 
correspondentes ao período k considerado: 
S = P + J1 + J2 + J3 + J4 +  + Jn 
S = P + P i + P i (1+1)1 + P i (1+1)2 + P i (1+1)3 +  P i (1+1)n-1 
S = P (1+i) + P [i(1+1)1 + i(1+1)2 + i(1+1)3 +  i(1+1)n-1] 
S = P [(1+i) + i(1+1)1 + i(1+1)2 + i(1+1)3 +  i(1+1)n-1] 
A primeira parcela entre os colchetes corresponde ao primeiro período considerado: 
(1+i)  (1+i)1 
A soma das duas primeiras parcelas entre os colchetes compreende os dois 
primeiros períodos: 
(1+i) + i(1+i)1  1 + i + i + i2  1 + 2i + i2  (1+i)2 
A soma dos três primeiros períodos corresponde à soma do resultado acima com a 
terceira parcela: 
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(1+i)2 +i (1+i)2  (1+i) [(1+i) + i(1+i)]  (1+i) (1+i + i+i2)  
(1+i) (1+i) 2  (1+i)3 
Por analogia, ao se fazer o somatório das n parcelas obter-se-á o seguinte 
resultado: 
(1+i)n 
Pode-se concluir então que o montante S de um principal P investido à taxa de 
juros i durante o período n pode ser calculado pela expressão: 
 n
i
SP )(   ni1PS  
(3) 
Essa expressão, denominada Fórmula Fundamental para Juros Compostos, 
também pode ser representada pela simbologia: 
 niSP 
 
Com essa expressão pode-se, na realidade, resolver qualquer problema de 
matemática financeira. Ou seja, qualquer que seja a situação apresentada na 
matemática financeira, sempre será possível reduzi-la a expressões simples, 
correspondentes à formulação fundamental para juros compostos. 
Graficamente a operação apresentaria o seguinte aspecto: 
   n i S
 
 
 
 
P  
P 
0 n 
S = P (1+i) n 
i (%) 
 
Outra situação que poderá ocorrer semelhante à descrita acima, corresponde à 
determinação do principal P que deu origem aos fatores, supostamente conhecidos, 
montante (ou valor futuro) S, taxa de juros i e período n. 
Para isso basta inverter a equação fundamental dos juros compostos: 
 n
i
PS )( 
 
    
 
 
 
  
 
 
 
 
 
n 
i 1 
1 
S P 
 
(4) 
Essa situação pode ser representada pela simbologia: 
 niPS 
 
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Graficamente corresponderia a: 
 
P = S [1/(1+i) 
n ] 
0 n 
S 
i (%) 
 niPS 
 
 
Exemplo de juros compostos: 
Ex.: Determinar quanto um investidor terá direito a receber no final do ano 2014, se aplicou no dia 1o 
de janeiro de 2014 a importância de R$ 1.000,00. Considerar que a transação foi efetuada a juros 
compostos de 5 % ao mês. 
 12%5Montante SP 
 ou S = P (1 + i)n = 1.000,00 (1 + 0,05)12 = R$ 1.795,86 
Em resumo, tem-se então que os juros simples acarretam uma variação linear do 
montante em relação ao principal, enquanto para os juros compostos essa variação 
é de natureza exponencial, como pode ser observado a seguir. 
0,00
0,20
0,40
0,60
0,80
1,00
1,20
1,40
1,60
1,80
2,00
1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12
Período n
Juros Simples Juros Compostos
 
2.5.1. Equivalência de Taxas 
Uma situação relativamente comum em matemática financeira é quando uma 
transação ocorre em um período fracionário de tempo em relação ao período base 
da taxa de juros. 
Ocorre quando, por exemplo, tem-se uma aplicação a uma taxa na base de um ano 
comercial (360 dias) e deseja-se aplicar o dinheiro em um período menor – por 
exemplo, um mês. Nestes casos, faz-se necessário encontrar uma taxa equivalente 
mensal correspondente à taxa oferecida para o período anual. 
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2.5.2. Equivalência de Juros em Juros Simples 
Como as taxas de juros simples são lineares ao longo de um período, a obtenção de 
taxas equivalentes é dada pelo simples rateio da taxa acordada pelo período de 
tempo desejado. 
Por exemplo: 
2
(anual)
)(semestral
i
i 
; 
3
(anual)
tral)(quadrimes
i
i 
; 
4
(anual)
l)(trimestra
i
i 
; 
12
(anual)
(mensal)
i
i 
 
1262  (mensal)(anual);(mensal))(semestral;(mensal))(bimestral iiiiii
 
Exemplo de equivalência de juros simples: 
Ex.: Caderneta de Poupança, que rende um fator que representa a correção monetária do período – 
atualmente a TR (taxa de referência) – mais uma taxa de juros de 6 % ao anoe que, por se 
tratar de juros simples e de uma aplicação em que o tempo básico de duração é de um mês 
corrido, a remuneração mensal é obtida pela divisão da taxa anual linearmente ao longo do ano 
correspondendo, portanto, a 0,5 % ao mês. 
2.5.3. Equivalência de Juros em Juros Compostos 
A equivalência de juros compostos segue, basicamente, a mesma regra para os 
juros simples, entretanto, a conversão de taxas não pode ser feita mediante uma 
mera divisão ou multiplicação de períodos, haja vista a natureza não linear da 
variação dos juros. 
Por exemplo, tem-se uma taxa de juros anual I (%) que aplicada a um principal P 
no período n, resulte no montante S. O que se procura é, de fato, uma taxa de 
juros mensal– ou qualquer outro período – i (%) que, aplicada nessa base de 
tempo, resulte no mesmo montante S. 
Então: 
S = P  (1+I)  montante S calculado a partir de taxa de juros I anual 
aplicada em um principal P; 
S = P  (1+i)n  montante S calculado a partir de taxa de juros i (em 
acordo ao período n) aplicada em um principal P. 
Para que as taxas I e i sejam equivalentes os montantes deverão ser iguais: 
P  (1+I) = P  (1+i)n  1 + I = (1+i)n  
  11  niI 
(5) 
Exemplo de equivalência de juros compostos: 
Ex.: Caderneta de Poupança, que rende um fator que representa a correção monetária do período – 
atualmente a TR (taxa de referência) – mais uma taxa de juros de 0,5 % ao mês e que no cálculo 
do montante anual dá-se o tratamento de juros compostos. 
I =(1 + i)n – 1 = (1+0,005)12 – 1 = (1,005)12 – 1 = 6,17 % 
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Agora, na outra situação, se ao invés de calcular a taxa de juros para um período 
maior I, se desejar a taxa para um período menor i, basta inverter a operação: 
I = (1+i)n – 1  1 + I = (1+i)n  (1+i) = (1+I)1/n  
11 1  n/)I(i 
(6) 
Exemplo de equivalência de juros compostos: 
Ex.: Caderneta de Poupança, que rende um fator que representa a correção monetária do período – 
atualmente a TR (taxa de referência) – mais uma taxa de juros de 6 % ao ano, que 
corresponderia a uma taxa de juros compostos mensal igual a: 
i = [(1+I)1/n] – 1 = [(1+0,06)1/12] – 1 = 0,487 % 
Na realidade, as equações (5) e (6) podem ser englobadas da seguinte maneira: 
  11 











conhecidoperíodo
desejadoperíodo
conhecidosdesejados JurosJuros
 (7) 
 
2.6. Juros Nominais e Efetivos 
Como visto no item 2.1, os juros reais são aqueles efetivamente pagos (ou 
recebidos) pelo tomador, e não aquele que o agente financeiro diz que cobra (ou 
paga). Quando o negócio se refere a uma tomada financeira (a qual corresponderão 
pagamentos) os juros reais incluem uma série de taxas e de impostos. Se, ao 
contrário, se tratar de um investimento (ao qual corresponderão recebimentos) os 
juros reais serão expurgados das taxas e impostos. 
Os juros nominais são aqueles que corresponderão aos juros propriamente ditos, 
ou seja, por ocasião de pagamentos por parte do tomador, compreenderão os juros 
efetivos expurgados das taxas e impostos, enquanto para os recebimentos serão os 
efetivos adicionados às taxas e impostos. Ou seja, juros nominais são aqueles que 
o agente financeiro diz que cobra (ou que paga). 
Em relação à diferenciação dos juros nominais dos juros efetivos, pode-se dizer 
que neste existe a incidência de juros compostos capitalizados a partir de uma taxa 
de juros simples. 
O exemplo típico de juros nominais e efetivos, aqui no Brasil, é o da caderneta de 
poupança, que paga juros nominais de 6 % ao ano e para o cálculo de seu 
pagamento mensal essa taxa é dividida linearmente entre os 12 meses do ano. Tal 
fato gera uma taxa de 0,5% ao mês que, capitalizados mensalmente, irão gerar 
uma taxa de juros efetiva de 6,17 % ao ano. 
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3. Situações Particulares em Matemática Financeira 
Embora a expressão Fundamental para Juros Compostos vista anteriormente 
seja capaz de resolver qualquer problema de matemática financeira, existem 
situações particulares em que a ocorrência de valores no fluxo de caixa apresenta 
tal singularidade, que pode se tornar interessante utilizar mecanismos de cálculo 
apropriados. 
Essas situações singulares normalmente correspondem a valores repetidos ao longo 
do tempo, formando séries, e que, caso se fosse utilizar a expressão fundamental 
dos juros compostos, levaria às execuções repetidas vezes dos mesmos tipos de 
cálculos. 
Essas singularidades podem ser descritas por sete situações particulares, 
representadas esquematicamente a seguir: 
 
1a situação: 
 niPR 
  
 P 
0 
1 n 
R 
i (%) 
 
 
P) n 
i 
(R
 





 
2a situação: 
 niRP 
  
 P 
0 
1 n 
R 
i (%) 
n 
i 
R) (P  
 
3a situação: 
 niSR 
  
 
n 
S 
0 
1 
R 
i (%) 
S) n 
i 
(R  
 
4a situação: 
 niRS 
  
 
n 
S 
0 
1 
R 
i (%) 
n 
i 
R) (S  
 
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5a situação: 
 niSG 
  
 
1 
n 
S 
0 
G 
i (%) 
n 
 n 
i 
S) 
 
(G  
 
6a situação: 
 niPG 
  
 
1 
n 
P 
0 
G 
i (%) 
n 
i P) (G  
 
7a situação: 
 niRG 
  
 
(%) 0 i 1 7 
G 
R 
 niRG  
 
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1a Situação: 
 niPR 
 
 P 
0 
1 n 
R 
i (%) 
 
 
P) n 
i 
(R
 





 
Conhecendo-se o valor da Prestação R (ou Série Uniforme de Pagamentos 
e/ou Recebimentos) que ocorrem ininterruptamente desde o período de ordem 1 
até o período de ordem n; a taxa de juros i e o número de períodos n, deseja-se 
saber qual o Valor no Presente (ou Principal ou Montante) P que substituirá a 
série de valor R, sendo a época presente considerada na data zero. 
Em outras palavras, deseja-se determinar P a partir do conhecimento de R, n e i. 
Essa situação é normalmente conhecida como sendo o Fator de Valor Atual para 
uma Série Uniforme de Pagamentos e/ou Recebimentos, ou fator 
n
iPR )( 
. 
Para a demonstração de como se chegar ao valor de P deve-se considerar, 
inicialmente, a série R como sendo uma sucessão de pagamentos e/ou 
recebimentos S e calculá-las individualmente através do fator 
n
iPS )( 
, já visto na 
equação (4). 
  








1
1
1
i
R
  1a prestação transportada para a data zero; 
  








2
1
1
i
R
  2a prestação transportada para a data zero; 
  








3
1
1
i
R
  3a prestação transportada para a data zero; 
 
  








ni
R
1
1
  enésima prestação transportada para a data zero; 
O Principal P procurado corresponderá à soma de todas as prestações calculadas 
na data zero: 
        















niiii
RP
1
1
1
1
1
1
1
1
321
 
Pode-se agora observar que os termos entre colchetes correspondem ao somatório 
dos termos de uma Progressão Geométrica (PG) cujo primeiro termo é 1/(1+i)1, 
valor esse que coincide com a razão. 
Para uma PG tem-sea seguinte formulação para determinar o valor da soma dos 
seus termos: 
Matemática Financeira Gilberto Fialho 
_________________________________________ 
Gilberto_Fialho-Matemática_Financeira-2014-1.doc 15 
 











1
1
razão
razão
termoprimeiro
n)(
 
Tem-se então que: 































































i
i
i
i
i
i
i
nnn
1
1
1
11
1
1
1
1
1
1
1
1
1
1
1 )(
)(
)(
)(
)(
)(
 

















i
i n)(1
1
1  Fator de Valor Atual para Série Uniforme de Pagamentos e/ou 
Recebimentos. 
O Principal P pode ser então calculado por: 
 
 
 
 
 
  
 
 
 
 
 
  
 
 
 
 
 
i 
) i 1 ( 
1 
1 
R P 
n 
 
(8) 
Por essa fórmula pode-se deslocar toda a série R de pagamentos e/ou 
recebimentos existentes ao longo do tempo, desde o período de ordem 1 até o de 
ordem n, de uma só vez, para P, por meio do fator acima. 
Deve-se observar que existem três requisitos necessários à utilização dessa 
metodologia para o cálculo de P a partir de R: 
 as parcelas devem ter valores sempre nominalmente iguais; 
 esses valores (pagamentos e/ou recebimentos) sejam absolutamente 
consecutivos; 
 o primeiro pagamento e/ou recebimento ocorra sempre um período após 
o início da contagem do tempo previsto em contrato (dia, semana, mês, 
bimestre, semestre, ano etc.). 
Exemplo de Cálculo do Principal a partir das Prestações: 
Ex.: Um determinado bem foi adquirido em cinco prestações mensais iguais e sucessivas no valor de 
R$ 26.379,75 cada uma delas. Sabendo-se que as prestações vencerão ao final de cada período e 
que a taxa de juros é de 10 % ao mês, pede-se determinar o valor do Principal, bem como as 
parcelas de juros pagos a cada prestação. 
n
iPR )( 
 
 
010001007937537926
100
1001
1
1
7537926
1
1
1
5
,.$],[,.
,
),(
,.
)(
R
i
i
RP
n



































 
Para o cálculo das parcelas de juros embutidas nas prestações mensais, utiliza-se o procedimento 
mostrado na planilha abaixo. 
n 
i P R ) (   
Matemática Financeira Gilberto Fialho 
_________________________________________ 
Gilberto_Fialho-Matemática_Financeira-2014-1.doc 16 
Final do Prestação (R$) Dívida (R$) Juros (R$) Amortização (R$)
1
o
 mês 26.379,75 100.000,00 10.000,00 16.379,75 
2
o
 mês 26.379,75 83.620,25 8.362,03 18.017,73 
3
o
 mês 26.379,75 65.602,53 6.560,25 19.819,50 
4
o
 mês 26.379,75 45.783,03 4.578,30 21.801,45 
5
o
 mês 26.379,75 23.981,58 2.398,16 23.981,59 
Total 131.898,75 (0,01) 31.898,74 100.000,01 
 
Nessa planilha foram calculados inicialmente os juros sobre o saldo devedor (que no 1o mês 
corresponde ao próprio Principal). A amortização corresponde à diferença entre a prestação 
devida e os juros calculados. 
A cada mês é então calculado o saldo devedor (igual à dívida menos a amortização 
imediatamente anteriores) que servirá de base para o novo cálculo dos juros. A seguir calcula-se 
a amortização da forma descrita acima, e assim sucessivamente até a última prestação. Ao final 
do último período, todo o principal, em valores crescentes, já deverá ter sido amortizado. Daí o 
método também ser conhecido como de amortizações crescentes. 
 2a Situação: 
 niRP 
 
 P 
0 
1 n 
R 
i (%) 
n 
i 
R) (P  
 
Conhecendo-se o valor do Principal P, o número de períodos n e a taxa de juros i 
envolvidos na análise, deseja-se determinar a série uniforme de pagamentos e/ou 
recebimentos R que substituirá P ao longo dos períodos de ordem 1 a n. 
Essa situação é normalmente denominada Fator de Recuperação de Capital, ou 
fator 
n
iRP )( 
, que é calculado a partir da fórmula anterior correspondente à 1a 
situação. 
Fator de Recuperação de Capital: 
ni
i
)( 

1
1
1
 
A série de pagamentos e/ou recebimentos pode então ser calculada por: 
n
iRP )(  
 














ni)(1
1
1
i
PR
 
(9) 
Matemática Financeira Gilberto Fialho 
_________________________________________ 
Gilberto_Fialho-Matemática_Financeira-2014-1.doc 17 
Exemplo de Cálculo da Prestação a partir do Principal: 
Ex.: Um determinado bem foi adquirido pelo valor de R$ 100.000,00 e deverá ser pago em cinco 
prestações mensais iguais e sucessivas. Sabendo-se que a taxa de juros a ser aplicada é de 10 % 
ao mês, pede-se calcular o valor das prestações, bem como as parcelas de juros pagos a cada 
prestação. 
n
i
RP )( 
  
753792626000000100
1001
1
1
100
00000100
1
1
1
5
,.$],[,.
),(
,
,.
)(
R
i
i
PR
n



































 
Final do Dívida (R$) Prestação (R$) Juros (R$) Amortização (R$)
1
o
 mês 100.000,00 26.379,75 10.000,00 16.379,75 
2
o
 mês 83.620,25 26.379,75 8.362,03 18.017,72 
3
o
 mês 65.602,53 26.379,75 6.560,25 19.819,50 
4
o
 mês 45.783,03 26.379,75 4.578,30 21.801,44 
5
o
 mês 23.981,59 26.379,75 2.398,16 23.981,59 
Total 0,00 131.898,74 31.898,74 100.000,00 
 
Nessa planilha os cálculos foram efetuados de modo análogo ao da situação 
anterior, podendo-se confirmar a natureza crescente das amortizações. 
Essa situação também é conhecida no mercado como Tabela Price ou Sistema de 
Amortização Crescente ou ainda como Sistema Francês de Amortização. 
 3a Situação: 
 niSR 
 
 
n 
S 
0 
1 
R 
i (%) 
 
S) n 
i 
(R  
 
Compreende a determinação do valor futuro S a partir do conhecimento do valor da 
série uniforme de pagamentos (ou recebimentos) R, do prazo n e da taxa de juros 
i. 
Pode-se calcular o valor futuro desejado a partir do resultado correspondente à 1a 
situação, em que se calculava P a partir de R – de acordo com a equação (8) – e S 
a partir de P – de acordo com a equação (3) – de modo que: 
n
i
PR )( 
  
 n
i
SP 
 
Então: 
n
n
i
i
i
RS )(
)(

















 1
1
1
1 
Matemática Financeira Gilberto Fialho 
_________________________________________ 
Gilberto_Fialho-Matemática_Financeira-2014-1.doc 18 
Que resulta em: 
 n
i
SR )(
 







 

i
i
RS
n 11 )(
 
(10) 
O termo entre colchetes é denominado Fator de Valor Futuro para uma Série 
Uniforme de Pagamentos e/ou Recebimentos. 
Exemplo de cálculo do Valor Futuro a partir da Prestação: 
Ex.: Em relação ao exemplo anterior, se forem conhecidos o valor da prestação(R$ 26.379,75), o 
período n (5 meses) e a taxa de juros i (10 % ao mês), resultará no valor futuro S (na prática 
funciona como se nenhuma prestação tivesse sido paga e se desejasse quitar todas elas na data 
do vencimento da enésima prestação). 
01051161
100
11001
7537926
5
,.$
,
),(
,.$ RRS 







 

 
 4a Situação: 
 niRS 
 
 
n 
S 
0 
1 
R 
i (%) 
n 
i 
R) (S  
 
É semelhante à 3a situação, porém invertida, ou seja, conhece-se S, n e i e deseja-
se determinar R. Pode-se então explicitar o valor de R na equação (10), resultando 
em: 
 n
i
RS )(
 










11 ni
i
SR
)(
 
(11) 
Exemplo de cálculo de R a partir do conhecimento de S, n e i: 
Ex.: Considerando ainda o caso do exemplo anterior, conhece-se agora o valor futuro 
(R$ 161.051,01), o período n (5 meses) e a taxa de juros i (10 % ao mês). O valor da prestação 
R a ser investida mensalmente de tal forma a poder quitar o débito existente no futuro (no final 
do 5o mês contado a partir da data atual) seria: 
7537926
11001
100
01051161
5
,.$
),(
,
,.$ RRR 










 
Matemática Financeira Gilberto Fialho 
_________________________________________ 
Gilberto_Fialho-Matemática_Financeira-2014-1.doc 19 
 5a Situação: 
 niSG 
 
 
1 
n 
S 
0 
G 
i (%) 
n 
 n 
i 
S) 
 
(G  
 
Esta situação compreende a existência de uma série de pagamentos (ou 
recebimentos) que crescem linearmente a partir do 2o período até o enésimo 
período. A série corresponde, portanto, a uma progressão aritmética com (n-1) 
termos e cuja razão é igual à diferença entre dois valores consecutivos. 
Para determinar o valor futuro (ou montante) S de uma série gradiente G, utiliza-se 
o artifício de decompô-la em n séries uniformes R com o número de termos 
variando de (n-1) até zero. O que se deseja então é determinar S a partir do 
conhecimento dos valores de G, n e i. 
Para que a série gradiente G possa ser empregada devem ser satisfeitas 
obrigatoriamente as seguintes condições: 
 nas data 0 e 1 os valores devem ser nulos; 
 o gradiente G corresponde à diferença entre os valores nas datas 2 e 1. 
Na realidade a série gradiente pode ser interpretada como sendo o somatório de 
(n-1) séries uniformes de valores R que é igual à razão da progressão aritmética 
correspondente. 
Empregando-se a equação (10) a para o cálculo dos montantes correspondentes a 
cada uma das (n-1) séries uniforme em que a série gradiente foi decomposta, têm-
se os seguintes valores dos respectivos montantes parciais: 







 








 








 








 
 

i
i
GS
i
i
GS
i
i
GS
i
i
GS n
nnn 11111111 1
1
3
3
2
2
1
1
)(
;;
)(
;
)(
;
)(

 
O que se deseja é o somatório de todas as parcelas desses montantes parciais: 
14321  nSSSSSS 
 
Substituindo as parcelas no somatório tem-se então que: 







 


i
niiii
GS
nnn )()()()()( 11111 321 
 























  
i
n
i
iiiGS nn
1
1111 21 )()()( 
 
Observando o termo entre colchetes da equação acima, verifica-se que os termos 
correspondem ao somatório dos termos de uma série uniforme com (n-1) termos, 
correspondente à equação (10), resultando em: 
Matemática Financeira Gilberto Fialho 
_________________________________________ 
Gilberto_Fialho-Matemática_Financeira-2014-1.doc 20 



























 

i
n
ii
i
GS
n 111 )(
 
Essa equação pode ser rescrita da seguinte forma: 
 n
i
SG )(
 






















 

i
n
i
i
GS
n
2
11 )(
 (12) 
Exemplo de cálculo de S a partir do conhecimento de G, n e i: 
Ex.: Determinar o montante dos valores na data 12 (31.12.2014) do fluxo de caixa abaixo, 
considerando a taxa de juros de 5 % ao mês. 
Data Valor (R$) Data Valor (R$) Data Valor (R$)
jan/14 8.000,00 mai/14 16.000,00 set/14 24.000,00 
fev/14 10.000,00 jun/14 18.000,00 out/14 26.000,00 
mar/14 12.000,00 jul/14 20.000,00 nov/14 28.000,00 
abr/14 14.000,00 ago/14 22.000,00 dez/14 30.000,00 
 
Observando os valores verifica-se que compreendem uma série correspondente a uma 
progressão aritmética de razão igual a R$ 2.000,00. Porém para se aplicar os conceitos de série 
em gradiente, é necessário que os dois primeiros valores (datas zero e 1)sejam nulos. Tal fato 
não se verifica no exemplo, porque na data 1 existe um valor de R$ 8.000,00. Pode-se, no 
entanto, utilizar-se de um artifício para que se possa resolver o problema considerando a série 
em gradiente: a separação do fluxo de caixa em duas séries, uma uniforme e outra em gradiente, 
como pode ser observado no esquema a seguir. 
 0 1 2 12 
 
= 
 12 1 0 2 
 
+ 0 2 1 12 
 
O problema será desdobrado de acordo com os fluxos de caixa correspondentes à série uniforme 
e a série gradiente, do seguinte modo: 
12
5
12
5
000002000008
%%
)(,.$)(,.$ SGRSRRS 
 
Matemática Financeira Gilberto Fialho 
_________________________________________ 
Gilberto_Fialho-Matemática_Financeira-2014-1.doc 21 
Data
(2014) Uniforme Gradiente
jan R$ 8.000,00 - 
fev R$ 8.000,00 R$ 2.000,00
mar R$ 8.000,00 R$ 4.000,00
abr R$ 8.000,00 R$ 6.000,00
mai R$ 8.000,00 R$ 8.000,00
jun R$ 8.000,00 R$ 10.000,00
jul R$ 8.000,00 R$ 12.000,00
ago R$ 8.000,00 R$ 14.000,00
set R$ 8.000,00 R$ 16.000,00
out R$ 8.000,00 R$ 18.000,00
nov R$ 8.000,00 R$ 20.000,00
dez R$ 8.000,00 R$ 22.000,00
Fator 15,917 78,343
S 127.337,01R$ 156.685,06R$ 
Stotal R$ 284.022,07
Série
 
 6a situação: 
 niPG 
 
1 
n 
P 
0 
G 
i (%) 
n 
i P) (G  
 
A determinação do valor do principal obtido a partir de uma série gradiente pode 
ser efetuada utilizando-se a equação (12) anterior, bastando para isso trazer o 
resultado para a época atual: 
 n
i
PG )(
 











n
n
i
i
SG
GP
)(
)(
1
 (13) 
Exemplo de cálculo de P a partir do conhecimento de G, n e i: 
Ex.: A partir da tabela de dados do exemplo anterior, pede-se determinar o principal, considerando a 
mesma taxa de juros de 5 % ao mês. 
A estratégia para encontrar o resultado desejado é a mesma do exemplo anterior, apenas com a 
diferença que agora se deseja o valor do principal: 
12
5
12
5
000002000008
%%
)(,.$)(,.$ PGRPRRP 
 
1115415810248870190670624430000028638000008 ,.$,.$,.$],[,.$],[,.$ RRRRRP 
 
Matemática Financeira Gilberto Fialho 
_________________________________________ 
Gilberto_Fialho-Matemática_Financeira-2014-1.doc 22 
 7a situação: 
 niRG 
 
 
(%) 0 i 1 7 
G 
R 
 niRG  
 
O cálculo da série uniforme de pagamentos R derivada da série em gradientes G 
pode ser efetuado a partir da equação (12) que calcula S a partir de G: 



























 























 
i
n
ii
i
GS
i
n
i
i
GS
nn 11111
2
)()(
 
Dividindo todos os termos da equação acima à direita pelo primeiro termo entre 
colchetes, tem-se que: 






































 i
n
i
i
i
G
i
i
S
nn 11
1
11 )()(
 
Pode-se notar que o primeiro membro dessa equação, de acordo com a equação 
(11), corresponde ao valor de R. Daí resulta então a expressão para o cálculo de R 
a partir do conhecimento de G: 
 niRG 
  
  





























i
n
i
i
i
GR
n
11
1
 (14) 
Exemplo de cálculo de R a partir do conhecimento de G, n e i: 
Ex.: A partir da tabela de dados dos dois exemplos anteriores, pede-se calcular a quantia R que 
poderá substituir a série de pagamentos ali descrita. Deve-se aqui recordar que esse conjunto de 
valores dados compreende uma série uniforme (R = R$ 8.000,00) e uma série gradiente 
(G = R$ 2.000,00). Suponha o mesmo período de 12 meses e a mesma taxa de juros de 5 % ao 
mês. 
Pode-se, com base na equação acima calcular o valor da série R desejada: 
12
5
000002000008
%
)(,.$,.$ RGRRR 
 
8084317808439000008924000002000008 ,.$,.$,.$],[,.$,.$ RRRRRR 
 
Matemática Financeira Gilberto Fialho 
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Gilberto_Fialho-Matemática_Financeira-2014-1.doc 23 
4. Sistemas de Amortização 
Existem basicamente dois sistemas de amortização que podem ser empregados 
para reembolso de empréstimos: 
 Tabela Price (ou Sistema de Amortizações Crescentes ou Sistema 
Francês de Amortização); 
 Sistema SAC (ou Sistema de Amortizações Constantes). 
O sistema correspondente à Tabela Price compreende amortizações crescentes 
e prestações constantes, enquanto o sistema SAC implica em amortizações 
constantes e prestações decrescentes. 
Em ambos os sistemas os juros são calculados sobre o saldo devedor, portanto, são 
iguais. Porém, como o reembolso dos empréstimos corresponde a prestações 
formadas por duas parcelas – amortização dos empréstimos mais os juros – 
depreende-se que as diferenças entre os dois sistemas devem-se à forma de 
amortização do principal. Pelo sistema SAC essa amortização é constante e pela 
Tabela Price ela é variável, conforme pode ser visto a seguir. 
4.1. Tabela Price 
Neste sistema os juros são calculados sobre o saldo devedor e as amortizações são 
determinadas de tal modo que as prestações (amortizações + juros) sejam 
constantes ao longo do prazo de vigência da operação. Desse modo, a amortização 
correspondente a cada período será igual à diferença entre a prestação e os juros 
do respectivo período. 
Portanto, o problema se resume, na prática, a encontrar um valor de prestação que 
reembolse o principal em um dado prazo contratual. Ou seja, operacionalmente o 
que deverá ser feito é calcular o Fator de Recuperação do Capital e a respectiva 
Prestação através da equação (9), conforme descrito na 2a situação vista no 
item 3. 
Exemplo de Cálculo de Prestação a partir do Principal  Tabela Price 
Ex.: Será aqui repetido o exemplo da 2a situação do item 3 
Nesse exemplo, desejava-se determinar o valor das prestações, e as respectivas parcelas de 
amortização e juros, correspondentes a um empréstimo no valor de R$ 100.000,00 que deveria 
ser pago em cinco prestações mensais iguais e sucessivas, com uma taxa de juros de 10 % ao 
mês. 
Com a aplicação da equação (9), obteve-se então o seguinte resultado: 
Final do Dívida (R$) Prestação (R$) Juros (R$) Amortização (R$)
1
o
 mês 100.000,00 26.379,75 10.000,00 16.379,75 
2
o
 mês 83.620,25 26.379,75 8.362,03 18.017,72 
3
o
 mês 65.602,53 26.379,75 6.560,25 19.819,50 
4
o
 mês 45.783,03 26.379,75 4.578,30 21.801,44 
5
o
 mês 23.981,59 26.379,75 2.398,16 23.981,59 
Total 0,00 131.898,74 31.898,74 100.000,00 
 
Matemática Financeira Gilberto Fialho 
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Gilberto_Fialho-Matemática_Financeira-2014-1.doc 24 
Nessa tabela pode-se reparar que o valor das prestações foi determinado mediante a aplicação 
direta da equação (9) e os juros foram calculados sobre a dívida (saldo devedor do período 
imediatamente anterior subtraído da amortização do período ora considerado). Quanto à 
amortização, ela é calculada pela diferença entre a prestação e os juros devidos do período 
considerado. 
Observando os resultados da tabela acima se pode verificar que a série de 
amortizações corresponde a uma progressão geométrica de razão igual a (1+i). 
Outra constatação interessante é de que, em qualquer período, o saldo devedor 
(dívida) corresponde ao produto da multiplicação da prestação pelo fator de valor 
atual – calculado pela equação (8) – de uma série uniforme, considerando o prazo 
ainda a vencer da operação. 
4.2. Sistema de Amortizações Constantes – SAC 
Neste sistema, como indica a sua própria denominação, a amortização é constante 
ao longo do tempo e calculada pela simples divisão entre o principal e a quantidade 
de períodos correspondente ao prazo da operação. 
No exemplo anterior, a amortização seria então: 
0000020
5
00000100
,.$
,.$Pr
R
R
n
incipal
oAmortizaçã 
 
Os juros serão calculados sobre o saldo devedor, que corresponderá ao saldo do 
período imediatamente anterior subtraído de uma parcela de amortização. 
Exemplo de Cálculo de Prestação a partir do Principal  Sistema SAC 
Ex.: Apresenta-se a seguir o mesmo problema do item anterior, com os resultados da aplicação do 
sistema SAC. 
Final do Dívida (R$) Amortização (R$) Juros (R$) Prestação (R$)
1
o
 mês 100.000,00 20.000,00 10.000,00 30.000,00 
2
o
 mês 80.000,00 20.000,00 8.000,00 28.000,00 
3
o
 mês 60.000,00 20.000,00 6.000,00 26.000,00 
4
o
 mês 40.000,00 20.000,00 4.000,00 24.000,00 
5
o
 mês 20.000,00 20.000,00 2.000,00 22.000,00 
Total - 100.000,00 30.000,00 130.000,00 
 
Uma característica do sistema SAC é que as prestações formam uma progressão 
aritmética decrescente com razão igual à taxa de juros multiplicada pela 
amortização. 
4.3. Operações com Carência 
Prazo de Carência é o período compreendido entre a assinatura do contrato de 
financiamento e o pagamento da primeira parcela de amortização do principal. 
Usualmente este período é de seis meses, contados após a entrada em operação 
comercial do empreendimento financiado. Carência, portanto, é um prazo, 
estabelecido no contrato de empréstimo ou de financiamento, que se dá ao 
tomador em que ele fica liberado do pagamento das prestações. 
Matemática Financeira Gilberto Fialho 
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Gilberto_Fialho-Matemática_Financeira-2014-1.doc 25 
No caso de financiamento de um empreendimento a carência poderia ser, por 
exemplo, o tempo transcorrido entre a tomada do empréstimo e o início das 
operações. O empreendedor poderia, então, começar a pagar as prestações já com 
a receita oriunda do objeto do financiamento. 
No período de carência não são efetuados pagamentosdas prestações, porém, os 
juros são contabilizados. Pode, então, advir duas situações: 
 os juros devidos no período de carência serem pagos ao longo desse 
prazo; 
 os juros serem capitalizados e incorporados ao principal para efeito de 
cálculo das prestações. 
Quando uma operação de empréstimo ou de financiamento possui prazo de 
carência, a praxe adotada no sistema financeiro nacional é a de exigir que sejam 
efetuados, durante esse período, os pagamentos dos juros. 
Se, entretanto, se utilizar a alternativa do não pagamento dos juros durante o 
prazo de carência, eles serão capitalizados e incorporados ao saldo devedor, 
compondo dessa maneira a base de cálculo dos juros futuros, havendo, portanto, 
nesse caso a incidência de juros sobre juros. 
Deve-se observar que os períodos tomados como bases para os cálculos das 
prestações podem ser diferentes durante os prazos de amortização e de carência. 
Como exemplo pode-se citar as operações do Sistema BNDES, nas quais, utiliza-se 
o Sistema SAC, sendo os juros trimestrais durante a carência e as prestações 
mensais na fase de amortizações. 
Exemplo de Cálculo de Operação com Prazo de Carência: 
Ex.: Seja a situação representada nos exemplos anteriores, correspondente a uma operação de 
empréstimo de R$ 100.000,00 à taxa de juros de 10 % ao mês, com prazo de pagamento de 5 
meses. 
Imagine-se agora, que exista um período de carência de 6 meses, na qual os juros serão pagos 
trimestralmente. 
Suponha que o empréstimo (ou o investimento) tenha ocorrido em 25.4.2014 e que todos os 
pagamentos (ou desembolsos) ocorrerão no dia 25 dos meses correspondentes. 
Os juros a serem aplicados durante o prazo de carência poderão ser calculados através das 
equações (5) ou (7) conduzindo a: 
trimestre)(ao%33,110,10)(11i)(1I 3n 
 
As tabelas a seguir ilustram os resultados dessa operação, considerando, respectivamente, o 
Sistema SAC e a Tabela Price e, em ambos os casos, os pagamentos dos juros durante o prazo de 
carência. 
Matemática Financeira Gilberto Fialho 
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Gilberto_Fialho-Matemática_Financeira-2014-1.doc 26 
Data Dívida Amortização Juros Prestação
25.4.2014 100.000,00 - - - 
25.7.2014 - - 33.100,00 33.100,00 
25.10.2014 - - 33.100,00 33.100,00 
25.11.2014 100.000,00 20.000,00 10.000,00 30.000,00 
25.12.2014 80.000,00 20.000,00 8.000,00 28.000,00 
25.1.2015 60.000,00 20.000,00 6.000,00 26.000,00 
25.2.2015 40.000,00 20.000,00 4.000,00 24.000,00 
25.3.2015 20.000,00 20.000,00 2.000,00 22.000,00 
Total - 100.000,00 96.200,00 196.200,00 
Sistema SAC com carência
 
 
Data Dívida Prestação Juros Amortização
25.4.2014 100.000,00 - - - 
25.7.2014 - 33.100,00 33.100,00 - 
25.10.2014 - 33.100,00 33.100,00 - 
25.11.2014 100.000,00 26.379,75 10.000,00 16.379,75 
25.12.2014 83.620,25 26.379,75 8.362,03 18.017,72 
25.1.2015 65.602,53 26.379,75 6.560,25 19.819,50 
25.2.2015 45.783,03 26.379,75 4.578,30 21.801,44 
25.3.2015 23.981,59 26.379,75 2.398,16 23.981,59 
Total - 198.098,74 98.098,74 100.000,00 
Tabela Price com carência
 
 
 
Matemática Financeira Gilberto Fialho 
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Gilberto_Fialho-Matemática_Financeira-2014-1.doc 27 
5. Resumo das Alternativas e Métodos de Cálculo Disponíveis 
Em resumo, têm-se as seguintes equações disponíveis para a resolução de 
problemas envolvendo a Matemática Financeira: 
 
  n
i
SP 
 
  n
i
PS 
 
 niPS  1
 
})(/{ niSP  11
 
 
  n
i
PR 
 
  n
i
RP 
 
}/])(/[{ iiRP n 111
 
}])(/[/{ niiPR  111
 
 
  n
i
SR 
 
  n
i
RS 
 
}/])([{ iiRS n 11 
 
}])([/{ 11  niiSR
 
 
  n
i
SG 
 
  n
i
PG 
 
})/(/])([{ iniiGS n  211
 
})(/])([{ nn
i
iSGGP  1
 
 
  n
i
RG 
 
)/(}])([/)/({ iniiiGR n  111
 
 
Existem, basicamente, três ferramentas que podem ser utilizadas na resolução 
dessas equações da Matemática Financeira: 
 tabelas financeiras; 
 calculadoras financeiras; 
 planilhas eletrônicas. 
As tabelas financeiras compreendem a tabulação dos valores correspondentes às 
equações da Matemática Financeira, e normalmente constam dos anexos dos livros 
relacionados ao assunto. Essa metodologia foi muito útil na época em que não 
existiam disponíveis calculadoras e, muito menos, computador. Hoje em dia, 
entretanto, praticamente não são mais utilizadas. 
Matemática Financeira Gilberto Fialho 
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Gilberto_Fialho-Matemática_Financeira-2014-1.doc 28 
A calculadora financeira mais empregada, na prática, é a HP-12C, com sub-rotinas 
especificamente desenvolvidas para a resolução das equações da Matemática 
Financeira. A correlação das teclas da calculadora HP12C com as vistas até aqui é a 
seguinte: 
Simbologia Tecla da Calculadora 
P PV 
S FV 
R PMT 
N N 
i i 
Serão sempre utilizadas as variáveis n, i e mais dois dos termos escolhidos entre P, 
S e R, perfazendo um total de quatro valores, dos quais se conhece três e deseja-
se calcular o quarto. Pressionam-se, então, as teclas correspondentes aos três 
dados existentes e, por último, ao se pressionar a quarta tecla (incógnita), tem-se 
o valor da solução. 
Embora a resolução dos problemas com calculadora financeira seja muito simples, o 
método atualmente mais empregado na prática envolve a utilização de planilhas 
eletrônicas, das quais a mais comum é a Excel. 
Na planilha Excel pode-se utilizar as funções embutidas programadas, ou então 
efetuar os cálculos considerando as equações vistas anteriormente. As tabelas 
resultantes se constituem no próprio fluxo de caixa, em formato de apresentação 
final. 
Matemática Financeira Gilberto Fialho 
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Gilberto_Fialho-Matemática_Financeira-2014-1.doc 29 
6. Linhas de Financiamento do BNDES 
O principal agente de fomento no Brasil é o BNDES – Banco Nacional de 
Desenvolvimento Econômico e Social, que possui diversas linhas e programas de 
investimento. A seguir é apresentado um quadro com três dos principais programas 
de fomento existentes. 
Programa Carência Prazo de Amortização Participação Máx. Taxa de Juros 
FMM(1) até 4 anos(4) até 20 anos até 90 % TJLP + 2,5 a 7 % a.a.(7) 
FINAME(2) 3 a 6 meses até 72 meses até 90 % TJLP(8) 
FINEM(3) 6 meses variável(5) variável(6) TJLP(8) 
 (1) Fundo da Marinha Mercante – financiamento a estaleiros brasileiros para a construção e reparo de 
navios etc.; 
(2) Financiamento de Máquinas e Equipamentos – sem limite de valor, para aquisição isolada de 
máquinas e equipamentos novos, de fabricação nacional; 
(3) Financiamento a Empreendimentos – para a realização de projetos de implantação, expansão, 
modernização ou relocalização de empresas; 
(4) inclui o prazo de construção das embarcações; 
(5) variável em função da capacidade de pagamento do empreendimento, da empresa e do grupo 
econômico; 
(6) variável de acordo com a linha de financiamento; 
(7) para construçãode embarcações não registradas no REB (Registro Especial Brasileiro) 
(8) a essa taxa de juros deve-se adicionar a remuneração do BNDES mais outros encargos; 
Taxa de Juros de Longo Prazo – fixada trimestralmente pelo Banco Central, de acordo com as normas do 
Conselho Monetário Nacional. 
Fonte: www.bndes.gov.br 
 
Matemática Financeira Gilberto Fialho 
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Gilberto_Fialho-Matemática_Financeira-2014-1.doc 30 
ADEUS A SETE QUEDAS (*) 
Carlos Drummond de Andrade (1902-1987) 
 
Sete quedas por mim passaram, 
e todas sete se esvaíram 
Cessa o estrondo das cachoeiras, e com ele 
a memória dos índios, pulverizada, 
já não desperta o mínimo arrepio. 
Aos mortos espanhóis, aos mortos bandeirantes, 
aos apagados fogos 
de Ciudad Real de Guaira vão juntar-se 
os sete fantasmas das águas assassinadas 
por mão do homem, dono do planeta. 
Aqui outrora retumbaram vozes 
da natureza imaginosa, fértil 
em teatrais encenações de sonhos 
aos homens ofertadas sem contrato. 
Uma beleza-em-si, fantástico desenho 
corporizado em cachões e bulcões de aéreo contorno 
mostrava-se, despia-se, doava-se 
em livre coito à humana vista extasiada. 
Toda a arquitetura, toda a engenharia 
de remotos egípcios e assírios 
em vão ousaria criar tal monumento. 
E desfaz-se por ingrata intervenção de tecnocratas. 
Aqui sete visões, sete esculturas de líquido perfil 
dissolvem-se entre cálculos computadorizados 
de um país que vai deixando de ser humano 
para tornar-se empresa gélida, mais nada. 
Faz-se do movimento uma represa, 
da agitação faz-se um silêncio 
empresarial, de hidrelétrico projeto. 
Vamos oferecer todo o conforto 
que luz e força tarifadas geram 
à custa de outro bem que não tem preço 
nem resgate, empobrecendo a vida 
na feroz ilusão de enriquecê-la. 
Sete boiadas de água, sete touros brancos, 
de bilhões de touros brancos integrados, 
afundam-se em lagoa, e no vazio 
que forma alguma ocupará, que resta 
senão da natureza a dor sem gesto, 
a calada censura 
e a maldição que o tempo irá trazendo? 
Vinde povos estranhos, vinde irmãos 
brasileiros de todos os semblantes, 
vinde ver e guardar 
não mais a obra de arte natural 
hoje cartão-postal a cores, melancólico, 
mas seu espectro ainda rorejante 
de irisadas pérolas de espuma e raiva, 
passando, circunvoando, 
entre pontes pênseis destruídas e o inútil pranto das coisas, 
sem acordar nenhum remorso, 
nenhuma culpa ardente e confessada. 
(“Assumimos a responsabilidade! 
Estamos construindo o Brasil grande!”) 
E patati patati patatá... 
Sete quedas por nós passaram, 
e não soubemos, ah, não soubemos amá-las, 
e todas sete foram mortas, 
e todas sete somem no ar, 
sete fantasmas, sete crimes 
dos vivos golpeando a vida 
que nunca mais renascerá. 
 
(*) Poema publicado na capa do Caderno B do Jornal do Brasil, edição de 09.09.1982, ocupando página inteira, por 
ocasião do anúncio do fechamento das comportas para a criação do lago da hidrelétrica de Itaipu. 
O sentimento ecológico do poeta reverberou em todo o país. Um mês depois, ele voltaria à carga, com a crônica "Sete 
Quedas poderia ser salva" (JB, 07/10/1982). Nesse texto, Drummond transcreve una carta do engenheiro Octavio 
Marcondes Ferraz — o projetista da hidrelétrica de Paulo Afonso. A carta fora enviada ao poeta exatamente a propósito 
do poema "Adeus a Sete Quedas". 
Ferraz revela que em 1963 apresentara projeto intitulado "Aproveitamento do Potencial do Salto de Sete Quedas". A 
idéia do engenheiro era preservacionista. "Em Paulo Afonso", diz ele, "projetei a usina preservando a catarata que Deus 
nos deu." 
"Aproveitamento, em vez de imolação", destaca Drummond. O argumento do governo militar para a destruição é que 
seria necessário considerar uma "solução simétrica" em relação ao Paraguai. 
No final, diz Drummond, os paraguaios não ficaram tão satisfeitos e Sete Quedas vai passar às novas gerações apenas 
como uma pálida notícia, um cartão postal de longínquo passado. "Sete quedas por nós passaram e não soubemos, ah, 
não soubemos amá-las".

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